贵州省六盘水市纽绅中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·六枝特月考） 某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，
故购买方式共有2＋1＝3(种)．
故答案为：C.
【分析】本题考查分类加法计数原理.分两种情况：分买1本或买2本书，依次求出种数，再利用分类加法计数原理可求出答案.
2．（2024高二下·六枝特月考） 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种
故答案为：D
【分析】本题考查分步乘法计数原理.根据题意可得：每名同学共有3种选择，利用分步乘法计数乘法原理可求出答案.
3．（2024高二下·六枝特月考） (x-2y)5的展开式中x2y3的系数为（ ）
A．-80 B．80 C．-40 D．40
【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意，展开式的第项为，
今，可得第4项为，
则的系数是.
故答案为：A
【分析】本题考查二项式定理展开式的通项公式.先求出二项式展开式的通项公式，今，代入通项公式可求出答案.
4．（2024高二下·六枝特月考） 若，则的个位数字是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：，从开始一直到的个位数字都是0.
所以要求的个位数字，则只需将前面四个数加起来，
即.
所以的个位数字就是3.
故答案为：B.
【分析】本题考查排列数公式.通过计算可得：，从开始一直到的个位数字都是0，所以要求的个位数字，则只需将前面四个数加起来，据此可求出答案.
5．（2024高二下·六枝特月考）关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，C选项错误；
，D选项正确．
综上，错误的选项为C.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的性质或组合数的计算公式逐项进行分析判断，可得答案。
6．（2024高二下·六枝特月考） 从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（ ）
A．112 B．32 C．56 D．12
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：∵从8名女护士，4名男医生中选出3名，∴每个个体被抽到的概率是，
根据分层抽样要求，应选出名女护士，名男医生，
∴不同的抽取方法数为种.
故答案为：A.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.先利用分层抽样的定义和方法求出抽到的女护士与男医生的人数，据此可知不同的抽取方法数为，再进行计算可求出答案.
7．（2024高二下·六枝特月考）某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（ ）
A．216种 B．108种 C．72种 D．36种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题，先安排4名男主任医师，他们中有两位一起去了同一个医院，故有种方法，
再将3名女主任医师安排到这3家医院，有种方法，
所以根据乘法原理，共有种不同的安排方法.
故答案为：A
【分析】 先安排4名男主任医师，有种，再将3名女主任医师安排到3家不同的区级医院，有种，再结合分步乘法计数原理，即可求解出答案.
8．（2024高二下·六枝特月考）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题意知，与任意一点均不同色，
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
只用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，不同色，
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为，
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，分为同色且同色；同色且不同色；同色且不同色三种情况，再利用排列数公式分别计算得出对应的不同染色方法的种数，则根据分类加法计数原理，从而得出如果只有4种颜色可供使用的不同的染色方法种数.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·六枝特月考）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故答案为：ABD
【分析】 结合排列组合中的加法原理及乘法原理逐一判断即可得答案.
10．（2024高二下·六枝特月考） 已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A，令，得到，A正确；
B，的通项公式为，
令，得到，
令，得到，
所以，B错误；
C，令，得到，C正确；
D，令，则，又因为，
两式相减得，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查二项式定理的通项，二项式系数.采用赋值法，令，可求出，据此可判断A选项；先求出展开式的通项公式，令和可求出对应的系数，进而求出，判断B选项；令，可求出系数的和：，据此可判断C选项；令，可求出，再结合，两式相减可求出答案.
11．（2024高二下·六枝特月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表（第行从左至右每个数分别为），数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．第2024行的第1014个数最大
C．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第7个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
【答案】A,D
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导；二项式定理
【解析】【解答】对于A，，故A正确；
对于B，由图可知：第行有个数字，
如果是奇数，则第和第个数字最大且这两个数字一样大；
如果是偶数，则第个数字最大，故第2024行的第1013个数最大，故B错误；
对于C，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，其和为36；
第9行第7个数字是84，故C错误；
对于D，依题意，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用组合数运算公式计算出，则判断出选项A；如果n是奇数，则第和第个数字最大且这两个数字一样大，则判断出选项B；根据第6，7，8，9行的第7个数字分别为：1，7，28，84，则判断出选项C；根据第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，则得出，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·六枝特月考） 已知的展开式中，二项式系数之和为128，则 .
【答案】7
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：依题意，，所以.
故答案为：7
【分析】本题考查二项式系数的性质.根据二项式系数之和为：，据此可列出方程，解方程可求出的值.
13．（2024高二下·六枝特月考）马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为 ．
【答案】21
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，
进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，
所以共有种关灯方法，
故答案为：21
【分析】 根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法可求出关灯方法种数 .
14．（2024高二下·六枝特月考） 将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2，设第列的所有数的和为为中的最小值，则的最大值为 .
【答案】10
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，
（1）若5个1分布在同一列，则；
（2）若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，
故，故；
（3）若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，
故，故；
（4）若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，；
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5
2 2 2 4 5
3 3 2 4 5
3 3 3 4 5
故答案为：10
【分析】本题考查分类加法计数原理.依据5个1分布的列数的分4种情况：若5个1分布在同一列；若5个1分布在两列中；若5个1分布在三列中；若5个1分布在至少四列中；依次求出的取值范围，进而可求出的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15．（2024高二下·六枝特月考） 已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项.
【答案】（1）解：由题可得展开式的通项为，
令，则第2项的系数为，
令，则第3项的系数为，
所以第2项的系数与第3项的系数之比为，
解得：.
（2）解：由（1）知，所以展开式的通项为，
令，解得，
故常数项为.
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【分析】本题考查二项式定理的通项公式.
（1）先求出二项式展开式的通项公式，令和可求出第2项的系数与第3项的系数表达式，根据已知条件可列出方程，解方程可求出的值；
（2）根据（1）求出的值，在通项中令的指数为0，，解方程可求出的值，反代入通项公式可求出常数项.
16．（2024高二下·六枝特月考）（1）解不等式：；
（2）已知，求．
【答案】解：（1）因为，，
所以不等式可化为，
解得，
又因为，，
所以不等式的解集为．
（2）因为，，，
所以，
可化为，，
解得（舍去）或m=2，
所以．
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件和排列数公式，再解一元二次不等式求出不等式的解集.
(2)利用已知条件和组合数公式建立一元二次方程，再解一元二次方程得出满足要求的m的值，则根据组合数公式得出的值.
17．（2024高二下·六枝特月考） 2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：
（1）2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
（2）3名宇航员互不相邻的概率；
（3）2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.
【答案】（1）解：第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，
所以总共有（种）.
（2）解：先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有（种），
5人排成一排一共（种），所以所求的概率为：.
（3）解：①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，；
②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】本题考查排列组合的实际应用.
（1）本问题需要分两步完成：第一步，先排2名航天科学家；第二步，再排3名宇航员；依次求出每一步的种数，利用分步乘法计数原理可求出排法数.
（2）利用插空法：先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员求出种数，再利用全排列求出5人排成一排的种数，利用古典概型的计算公式可求出概率.
（3）根据名航天科学家之间的人数分两种情况：当2名航天科学家之间有3名宇航员时；当2名航天科学家之间有2名宇航员时；利用古典概型的计算公式可求出概率，进而求出答案.
18．（2024高二下·六枝特月考） 有0，1，2，3，4，5六个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【答案】（1）解：由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类：
第一类：0在个位时，有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数．
（2）解：组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类：
个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个；
个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个，
故满足条件的四位数有（个）．
（3）解：组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有 个．
由分类加法计数原理知，共有（个）．
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】本题考查排列和组合的实际应用，分类加法计数原理.
（1）本题需要根据个位数字的情况，分为三类：第一类：0在个位时；第二类：2在个位时；第三类：4在个位时；依次求出每一类的个数，再利用分类加法计数原理可求出四位偶数的个数；
（2） 四位偶数考虑个位数字，分两类：个位上的数字是0时；个位数上的数字是5时；依次求出每一类的个数，再利用分类加法计数原理可求出无重复数字且为5的倍数的四位数 ；
（3）从千位数字百位数字以及十位数字个位数字，分类考虑，依次求出每种情况的数的个数，再利用分类加法计数原理可求出无重复数字且比1230大的四位数.
19．（2024高二下·六枝特月考）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为等份，种植红 黄 蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
（1）如图1，圆环分成的4等份为，有多少种不同的种植方法？
（2）如图2，圆环分成的等份为，有多少种不同的种植方法？
【答案】（1）解：如图1，当与不同颜色时，有种；
当与相同颜色时，有种，
所以共有（种）.
（2）解：如图2，圆环分为等份，
对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法，
但这样的种法只能保证与不同颜色，
不能保证与不同颜色.
于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种.
另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，
这样的种法相当于对部分符合要求的种法，
记为，共有种种法，
这样就有.即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
由，，
，
故圆环分成的等份的不同种法有种.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；分类加法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件分类讨论与不同颜色和与相同颜色时的不同的种植方法，再结合分类加法计数原理，从而得出圆环分成的4等份为的不同的种植方法种数.
（2）由题意知圆环分成的等份，对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法，但这样的种法只能保证与不同颜色，但不能保证与不同颜色，在这种情况下要分类，一类是与不同色的种法，另一类是与同色的种法，再根据分类加法计数原理得出圆环分成的等份为的不同的种植方法种数.
（1）如图1，当与不同颜色时，有种；当与相同颜色时，有种，所以共有（种）.
（2）如图2，圆环分为等份，对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法，
但这样的种法只能保证与不同颜色，不能保证与不同颜色.
于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种.
另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，这样的种法相当于对部分符合要求的种法，
记为，共有种种法.
这样就有.即，
则数列是首项为，公比为的等比数列.
则.
由，，
.
故圆环分成的等份的不同种法有种.
1 / 1贵州省六盘水市纽绅中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·六枝特月考） 某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．（2024高二下·六枝特月考） 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．（2024高二下·六枝特月考） (x-2y)5的展开式中x2y3的系数为（ ）
A．-80 B．80 C．-40 D．40
4．（2024高二下·六枝特月考） 若，则的个位数字是（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
5．（2024高二下·六枝特月考）关于排列组合数，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·六枝特月考） 从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（ ）
A．112 B．32 C．56 D．12
7．（2024高二下·六枝特月考）某三甲医院组织安排4名男主任医师和3名女主任医师到3家不同的区级医院支援，要求每家区级医院至少安排2人且必须有1名女主任医师，则不同的安排方法有（ ）
A．216种 B．108种 C．72种 D．36种
8．（2024高二下·六枝特月考）如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·六枝特月考）现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
10．（2024高二下·六枝特月考） 已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·六枝特月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表（第行从左至右每个数分别为），数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．第2024行的第1014个数最大
C．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第7个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·六枝特月考） 已知的展开式中，二项式系数之和为128，则 .
13．（2024高二下·六枝特月考）马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为 ．
14．（2024高二下·六枝特月考） 将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2，设第列的所有数的和为为中的最小值，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤.
15．（2024高二下·六枝特月考） 已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项.
16．（2024高二下·六枝特月考）（1）解不等式：；
（2）已知，求．
17．（2024高二下·六枝特月考） 2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：
（1）2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；
（2）3名宇航员互不相邻的概率；
（3）2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.
18．（2024高二下·六枝特月考） 有0，1，2，3，4，5六个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
19．（2024高二下·六枝特月考）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为等份，种植红 黄 蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
（1）如图1，圆环分成的4等份为，有多少种不同的种植方法？
（2）如图2，圆环分成的等份为，有多少种不同的种植方法？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，
故购买方式共有2＋1＝3(种)．
故答案为：C.
【分析】本题考查分类加法计数原理.分两种情况：分买1本或买2本书，依次求出种数，再利用分类加法计数原理可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种
故答案为：D
【分析】本题考查分步乘法计数原理.根据题意可得：每名同学共有3种选择，利用分步乘法计数乘法原理可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由题意，展开式的第项为，
今，可得第4项为，
则的系数是.
故答案为：A
【分析】本题考查二项式定理展开式的通项公式.先求出二项式展开式的通项公式，今，代入通项公式可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式
【解析】【解答】解：，从开始一直到的个位数字都是0.
所以要求的个位数字，则只需将前面四个数加起来，
即.
所以的个位数字就是3.
故答案为：B.
【分析】本题考查排列数公式.通过计算可得：，从开始一直到的个位数字都是0，所以要求的个位数字，则只需将前面四个数加起来，据此可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】根据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；
，而，C选项错误；
，D选项正确．
综上，错误的选项为C.
故答案为：C.
【分析】根据组合数的性质或组合数的计算公式逐项进行分析判断，可得答案。
6．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：∵从8名女护士，4名男医生中选出3名，∴每个个体被抽到的概率是，
根据分层抽样要求，应选出名女护士，名男医生，
∴不同的抽取方法数为种.
故答案为：A.
【分析】本题考查排列组合的实际应用.先利用分层抽样的定义和方法求出抽到的女护士与男医生的人数，据此可知不同的抽取方法数为，再进行计算可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】由题，先安排4名男主任医师，他们中有两位一起去了同一个医院，故有种方法，
再将3名女主任医师安排到这3家医院，有种方法，
所以根据乘法原理，共有种不同的安排方法.
故答案为：A
【分析】 先安排4名男主任医师，有种，再将3名女主任医师安排到3家不同的区级医院，有种，再结合分步乘法计数原理，即可求解出答案.
8．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：由题意知，与任意一点均不同色，
只用3种颜色，即同色，且同色，此时不同染色方法的种数为；
只用4种颜色，此时可能同色，而不同色或同色，不同色，
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为；
若同色，而不同色，此时不同染色方法的种数为，
根据分类加法计数原理可得，不同染色方法的种数为.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，分为同色且同色；同色且不同色；同色且不同色三种情况，再利用排列数公式分别计算得出对应的不同染色方法的种数，则根据分类加法计数原理，从而得出如果只有4种颜色可供使用的不同的染色方法种数.
9．【答案】A,B,D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：A. 从中任选1个球，有15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法，所以该选项正确.
故答案为：ABD
【分析】 结合排列组合中的加法原理及乘法原理逐一判断即可得答案.
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：A，令，得到，A正确；
B，的通项公式为，
令，得到，
令，得到，
所以，B错误；
C，令，得到，C正确；
D，令，则，又因为，
两式相减得，则，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查二项式定理的通项，二项式系数.采用赋值法，令，可求出，据此可判断A选项；先求出展开式的通项公式，令和可求出对应的系数，进而求出，判断B选项；令，可求出系数的和：，据此可判断C选项；令，可求出，再结合，两式相减可求出答案.
11．【答案】A,D
【知识点】组合及组合数公式；组合数公式的推导；二项式定理
【解析】【解答】对于A，，故A正确；
对于B，由图可知：第行有个数字，
如果是奇数，则第和第个数字最大且这两个数字一样大；
如果是偶数，则第个数字最大，故第2024行的第1013个数最大，故B错误；
对于C，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，其和为36；
第9行第7个数字是84，故C错误；
对于D，依题意，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，
所以，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】利用组合数运算公式计算出，则判断出选项A；如果n是奇数，则第和第个数字最大且这两个数字一样大，则判断出选项B；根据第6，7，8，9行的第7个数字分别为：1，7，28，84，则判断出选项C；根据第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，则得出，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】7
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】解：依题意，，所以.
故答案为：7
【分析】本题考查二项式系数的性质.根据二项式系数之和为：，据此可列出方程，解方程可求出的值.
13．【答案】21
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，
进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，
所以共有种关灯方法，
故答案为：21
【分析】 根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法可求出关灯方法种数 .
14．【答案】10
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，
（1）若5个1分布在同一列，则；
（2）若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，
故，故；
（3）若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，
故，故；
（4）若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.
综上所述，；
另一方面，如下表的例子说明可以取到10.
1 1 1 4 5
1 1 2 4 5
2 2 2 4 5
3 3 2 4 5
3 3 3 4 5
故答案为：10
【分析】本题考查分类加法计数原理.依据5个1分布的列数的分4种情况：若5个1分布在同一列；若5个1分布在两列中；若5个1分布在三列中；若5个1分布在至少四列中；依次求出的取值范围，进而可求出的最大值.
15．【答案】（1）解：由题可得展开式的通项为，
令，则第2项的系数为，
令，则第3项的系数为，
所以第2项的系数与第3项的系数之比为，
解得：.
（2）解：由（1）知，所以展开式的通项为，
令，解得，
故常数项为.
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【分析】本题考查二项式定理的通项公式.
（1）先求出二项式展开式的通项公式，令和可求出第2项的系数与第3项的系数表达式，根据已知条件可列出方程，解方程可求出的值；
（2）根据（1）求出的值，在通项中令的指数为0，，解方程可求出的值，反代入通项公式可求出常数项.
16．【答案】解：（1）因为，，
所以不等式可化为，
解得，
又因为，，
所以不等式的解集为．
（2）因为，，，
所以，
可化为，，
解得（舍去）或m=2，
所以．
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【分析】(1)利用已知条件和排列数公式，再解一元二次不等式求出不等式的解集.
(2)利用已知条件和组合数公式建立一元二次方程，再解一元二次方程得出满足要求的m的值，则根据组合数公式得出的值.
17．【答案】（1）解：第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，
所以总共有（种）.
（2）解：先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有（种），
5人排成一排一共（种），所以所求的概率为：.
（3）解：①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，；
②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，
故.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】本题考查排列组合的实际应用.
（1）本问题需要分两步完成：第一步，先排2名航天科学家；第二步，再排3名宇航员；依次求出每一步的种数，利用分步乘法计数原理可求出排法数.
（2）利用插空法：先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员求出种数，再利用全排列求出5人排成一排的种数，利用古典概型的计算公式可求出概率.
（3）根据名航天科学家之间的人数分两种情况：当2名航天科学家之间有3名宇航员时；当2名航天科学家之间有2名宇航员时；利用古典概型的计算公式可求出概率，进而求出答案.
18．【答案】（1）解：由题意组成无重复数字的四位偶数分为三类：
第一类：0在个位时，有个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个，有种，十位和百位从余下的数字中选，有种，共有个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有个无重复数字的四位偶数．
（2）解：组成无重复数字且为5的倍数的四位数分为两类：
个位上的数字是0时，满足条件的四位数有个；
个位数上的数字是5时，满足条件的四位数有个，
故满足条件的四位数有（个）．
（3）解：组成无重复数字且比1230大的四位数分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；
第三类：形如124□，125□，共有个；
第四类：形如123□，共有 个．
由分类加法计数原理知，共有（个）．
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【分析】本题考查排列和组合的实际应用，分类加法计数原理.
（1）本题需要根据个位数字的情况，分为三类：第一类：0在个位时；第二类：2在个位时；第三类：4在个位时；依次求出每一类的个数，再利用分类加法计数原理可求出四位偶数的个数；
（2） 四位偶数考虑个位数字，分两类：个位上的数字是0时；个位数上的数字是5时；依次求出每一类的个数，再利用分类加法计数原理可求出无重复数字且为5的倍数的四位数 ；
（3）从千位数字百位数字以及十位数字个位数字，分类考虑，依次求出每种情况的数的个数，再利用分类加法计数原理可求出无重复数字且比1230大的四位数.
19．【答案】（1）解：如图1，当与不同颜色时，有种；
当与相同颜色时，有种，
所以共有（种）.
（2）解：如图2，圆环分为等份，
对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法，
但这样的种法只能保证与不同颜色，
不能保证与不同颜色.
于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种.
另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，
这样的种法相当于对部分符合要求的种法，
记为，共有种种法，
这样就有.即，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
则，
由，，
，
故圆环分成的等份的不同种法有种.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；分类加法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件分类讨论与不同颜色和与相同颜色时的不同的种植方法，再结合分类加法计数原理，从而得出圆环分成的4等份为的不同的种植方法种数.
（2）由题意知圆环分成的等份，对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法，但这样的种法只能保证与不同颜色，但不能保证与不同颜色，在这种情况下要分类，一类是与不同色的种法，另一类是与同色的种法，再根据分类加法计数原理得出圆环分成的等份为的不同的种植方法种数.
（1）如图1，当与不同颜色时，有种；当与相同颜色时，有种，所以共有（种）.
（2）如图2，圆环分为等份，对有3种不同的种法，对都有2种不同的种法，
但这样的种法只能保证与不同颜色，不能保证与不同颜色.
于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种.
另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，这样的种法相当于对部分符合要求的种法，
记为，共有种种法.
这样就有.即，
则数列是首项为，公比为的等比数列.
则.
由，，
.
故圆环分成的等份的不同种法有种.
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