吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第五高级中学2024-2025学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷
1．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）在直角坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知圆与轴交于两点，点在直线上，过圆上的任意两点分别向作垂线，垂足为，以下说法错误的是（ ）
A．的最大值为
B．当为直径时，四边形面积的最大值为16
C．的最小值为
D．为定值
8．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知椭圆的焦距为，左 右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.点为椭圆上的动点，若，则以下说法正确的是（ ）
A．成等差数列
B．椭圆的离心率
C．以为圆心，为半径的圆与椭圆有3个交点
D．的外接圆半径的最小值为
9．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）下列说法正确的是（ ）
A．若向量共线，则与所在直线平行
B．“”是“”的必要不充分条件
C．在空间直角坐标系中，点关于面的对称点坐标为
D．已知空间向量，则对于空间中任意一个向量总存在实数，使得
10．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球的体积为
11．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的是（ ）
A．当时，是一个点
B．当平面时，是一条线段
C．当直线与平面所成的角为时，是圆
D．当直线与平面所成的角为时，是双曲线
12．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）若直线被两条直线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 .
13．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为 .
14．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，在边长为的正内部的两圆，与外切，且与两边相切，与两边相切，则两圆的半径之和的最小值为 .
15．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，.
（1）若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）
（2）若是的中点，且，求线段的长.
16．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求.
17．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）数列满足，．
（1）求、、 ；
（2）是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由．
18．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，是以为直径的圆上一点，，等腰梯形所在的平面垂直于所在的平面，且.
（1）求与所成的角：
（2）若异面直线和所成的角为，求二面角的平面角的正切值.
19．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值；
（3）直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点， ，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列的前5项依次为，即，，，，，
所以，数列的一个通项公式为．
故答案为：C.
【分析】观察数列的前5项，分析其变化规律，从而得出数列的一个通项公式.
2．【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由已知可得，，
所以，
即，解得，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用点的坐标求出向量的坐标，再利用结合向量共线的坐标表示，从而解关于的方程得出x，y的值，进而得出x+y的值.
3．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：与点的距离为1的点的轨迹为圆，其方程为：；
与点的距离为2的点的轨迹为圆，其方程为：；
因为，故两圆相外切，
所有满足题设条件的直线为两圆的公切线，
因为两圆外切，故公切线的条数为3.
故答案为：C.
【分析】先求出两个轨迹圆，再判断它们的位置关系，从而可得公切线的条数.
4．【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由数列为递增数列，得，，
因为，则，，
又因为恒成立，则，
所以，正实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式得出，再利用恒成立，从而得出正实数的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点为，
双曲线的一条渐近线为，即，
所以，
所以，所以，
所以该双曲线的方程为.
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线，再利用点到直线的距离公式求出的值，从而得出该双曲线的标准方程.
6．【答案】C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】解：由题意，点的轨迹为线段，
又因为直线过定点，
所以，
由题意，直线与线段相交，
所以或.
故答案为：C.
【分析】由题意得出点P的轨迹，再结合直线过定点和两点求斜率公式，则由直线与线段相交，从而求出直线过线段端点时的斜率，进而得出实数的取值范围.
7．【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于B，在四边形中，，
则圆心O到直线的距离为，则，
因此，当最长，即当时面积最大，最大值为16，故B正确；
对于A，当最小，且当为圆O的切线时，最大，
此时，为圆心O到直线的距离4，
在中，，所以，
所以的最大值为，故A正确；
对于C，设，设N关于l对称的点为，
则，解得，
则N关于l对称的点为，
所以，当共线时等号成立，
即最小值为，故C正确；
对于D，因为，不是定值，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用圆的切线的性质，则判断出选项A；利用梯形中位线可得，即当最长时，四边形的面积最大，则判断出选项B；利用点关于直线的对称性和三点共线的性质，从而得出的最小值，则判断出选项C；利用平面向量基本定理和数量积的运算法则，则判断出选项D，进而找出说法错误的选项.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】解：对于A，如图，
由题意，在中，，
可得，成等比数列，故A错误；
对于B，由可得，即，
解得或（舍去），故B错误；
对于C，由椭圆的几何性质知，椭圆上到点距离最近的点只有一个，即右端点，
所以不存在其它点，使得，故C错误；
对于D，由椭圆的几何性质知，当运动到椭圆短轴端点处（不妨取点），
此时最大，由题意知，，
又因为的外接圆半径，
即的外接圆半径的最小值为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据椭圆的几何性质和已知条件可得，化简可判断选项A和选项B；再由椭圆的几何性质确定椭圆上点到点的距离为的只有一个，则判断出选项C；根据正弦定理和椭圆的性质，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
9．【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的共线定理；空间向量基本定理；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，若共线，则所在直线有可能在同一条直线上，故A错误；
对于B，因为，但的方向不确定，所以不一定成立，
反之，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，由空间点的对称性，点关于面的对称点坐标为，
故C正确；
对于D，当空间中向量不共面时，才对于空间中任意一个向量总存在实数，
使得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量共线定理，则判断出选项A；根据向量相等的判断方法，则判断选项B；根据空间点关于面的对称点的特征，则判断选项C；由空间向量的基本定理，则判断选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，在图1中，过作，如图所示：
因为，所以四边形是矩形，
因为，所以，
因为四边形是等腰梯形，，所以，
因为，所以，
连接，则，
因为，所以，得，则，
在图2中，因为，，平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，
若，又因为，平面，平面，，
所以平面，
过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误；
对于B，由，，得，
又因为，所以，
因为，又因为到平面的距离等于到平面的距离，
设点到平面的距离为，由，
得，即h＝，故B正确；
对于C，假设平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；
对于D，连接，如图所示：
因为，为直角三角形且为的中点，
所以，即为四面体的外接球的球心，
所以，四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球体积为：，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，则判断出选项A；设点到平面的距离为，根据求解，即可判断出选项B；假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，则判断出选项C；连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算出外接球体积，即可判断出选项D，从而找出结论不正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
因为正方形的棱长为2，
则，
又因为为的中点，所以，设.
对于选项A，因为，又因为，
所以，即，
即，所以，此时，曲线为点，故A正确；
对于选项B，设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
当平面时，，即，
动点在平面内的轨迹为一条直线（是连接和中点的直线），故B错误；
对于选项C，易知平面的一个法向量为，
所以，当直线与平面所成的角为时，
则，化简得，
此时曲线为，故C正确；
对于选项D，易知平面的一个法向量为，
所以，当直线与平面所成的角为时，
则，化简得，
此时曲线为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，再利用向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求解判断出选项A；利用线面关系的向量表示，从而求出动点的轨迹方程，则判断选项B；利用已知条件和平面的法向量以及数量积求线面角的方法，再结合诱导公式，从而得出此时曲线的方程，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】和
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线与，
则直线，故它们的距离，
又因为直线被两直线截得的线段长为，
设与的夹角为，则，，故，
因为直线的斜率为1，故倾斜角为，
故直线的倾斜角为或．
故答案为：和.
【分析】先算出两平行直线间的距离，再根据所截得的线段长求出直线与已知直线的夹角，从而得出直线的倾斜角．
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面与圆柱面的截线
【解析】【解答】解：作母线，，连接，如图所示：
因为，所以共面，是圆柱的一个截面，
因为平面，平面，所以，
又由已知可得，又因为，平面，
所以平面，
由得，所以平面，
所以矩形为点的轨迹，
因为，则，
又因为，所以矩形的面积为．
故答案为：.
【分析】作出过且与垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，由得，从而得出平面，进而可得点的轨迹，再结合矩形的面积公式求出所围图形的面积．
14．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：如图1，设圆与圆的半径分别为，
因为圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，
又因为，
所以，
设为边中点，则，
因为圆与圆是边长为的正三角形内部的两圆，
所以，当圆为边长为的正三角形的内切圆时，取最大，取最小，如图2，
则，即，所以，，
所以，在中，，
所以，，即，
因为，所以，，解得，
所以，的最小值为，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
【分析】设圆与圆的半径分别为，圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，在中，，再结合勾股定理得，再根据一元二次不等式的解法结合基本不等式求最值的方法，从而得出两圆的半径之和的最小值.
15．【答案】（1）解：因为底面，四边形是正方形，，，
所以空间的一个单位正交基底为.
（2）解：因为，
由题意知，，，，
，
所以，
即，所以.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据线面垂直和正方形的结构特征以及单位正交基底的概念，从而用，，表示出空间的一个单位正交基底.
（2）由题意可得，再利用向量的数量积的定义和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，则根据中点的性质得出线段的长.
（1）因为底面，四边形是正方形，，，
所以空间的一个单位正交基底为；
（2）因为，
由题意知，，，，
，
所以，
即，
所以.
16．【答案】（1）解：设直线，
由题意得，
故，
所以，
由，可得，
由得，且
则，得，
所以直线的方程为.
（2）解：由可得，
由，可得，
所以，
从而，故，
代入抛物线的方程得，
故.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义结合直线与抛物线的位置关系，再结合判别式法和韦达定理，从而得出直线l的方程.
（2）利用向量共线的坐标表示得出，再结合直线与抛物线的位置关系和韦达定理以及弦长公式，从而求解得出AB的长．
（1）设直线.
由题设得，故，
所以.
由，可得，
由得，且
从而，得，
所以的方程为.
（2）由可得.
由，可得.
所以.
从而，故.
代入的方程得.
故.
17．【答案】（1）解：当时，有，解得；
当时，有，解得；
当时，有，解得，
即，，.
（2）解：假设存在该实数，设数列公差为，又因为，
故，即，
则，
由，则
整理得，当，时，恒成立，
此时，符合要求，
则，
故存在，使得数列为等差数列，且.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）结合题目所给条件，将、、分别代入并计算，即可得、、 的值.（2）假设存在，计算出首项，设出公比后，再代入计算，即可得的值，使得数列为等差数列且.
（1）当时，有，解得，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
即，，；
（2）假设存在该实数，设数列公差为，又，
故，即，
则，
由，
即有，
整理得，当，时，恒成立，
此时，符合要求，
有，
故存在，使得数列为等差数列，且.
18．【答案】（1）解：为等腰梯形，，
所以异面直线与所成的角为，
又，
，
又因为.
与所成角为.
（2）解：取弧的中点的中点，连接，
平面平面平面，
平面平面，
平面，又为的中点，，
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设的长为，
则，
所以，
所以，，
又，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设二面角的平面角为，由图可知，
则，
.
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据异面直线所成角的定义得出即为所求，再结合已知条件和圆的性质，从而求解得出与所成的角.
（2）取弧的中点的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角的向量表示得出点的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的平面角的余弦值，根据同角三角函数基本关系式得出二面角的平面角的正切值.
（1）为等腰梯形，，
所以异面直线与所成的角为，
又，
，
又.
与所成角为.
（2）取弧的中点的中点，连接，
平面平面平面，平面平面，
平面，又为的中点，，
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设的长为，则，
所以，
所以，
，又
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设二面角的平面角为，由图可知，
则，
.
19．【答案】（1）解：因为双曲线的两条渐近线分别为和，
右焦点坐标为，
所以，解得，
则双曲线的标准方程为.
（2）证明：设，，
因为M，N为双曲线C上的两点，所以，
两式相减得，整理得
则.
（3）证明：设直线斜率为4，直线与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，，
联立，消去y并整理得，
因为该方程有两个正根，则，解得，（舍）
由韦达定理得，
直线的方程为，
因为，即，①
直线的方程为，
因为，即，②
联立①②，两式相加得，两式相减得，
因为，
则，，所以，
则都在直线上，故共线．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据题中条件和的关系，从而列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程.
（2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，则由点差法得到，再利用斜率公式证出为定值.
（3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，再结合韦达定理得出，从而求出，再利用韦达定理证出共线．
（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，
所以，解得，则双曲线的标准方程为；
（2）证明：设，，
因为M，N为双曲线C上的两点，所以，
两式相减得，整理得，
则，得证；
（3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，，
联立，消去y并整理得，
因为该方程有两个正根，则，解得，（舍）
由韦达定理得，
直线的方程为，
因为，即，①
直线的方程为，
因为，即，②
联立①②，两式相加得，两式相减得，
因为，则，，
所以，
则都在直线上，故共线．
1 / 1吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县第五高级中学2024-2025学年高二上学期12月教学质量检测数学试卷
1．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）数列的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为数列的前5项依次为，即，，，，，
所以，数列的一个通项公式为．
故答案为：C.
【分析】观察数列的前5项，分析其变化规律，从而得出数列的一个通项公式.
2．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
由已知可得，，
所以，
即，解得，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用点的坐标求出向量的坐标，再利用结合向量共线的坐标表示，从而解关于的方程得出x，y的值，进而得出x+y的值.
3．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）在直角坐标平面内，与点的距离为1，且与点的距离为2的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：与点的距离为1的点的轨迹为圆，其方程为：；
与点的距离为2的点的轨迹为圆，其方程为：；
因为，故两圆相外切，
所有满足题设条件的直线为两圆的公切线，
因为两圆外切，故公切线的条数为3.
故答案为：C.
【分析】先求出两个轨迹圆，再判断它们的位置关系，从而可得公切线的条数.
4．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）设数列的通项公式为，若数列是递增数列，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的函数特性
【解析】【解答】解：由数列为递增数列，得，，
因为，则，，
又因为恒成立，则，
所以，正实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式得出，再利用恒成立，从而得出正实数的取值范围.
5．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点为，
双曲线的一条渐近线为，即，
所以，
所以，所以，
所以该双曲线的方程为.
故答案为：B.
【分析】先求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线，再利用点到直线的距离公式求出的值，从而得出该双曲线的标准方程.
6．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知动点到定点的距离之和为4，直线与动点的轨迹有交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程
【解析】【解答】解：由题意，点的轨迹为线段，
又因为直线过定点，
所以，
由题意，直线与线段相交，
所以或.
故答案为：C.
【分析】由题意得出点P的轨迹，再结合直线过定点和两点求斜率公式，则由直线与线段相交，从而求出直线过线段端点时的斜率，进而得出实数的取值范围.
7．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知圆与轴交于两点，点在直线上，过圆上的任意两点分别向作垂线，垂足为，以下说法错误的是（ ）
A．的最大值为
B．当为直径时，四边形面积的最大值为16
C．的最小值为
D．为定值
【答案】D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：对于B，在四边形中，，
则圆心O到直线的距离为，则，
因此，当最长，即当时面积最大，最大值为16，故B正确；
对于A，当最小，且当为圆O的切线时，最大，
此时，为圆心O到直线的距离4，
在中，，所以，
所以的最大值为，故A正确；
对于C，设，设N关于l对称的点为，
则，解得，
则N关于l对称的点为，
所以，当共线时等号成立，
即最小值为，故C正确；
对于D，因为，不是定值，故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用圆的切线的性质，则判断出选项A；利用梯形中位线可得，即当最长时，四边形的面积最大，则判断出选项B；利用点关于直线的对称性和三点共线的性质，从而得出的最小值，则判断出选项C；利用平面向量基本定理和数量积的运算法则，则判断出选项D，进而找出说法错误的选项.
8．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知椭圆的焦距为，左 右焦点分别为，右顶点为，上顶点为.点为椭圆上的动点，若，则以下说法正确的是（ ）
A．成等差数列
B．椭圆的离心率
C．以为圆心，为半径的圆与椭圆有3个交点
D．的外接圆半径的最小值为
【答案】D
【知识点】椭圆的应用
【解析】【解答】解：对于A，如图，
由题意，在中，，
可得，成等比数列，故A错误；
对于B，由可得，即，
解得或（舍去），故B错误；
对于C，由椭圆的几何性质知，椭圆上到点距离最近的点只有一个，即右端点，
所以不存在其它点，使得，故C错误；
对于D，由椭圆的几何性质知，当运动到椭圆短轴端点处（不妨取点），
此时最大，由题意知，，
又因为的外接圆半径，
即的外接圆半径的最小值为，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据椭圆的几何性质和已知条件可得，化简可判断选项A和选项B；再由椭圆的几何性质确定椭圆上点到点的距离为的只有一个，则判断出选项C；根据正弦定理和椭圆的性质，则判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
9．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）下列说法正确的是（ ）
A．若向量共线，则与所在直线平行
B．“”是“”的必要不充分条件
C．在空间直角坐标系中，点关于面的对称点坐标为
D．已知空间向量，则对于空间中任意一个向量总存在实数，使得
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的共线定理；空间向量基本定理；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于A，若共线，则所在直线有可能在同一条直线上，故A错误；
对于B，因为，但的方向不确定，所以不一定成立，
反之，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，故B正确；
对于C，由空间点的对称性，点关于面的对称点坐标为，
故C正确；
对于D，当空间中向量不共面时，才对于空间中任意一个向量总存在实数，
使得，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量共线定理，则判断出选项A；根据向量相等的判断方法，则判断选项B；根据空间点关于面的对称点的特征，则判断选项C；由空间向量的基本定理，则判断选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知四边形是等腰梯形（如图1），，，，.将沿折起，使得（如图2），连结，，设是的中点，下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．点到平面的距离为
C．平面
D．四面体的外接球的体积为
【答案】A,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：对于A，在图1中，过作，如图所示：
因为，所以四边形是矩形，
因为，所以，
因为四边形是等腰梯形，，所以，
因为，所以，
连接，则，
因为，所以，得，则，
在图2中，因为，，平面，平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，
若，又因为，平面，平面，，
所以平面，
过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故A错误；
对于B，由，，得，
又因为，所以，
因为，又因为到平面的距离等于到平面的距离，
设点到平面的距离为，由，
得，即h＝，故B正确；
对于C，假设平面，
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，，
所以平面平面，与已知条件矛盾，故C错误；
对于D，连接，如图所示：
因为，为直角三角形且为的中点，
所以，即为四面体的外接球的球心，
所以，四面体的外接球的半径为，
则四面体的外接球体积为：，故D正确.
故答案为：AC.
【分析】在图1中，过作，连接，易证平面，假设，得到平面，与已知条件矛盾，则判断出选项A；设点到平面的距离为，根据求解，即可判断出选项B；假设平面，从而得到平面平面，与已知条件矛盾，则判断出选项C；连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算出外接球体积，即可判断出选项D，从而找出结论不正确的选项.
11．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，棱长为2的正方体中，为的中点，动点在平面内的轨迹为曲线.下列结论正确的是（ ）
A．当时，是一个点
B．当平面时，是一条线段
C．当直线与平面所成的角为时，是圆
D．当直线与平面所成的角为时，是双曲线
【答案】A,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
因为正方形的棱长为2，
则，
又因为为的中点，所以，设.
对于选项A，因为，又因为，
所以，即，
即，所以，此时，曲线为点，故A正确；
对于选项B，设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
当平面时，，即，
动点在平面内的轨迹为一条直线（是连接和中点的直线），故B错误；
对于选项C，易知平面的一个法向量为，
所以，当直线与平面所成的角为时，
则，化简得，
此时曲线为，故C正确；
对于选项D，易知平面的一个法向量为，
所以，当直线与平面所成的角为时，
则，化简得，
此时曲线为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，再利用向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求解判断出选项A；利用线面关系的向量表示，从而求出动点的轨迹方程，则判断选项B；利用已知条件和平面的法向量以及数量积求线面角的方法，再结合诱导公式，从而得出此时曲线的方程，则判断出选项C和选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）若直线被两条直线与所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是 .
【答案】和
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：因为直线与，
则直线，故它们的距离，
又因为直线被两直线截得的线段长为，
设与的夹角为，则，，故，
因为直线的斜率为1，故倾斜角为，
故直线的倾斜角为或．
故答案为：和.
【分析】先算出两平行直线间的距离，再根据所截得的线段长求出直线与已知直线的夹角，从而得出直线的倾斜角．
13．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；平面与圆柱面的截线
【解析】【解答】解：作母线，，连接，如图所示：
因为，所以共面，是圆柱的一个截面，
因为平面，平面，所以，
又由已知可得，又因为，平面，
所以平面，
由得，所以平面，
所以矩形为点的轨迹，
因为，则，
又因为，所以矩形的面积为．
故答案为：.
【分析】作出过且与垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，由得，从而得出平面，进而可得点的轨迹，再结合矩形的面积公式求出所围图形的面积．
14．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，在边长为的正内部的两圆，与外切，且与两边相切，与两边相切，则两圆的半径之和的最小值为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：如图1，设圆与圆的半径分别为，
因为圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，
又因为，
所以，
设为边中点，则，
因为圆与圆是边长为的正三角形内部的两圆，
所以，当圆为边长为的正三角形的内切圆时，取最大，取最小，如图2，
则，即，所以，，
所以，在中，，
所以，，即，
因为，所以，，解得，
所以，的最小值为，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
【分析】设圆与圆的半径分别为，圆与圆与边的切点分别为点，过作，垂足为，在中，，再结合勾股定理得，再根据一元二次不等式的解法结合基本不等式求最值的方法，从而得出两圆的半径之和的最小值.
15．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，设，，.
（1）若底面，试用，，表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）
（2）若是的中点，且，求线段的长.
【答案】（1）解：因为底面，四边形是正方形，，，
所以空间的一个单位正交基底为.
（2）解：因为，
由题意知，，，，
，
所以，
即，所以.
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据线面垂直和正方形的结构特征以及单位正交基底的概念，从而用，，表示出空间的一个单位正交基底.
（2）由题意可得，再利用向量的数量积的定义和数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，则根据中点的性质得出线段的长.
（1）因为底面，四边形是正方形，，，
所以空间的一个单位正交基底为；
（2）因为，
由题意知，，，，
，
所以，
即，
所以.
16．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求.
【答案】（1）解：设直线，
由题意得，
故，
所以，
由，可得，
由得，且
则，得，
所以直线的方程为.
（2）解：由可得，
由，可得，
所以，
从而，故，
代入抛物线的方程得，
故.
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由抛物线的定义结合直线与抛物线的位置关系，再结合判别式法和韦达定理，从而得出直线l的方程.
（2）利用向量共线的坐标表示得出，再结合直线与抛物线的位置关系和韦达定理以及弦长公式，从而求解得出AB的长．
（1）设直线.
由题设得，故，
所以.
由，可得，
由得，且
从而，得，
所以的方程为.
（2）由可得.
由，可得.
所以.
从而，故.
代入的方程得.
故.
17．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）数列满足，．
（1）求、、 ；
（2）是否存在一个实数，使此数列为等差数列？若存在求出的值及；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：当时，有，解得；
当时，有，解得；
当时，有，解得，
即，，.
（2）解：假设存在该实数，设数列公差为，又因为，
故，即，
则，
由，则
整理得，当，时，恒成立，
此时，符合要求，
则，
故存在，使得数列为等差数列，且.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）结合题目所给条件，将、、分别代入并计算，即可得、、 的值.（2）假设存在，计算出首项，设出公比后，再代入计算，即可得的值，使得数列为等差数列且.
（1）当时，有，解得，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
即，，；
（2）假设存在该实数，设数列公差为，又，
故，即，
则，
由，
即有，
整理得，当，时，恒成立，
此时，符合要求，
有，
故存在，使得数列为等差数列，且.
18．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）如图，是以为直径的圆上一点，，等腰梯形所在的平面垂直于所在的平面，且.
（1）求与所成的角：
（2）若异面直线和所成的角为，求二面角的平面角的正切值.
【答案】（1）解：为等腰梯形，，
所以异面直线与所成的角为，
又，
，
又因为.
与所成角为.
（2）解：取弧的中点的中点，连接，
平面平面平面，
平面平面，
平面，又为的中点，，
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
设的长为，
则，
所以，
所以，，
又，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设二面角的平面角为，由图可知，
则，
.
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据异面直线所成角的定义得出即为所求，再结合已知条件和圆的性质，从而求解得出与所成的角.
（2）取弧的中点的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，利用异面直线的夹角的向量表示得出点的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的平面角的余弦值，根据同角三角函数基本关系式得出二面角的平面角的正切值.
（1）为等腰梯形，，
所以异面直线与所成的角为，
又，
，
又.
与所成角为.
（2）取弧的中点的中点，连接，
平面平面平面，平面平面，
平面，又为的中点，，
以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系：
设的长为，则，
所以，
所以，
，又
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
设二面角的平面角为，由图可知，
则，
.
19．（2024高二上·前郭尔罗斯月考）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值；
（3）直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点， ，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线．
【答案】（1）解：因为双曲线的两条渐近线分别为和，
右焦点坐标为，
所以，解得，
则双曲线的标准方程为.
（2）证明：设，，
因为M，N为双曲线C上的两点，所以，
两式相减得，整理得
则.
（3）证明：设直线斜率为4，直线与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，，
联立，消去y并整理得，
因为该方程有两个正根，则，解得，（舍）
由韦达定理得，
直线的方程为，
因为，即，①
直线的方程为，
因为，即，②
联立①②，两式相加得，两式相减得，
因为，
则，，所以，
则都在直线上，故共线．
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据题中条件和的关系，从而列出等式求出和的值，进而可得双曲线的标准方程.
（2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，则由点差法得到，再利用斜率公式证出为定值.
（3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，再结合韦达定理得出，从而求出，再利用韦达定理证出共线．
（1）因为双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，
所以，解得，则双曲线的标准方程为；
（2）证明：设，，
因为M，N为双曲线C上的两点，所以，
两式相减得，整理得，
则，得证；
（3）证明：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，，
联立，消去y并整理得，
因为该方程有两个正根，则，解得，（舍）
由韦达定理得，
直线的方程为，
因为，即，①
直线的方程为，
因为，即，②
联立①②，两式相加得，两式相减得，
因为，则，，
所以，
则都在直线上，故共线．
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