贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题
1．（2024高二下·六盘水期中）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：将数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故答案为：D．
【分析】先将数据从小到大排列，再结合数据的中位数、众数的定义，从而得出这组数据的众数和中位数.
2．（2024高二下·六盘水期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，，
则.
故答案为：A.
【分析】由列举法表示出集合M，再利用交集的运算法则得出集合.
3．（2024高二下·六盘水期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：根据题意，椭圆中，
根据椭圆定义，的周长为
.
故答案为：C.
【分析】由椭圆定义和三角形的周长公式，从而求出焦点三角形的周长.
4．（2024高二下·六盘水期中）设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，公差，得，
则，所以，解得k=5.故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出等差数列的通项公式，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列的前n项和，进而作差得出k的值.
5．（2024高二下·六盘水期中）已知，，，则（ ）
A．6 B．7 C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：，再根据模长公式结合数量积的运算律，从而得出的值.
6．（2024高二下·六盘水期中）已知函数，是最小正周期为的奇函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦函数的性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由函数，的最小正周期为
所以，
则
又f(x)为奇函数，所以，
所以，
所以；
；
故答案为：B.
【分析】先根据题意求出f(x)的解析式，对化简即可得到答案.
7．（2024高二下·六盘水期中）现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
.
故答案为：C.
【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
8．（2024高二下·六盘水期中）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：由，
则，，；
画出函数图象如下所示：
令，则
平移直线y=-x，
当与相切时，4+z有最大值为，
此时有最小值为；
当无限靠近y=-x时，取到另一个最值，4+z=0
即，但取空心.
故答案为：C.
【分析】将等式进行变形，并画出图象，利用线性规划的知识求出结果即可.
9．（2024高二下·六盘水期中）已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部是
C． D．对应的点在第一象限
【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：，A错误；
对于B：， 则虚部是，B正确；
对于C：由知C正确；
对于D：，在复平面上的点为（3，2）为第一象限，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数的知识对每一个选项逐一判断即可得到答案.
10．（2024高二下·六盘水期中）同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：
由题意，函数满足：①为偶函数；②；③有最大值，
对于A中，函数，由余弦函数的性质，可得，满足①②③，所以A符合题意；
对于B中，函数，由，不满足②；，所以B不符合题意；
对于C中，函数，可知当时，有，不满足②；所以C不符合题意；
对于D中，，函数为偶函数，由，可得，满足②，且，所以D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解.
11．（2024高二下·六盘水期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．0是的极值点
C．在上单调递增 D．的最小值为0
【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由得：
，
即，
所以，
令，根据单调性与奇偶性的性质：
与两个函数都是奇函数且单调递增，
所以是奇函数且单调递增；
等价于，
所以，
而h(x)为奇函数，
所以，
所以，
即，
即，则A正确；
根据选项A知：，
则当时，，即函数此时单调递减；
当时，即此时函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B，C正确；
所以取到函数的最小值，即，所以D错误.
故答案为：ABC.
【分析】观察等式结构构造函数，先确定其奇偶性及单调性可得出解析式确定A项，利用导数研究及单调性可判定B、C、D选项.
12．（2024高二下·六盘水期中）已知，.则 .
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用空间向量加法的坐标表示和向量的模的坐标公式，从而计算得出的值.
13．（2024高二下·六盘水期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何 ”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有 斛.
【答案】10
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为尺，则，解得，
所以圆锥的体积为立方尺，
所以堆放的米约有斛.
故答案为：10.
【分析】利用已知条件求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式得到圆锥的体积，利用体积估算出堆放的米的斛数.
14．（2024高二下·六盘水期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：令，
则，
令；
由函数在上仅有两个零点，
只需在上仅有两个交点；
作图，画出图象分析：
记图象的公切点为，
即同时在图象上，
即在点A处的切线斜率相等，
则有，
，
所以
所以，
由为向右平移a个单位，
当移到B点是刚好为3个交点，及a平移只能是A到B之间，
所以.
故答案为：.
【分析】零点问题转化为的交点问题，画出函数图象进行平移分析即可得到答案.
15．（2024高二下·六盘水期中）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
【答案】解：（1）因为可能取的值为0，1，2.
，
所以，的分布列为
0 1 2
P
（2）由（1）得出的数学期望为.
（3）由（1）得出“所选3人中女生人数≤1”的概率为
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用随机变量的可能取值为0，1，2，再结合组合数公式结合古典概型概率公式，从而求出各随机变量对应的概率，进而可得随机变量的分布列.
（2）结合(1)结合随机变量的期望公式，从而可得随机变量的数学期望.
（3）利用互斥事件概率的加法公式，从而可得“所选3人中女生人数”的概率.
16．（2024高二下·六盘水期中）如图，长方体中，，点M是棱的中点，点E在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值
【答案】（1）证明：由的中点为，连接交于点，连接，
因为，，
则点E是CM的中点，O是AC的中点，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系，
依题意，则，，，，
，，，
设向量是平面的法向量，
则，即，
令，则，，，
因为是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由的中点为，连接交于点，再连接，由可证平面.
（2）利用建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值.
（1）由已知的中点为，连接交于点，连接，
因为，，
得点E是CM的中点，O是AC的中点，所以，
平面，平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.
依题设，，，，，.
，，
设向量是平面的法向量，
则，即，
令，则，，
由已知是平面的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，.
17．（2024高二下·六盘水期中）已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2）解：，
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性；
（2）分离参数，，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解即可得到答案.
18．（2024高二下·六盘水期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线：相切.
（1）求的值；
（2）已知点，在抛物线上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.
【答案】（1）解：因为直线与抛物线C：相切，
联立
可得，
所以，解得（舍去）或.
所以
（2）解：设直线的方程：，，，
联立方程，得
则，
因为，即，
整理得
即，得，
，，符合题意，
则四边形的面积
当时，
所以直线方程：.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直线与曲线相切，联立方程利用判别式求解即可；
（2）先联立方程组利用韦达定理整理出，进而化简，得到t的值，进而求解的面积，利用不等式的知识求解处最值，进而得出结果.
19．（2024高二下·六盘水期中）若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
【答案】（1）解：由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为
（2）解：设，其中，且，
因为，则，，，，
则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，
在数列中，；
在数列中，，
因为，可知，
即项数m越大，数列和的距离越大，
由得：，
可知：若时，，又因为
可知：若时，，
综上所述：所以m的最大值为3469.
（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，，
则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个：
，
那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的，
设这个数列分别为；
，
，
其中，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，
则在和中，中至少有三个成立，
不妨设，
由题意，中一个等于0，因为另一个等于1，又因为或1，
则得和中必有一个成立，
同理可得：和中必有一个成立，
和中必有一个成立，
即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，
则和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，
即假设不成立，所以T中的元素个数小于或等于16.
【知识点】函数的周期性；数列的概念及简单表示法；数列的应用
【解析】【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离.
（2）由题意分析可知集合A中数列项的周期性，从而可得，再结合数列的周期性求得m的最大值.
（3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出，从而求得和中必有一个成立，再与已知条件矛盾，即可证出集合T中的元素个数小于或等于16.
（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为.
（2）设，其中，且，
因为，则，，，，
则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，
在数列中，；
在数列中，；
因为，可知，
即项数m越大，数列和的距离越大，
由得：，
可知：若时，；
又因为，
可知：若时，；
综上所述：所以m的最大值为3469.
（3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，，
则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个：
，
那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的，
设这个数列分别为；
；
，
其中，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立，
不妨设，由题意，中一个等于0，而另一个等于1，
又因或1，于是得和中必有一个成立，
同理可得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，
即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，
从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立，
所以T中的元素个数小于或等于16.
1 / 1贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期5月期中质量监测数学试题
1．（2024高二下·六盘水期中）某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）．
A．5，7 B．6，7 C．8，5 D．8，7
2．（2024高二下·六盘水期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二下·六盘水期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（2024高二下·六盘水期中）设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=
A．8 B．7 C．6 D．5
5．（2024高二下·六盘水期中）已知，，，则（ ）
A．6 B．7 C． D．
6．（2024高二下·六盘水期中）已知函数，是最小正周期为的奇函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·六盘水期中）现有参加中国——东盟妥乐峰会志愿者的报名表，分装2袋，第一袋有6名男生和4名女生的报名表，第二袋有8名男生和2名女生的报名表.随机选择一袋，然后从中随机抽取2份，则恰好抽到男生和女生的报名表各一份的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·六盘水期中）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·六盘水期中）已知是虚数单位，是复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的虚部是
C． D．对应的点在第一象限
10．（2024高二下·六盘水期中）同时满足：①为偶函数，②，③有最大值，这三个条件的选项有（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·六盘水期中）已知函数图象上的点与方程的解一一对应，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．0是的极值点
C．在上单调递增 D．的最小值为0
12．（2024高二下·六盘水期中）已知，.则 .
13．（2024高二下·六盘水期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何 ”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有 斛.
14．（2024高二下·六盘水期中）已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是 .
15．（2024高二下·六盘水期中）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.
（1）求的分布列；
（2）求的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数”的概率.
16．（2024高二下·六盘水期中）如图，长方体中，，点M是棱的中点，点E在上，且.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值
17．（2024高二下·六盘水期中）已知函数
（1）当时，求函数的最小值；
（2），，求的取值范围.
18．（2024高二下·六盘水期中）在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线：相切.
（1）求的值；
（2）已知点，在抛物线上，A，B分别位于第一象限和第四象限，且，过A，B分别作直线的垂线，垂足分别为，，当四边形面积取最小值时，求直线的方程.
19．（2024高二下·六盘水期中）若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
（1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；
（3）记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：将数据由小到大排列为5，5，6，7，8，8，8，
因此，这组数据的众数为8，中位数为7．
故答案为：D．
【分析】先将数据从小到大排列，再结合数据的中位数、众数的定义，从而得出这组数据的众数和中位数.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：根据题意，，
则.
故答案为：A.
【分析】由列举法表示出集合M，再利用交集的运算法则得出集合.
3．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】解：根据题意，椭圆中，
根据椭圆定义，的周长为
.
故答案为：C.
【分析】由椭圆定义和三角形的周长公式，从而求出焦点三角形的周长.
4．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，公差，得，
则，所以，解得k=5.故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出等差数列的通项公式，再结合等差数列前n项和公式得出等差数列的前n项和，进而作差得出k的值.
5．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】由题意可知：，再根据模长公式结合数量积的运算律，从而得出的值.
6．【答案】B
【知识点】二倍角的正弦公式；余弦函数的性质；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由函数，的最小正周期为
所以，
则
又f(x)为奇函数，所以，
所以，
所以；
；
故答案为：B.
【分析】先根据题意求出f(x)的解析式，对化简即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
.
故答案为：C.
【分析】设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
8．【答案】C
【知识点】函数的图象与图象变化；分段函数的解析式求法及其图象的作法；简单线性规划的应用
【解析】【解答】解：由，
则，，；
画出函数图象如下所示：
令，则
平移直线y=-x，
当与相切时，4+z有最大值为，
此时有最小值为；
当无限靠近y=-x时，取到另一个最值，4+z=0
即，但取空心.
故答案为：C.
【分析】将等式进行变形，并画出图象，利用线性规划的知识求出结果即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A：，A错误；
对于B：， 则虚部是，B正确；
对于C：由知C正确；
对于D：，在复平面上的点为（3，2）为第一象限，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用复数的知识对每一个选项逐一判断即可得到答案.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的图象与图象变化；函数的最大（小）值；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：
由题意，函数满足：①为偶函数；②；③有最大值，
对于A中，函数，由余弦函数的性质，可得，满足①②③，所以A符合题意；
对于B中，函数，由，不满足②；，所以B不符合题意；
对于C中，函数，可知当时，有，不满足②；所以C不符合题意；
对于D中，，函数为偶函数，由，可得，满足②，且，所以D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】根据题意，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解.
11．【答案】A,B,C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：由得：
，
即，
所以，
令，根据单调性与奇偶性的性质：
与两个函数都是奇函数且单调递增，
所以是奇函数且单调递增；
等价于，
所以，
而h(x)为奇函数，
所以，
所以，
即，
即，则A正确；
根据选项A知：，
则当时，，即函数此时单调递减；
当时，即此时函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B，C正确；
所以取到函数的最小值，即，所以D错误.
故答案为：ABC.
【分析】观察等式结构构造函数，先确定其奇偶性及单调性可得出解析式确定A项，利用导数研究及单调性可判定B、C、D选项.
12．【答案】
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：根据题意，，
所以.
故答案为：.
【分析】利用空间向量加法的坐标表示和向量的模的坐标公式，从而计算得出的值.
13．【答案】10
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为尺，则，解得，
所以圆锥的体积为立方尺，
所以堆放的米约有斛.
故答案为：10.
【分析】利用已知条件求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式得到圆锥的体积，利用体积估算出堆放的米的斛数.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：令，
则，
令；
由函数在上仅有两个零点，
只需在上仅有两个交点；
作图，画出图象分析：
记图象的公切点为，
即同时在图象上，
即在点A处的切线斜率相等，
则有，
，
所以
所以，
由为向右平移a个单位，
当移到B点是刚好为3个交点，及a平移只能是A到B之间，
所以.
故答案为：.
【分析】零点问题转化为的交点问题，画出函数图象进行平移分析即可得到答案.
15．【答案】解：（1）因为可能取的值为0，1，2.
，
所以，的分布列为
0 1 2
P
（2）由（1）得出的数学期望为.
（3）由（1）得出“所选3人中女生人数≤1”的概率为
.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)利用随机变量的可能取值为0，1，2，再结合组合数公式结合古典概型概率公式，从而求出各随机变量对应的概率，进而可得随机变量的分布列.
（2）结合(1)结合随机变量的期望公式，从而可得随机变量的数学期望.
（3）利用互斥事件概率的加法公式，从而可得“所选3人中女生人数”的概率.
16．【答案】（1）证明：由的中点为，连接交于点，连接，
因为，，
则点E是CM的中点，O是AC的中点，
所以，平面，平面，
所以平面.
（2）解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系，
依题意，则，，，，
，，，
设向量是平面的法向量，
则，即，
令，则，，，
因为是平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由的中点为，连接交于点，再连接，由可证平面.
（2）利用建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面的夹角的余弦值.
（1）由已知的中点为，连接交于点，连接，
因为，，
得点E是CM的中点，O是AC的中点，所以，
平面，平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系.
依题设，，，，，.
，，
设向量是平面的法向量，
则，即，
令，则，，
由已知是平面的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，.
17．【答案】（1）解：当时，
，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
（2）解：，
令，.
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
即的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数单调性；
（2）分离参数，，将恒成立问题转化为最值问题，利用导数求解即可得到答案.
18．【答案】（1）解：因为直线与抛物线C：相切，
联立
可得，
所以，解得（舍去）或.
所以
（2）解：设直线的方程：，，，
联立方程，得
则，
因为，即，
整理得
即，得，
，，符合题意，
则四边形的面积
当时，
所以直线方程：.
【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）直线与曲线相切，联立方程利用判别式求解即可；
（2）先联立方程组利用韦达定理整理出，进而化简，得到t的值，进而求解的面积，利用不等式的知识求解处最值，进而得出结果.
19．【答案】（1）解：由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为
（2）解：设，其中，且，
因为，则，，，，
则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，
在数列中，；
在数列中，，
因为，可知，
即项数m越大，数列和的距离越大，
由得：，
可知：若时，，又因为
可知：若时，，
综上所述：所以m的最大值为3469.
（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，，
则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个：
，
那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的，
设这个数列分别为；
，
，
其中，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，
则在和中，中至少有三个成立，
不妨设，
由题意，中一个等于0，因为另一个等于1，又因为或1，
则得和中必有一个成立，
同理可得：和中必有一个成立，
和中必有一个成立，
即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，
则和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，
即假设不成立，所以T中的元素个数小于或等于16.
【知识点】函数的周期性；数列的概念及简单表示法；数列的应用
【解析】【分析】（1）由数列距离的定义直接求出所给两个数列的距离.
（2）由题意分析可知集合A中数列项的周期性，从而可得，再结合数列的周期性求得m的最大值.
（3）假设T中的元素个数大于等于17个，设出，从而求得和中必有一个成立，再与已知条件矛盾，即可证出集合T中的元素个数小于或等于16.
（1）由题意可知：数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为.
（2）设，其中，且，
因为，则，，，，
则有A中数列的项呈周期性重复，且间隔4项重复一次，
在数列中，；
在数列中，；
因为，可知，
即项数m越大，数列和的距离越大，
由得：，
可知：若时，；
又因为，
可知：若时，；
综上所述：所以m的最大值为3469.
（3）假设T中的元素个数大于等于17个，在数列中，，
则仅由数列前三项组成的数组有且仅有8个：
，
那么这17个元素(即数列)之中必有三个具有相同的，
设这个数列分别为；
；
，
其中，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，则在和中，中至少有三个成立，
不妨设，由题意，中一个等于0，而另一个等于1，
又因或1，于是得和中必有一个成立，
同理可得：和中必有一个成立，和中必有一个成立，
即“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立，
从而得和中必有一个成立，与T中任何两个元素的距离大于或等于3矛盾，即假设不成立，
所以T中的元素个数小于或等于16.
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