四川省部分学校2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题
1．（2024高二上·四川期末）已知直线与直线平行，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行的充要条件列式求解即可.
2．（2024高二上·四川期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：A、根据题意，故A错误；
B、设，则不存在，故B正确；
C、，故C错误；
D、设，
则，解得，
则，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间基底、空间向量共面基本定理求解即可.
3．（2024高二上·四川期末）已知，是两个互相平行的平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又因为，，所以，，，平行或异面.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间线面位置关系的有关判定、性质定理判断即可.
4．（2024高二上·四川期末）直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆心，半径，则圆心M到直线l的距离，
则．
故答案为：D．
【分析】易知圆心和半径，利用点到线的距离公式结合勾股定理求解即可．
5．（2024高二上·四川期末）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，，
，，，
因为，所以，
则，解得，则．
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的线性运算以及向量的数量积运算求解即可.
6．（2024高二上·四川期末）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，
其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合，
则正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设正二十面体的内切球半径为，，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意可得正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，根据棱锥的体积公式求解即可；
7．（2024高二上·四川期末）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线AE，BE分别与y轴交于点H，G．若D为线段OH的中点，G为线段OD的中点．则点E到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点作轴，垂足为，如图所示：
由题意可得，，
则，，两式相乘可得，
即，解得．
故答案为：D.
【分析】过点E作轴，垂足为F，利用线段比例关系列式求解即可.
8．（2024高二上·四川期末）如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
设平面EFG的法向量为，则，即
令，则；
设 ，则，
因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以平面EFG，则，
所以，即，
，
当时，AP取得最小值，最小值为．
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，由题意可得平面，利用空间向量法求得，再结合距离公式及二次函数求最值即可.
9．（2024高二上·四川期末）已知空间内三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为空间内三点，，，
所以，，，
则，，，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为的面积为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据点，，得到，，，再根据向量求模公式、两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示、数量积求向量夹角公式、三角形的面积公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2024高二上·四川期末）已知正四面体的棱长为6，下列结论正确的是（ ）
A．该正四面体的高为
B．该正四面体的高为
C．该正四面体两条高的夹角的余弦值为
D．该正四面体两条高的夹角的余弦值为
【答案】A,D
【知识点】棱锥的结构特征；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：取中点，连接，过作垂直于交于点M，
过作垂直于交于点N，如图所示，
由正四面体的结构特点可知，为正四面体的高，记，
因为在底面的射影为的重心，所以，
所以，故A正确、B错误；
因为，，
所以，
因为，
所以，
又因为的夹角为且，
所以，
所以夹角的余弦值为，故C错误，D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据顶点在底面的射影为底面三角形的重心，从而计算出正四面体的高，则判断出选项A和选项B；通过余弦定理计算出的值，再结合的关系式，即可求解出两条高夹角的余弦值，则判断出选项C和选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高二上·四川期末）笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与C有3个公共点 B．若点P在第二象限，则
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为叶形线经过点，所以，
联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，故A错误；
因为，
又因为点P在第二象限，所以，，
所以，故B正确；
若点P在第四象限，则，可推出，因为
所以，
当点P在第二、四象限时，，所以；
当点P是原点或在第一象限时，易得，所以，故C正确；
由，可得，
解得，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】联立方程求解的个数，即可判断选项A，由结合，则可判断选项B；通过点在第一、第二、第四象限，逐个判断即可判断出选项C；结合选项C中得到的，再结合基本不等式求最值的方法，从而得到，求解得出，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．（2024高二上·四川期末）与圆，都相切的直线有 条．
【答案】3
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，因为，
所以圆与圆外切，则与圆，都相切的直线有3条．
故答案为：3.
【分析】先判断两圆位置关系，即可求得公切线条数.
13．（2024高二上·四川期末）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ．
【答案】0.02
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，
由题意可得，，解得，，
则椭圆的离心率．
故答案为：0.02.
【分析】根据椭圆的性质求，再利用离心率公式求离心率即可.
14．（2024高二上·四川期末）在正六棱柱中，，M，N分别为，的中点，平面CMN与直线交于点G，则 ；点A到平面CMN的距离为 ．
【答案】4；
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：连接AD，BF，设其交点为O，
由正六棱柱的性质知，，且，
取的中点P，连接OP，则平面ABCDEF．
以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，M，N分别为，的中点，
所以，，，，则，，，
设平面CMN的一个法向量为，
则令，则，
设，则，
由，解得，又因为，所以，
点A到平面CMN的距离．
故答案为：4，.
【分析】连接AD，BF，设其交点为O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面CMN的一个法向量为，设，由求得a，再利用空间两点间的距离和点到平面的距离公式求解即可.
15．（2024高二上·四川期末）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，．
（1）求点C的坐标；
（2）求的面积；
（3）求斜边上的中线所在直线的方程．
【答案】（1）解：设，
因为，所以，
显然，则，
因为，，
所以，解得，则．
（2）解：因为，，
所以的面积为．
（3）解：记AC的中点为E，则，
则直线BE的斜率为，
直线BE的方程为，即，
所以斜边上的中线所在直线的方程为．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设出点C坐标为，再利用两直线垂直，则转化为两直线的斜率之积为，即可求出的值.
（2）先求出两直角边长，再代入三角形面积公式得出三角形的面积.
（3）利用中点坐标公式得出斜边AC的中点E的坐标，再利用直线的点斜式方程，即可求出斜边中线所在直线方程．
（1）设．因为，所以，
显然，则．
因为，，
所以，解得，则．
（2），，
的面积为．
（3）记AC的中点为E，则．
直线BE的斜率为，
直线BE的方程为，即，
所以斜边上的中线所在直线的方程为．
16．（2024高二上·四川期末）已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切．
（1）求点C的坐标；
（2）求圆C的标准方程；
（3）设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值．
【答案】（1）解：因为直线l：，即，
所以直线l恒过点．
（2）解：因为圆C的圆心为．
圆C的半径，
所以圆C的标准方程为．
（3）解：由于点D在圆内部，
所以，当直线AB与直线CD垂直时，取最小值，
则，，
即的最小值为.
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由直线的点斜式方程，从而求出直线l所过的定点坐标.
（2）根据直线与圆相切位置关系判断方法，则得出圆心到直线的距离等于半径，从而求出圆的标准方程.
（3）根据点D在圆内部，从而得出当直线AB与直线CD垂直时，取最小值，再结合弦长公式得出的最小值.
（1）直线l：，即，
所以直线l恒过点．
（2）圆C的圆心为．
圆C的半径，
所以圆C的标准方程为．
（3）由于点D在圆内部，
所以当直线AB与直线CD垂直时，取最小值．．
，，即的最小值为.
17．（2024高二上·四川期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为.
（1）求AE的长度；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）解：设，则，
该四棱锥的体积为，
解得，即，，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，
则，．
若，则，解得，即E为PC的中点，
连接AC，在中，则.
（2）解：由（1）得，，，
设平面ABE的法向量为，
则即取，得，
设平面PBE的法向量为，
则即取，得，
设二面角的大小为，
则，所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据锥体体积公式求得的长，再根据已知条件建立空间直角坐标系，设，利用和向量垂直的坐标运算，从而求得的值，则根据勾股定理得出AE的长度.
（2）由（1）得，，，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面ABE和平面PBE的法向量，再利用数量积求二面角平面角的余弦值的公式，则利用同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值.
（1）设，则，该四棱锥的体积为，
解得，即，．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，，，
设，则，．
若，则，解得，即E为PC的中点．
连接AC，在中，；
（2）由（1）得，，．
设平面ABE的法向量为，
则即取，得．
设平面PBE的法向量为，
则即取，得．
设二面角的大小为，
则，所以，
所以二面角的正弦值为．
18．（2024高二上·四川期末）已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．
【答案】（1）解：因为是椭圆C的一个顶点，所以，
当点与的左顶点或右顶点重合时，
的面积最大，其为等边三角形，满足，
又因为，所以，，
故椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，
由得，
又因为，，
所以，，
即点，所以直线的方程为，
令，得，
又因为，所以直线的方程为，
令，得，
延长交于，延长交于，
由，
得，则，
同理由，
得，则，
因为，，
显然，所以．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用是椭圆C的一个顶点得出a的值，再通过点与的左顶点或右顶点重合时，从而得出的面积最大，其为等边三角形，满足，利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b，c的值，即可得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为，延长交于，延长交于，利用数量积得出，，再利用，和，从而证出.
（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以．
当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．
故椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，．
由得，
，，
所以，，
即点，
所以直线的方程为．
令，得．
又，所以直线的方程为．
令，得．
延长交于，延长交于．
由，得，则．
同理由，得，则．
因为，，显然，
所以．
19．（2024高二上·四川期末）空间直角坐标系中，任意直线l由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为．特殊地，平面xOy的一般式方程为，其法向量为．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为
（1）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积；
（2）已知点，直线．若平面，，求的一般式方程；
（3）已知三棱柱的顶点，平面ABC的方程为，直线的方程为，平面的方程为．求直线与直线BC所成角的余弦值．
【答案】（1）解：由已知条件知，S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，
则集合M中所有点构成的几何体S的体积为．
（2）解：直线过点，方向向量为，，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以平面的点法式方程为，
一般式方程为．
（3）解：联立解得即，
因为，所以，
由平面的方程知，其法向量为，
又因为平面，
所以，即，解得，
所以平面的方程为，
因为直线BC上的点满足化简得，
所以直线BC的一个方向向量为，
取直线BC的一个方向向量为，
则，
即直线与直线BC所成角的余弦值为．
【知识点】平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由已知条件知S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，再根据长方体的体积公式得出集合M中所有点构成的几何体S的体积.
（2）先求出平面的法向量，再根据新定义，即可得出平面的点法式方程.
（3）先求出，结合已知条件求得平面的方程为，再根据新定义求出直线BC的一个方向向量为，利用数量积求向量夹角公式得出直线与直线BC所成角的余弦值．
（1）由条件知，S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，
则体积．
（2）直线过点，方向向量为，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以平面的点法式方程为，
一般式方程为．
（3）联立解得即．
又，所以．
由平面的方程知，其法向量为．因为平面，
所以，即，解得，
所以平面的方程为．
直线BC上的点满足化简得，
所以直线BC的一个方向向量为，
取直线BC的一个方向向量为．
则，即直线与直线BC所成角的余弦值为．
1 / 1四川省部分学校2024-2025学年高二上学期12月期末考试数学试题
1．（2024高二上·四川期末）已知直线与直线平行，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．（2024高二上·四川期末）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·四川期末）已知，是两个互相平行的平面，，，是不重合的三条直线，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·四川期末）直线与圆交于A，B两点，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2024高二上·四川期末）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）
A． B．6 C． D．
6．（2024高二上·四川期末）如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·四川期末）已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，D为C的上顶点，O为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，直线AE，BE分别与y轴交于点H，G．若D为线段OH的中点，G为线段OD的中点．则点E到x轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·四川期末）如图，正方形的棱长为4，G，E分别是，的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·四川期末）已知空间内三点，，，则（ ）
A． B．
C． D．的面积为
10．（2024高二上·四川期末）已知正四面体的棱长为6，下列结论正确的是（ ）
A．该正四面体的高为
B．该正四面体的高为
C．该正四面体两条高的夹角的余弦值为
D．该正四面体两条高的夹角的余弦值为
11．（2024高二上·四川期末）笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点在C上，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与C有3个公共点 B．若点P在第二象限，则
C． D．
12．（2024高二上·四川期末）与圆，都相切的直线有 条．
13．（2024高二上·四川期末）已知地球运行的轨道是椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，若地球到太阳的最大和最小距离分别为，，则这个椭圆的离心率为 ．
14．（2024高二上·四川期末）在正六棱柱中，，M，N分别为，的中点，平面CMN与直线交于点G，则 ；点A到平面CMN的距离为 ．
15．（2024高二上·四川期末）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，．
（1）求点C的坐标；
（2）求的面积；
（3）求斜边上的中线所在直线的方程．
16．（2024高二上·四川期末）已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切．
（1）求点C的坐标；
（2）求圆C的标准方程；
（3）设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值．
17．（2024高二上·四川期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，，E为线段PC上一点，，且该四棱锥的体积为.
（1）求AE的长度；
（2）求二面角的正弦值.
18．（2024高二上·四川期末）已知，分别为椭圆的上、下焦点，是椭圆的一个顶点，是椭圆C上的动点，，，三点不共线，当的面积最大时，其为等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为的中点，为坐标原点，直线交直线于点，过点作交直线于点，证明：．
19．（2024高二上·四川期末）空间直角坐标系中，任意直线l由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为．特殊地，平面xOy的一般式方程为，其法向量为．若两个平面相交，则交线的一般式方程可以表示为
（1）若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求S的体积；
（2）已知点，直线．若平面，，求的一般式方程；
（3）已知三棱柱的顶点，平面ABC的方程为，直线的方程为，平面的方程为．求直线与直线BC所成角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据两直线平行的充要条件列式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】解：A、根据题意，故A错误；
B、设，则不存在，故B正确；
C、，故C错误；
D、设，
则，解得，
则，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据空间基底、空间向量共面基本定理求解即可.
3．【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：因为，，所以，
又因为，，所以，，，平行或异面.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据空间线面位置关系的有关判定、性质定理判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知圆心，半径，则圆心M到直线l的距离，
则．
故答案为：D．
【分析】易知圆心和半径，利用点到线的距离公式结合勾股定理求解即可．
5．【答案】C
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：已知，，
，，，
因为，所以，
则，解得，则．
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的线性运算以及向量的数量积运算求解即可.
6．【答案】C
【知识点】球内接多面体；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，
其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合，
则正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，设正二十面体的内切球半径为，，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意可得正二十面体体积等于以球心为顶点的二十个正三棱锥的体积，正三棱锥的高即为正二十面体内切求半径，根据棱锥的体积公式求解即可；
7．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点作轴，垂足为，如图所示：
由题意可得，，
则，，两式相乘可得，
即，解得．
故答案为：D.
【分析】过点E作轴，垂足为F，利用线段比例关系列式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面的位置关系
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
设平面EFG的法向量为，则，即
令，则；
设 ，则，
因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以平面EFG，则，
所以，即，
，
当时，AP取得最小值，最小值为．
故答案为：D.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，由题意可得平面，利用空间向量法求得，再结合距离公式及二次函数求最值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为空间内三点，，，
所以，，，
则，，，故A正确；
因为，所以，故B正确；
因为，故C错误；
因为的面积为，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】根据点，，得到，，，再根据向量求模公式、两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示、数量积求向量夹角公式、三角形的面积公式，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】棱锥的结构特征；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：取中点，连接，过作垂直于交于点M，
过作垂直于交于点N，如图所示，
由正四面体的结构特点可知，为正四面体的高，记，
因为在底面的射影为的重心，所以，
所以，故A正确、B错误；
因为，，
所以，
因为，
所以，
又因为的夹角为且，
所以，
所以夹角的余弦值为，故C错误，D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据顶点在底面的射影为底面三角形的重心，从而计算出正四面体的高，则判断出选项A和选项B；通过余弦定理计算出的值，再结合的关系式，即可求解出两条高夹角的余弦值，则判断出选项C和选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为叶形线经过点，所以，
联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，故A错误；
因为，
又因为点P在第二象限，所以，，
所以，故B正确；
若点P在第四象限，则，可推出，因为
所以，
当点P在第二、四象限时，，所以；
当点P是原点或在第一象限时，易得，所以，故C正确；
由，可得，
解得，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】联立方程求解的个数，即可判断选项A，由结合，则可判断选项B；通过点在第一、第二、第四象限，逐个判断即可判断出选项C；结合选项C中得到的，再结合基本不等式求最值的方法，从而得到，求解得出，则判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】3
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定；两圆的公切线条数及方程的确定
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，因为，
所以圆与圆外切，则与圆，都相切的直线有3条．
故答案为：3.
【分析】先判断两圆位置关系，即可求得公切线条数.
13．【答案】0.02
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设该椭圆的长轴长为2a，焦距为2c，
由题意可得，，解得，，
则椭圆的离心率．
故答案为：0.02.
【分析】根据椭圆的性质求，再利用离心率公式求离心率即可.
14．【答案】4；
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量
【解析】【解答】解：连接AD，BF，设其交点为O，
由正六棱柱的性质知，，且，
取的中点P，连接OP，则平面ABCDEF．
以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为，M，N分别为，的中点，
所以，，，，则，，，
设平面CMN的一个法向量为，
则令，则，
设，则，
由，解得，又因为，所以，
点A到平面CMN的距离．
故答案为：4，.
【分析】连接AD，BF，设其交点为O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面CMN的一个法向量为，设，由求得a，再利用空间两点间的距离和点到平面的距离公式求解即可.
15．【答案】（1）解：设，
因为，所以，
显然，则，
因为，，
所以，解得，则．
（2）解：因为，，
所以的面积为．
（3）解：记AC的中点为E，则，
则直线BE的斜率为，
直线BE的方程为，即，
所以斜边上的中线所在直线的方程为．
【知识点】直线的一般式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）设出点C坐标为，再利用两直线垂直，则转化为两直线的斜率之积为，即可求出的值.
（2）先求出两直角边长，再代入三角形面积公式得出三角形的面积.
（3）利用中点坐标公式得出斜边AC的中点E的坐标，再利用直线的点斜式方程，即可求出斜边中线所在直线方程．
（1）设．因为，所以，
显然，则．
因为，，
所以，解得，则．
（2），，
的面积为．
（3）记AC的中点为E，则．
直线BE的斜率为，
直线BE的方程为，即，
所以斜边上的中线所在直线的方程为．
16．【答案】（1）解：因为直线l：，即，
所以直线l恒过点．
（2）解：因为圆C的圆心为．
圆C的半径，
所以圆C的标准方程为．
（3）解：由于点D在圆内部，
所以，当直线AB与直线CD垂直时，取最小值，
则，，
即的最小值为.
【知识点】恒过定点的直线；圆的标准方程；直线与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）由直线的点斜式方程，从而求出直线l所过的定点坐标.
（2）根据直线与圆相切位置关系判断方法，则得出圆心到直线的距离等于半径，从而求出圆的标准方程.
（3）根据点D在圆内部，从而得出当直线AB与直线CD垂直时，取最小值，再结合弦长公式得出的最小值.
（1）直线l：，即，
所以直线l恒过点．
（2）圆C的圆心为．
圆C的半径，
所以圆C的标准方程为．
（3）由于点D在圆内部，
所以当直线AB与直线CD垂直时，取最小值．．
，，即的最小值为.
17．【答案】（1）解：设，则，
该四棱锥的体积为，
解得，即，，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设，
则，．
若，则，解得，即E为PC的中点，
连接AC，在中，则.
（2）解：由（1）得，，，
设平面ABE的法向量为，
则即取，得，
设平面PBE的法向量为，
则即取，得，
设二面角的大小为，
则，所以，
所以二面角的正弦值为．
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据锥体体积公式求得的长，再根据已知条件建立空间直角坐标系，设，利用和向量垂直的坐标运算，从而求得的值，则根据勾股定理得出AE的长度.
（2）由（1）得，，，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面ABE和平面PBE的法向量，再利用数量积求二面角平面角的余弦值的公式，则利用同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值.
（1）设，则，该四棱锥的体积为，
解得，即，．
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
，，，，
设，则，．
若，则，解得，即E为PC的中点．
连接AC，在中，；
（2）由（1）得，，．
设平面ABE的法向量为，
则即取，得．
设平面PBE的法向量为，
则即取，得．
设二面角的大小为，
则，所以，
所以二面角的正弦值为．
18．【答案】（1）解：因为是椭圆C的一个顶点，所以，
当点与的左顶点或右顶点重合时，
的面积最大，其为等边三角形，满足，
又因为，所以，，
故椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，
由得，
又因为，，
所以，，
即点，所以直线的方程为，
令，得，
又因为，所以直线的方程为，
令，得，
延长交于，延长交于，
由，
得，则，
同理由，
得，则，
因为，，
显然，所以．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用是椭圆C的一个顶点得出a的值，再通过点与的左顶点或右顶点重合时，从而得出的面积最大，其为等边三角形，满足，利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出b，c的值，即可得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为，延长交于，延长交于，利用数量积得出，，再利用，和，从而证出.
（1）因为是椭圆C的一个顶点，所以．
当点与的左顶点或右顶点重合时，的面积最大，其为等边三角形，满足，又因为，所以，．
故椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，．
由得，
，，
所以，，
即点，
所以直线的方程为．
令，得．
又，所以直线的方程为．
令，得．
延长交于，延长交于．
由，得，则．
同理由，得，则．
因为，，显然，
所以．
19．【答案】（1）解：由已知条件知，S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，
则集合M中所有点构成的几何体S的体积为．
（2）解：直线过点，方向向量为，，
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以平面的点法式方程为，
一般式方程为．
（3）解：联立解得即，
因为，所以，
由平面的方程知，其法向量为，
又因为平面，
所以，即，解得，
所以平面的方程为，
因为直线BC上的点满足化简得，
所以直线BC的一个方向向量为，
取直线BC的一个方向向量为，
则，
即直线与直线BC所成角的余弦值为．
【知识点】平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离；柱体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由已知条件知S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，再根据长方体的体积公式得出集合M中所有点构成的几何体S的体积.
（2）先求出平面的法向量，再根据新定义，即可得出平面的点法式方程.
（3）先求出，结合已知条件求得平面的方程为，再根据新定义求出直线BC的一个方向向量为，利用数量积求向量夹角公式得出直线与直线BC所成角的余弦值．
（1）由条件知，S是一个长为2，宽为5，高为2的长方体，
则体积．
（2）直线过点，方向向量为，．
设平面的法向量为，
则，即，取，得，
所以平面的点法式方程为，
一般式方程为．
（3）联立解得即．
又，所以．
由平面的方程知，其法向量为．因为平面，
所以，即，解得，
所以平面的方程为．
直线BC上的点满足化简得，
所以直线BC的一个方向向量为，
取直线BC的一个方向向量为．
则，即直线与直线BC所成角的余弦值为．
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