四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试考试数学试题
1．（2024高二下·成都期中） 下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·成都期中） 已知，则函数在处的导数为（ ）
A． B．3 C． D．6
3．（2024高二下·成都期中） 在数列中，（），若，则（ ）
A．2 B． C． D．
4．（2024高二下·成都期中） 在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．（2024高二下·成都期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
6．（2024高二下·成都期中）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元．
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·成都期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·成都期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……．，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·成都期中） 公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．中最大 D．
10．（2024高二下·成都期中） 已知函数，则（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当，时，有三个零点
C．当，时，直线是曲线的切线
D．当时，若在区间上的最大值为，则
11．（2024高二下·成都期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A． B．CE与OF所成角的余弦值为
C．四点共面 D．的面积为
12．（2024高二下·成都期中）曲线在点处的切线的斜率是 ．
13．（2024高二下·成都期中） 数列满足，（），则 （用数字作答）．
14．（2024高二下·成都期中） 已知函数是定义在上的偶函数，且，其导函数为，且时，恒成立，，，，，，的大小关系为 ．
15．（2024高二下·成都期中）在正项等比数列中，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16．（2024高二下·成都期中） 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
17．（2024高二下·成都期中） 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的取值和曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值．
18．（2024高二下·成都期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为边上一点，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
19．（2024高二下·成都期中）数列满足，（）．
（1）计算，，猜想数列的通项公式并证明；
（2）求数列的前n项和；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】直接根据求导公式计算即可.
2．【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以 函数在处的导数为6.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
3．【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为（）， 且，
则，
可知3为数列 的周期，所以.
故答案为：B.
【分析】根据递推公式代值检验可知3为数列 的周期，结合周期数列分析求解.
4．【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列各为正项等比数列，即，且，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用对数运算结合等比中项运算求解.
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：若要，则由图可知，，
故的单调增区间为，.
故答案为：B.
【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系，即可得出函数的单调递增区间.
6．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设今后10年每年的销售额为，
因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加.
所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为，
所以今后10年每年的销售额构成等比数列，公比为1.1，首项为，
所以今年起10年内这家超市的总销售额为
故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元.
故答案为：D.
【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，再根据等比数列求和公式，从而得出从今年起10年内这家超市的总销售额.
7．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】利用导数判断函数单调性的方法，则判断出函数在区间上的单调性，则，即，则在上恒成立，利用函数在上的单调性，从而得出函数在上的最大值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：根据题意，，，，
则，
所以，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，则，再由裂项求和法得出的值.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列与一次函数的关系；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，
即，，可知，，故B正确；
所以，故A正确；
可知等差数列 为递减数列，所以 ，故D正确；
结合单调性可知：当时，；当时，；
所以中最大，故C错误；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合等差数列性质分析可知，，进而可得，即可判断AB；对于D：根据等差数列单调性分析判断；对于C：根据 的符号性结合和项性质分析判断.
10．【答案】B,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：当时，，可知在上单调递增，无极值，
所以时，无极值点，故A错误，
对于B：当，时，，则，
令，得到或；令，得到；
可知的单调增区间为，，单调减区间为，
且，，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
作出的图象，如图所示，可知有三个零点，故B正确；
对于C：当，时，，，
令，解得，
可得，即切点为，但不在直线上，
所以不是曲线的切线，故C错误；
对于D：当时，，
由选项B可知：在，内单调递增，在内单调递减，且，
令，整理得，解得或，
又在区间上的最大值为，所以，故D正确，
故答案为：BD.
【分析】对于A：根据幂函数单调性分析判断；对于B：利用导数判断的单调性和极值，结合图象分析判断；对于D：求导，结合导数的几何意义求切点坐标，即可分析判断；对于D：结合选项B可知的单调性，结合最值分析求解.
11．【答案】A,C
【知识点】共面向量定理；空间向量垂直的坐标表示；异面直线；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
对于A项，因为，则，所以所以，
所以，故A项正确；
对于B项，因，则，
设CE与OF所成角为，则，故B项错误；
对于C项，因，则，
易得，即为共面向量，故四点共面，即C项正确；
对于D项，因，则，记，
则，故，
故的面积为，故D项错误.
故答案为：A、C.
【分析】
以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系.，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算判断A项正确，利用空间向量的夹角公式计算判断B项错误，利用空间向量共面定理判断C项正确，利用三角形面积公式判断D项错误.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为 ，所以曲线在点处的切线的斜率是.
故答案为：1
【分析 】利用导数的几何意义得出曲线在点处的切线的斜率.
13．【答案】60
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为， ，
则，，，，
累加可得，
即，可得.
故答案为：60.
【分析】根据题意利用累加法结合等比数列求和公式可得，即可得结果.
14．【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
因为当时，，则，
可知在上单调递增，
又因为是定义在上的偶函数，
则，可知为偶函数，
则在上单调递减，可得，
即，
因为，可得，，
所以，
又因为为偶函数，所以.
故答案为：．
【分析】构建函数，结合题意分析可知为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，可得，结合的奇偶性分析判断.
15．【答案】（1）解：记等比数列的公比为，，
因为成等差数列，
所以，即，
又因为，所以，整理得，
解得（舍去）或，
所以.
（2）解：由（1）可得，
所以，所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据已知条件和等差中项公式以及等比数列的通项公式，从而列方程求出公比的值，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式结合，从而得出数列的通项公式，再利用裂项相消法得出数列的前项和.
（1）记等比数列的公比为，，
因为成等差数列，
所以，即，
又，所以，整理得，
解得（舍去）或，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以.
16．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离．
所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式得出a，b的关系式，从而设出椭圆的标准方程，再利用椭圆的标准方程以及点代入法，进而得出t的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而设与直线平行的直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，从而结合判别式法得出m的值，进而得出与直线平行的直线的方程，再利用两平行直线的距离公式得出直线到直线的距离，再结合几何法得出椭圆上的点到直线的距离的最大值。
17．【答案】（1）解：因为，所以，
则，∴，
∴，，
则切线方程为，整理得；
（2）解：由，因为，令，解得，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
①当，即时，函数在区间上单调递减，
所以在区间上的最小值为，
②当，即时，函数在区间上单调递增，
所以在区间上的最小值为，
③当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
所以当时，的最小值为，
当时，的最小值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 求导，根据导数的几何意义可得，进而可得切点坐标和切线方程；
(2) 求导可知的单调性，分类讨论 在上的单调性，结合单调性分析最值.
18．【答案】（1）证明：如图所示，连接，，
因为底面为正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
由题意得，且，，平面，
则平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，所以，由勾股定理可得，
即①且②，
联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点，
所以，，，
由题意可知，是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
有，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，，由线线垂直可得平面，从而得出，再结合已知条件可证平面，从而证出平面平面.
（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再利用是平面的一个法向量，则根据数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值.
（1）如图所示，连接，，
因为底面为正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由题得，且，，平面，
则平面，又平面，
所以平面平面；
（2）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
因为，
所以由勾股定理可得，
即①，
且②，
联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点，
所以，，，
由题意可知，是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
有，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
19．【答案】（1）解：因为，.
猜测，下面用数学归纳法证明：
当时，由知结论成立；
假设结论对成立，即，则，故结论对成立，
综上所述，.
（2）解：设数列的前项和为，
则，所以
故.
【知识点】数列的求和；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）直接通过递推公式计算出，，再猜测并用数学归纳法证明.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
（1），.
猜测，下面用数学归纳法证明：
当时，由知结论成立；
假设结论对成立，即，则，故结论对成立.
综上，有成立.
（2）设数列的前项和为，则.
所以.
故.
1 / 1四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试考试数学试题
1．（2024高二下·成都期中） 下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】直接根据求导公式计算即可.
2．（2024高二下·成都期中） 已知，则函数在处的导数为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：因为，
所以 函数在处的导数为6.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合导数的定义分析求解.
3．（2024高二下·成都期中） 在数列中，（），若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为（）， 且，
则，
可知3为数列 的周期，所以.
故答案为：B.
【分析】根据递推公式代值检验可知3为数列 的周期，结合周期数列分析求解.
4．（2024高二下·成都期中） 在各项均为正数的等比数列中，，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列各为正项等比数列，即，且，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据题意利用对数运算结合等比中项运算求解.
5．（2024高二下·成都期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：若要，则由图可知，，
故的单调增区间为，.
故答案为：B.
【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系，即可得出函数的单调递增区间.
6．（2024高二下·成都期中）某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10%．从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）万元．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设今后10年每年的销售额为，
因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加.
所以今年的销售额为，今后第年与第年的关系为，
所以今后10年每年的销售额构成等比数列，公比为1.1，首项为，
所以今年起10年内这家超市的总销售额为
故从今年起10年内这家超市的总销售额为万元.
故答案为：D.
【分析】根据题意，后10年每年的销售额成等比数列，公比为1.1，首项为，再根据等比数列求和公式，从而得出从今年起10年内这家超市的总销售额.
7．（2024高二下·成都期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，
所以，故.
故答案为：A.
【分析】利用导数判断函数单调性的方法，则判断出函数在区间上的单调性，则，即，则在上恒成立，利用函数在上的单调性，从而得出函数在上的最大值，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
8．（2024高二下·成都期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……．，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：根据题意，，，，
则，
所以，
所以
.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，则，再由裂项求和法得出的值.
9．（2024高二下·成都期中） 公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．中最大 D．
【答案】A,B,D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列与一次函数的关系；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，，
即，，可知，，故B正确；
所以，故A正确；
可知等差数列 为递减数列，所以 ，故D正确；
结合单调性可知：当时，；当时，；
所以中最大，故C错误；
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合等差数列性质分析可知，，进而可得，即可判断AB；对于D：根据等差数列单调性分析判断；对于C：根据 的符号性结合和项性质分析判断.
10．（2024高二下·成都期中） 已知函数，则（ ）
A．当时，有两个极值点
B．当，时，有三个零点
C．当，时，直线是曲线的切线
D．当时，若在区间上的最大值为，则
【答案】B,D
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A：当时，，可知在上单调递增，无极值，
所以时，无极值点，故A错误，
对于B：当，时，，则，
令，得到或；令，得到；
可知的单调增区间为，，单调减区间为，
且，，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
作出的图象，如图所示，可知有三个零点，故B正确；
对于C：当，时，，，
令，解得，
可得，即切点为，但不在直线上，
所以不是曲线的切线，故C错误；
对于D：当时，，
由选项B可知：在，内单调递增，在内单调递减，且，
令，整理得，解得或，
又在区间上的最大值为，所以，故D正确，
故答案为：BD.
【分析】对于A：根据幂函数单调性分析判断；对于B：利用导数判断的单调性和极值，结合图象分析判断；对于D：求导，结合导数的几何意义求切点坐标，即可分析判断；对于D：结合选项B可知的单调性，结合最值分析求解.
11．（2024高二下·成都期中）如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A． B．CE与OF所成角的余弦值为
C．四点共面 D．的面积为
【答案】A,C
【知识点】共面向量定理；空间向量垂直的坐标表示；异面直线；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
如图，以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
对于A项，因为，则，所以所以，
所以，故A项正确；
对于B项，因，则，
设CE与OF所成角为，则，故B项错误；
对于C项，因，则，
易得，即为共面向量，故四点共面，即C项正确；
对于D项，因，则，记，
则，故，
故的面积为，故D项错误.
故答案为：A、C.
【分析】
以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系.，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标式计算判断A项正确，利用空间向量的夹角公式计算判断B项错误，利用空间向量共面定理判断C项正确，利用三角形面积公式判断D项错误.
12．（2024高二下·成都期中）曲线在点处的切线的斜率是 ．
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：因为 ，所以曲线在点处的切线的斜率是.
故答案为：1
【分析 】利用导数的几何意义得出曲线在点处的切线的斜率.
13．（2024高二下·成都期中） 数列满足，（），则 （用数字作答）．
【答案】60
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：因为， ，
则，，，，
累加可得，
即，可得.
故答案为：60.
【分析】根据题意利用累加法结合等比数列求和公式可得，即可得结果.
14．（2024高二下·成都期中） 已知函数是定义在上的偶函数，且，其导函数为，且时，恒成立，，，，，，的大小关系为 ．
【答案】
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则，
因为当时，，则，
可知在上单调递增，
又因为是定义在上的偶函数，
则，可知为偶函数，
则在上单调递减，可得，
即，
因为，可得，，
所以，
又因为为偶函数，所以.
故答案为：．
【分析】构建函数，结合题意分析可知为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，可得，结合的奇偶性分析判断.
15．（2024高二下·成都期中）在正项等比数列中，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：记等比数列的公比为，，
因为成等差数列，
所以，即，
又因为，所以，整理得，
解得（舍去）或，
所以.
（2）解：由（1）可得，
所以，所以.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等差中项
【解析】【分析】（1）根据已知条件和等差中项公式以及等比数列的通项公式，从而列方程求出公比的值，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式结合，从而得出数列的通项公式，再利用裂项相消法得出数列的前项和.
（1）记等比数列的公比为，，
因为成等差数列，
所以，即，
又，所以，整理得，
解得（舍去）或，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以.
16．（2024高二下·成都期中） 已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程：
（2）求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，
可得，设椭圆的方程为：，，
又因为椭圆经过点，所以，
解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：设与直线平行的直线的方程为，
联立，整理可得：，
，可得，则，
所以直线到直线的距离．
所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合椭圆的离心率公式得出a，b的关系式，从而设出椭圆的标准方程，再利用椭圆的标准方程以及点代入法，进而得出t的值，从而得出椭圆的标准方程。
（2）利用已知条件结合两直线平行斜率相等，从而设与直线平行的直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程，从而结合判别式法得出m的值，进而得出与直线平行的直线的方程，再利用两平行直线的距离公式得出直线到直线的距离，再结合几何法得出椭圆上的点到直线的距离的最大值。
17．（2024高二下·成都期中） 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线斜率为，求的取值和曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）解：因为，所以，
则，∴，
∴，，
则切线方程为，整理得；
（2）解：由，因为，令，解得，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
①当，即时，函数在区间上单调递减，
所以在区间上的最小值为，
②当，即时，函数在区间上单调递增，
所以在区间上的最小值为，
③当，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又，
所以当时，的最小值为，
当时，的最小值为，
综上可知，当时，函数的最小值为，
当时，函数的最小值为．
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】 (1) 求导，根据导数的几何意义可得，进而可得切点坐标和切线方程；
(2) 求导可知的单调性，分类讨论 在上的单调性，结合单调性分析最值.
18．（2024高二下·成都期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，点为边上一点，，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，，
因为底面为正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
由题意得，且，，平面，
则平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，所以，由勾股定理可得，
即①且②，
联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点，
所以，，，
由题意可知，是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
有，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，，由线线垂直可得平面，从而得出，再结合已知条件可证平面，从而证出平面平面.
（2）以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再利用是平面的一个法向量，则根据数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值.
（1）如图所示，连接，，
因为底面为正方形，所以，
因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由题得，且，，平面，
则平面，又平面，
所以平面平面；
（2）如图，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，点竖直向上方向所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
因为，
所以由勾股定理可得，
即①，
且②，
联立①②两式，可得，点为上靠近点的三等分点，
所以，，，
由题意可知，是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
有，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设二面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
19．（2024高二下·成都期中）数列满足，（）．
（1）计算，，猜想数列的通项公式并证明；
（2）求数列的前n项和；
【答案】（1）解：因为，.
猜测，下面用数学归纳法证明：
当时，由知结论成立；
假设结论对成立，即，则，故结论对成立，
综上所述，.
（2）解：设数列的前项和为，
则，所以
故.
【知识点】数列的求和；数学归纳法的应用
【解析】【分析】（1）直接通过递推公式计算出，，再猜测并用数学归纳法证明.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前n项和.
（1），.
猜测，下面用数学归纳法证明：
当时，由知结论成立；
假设结论对成立，即，则，故结论对成立.
综上，有成立.
（2）设数列的前项和为，则.
所以.
故.
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