贵州省部分学校联考2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2024高三上·贵州月考）在复平面内，向量对应的复数为，向星对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以向量对应的复数为.
故答案为：D．
【分析】根据向量三角形法则和复数的几何意义，从而得出向量对应的复数.
2．（2024高三上·贵州月考）下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：对于A，由，
得，
反之，当时，不能推出，
故是成立的充分不必要条件，故A错误；
对于B，当时，不成立，
故不是成立的充分条件，
反之，当时，成立，
故是成立的必要不充分条件，故B错误；
对于C，当时，成立，
但不成立，所以是成立的不充分条件，
反之，满足成立，但不成立，
所以是成立的不必要条件，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由在上单调递增，
可得是的充要条件，故D正确.
故答案为：D．
【分析】利用对数型函数的单调性和赋值法以及充要条件判断方法，则判断出选项A、选项B和选项C；再利用函数在上的单调性，则可判断选项D，进而找出使成立的充要条件的选项.
3．（2024高三上·贵州月考）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8 B． C．28 D．
【答案】C
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：第3项的二项式系数为.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项，从而得出第3项的二项式系数.
4．（2024高三上·贵州月考）已知数列满足，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意数列满足，
由，得，，，，
由此可知数列是周期为的周期数列，所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和递推公式，从而得出数列的前几项，即可得到数列是周期，再根据数列的周期性计算可得的值.
5．（2024高三上·贵州月考）已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A． B．或0 C． D．或0
【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线互相垂直，
所以 ，解得或.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而得到关于m的方程，解方程得出m的值.
6．（2024高三上·贵州月考）已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示：
又因为质点运动最短距离为，故，
又因为，所以，所以，
设圆锥底面半径为，高为，则，解得，
所以，所以圆锥的体积.
故答案为：A.
【分析】设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥的侧面展开图，对应的弦是最短距离，再根据勾股定理和圆的周长公式求出底面圆的半径，则由勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式得出此圆锥的体积.
7．（2024高三上·贵州月考）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为，又因为有两个极值点为，
所以在上有两个不同的零点，
此时方程在上有两个不同的实根，
则，解得，
若不等式恒成立，则恒成立，
因为
，
则，
设，，则，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导函数，再根据题意可得在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实根，再利用韦达定理和根的判别式求出a的取值范围，再根据不等式恒成立，参变分离可得恒成立，利用韦达定理得到，再构造函数，，再利用导数判断函数的单调性，从而求出的取值范围.
8．（2024高三上·贵州月考）在中，内角所对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题可得，
，，当且仅当取等号，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而得出三角型函数的值域，再结合三角形中角的取值范围得出角A的值，再根据三角形内角和定理得出角B，C的值，则利用正弦定理边为角的方法，从而得出的值.
9．（2024高三上·贵州月考）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，可以作为基底，则
B．若，则
C．若，则
D．若与的夹角为，则或9
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A，若，可以作为基底，则与不共线，
当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确；
对于B，，，
，解得或，故B错误；
对于C，若，则，，故C正确；
对于D，，，或，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用与共线求出的值，即可判断选项A；根据向量的模的坐标表示得到方程，即可判断选项B；根据得出，再结合数量积的坐标表示判断出选项C；根据数量积求向量夹角公式得到方程，则求出的值，从而判断选项D，进而找出结论正确的选项.
10．（2024高三上·贵州月考）已知幂函数，则（ ）
A．
B．的定义域为
C．为非奇非偶函数
D．不等式的解集为
【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A：由幂函数知，，解得，故A正确；
对于B，C：，则的定义域为，
所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确；
对于D：由知函数在上单调递增，
则由可得，解得，
即不等式的解集为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，则求出函数解析式，从而判断出选项A、选项B、和选项C；利用单调函数的定义判断出函数的单调性，再利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解不等式得出不等式的解集，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高三上·贵州月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的第2项小于1 B．
C．为等比数列 D．中存在大于100的数
【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，当时，，解得，
当时，，解得，故A正确；
对于B，当时，，解得，
，故B错误；
对于C，假设数列为等比数列，
则，，与题意矛盾，故C错误；
对于D，因为，
所以，所以，
所以数列是递增数列，所以，
假设对任意的，，则，
取，则，与题意矛盾，
所以中存在大于100的数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据，，时，即可判断AB；利用反证法即可判断C；假设对任意的，，证明假设矛盾即可判断D.
12．（2024高三上·贵州月考）已知双曲线，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，所以双曲线的焦点在轴上，
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，
则双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】由题意可得双曲线的焦点在轴上，再根据渐近线方程可得的值，则由双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出该双曲线的离心率的值.
13．（2024高三上·贵州月考）已知，函数有最小值，则 ．
【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
令，则或（舍），
故答案为：.
【分析】利用均值不等式求最值的方法，从而得出函数的最小值为，再由换元法和一元二次方程求根公式，进而得出此时的实数的值.
14．（2024高三上·贵州月考）已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是 ．
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；
若第一次取球均取到红球，其概率为，
第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球；
第二次取到同色球概率为，
此时乙袋中恰有4个小球的概率是；
若第一次取球均取到白球，其概率为，
第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球；
第二次取到同色球概率为，
此时乙袋中恰有4个小球的概率是，
所以乙袋中恰有4个小球的概率是.
故答案为：.
【分析】两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色，再利用分类加法计数原理，从而计算出两次均取到同色球的概率，进而得出所求概率.
15．（2024高三上·贵州月考）已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因为点在抛物线上，
所以，解得，
则抛物线方程为．
（2）解：根据题意，显然直线的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，得，
若，方程只有一解，满足要求；
若，则需满足，解得，
综上所述：或.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件，代入点的坐标可求的值，从而可得抛物线的方程.
（2）设直线l的方程为，将直线与抛物线方程联立可得，分与两种情况讨论结合已知条件和判别式法，从而得出k的值.
（1）因为点在抛物线上，
所以，解得，
抛物线方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，得，
若，方程只有一解，满足要求，
若，则需满足，解得，
综上：或.
16．（2024高三上·贵州月考）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．
（1）求的值和两点间的距离；
（2）若，求折线段赛道的长度．
【答案】（1）解：由题可得，
，
当时，，即，
又因为，（千米）.
（2）解：在中，设，则，
，
，
，
，
（千米），
折线段赛道的长度为千米.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的图象可得的值和正弦型函数的最小正周期，根据正弦型函数的最小正周期公式求出的值，则得出函数的解析式，再由代入法得出点的坐标，进而根据两点距离公式得出两点间的距离.
（2）在中，利用余弦定理求出的长，再结合已知条件和求和法得出折线段赛道的长度．
（1）由题可得，
，
当时，，即，
又，（千米）；
（2）在中，设，则，
，
，
，
，
（千米），
折线段赛道的长度为千米.
17．（2024高三上·贵州月考）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）．
（1）当与重合时，证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，
则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，，
又因为，所以，
设，，则
即；
又因为，
设平面的法向量为，
则则，
取，则，
故平面的法向量可为，
又因为，设直线与平面所成角为，
由题可得，即
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理证出直线平面，从而证出，进而可得直线平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证出平面平面.
（2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令三棱柱的棱长为2，得出点的坐标，设，，结合平面向量基本定理得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值，则根据已知条件得出的值，进而得出满足要求的的值.
（1）如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，
，
又，所以，
设，，
则，
即；
又，
设平面的法向量为，
则则，取，则，
故平面的法向量可为，
又，设直线与平面所成角为，
由题可得，即，
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
18．（2024高三上·贵州月考）函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
所以，
则，
又因为，
所以在处的切线方程为：.
（2）解：因为，，
令，，
则，
因为在上单调递增，
，，
所以，使得，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
因为，，
所以，使得，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
又因为，，
所以，
所以，即的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则和复合函数求导的方法，从而求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出函数在点处的切线方程.
（2）利用函数的导函数，令，，利用求导的方法判断函数的单调性，从而判断出函数的单调性，进而求出，再根据存在，使得成立，从而求出的取值范围．
（1）因为，
所以，
则，又，
所以在处的切线方程为；
（2）因为，，
令，，则，
因为在上单调递增，，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
又，，所以，
所以，即的取值范围为．
19．（2024高三上·贵州月考）为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．
（1）经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
（2）在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5
升数 17 20 10 2 1 0
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为，
（Ⅱ），，，，，
【答案】（1）解：由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，则，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786.
（2）解：①因为，，
所以，，
，，
，
，
②因为…
则出现上述情况的概率为：
，
令，取对数得
令，则，
令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
因为，
所以，则，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出每个大肠杆菌的存活率为，设一升水中大肠杆菌个数为，则，再利用二项分布求概率公式计算出的值.
（2）①利用，，再利用泊松分布的定义计算出，从而可得结论.
②利用已知条件计算可得，令，取对数后求导得出函数的最大值，即可得出改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率.
（1）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，则，，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786；
（2）①因为，，
所以，，
，，
，
，
；
②因为…
则出现上述情况的概率为
，
令，取对数得，
令，则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
因为，所以，
则，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%.
1 / 1贵州省部分学校联考2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2024高三上·贵州月考）在复平面内，向量对应的复数为，向星对应的复数为，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·贵州月考）下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·贵州月考）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（ ）
A．8 B． C．28 D．
4．（2024高三上·贵州月考）已知数列满足，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2024高三上·贵州月考）已知直线与直线互相垂直，则为（ ）
A． B．或0 C． D．或0
6．（2024高三上·贵州月考）已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发点的最短距离为，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·贵州月考）已知函数．若有两个极值点，且恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·贵州月考）在中，内角所对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
9．（2024高三上·贵州月考）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．若，可以作为基底，则
B．若，则
C．若，则
D．若与的夹角为，则或9
10．（2024高三上·贵州月考）已知幂函数，则（ ）
A．
B．的定义域为
C．为非奇非偶函数
D．不等式的解集为
11．（2024高三上·贵州月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的第2项小于1 B．
C．为等比数列 D．中存在大于100的数
12．（2024高三上·贵州月考）已知双曲线，其渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．
13．（2024高三上·贵州月考）已知，函数有最小值，则 ．
14．（2024高三上·贵州月考）已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除颜色外完全一致．现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响，按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个小球的概率是 ．
15．（2024高三上·贵州月考）已知抛物线，过抛物线上点且斜率为的直线与抛物线仅有一个交点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求的值．
16．（2024高三上·贵州月考）如图，某市拟在长为16km的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．
（1）求的值和两点间的距离；
（2）若，求折线段赛道的长度．
17．（2024高三上·贵州月考）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点满足，点为棱上的动点（含端点）．
（1）当与重合时，证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（2024高三上·贵州月考）函数．
（1）求在点处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围．
19．（2024高三上·贵州月考）为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法．据已有数据记录，原有消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率均为，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．
（1）经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；（结果保留3位小数）
（2）在独立重复实验中，为事件在试验中出现的概率，为试验总次数，随机变量为事件发生的次数．若较小，较大，而的大小适中，不妨记，则，经计算，当时，．若随机变量的概率分布密度函数为，称服从参数为的泊松分布，记作．（其中，为自然对数底数）
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率（结果保留3位小数），并证明：；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5
升数 17 20 10 2 1 0
若每升水中含有的大肠杆菌个数X仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为多少？
参考数据：
（Ⅰ）指数函数的幂级数展开式为，
（Ⅱ），，，，，
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：因为，
所以向量对应的复数为.
故答案为：D．
【分析】根据向量三角形法则和复数的几何意义，从而得出向量对应的复数.
2．【答案】D
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：对于A，由，
得，
反之，当时，不能推出，
故是成立的充分不必要条件，故A错误；
对于B，当时，不成立，
故不是成立的充分条件，
反之，当时，成立，
故是成立的必要不充分条件，故B错误；
对于C，当时，成立，
但不成立，所以是成立的不充分条件，
反之，满足成立，但不成立，
所以是成立的不必要条件，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由在上单调递增，
可得是的充要条件，故D正确.
故答案为：D．
【分析】利用对数型函数的单调性和赋值法以及充要条件判断方法，则判断出选项A、选项B和选项C；再利用函数在上的单调性，则可判断选项D，进而找出使成立的充要条件的选项.
3．【答案】C
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：第3项的二项式系数为.
故答案为：C.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项，从而得出第3项的二项式系数.
4．【答案】C
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由题意数列满足，
由，得，，，，
由此可知数列是周期为的周期数列，所以.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和递推公式，从而得出数列的前几项，即可得到数列是周期，再根据数列的周期性计算可得的值.
5．【答案】B
【知识点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】解：因为直线与直线互相垂直，
所以 ，解得或.
故答案为：B.
【分析】根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而得到关于m的方程，解方程得出m的值.
6．【答案】A
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥侧面展开图如图所示：
又因为质点运动最短距离为，故，
又因为，所以，所以，
设圆锥底面半径为，高为，则，解得，
所以，所以圆锥的体积.
故答案为：A.
【分析】设圆锥的顶点为，记点是底面圆周上的一点，作出圆锥的侧面展开图，对应的弦是最短距离，再根据勾股定理和圆的周长公式求出底面圆的半径，则由勾股定理得出圆锥的高，再利用圆锥的体积公式得出此圆锥的体积.
7．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
因为，又因为有两个极值点为，
所以在上有两个不同的零点，
此时方程在上有两个不同的实根，
则，解得，
若不等式恒成立，则恒成立，
因为
，
则，
设，，则，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】先求出函数的导函数，再根据题意可得在上有两个不同的零点，即方程在上有两个不同的实根，再利用韦达定理和根的判别式求出a的取值范围，再根据不等式恒成立，参变分离可得恒成立，利用韦达定理得到，再构造函数，，再利用导数判断函数的单调性，从而求出的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题可得，
，，当且仅当取等号，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用余弦定理和基本不等式求最值的方法，从而得出三角型函数的值域，再结合三角形中角的取值范围得出角A的值，再根据三角形内角和定理得出角B，C的值，则利用正弦定理边为角的方法，从而得出的值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：对于A，若，可以作为基底，则与不共线，
当与共线时，，，故，可以作为基底时，，故A正确；
对于B，，，
，解得或，故B错误；
对于C，若，则，，故C正确；
对于D，，，或，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用与共线求出的值，即可判断选项A；根据向量的模的坐标表示得到方程，即可判断选项B；根据得出，再结合数量积的坐标表示判断出选项C；根据数量积求向量夹角公式得到方程，则求出的值，从而判断选项D，进而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A：由幂函数知，，解得，故A正确；
对于B，C：，则的定义域为，
所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确；
对于D：由知函数在上单调递增，
则由可得，解得，
即不等式的解集为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，则求出函数解析式，从而判断出选项A、选项B、和选项C；利用单调函数的定义判断出函数的单调性，再利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解不等式得出不等式的解集，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：对于A，由题意可知，当时，，解得，
当时，，解得，故A正确；
对于B，当时，，解得，
，故B错误；
对于C，假设数列为等比数列，
则，，与题意矛盾，故C错误；
对于D，因为，
所以，所以，
所以数列是递增数列，所以，
假设对任意的，，则，
取，则，与题意矛盾，
所以中存在大于100的数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据，，时，即可判断AB；利用反证法即可判断C；假设对任意的，，证明假设矛盾即可判断D.
12．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为，所以双曲线的焦点在轴上，
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，
则双曲线的离心率为.
故答案为：.
【分析】由题意可得双曲线的焦点在轴上，再根据渐近线方程可得的值，则由双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而得出该双曲线的离心率的值.
13．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
令，则或（舍），
故答案为：.
【分析】利用均值不等式求最值的方法，从而得出函数的最小值为，再由换元法和一元二次方程求根公式，进而得出此时的实数的值.
14．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：若两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色；
若第一次取球均取到红球，其概率为，
第一次取球后甲袋中有4个红球和2个白球，乙袋有1个红球和4个白球；
第二次取到同色球概率为，
此时乙袋中恰有4个小球的概率是；
若第一次取球均取到白球，其概率为，
第一次取球后甲袋中有3个红球和3个白球，乙袋有2个红球和3个白球；
第二次取到同色球概率为，
此时乙袋中恰有4个小球的概率是，
所以乙袋中恰有4个小球的概率是.
故答案为：.
【分析】两次取球后，乙袋中恰有4个球，则两次取球均为同色，再利用分类加法计数原理，从而计算出两次均取到同色球的概率，进而得出所求概率.
15．【答案】（1）解：因为点在抛物线上，
所以，解得，
则抛物线方程为．
（2）解：根据题意，显然直线的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，得，
若，方程只有一解，满足要求；
若，则需满足，解得，
综上所述：或.
【知识点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件，代入点的坐标可求的值，从而可得抛物线的方程.
（2）设直线l的方程为，将直线与抛物线方程联立可得，分与两种情况讨论结合已知条件和判别式法，从而得出k的值.
（1）因为点在抛物线上，
所以，解得，
抛物线方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，得，
若，方程只有一解，满足要求，
若，则需满足，解得，
综上：或.
16．【答案】（1）解：由题可得，
，
当时，，即，
又因为，（千米）.
（2）解：在中，设，则，
，
，
，
，
（千米），
折线段赛道的长度为千米.
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的图象可得的值和正弦型函数的最小正周期，根据正弦型函数的最小正周期公式求出的值，则得出函数的解析式，再由代入法得出点的坐标，进而根据两点距离公式得出两点间的距离.
（2）在中，利用余弦定理求出的长，再结合已知条件和求和法得出折线段赛道的长度．
（1）由题可得，
，
当时，，即，
又，（千米）；
（2）在中，设，则，
，
，
，
，
（千米），
折线段赛道的长度为千米.
17．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又因为为的中点，
所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，
则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，，
又因为，所以，
设，，则
即；
又因为，
设平面的法向量为，
则则，
取，则，
故平面的法向量可为，
又因为，设直线与平面所成角为，
由题可得，即
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理证出直线平面，从而证出，进而可得直线平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证出平面平面.
（2）连接，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令三棱柱的棱长为2，得出点的坐标，设，，结合平面向量基本定理得出向量的坐标，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再由数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值，则根据已知条件得出的值，进而得出满足要求的的值.
（1）如图，取中点，连接，
因为侧面为菱形，，
所以，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为为的中点，所以四边形为平行四边形，所以，
所以平面，又平面，所以平面平面；
（2）连接，因为为等边三角形，则，
所以两两垂直，则以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
令三棱柱的棱长为2，所以，
故，
，
又，所以，
设，，
则，
即；
又，
设平面的法向量为，
则则，取，则，
故平面的法向量可为，
又，设直线与平面所成角为，
由题可得，即，
整理得：，解得，
故当时，直线与平面所成角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
则，
又因为，
所以在处的切线方程为：.
（2）解：因为，，
令，，
则，
因为在上单调递增，
，，
所以，使得，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
因为，，
所以，使得，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
又因为，，
所以，
所以，即的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则和复合函数求导的方法，从而求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出函数在点处的切线方程.
（2）利用函数的导函数，令，，利用求导的方法判断函数的单调性，从而判断出函数的单调性，进而求出，再根据存在，使得成立，从而求出的取值范围．
（1）因为，
所以，
则，又，
所以在处的切线方程为；
（2）因为，，
令，，则，
因为在上单调递增，，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
，，
所以，使得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
又，，所以，
所以，即的取值范围为．
19．【答案】（1）解：由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，则，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786.
（2）解：①因为，，
所以，，
，，
，
，
②因为…
则出现上述情况的概率为：
，
令，取对数得
令，则，
令，得，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以，
因为，
所以，则，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出每个大肠杆菌的存活率为，设一升水中大肠杆菌个数为，则，再利用二项分布求概率公式计算出的值.
（2）①利用，，再利用泊松分布的定义计算出，从而可得结论.
②利用已知条件计算可得，令，取对数后求导得出函数的最大值，即可得出改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率.
（1）由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为，
设一升水中大肠杆菌个数为，则，，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786；
（2）①因为，，
所以，，
，，
，
，
；
②因为…
则出现上述情况的概率为
，
令，取对数得，
令，则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，
因为，所以，
则，
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%.
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