初中数学人教版八年级下册 第十八章 平行四边形 单元教学设计（共计12课时）
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| 名称 | 初中数学人教版八年级下册 第十八章 平行四边形 单元教学设计（共计12课时） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-24 14:33:55 | ||
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文档简介
单元教学方案
基本信息：单元名称： 人教版八年级下册第18章《平行四边形》 科目名称： 初中数学 课程类型： 必修课 课时： 12课时 日期：
课程标准：1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.2.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.4.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质.5.探索并证明三角形的中位线定理.教材分析：平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又在现实生活中具有广泛的应用，尤其矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质更加丰富、应用更加广泛.学生在第一学段已经学行四边形，本学段八年级上册“三角形”一章研究了多边形及内角和等内容，包括四边形及其内角和，“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等角形的性质，这些内容是学习本章的重要基础.本章先研究平行四边形，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形.第18.1节主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质定的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念；作为性质定理和判定定理的一个应用，探索并证明三角形中位线定理.第18.2节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角和有一组邻边相等的特殊平行四边形，第18.2.1小节和第18.2.2小节分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理，在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，或者是有一组邻边相等的特殊矩形.由此得出，正方形具有平行四边形的所有性质.第18.2.3小节给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质定理和判定定理.本章重点是平行四边形的概念、性质定理和判定定理.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究方法，与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承，两条平行线之间的距离相等、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等结论的探索与证明，都以平行四边形、矩形的概念和有关定理为依据，是平行四边形、矩形知识的综合应用，另外，平行四边形的性质定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等以及两条直线平行或垂直的重要依据.掌握平行四边形的概念、性质定理和判定定理，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键.本章教学内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法类似，推理论证的难度不大.相对来说，平行四边形与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形之间的联系与区别，是本章教学难点，因为各种平行四边形概念交错，容易混淆.在应用它们的性质定理和判定定理的时候，有时会出现错用、多用、少用条件的问题.教学中要注意结合教科书中的结构图，分清这些平行四边形的从属关系，梳理它们的性质定理和判定定理，克服难点.基本问题：1.你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？2.平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗？4.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理.你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？驱动性问题：如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，想一想这是为什么？学情分析：在小学已经初步认识平行四边形、了解平行四边形的定义.七年级学习了相交线与平行线、三角形、全等三角形的相关知识.八年级储备了轴对称和勾股定理的相关知识和动手操作的意识和能力，分析问题和知识的迁移的能力有了也有了一定的提高.但合理运用辅助线的能力还欠缺，而平行四边形的研究内容、过程与方法与三角形有极大的可类比性，所以应把平行四边形作为培养学生探究发现能力的载体，为学生创设更大的自.主学习空间，引导学生通过自主探究，整体构建平行四边形的研究框架，在一般观念的引领下，经历完整的“概念——性质——判定——应用”的过程，理解平行四边形的概念内涵、组成要素和相关要素等，再通过对内涵、要素、相关要素等之间关系的探索，或通过建立相关概念的联系而发现结论、提出猜想，最后通过逻辑推理证明结论、得出定理.同时，要通过适当的情境，引导学生从一般到特殊，逐步提出值得研究的新对象、新问题，最终形成“四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形”的完整知识体系.资源分析：《义务教育社会学课程标准（2011年版）》；人教版八年级下册数学课本、同步练习册；自制导学案、课件。
单元目标：1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、通过观察、归纳、猜想、证明得出性质与判定定理，会应用其进行与线段、角有关的数量关系或位置关系的证明，会证明一个四边形是否为平行四边形与特殊平行四边形；2.经历平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定定理的探究过程，体会它们之间的联系与区别，积累研究四边形和研究图形定义、性质、判定的思维经验，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养；3.通过对平行四边形及特殊平行四边形的探究，体会数学知识之间的内在联系，感悟数学追求严密、系统、一般、统一的理性精神，养成批判质疑和勇于创新的品质。
重难点：1．类比三角形的研究过程，得出四边形研究路线.2．根据平行四边形及特殊平行四边形定义推导得出性质，利用性质进行简单应用.3.类比平行线性质与判定的互逆关系得出平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定定理.4.根据性质及判定进行计算、证明解决简单的问题.
单元评价：评价任务1.探索平行四边形定义、边角性质.学习目标：16-1-1通过平行四边形定义的学习，能用文字语言、图形语言、符号语言来描述平行四边形的定义.知道平行四边形的研究是以定义为出发点的，会用定义识别平行四边形.16-1-2探索并掌握平行四边形边、角的性质.能利用平行四边形的定义证明其边、角、对角线的性质，能利用性质进行基本的计算或证明；初步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路.16-1-3进一步体会几何研究的一般思路和方法.在探究过程中，能够体会对图形性质的研究实际上就是揭示图形中各几何要素之间的关系知道观察、度量、实验、猜想、证明是几何研究的基本活动，体会“用合情推理发现结论，用演绎推理证明结论这一几何研究的基本思考方式16-1-4能将平行线间的距离”转化成点到直线的距离,体会“三种距离”之间的转化.评价任务：教师出示问题，学生先独立思考，然后组内交流，由小组长和教师记录并填写评价结果.评价量规1：水平划分水平一水平二水平三水平四平行四边形的表示不能说出平行四边形的定义 能说出平行四边形的定义能准确说出平行四边形的定义，能用图形语言和符号语言表示平行四边形能准确说出平行四边形的定义，能用图形语言和符号语言表示平行四边形，并能自主举例平行四边形的性质的证明不会证明平行四边形的性质定理能在教师的指导下或通过小组合作证明平行四边形的性质定理能独立完成平行四边形的性质定理的证明不仅能独立证明性质，还能主动分享自己的见解平行四边性质的应用能说出部分性质能说出全部性质，但不会用能通过与同学合作，用性质解决边角的证明和求解能熟练应用性质分析问题，并解决问题具体实施：学习完学习活动4后，实施此任务，6人为一小组，由小组长评价组员，教师评价小组长。教学活动： 第1课时学习活动一：明确单元学习目标教师：出示单元学习目标，并做出解释。学生：阅读学习目标，明确学习目标。学习活动二：类比三角形学习路线，得出平行四边形整章的学习路线教师：根据三角形构成要素关系的特殊化，我们应该先研究哪一种特殊的四边形？如何研究呢？学生：类比三角形学习路线，从一般到特殊的研究思路得出平行四边形整章学习路线，得出本章的研究对象、研究内容、研究方法.学习活动三：学习平行四边形的定义、表示方法、符号语言教师：回顾小学平行四边形的定义，类比三角形的表示方法怎样表示一个平行四边形？四边形具备了什么条件我们就说这个四边形就是平行四边形？用符号怎样表达？学生：根据定义和图形得出符号表示学习活动四：探索平行四边形的性质教师：平行四边形除去具有一般四边形的性质，它还有哪些自己特有的性质？从组成图形的元素考虑（边、角、对角线）学生：经历观察、猜想、验证、证明的过程，并在小组交流的基础上得出平行四边形的性质学习活动五：两条平行线之间的距离教师：两条平行线之间的距离是如何定义的？两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？学生：根据平行四边形定义性质得出两条平行线之间的距离学习活动六：小结归纳学生：每组推荐一名代表，汇报本组的发现和收获。教师：教师及时给予评价，引导学生总结出（1）通过观察、猜想、验证、证明发现问题；（2）研究问题要从一般逐步到特殊；学习活动七：性质的应用学生：完成下列练习：1.已知□ABCD中，∠A=40°，∠B=_____ ,∠C=___，∠D=______ .2.已知□ABCD中，AB=8cm,周长等于24cm，则BC=_______，CD=_____ ，DA=___.3.已知□ABCD中,∠A+∠C=200°，∠B=___.4如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，则下列说法，错误的是（ ）．（A）OA＝OC （B）∠BAD＝∠BCD （C）AC⊥BD （D）∠BAD＋∠ABC＝180°5.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长． 【变式拓展】平行四边形的一条角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长.【收获与反思】 评价任务2.探索平行四边形的判定.学习目标：16-2-1通过经历平行四边形判定定理的探索过程，丰富活动经验和体验，进一步培养和发展合情推理能力.16-2-2.通过平行四边形判定定理以及相关问题的证明和计算，一步培养和发展学生的演绎推理能力.具体任务：教师引导学生类比等腰三角形、直角三角形性质判定的互逆关系，学生独立思考，证明判定，组内交流.评价量规2：水平划分水平一水平二水平三水平四平行四边形的判定不能探究出平行四边形的性质 能在同学的帮助下探究平行四边形的判定能自主探究出平行四边形的性质，并能在合作中学会应用能自主探究判定，并熟练应该用判定解决问题具体实施：6人为一小组，由小组长根据小组互评1号与3号互评，2号和4号互评，5号和6号互评）作出评价。小组长记录。学习活动： 第2课时学习活动一：探索平行四边形的判定.教师：类比平行线、直角三角形等图形的性质和判定的互逆关系，你认为平行四边形的判定应该怎样研究？学生:独立思考后，说出平行四边形性质的逆命题.学生：小组派一名代表板书解题过程，并进行讲解。学习活动二：平行四边形判定的证明教师：怎样证明的？用的方法是什么？你是如何想到的？学生：写出证明过程，最终得出平行四边形的判定填一填：四边形ABCD中，（1）若AB∥CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.（理由： ）.（2）若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.（理由： ）.（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.（理由： ）.学习活动三：判定的应用1.如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45 ，则∠EDF的度数是_______度.2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，已知AB∥CD，那么以下四个说法中，正确的有（ ）．①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个3.如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是________.4.已知：如图，□ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，求证：AE=CF．【收获与反思】18-1-3探索中位线定理学习目标：1.通过经历平行四边形判定定理的探索过程，丰富活动经验和体验，进一步培养和发展合情推理能力.2.通过平行四边形判定定理以及相关问题的证明和计算，一步培养和发展学生的演绎推理能力.具体任务：教师引导学生类比等腰三角形、直角三角形性质判定的互逆关系，学生独立思考，证明判定，组内交流.评价任务：能说出三角形中位线的概念，能在老师启发下证明中位线定理.评价量表：水平划分水平一水平二水平三水平四中位线的概念不能说出中位线的定义 能说出中位线的定义，并能认识中位线与中线的区别能准确说出中位线定义，能准确区分中位线与中线，并认识到构造三角形形的中位线的方法 能准确说出中位线定义，能准确区分中位线与中线，并认识到构造三角形形的中位线的方法，并能初步猜想中位线与第三边的关系证明中位线定理.不会证明三角形中位线定理能在教师提示下做出辅助线，在同学或老师帮助下完成证明能在教师提示下做出辅助线，自己独立完成中位线定理的证明能独立做出辅助线，准确完整的完成中位线定理的证明评价实施：学习完学习活动4后，实施此任务，6人为一小组，由小组长评价组员，教师评价小组长.学习活动 第3课时 学习活动一：明确三角形的中位线概念.1.结合图形说出三角形中位线的定义；2.结合图形说出三角形的中线与三角形中位线的区别.【思考】：（1）（三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． 学习活动二：探索三角形的中位线定理1.思考问题：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，猜想DF与BC有何位置关系和数量关系？2.学生借助右图中两个完全相同的图形，发现DF与BC的位置关系和数量关系.教师引导学生借助拼图，如何将发现的问题转化为平行四边形的问题.3.学生独立尝试解决问题，然后组内讨论，小组代表进行展示.4.师生归纳解决该问题用到的转化的思想方法.学习活动三：应用中位线定理解决问题1.思考问题：已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．2.学生复习总结平行四边形的方法有哪些？3.学生独立尝试解决，然后分组讨论.4.开展小组竞赛，看看小组解决问题的办法多.5.师生归纳其中方法和思想.学习活动四：中位线定理巩固练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．18-2-1-1探索矩形定义、性质和判定学习目标：1.经历矩形概念的形成及性质、判定的探索过程，发展合情推理能力和演绎推理能力.2.通过灵活运用矩形的性质、判定解决有关问题，增强应用意识，提高分析问题和解决问题的能力.评价任务：教师引导学生类比平行四边形定义、性质判定的得出矩形的定义、性质过程，并会根据定义推导性质和判定.水平划分水平一水平二水平三水平四矩形的定义不能说出矩形的定义 能说出矩形的定义，并能认识矩形的定义既是矩形的性质又是矩形的判定能准确矩形定义，认识矩形的定义既是矩形的性质又是矩形的判定，并能运用定义解决一些基本问题 能准确矩形定义，认识矩形的定义既是矩形的性质又是矩形的判定，并能运用定义解决一些基本问题，并能认识矩形是一种特殊的平行四边形，它的研究方式可以类比平行四边形进行矩形的性质能猜想矩形的性质，但是不全，也不够准确能在教师提示下完整地猜想出矩形的性质能完整地猜想出矩形的性质，并能根据定义对性质进行证明能类比平行四边形的研究方法完整地猜想出矩形的性质，并能根据定义和全等的知识对性质进行证明评价实施：学习完学习活动4后，实施此任务，6人为一小组，由小组长评价组员，教师评价小组长.学习活动 第4课时学习活动一：归纳矩形的定义操作、观察教学具从平行四边形变为矩形的特点，思考如何在平行四边的基础上得出矩形的概念.尝试给出矩形的概念并逐步精确规范.学习活动二：归纳矩形的性质1.回忆平行四边形从哪几个方面总结性质，分别有哪些性质.2.学生借助学具或画出图形，猜想平行四边形从边、角、对角线等方面有哪些性质,哪些是四边形不具有的。归纳出矩形的性质.3.独立尝试证明这些性质，先小组讨论，再展示.学习活动三：矩形性质的推论1.观察矩形图形，说出它的性质. 2.剪掉△ACD后，剩余的图形是什么图形，有何特点？学习活动三：矩形性质的应用1.思考问题：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.2.独立尝试解决，先小组讨论，再展示，教师订正.学习活动四：矩形性质的巩固1．（填空）（10分）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．2、（10分）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°（1）求∠2的度数．（2）求证：BO＝BE．18-2-1-2矩形的判定学习目标：通过类比平行四边形判定定理的研究过程，能从矩形性质定理的逆命题出发，证明矩形的判定定理，并能应用于实际问题。评价任务：知道矩形的判定定理，能发现和证明矩形判定定理，并能应用于实际问题。评价量规：水平划分水平一水平二水平三水平四矩形的判定定理不能类比平行四边形的判定定理发现和证明矩形的判定定理，不能说出判定定理内容。在教师的引导下可以完成矩形判定定理的发现和证明，会用文字语言准确表达矩形判定定理。自主的发现和证明矩形判定定理，并能用文字语言和符号语言表达矩形判定定理。自主的发现和证明矩形的判定定理，对于判定定理的不同描述能进行判断和应用。能用矩形判定定理解决实际问题不能用矩形的判定定理解决课本例题在教师或同伴引导下能用矩形判定定理完成例题。能独立完成课本例题的求解和证明，且过程较规范。能独立准确的完成课本例题，并能找出矩形判定定理在生活中的实例。学习活动 第5课时一、导入新知（活动1）、你能说出矩形的定义和性质吗？类比平行四边形的判定，矩形的判定定理有那些？二、探究新知（活动2）说一说：矩形的对角线相等，矩形的四个角是直角，它们的逆命题是什么？证一证：1.对角线相等的平行四边形是矩形（尝试自己写出已知和求证，画出图形）2.有三个角是直角的四边形是矩形（同证明判定定理1尝试自己写出已知和求证，画出图形）想一想：工人师傅在做门窗时或矩形零件时，为何要测量两组对边的长度和对角线的长度？3.木匠师傅制作矩形踏板时，在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的地方锯了两次，就能得到矩形踏板。为什么？三.精讲例题（活动3）例2 已知：如图,在ABCD中，AC 、DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：ABCD是矩形.四．巩固应用1、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （）（4）对角线相等的四边形是矩形； （）（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （）2、已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．思考应该用哪种方法判定。学生不同的方法展示，并一步归纳各种矩形的判定方法。五、课堂小结定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形.矩形的判定 判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明18-2-2-1菱形定义及性质学习目标：通过具体实例，理解菱形的概念，明确菱形与矩形与平行四边形的联系与区别；在教师的引导下，通过小组讨论，能从边、角、对角线三方面进行研究，发现和证明菱形的性质，并用菱形的相关性质解决问题；通过具体例题，能用不同的方法计算菱形面积，并总结出菱形面积和对角线的关系式。评价任务：理解菱形的概念，能证明菱形的性质，并用性质进行相关计算和证明。水平划分水平一水平二水平三水平四菱形的概念 不能说出菱形的概念能准确地说出菱形的概念，并能举出生活中的例子能准确地说出菱形的概念，在教师引导下能说出菱形和矩形、平行四边形的联系和区别。能准确地说出菱形的概念，并能举出生活中的例子，能明确说出菱形和矩形、平行四边形的联系和区别。菱形的性质不能发现和证明菱形的性质能说出菱形的性质但不能完成菱形性质的发现和证明 在教师的引导下，能发现和证明菱形的性质能独立的发现和证明菱形的性质，用文字和符号语言表达菱形的性质菱形面积的计算不能计算菱形面积通过小组合作能完成菱形面积的计算自主完成菱形面积的计算，并能得出菱形面积等于对角线乘积一半能用多种方法完成菱形面积的计算，并能解决课本例题和习题。学习活动： 第6课时课堂导入操作、观察教学具从平行四边形变为矩形的特点，思考如何在平行四边的基础上得出菱形的概念二、探索性质探:1：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开，你发现这是一个什么样的图形呢？从对称性角度，它有什么性质？ 探究2：回忆平行四边形从哪几个方面总结性质，分别有哪些性质。学生借助学具或画出图形，猜想平行四边形从边、角、对角线等方面有哪些性质,哪些是四边形不具有的。归纳出矩形的性质。探究3：思考平行四边形面积的计算方法观察菱形对角线之间的位置关系，转化两个三角形的面积，总结出菱形面积另一种计算方法：三、 精讲例题例3 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC=60 ，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.四、性质巩固1.若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．五、课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获？还有哪些疑问？18-2-2-2菱形的判定学习目标：在教师的引导下，类比平行四边形、矩形判定定理的研究过程，从性质定理的逆定理出发，推导出菱形的两种判定方法。评价任务1：在理解与掌握菱形定义的前提下，知道菱形的两种判定方法。评价量规：水平划分水平一水平二水平三水平四菱形的判定方法不能说出菱形的判定方法以及菱形判定的几何语言在教师的引导下说出菱形的判定方法，会用几何语言描述菱形的判定方法，完成例题自主准确说出菱形的判定方法，会用几何语言描述菱形的判定方法，独立完成课本例题自主准确说出菱形的判定方法，会自主推导出菱形的两种判定方法并会用几何语言表示，会对P58练习3有自己的认识，独立完成课本例题。学习活动： 第7课时活动一.回顾知识问题一：菱形的定义是什么？除此之外还有其他的判定菱形的方法吗？有一组邻边相等的平行四边行是菱形。有活动二探究新知问题二：类比研究平行四边行、矩形的判定方法，菱形的性质定理的逆命题是什么？命题1.四条边相等的四边行是菱形。命题2.对角线相互垂直的平形四边形是菱形。问题三：结合菱形的定义，你能证明上述逆命题是否成立吗？将命题1转化为以下证明题：已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD求证：四边形ABCD是菱形2.将命题2转化为以下证明题：已知：在□ABCD中，AC⊥BD求证：□ABCD是菱形 【总结】通过以上证明，得到菱形的两种判定定理：四边相等的四边形是菱形.对角线相互垂直的平行四边形是菱形.三、精讲例题（课本P57 例4）如图，□ABCD的对角线AC,BD相较于点O，且AB=5,AO=4,BO=3.求证：□ABCD是菱形.证明：∵AB=5,AO=4,BO=3∴=+∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD∴□ABCD是菱形四、课堂小结菱形的判定方法：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。判定定理:四边相等的四边形是菱形。判定定理：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。18-2-3正方形学习目标：掌握正方形的概念，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，探索正方形的性质。评价任务：通过老师的引导，知道正方形的概念，总结出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，进而探索正方形的性质。水平划分水平一水平二水平三水平四正方形的概念不能说出正方形的概念在教师的引导下说出正方形的概念自主准确说出正方形的概念根据矩形和菱形的定义，结合正方形的特点独立自主的准确总结出正方形的概念正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别不能说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别能说出部分正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别能完整说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，完成例题。能自主总结出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，独立完成例题。正方形的性质不能说出正方形的性质在教师的引导下说出正方形的性质自主准确说出正方形的性质，独立完成例题自主准确说出正方形的性质，独立完成例题，并能举一反三学习活动： 第8课时学习活动一：正方形概念回顾矩形和菱形的定义，结合正方形的特点，尝试给出定义，在教师引导下逐步给出准确定义。思考正方形、菱形、矩形之间的关系。学习活动二：探索正方形的性质回顾平行四边形、矩形、菱形的性质，思考正方形与以上三者的关系；课本P58思考，归纳出正方形的性质。正方形的性质：（1）一般性质： （2）特殊性质： 例题1:正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A、 四条边相等 B、对角线互相垂直平分C、对角线相等 D、每一条对角线平分一组对角尝试变式：例题2：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形18-8-2学习目标：掌握正方形的判定方法，并会用他们进行有关的论证和计算。评价任务：在老师的引导下，总结正方形的判定方法，并会用他们进行有关的论证和计算。水平划分水平一水平二水平三水平四正方形的判定方法不能说出正方形的判定方法，不会做题。在教师的引导下说出正方形的判定方法，做题不熟悉。自主准确说出正方形的判定方法，独立完成例题自主总结出正方形的判定方法，独立完成例题，并会举一反三。学习活动一：探索正方形的判定方法。回顾平行四边形、矩形、菱形的判定，思考正方形与以上三者的关系；归纳正方形的判定方法。例题3:在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） （A）AC=BD，AB∥CD，AB=CD （B）AD∥BC，∠A=∠C（C）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD （D）AO=CO，BO=DO，AB=BC18-8-3学习目标：熟练掌握正方形的性质和判定方法，并会用他们进行有关的论证和计算。评价任务：熟练掌握正方形的性质和判定方法，用性质和判定进行有关的论证和计算水平划分水平一水平二水平三水平四正方形的性质和判定方法不能说出正方形的性质和判定方法在教师的引导下说出能说出正方形的性质和判定方法，不够熟练自主准确说出正方形的性质和判定方法。自主准确说出正方形的性质和判定方法，能独立完成例题。用性质和判定进行有关的论证和计算不能说出正方形的性质和判定方法，不会做题能说出正方形的性质和判定方法，做题不熟练会利用正方形的性质和判定方法做简单的应用题熟知正方形的性质和判定方法，独立的应用性质和判定进行有关的论证和计算学习活动： 第9课时学习活动一：正方形判定与性质的应用例1.如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．2.分析正方形的特点和题目中的已知条件，鼓励一题多解。学习活动二：正方形判定与性质的巩固1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（ ）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）3.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数． 学习活动： 第10课时一、以题代纲，梳理知识（一）开门见山，直奔主题同学们，今天我们一起来复行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。（二）诊断练习1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：（1）AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）（2）∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ） （3）AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形 （ 菱形 ） （4）OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ） （5）AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为 5 厘米。3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是 菱形 。4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有： 矩形、菱形、正方形 ，中心对称图形的有： 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是： 矩形、菱形、正方形 。（三）归纳整理，形成体系1、性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；3、一组对边平行且相等;4、两组对角分别相等；5、两条对角线互相平分.1、有三个角是直角的四边形;2、有一个角是直角的平行四边形;3、对角线相等的平行四边形.1、四边相等的四边形；2、对角线互相垂直的平行四边形；3、有一组邻边相等的平行四边形。4、每条对角线平分一组对角的四边形。1、有一个角是直角的菱形；2、对角线相等的菱形；3、有一组邻边相等的矩形；4、对角线互相垂直的矩形；对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S= ahS=abS=S= a22、基础练习：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ） A.对角线相等 （距、正） B. 对角线平分一组对角 （菱、正） C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 （菱、正）（2）正方形具有，矩形也具有的性质是（ A ） A.对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直且互相平分 D.对角线互相垂直平分且相等（3）如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ D ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形（4）矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 内角和为3600问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。（5）正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ） A. 内角为3600 B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线平分对角问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等2、集合表示，突出关系二、查漏补缺，讲练结合（一）一题多变，培养应变能力〖例题1〗已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE=OF． 变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形。变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？对角线互相平分的四边形是平行四边形。变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，这时仍有OE=OF吗？你还能构造出几个新的平行四边形？对角线互相平分的四边形是平行四边形。变式4．在图1中，若改为过A作AH⊥BC，垂足为H，连结HO并延长交AD于G，连结GC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？可由变式1可知四边形AHCG是平行四边形，再由一个直角可得四边形AHCG是矩形。变式5．在图1中，若GH⊥BD，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？ 可由变式1可知四边形BGDH是平行四边形，再由对角线互相垂直可得四边形BGDH是菱形。变式6．在变式5中，若将“□ABCD”改为“矩形ABCD”，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH的长吗？（这一问题相当于将矩形ABCD对折，使B、D重合，求折痕GH的长。）略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。 设OG = x，则BG = GD=． 在Rt△ABG中，则勾股定理得：AB2 + AG2 = BG2 ，即， 解得 ． ∴GH = 2 x = 7.5． （二）一题多解，培养发散思维〖例题2〗已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，F是CD的中点，且AE = DC + CE． 求证：AF平分∠DAE． 证法一：（延长法）延长EF，交AD的延长线于G（如图2-1）。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF 在△EFC和△GFD中 ∴△EFC≌△GFD（ASA） ∴CE=DG，EF=GF ∵AE = DC + CE， ∴AE = AD + DG = AG， ∴AF平分∠DAE．证法二：（延长法）延长BC，交AF的延长线于G（如图2-2） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90° （正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） ∴∠3=∠G，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D 在△FCG和△FDA中 ∴△△FCG和△FDA（ASA） ∴CG=DA ∵AE = DC + CE， ∴AE = CG + CE = GE， ∴∠4 =∠G， ∴∠3 =∠4， ∴AF平分∠DAE．思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G，使AG=AD，再连结GF、EF（如图2-3），这样能证明吗？三、综合训练，总结规律综合练习，提高解题能力1.在例2中，若将条件“AE = DC + CE”和结论“AF平分∠DAE”对换， 所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？ 2.已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， G、H分别是BC、AD的中点． 求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法） （二）课堂小结，领悟思想方法 1.一题多变，举一反三。 经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力。 2.一题多解，触类旁通。 在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。 3.善于总结，领悟方法。数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。 第11课时 单元测试一．选择题（共10小题，满分24分）1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）A．4 B．4.5 C．4.8 D．52．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD3．（3分）如图， ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请你数一数图中共有（ ）个平行四边形．A．2 B．3 C．4 D．54．（3分）下列能够判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC5．（3分）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB∥CD，（2）AB＝CD，（3）BC∥AD，（4）BC＝AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法种数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC7．（3分）已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为矩形，则可增加条件为（ ）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD8．（3分）已知 ABCD的周长是64，AB＝8，则BC的长为（ ）A．8 B．24 C．48 D．569．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（ ）A．四边形ACFD是平行四边形 B．BD2+FD2＝BF2 C．OE＝BD D．面积关系：S△GEO＝S△ADO10．如图，在边长为4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，连接DE，BF，BD，则DE2+BF2＝（ ）A．10 B．20 C．30 D．40二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 ．（填一个即可）12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若BF＝6，则DE＝ ．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 ．14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 ．15．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为 ．16．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠AEO＝ 度．17．（3分）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝BC，则△ABC底角的度数为 ．18．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有 ．（填序号）三．解答题（共8小题，满分76分）19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）20．（9分）在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为 ．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，EF与AC相交于点O，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）已知sin∠ACF＝，CF＝5，AB＝6，请你直接写出sinB的值．22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．（1）求证：2EF＝CD；（2）当EF与BC满足 时，四边形ABCD是矩形；（3）当EF与BC满足 时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；（4）当EF与BC满足 时，四边形ABCD是正方形．23．（9分）如图，在 ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①当AE＝ 时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝ 时，四边形CEDF是菱形．24．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．25．（10分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．26．（12分）如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：DE+DF＝AB． 学习活动： 第12课时一．选择题（共10小题，满分24分）1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）A．4 B．4.5 C．4.8 D．5【分析】由中位线定理可得点P的运动轨迹是线段P1P2，再由垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，由勾股定理求出BP2、BP1、CE的长，由三角形中位线定理得出P1P2的长，设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，由勾股定理得BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，解得x＝，即可得出结果．【解答】解：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，如图所示：∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∴CP1＝CD＝3，∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝3，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，∴P2Q＝AD＝2，QE＝AQ＝AE＝，∴BQ＝BE+QE＝3+＝，在Rt△BP2Q中，由勾股定理得：BP2＝＝＝，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5，∴P1P2＝CE＝，在Rt△BCP1中，由勾股定理得：BP1＝＝＝5，设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，由勾股定理得：BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，即（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，解得：x＝，∴BP′2＝（）2﹣（）2＝，∴BP′＝4.8，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．2．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．3．（3分）如图， ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请你数一数图中共有（ ）个平行四边形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行四边形的性质进行分析可得共有四对，分别是 AECG， BFDH， OPMN， ABCD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴AE＝CG，∴四边形AECG是平行四边形，同理：四边形BFDH是平行四边形，四边形OPMN是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解及运用能力．4．（3分）下列能够判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC【分析】直接利用平行四边形的判定方法分别判断得出答案．【解答】解：如图所示：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，不符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，不符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；D、∵AB＝CD，AD＝BC，符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．5．（3分）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB∥CD，（2）AB＝CD，（3）BC∥AD，（4）BC＝AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法种数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行四边形的判定在四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有4种．【解答】解：因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故选法有四种．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC【分析】由平行四边形的性质得AO＝CO，AD∥BC，则∠BAD+∠ABC＝180°，再由AB＝BC得平行四边形ABCD是菱形，则AB＝AD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形ABCD为菱形是解题的关键．7．（3分）已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为矩形，则可增加条件为（ ）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD【分析】由四边形ABCD是平行四边形，增加AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠BAD，可判定四边形ABCD是菱形，由AC＝BD，即可判定四边形ABCD是矩形．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴四边形ABCD是菱形，故D不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定定理是解此题的关键．8．（3分）已知 ABCD的周长是64，AB＝8，则BC的长为（ ）A．8 B．24 C．48 D．56【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，进而可得AB+BC＝32，然后可得BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵ ABCD的周长为64，∴AB+BC＝32，∵AB＝8，∴BC＝24，故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（ ）A．四边形ACFD是平行四边形 B．BD2+FD2＝BF2 C．OE＝BD D．面积关系：S△GEO＝S△ADO【分析】由菱形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，可得CF＝BC，由平行四边形的判定可证四边形ACFD是平行四边形，可得BD⊥DF，由勾股定理可得BD2+FD2＝BF2，由相似三角形的性质可得S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，∵CF＝BC，∴CF＝AD，∴四边形ACFD是平行四边形，故选项A不合题意；∴AC∥DF，DG＝GC，∴BD⊥DF，∴BD2+FD2＝BF2，故选项B不合题意；∵DG＝GC，AE＝EC，∴EG∥AD，AD＝2EG，∴△EGO∽△DAO，∴＝（）2＝4，，∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故选项C符合题意，选项D不合题意，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．如图，在边长为4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，连接DE，BF，BD，则DE2+BF2＝（ ）A．10 B．20 C．30 D．40【分析】连接BE，DF交于点O，由题意可证△AEB≌△AFD，可得∠AFD＝∠AEB，可证∠EOF＝90°，由勾股定理可求解．【解答】解：连接BE，DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝90°∴∠EAB＝∠DAF，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEF+∠AFE＝90°＝∠AEB+∠BEF+∠AFE＝∠BEF+∠AFE+∠AFD＝∠BEF+∠EFD＝90°，∴∠EOF＝90°，∴EO2+FO2＝EF2，DO2+BO2＝DB2，EO2+DO2＝DE2，OF2+BO2＝BF2，∴DE2+BF2＝EF2+DB2＝2AE2+2AD2＝2×22+2×42＝40．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 AC＝BD且AC⊥BD或AB＝BC且AB⊥BC等 ．（填一个即可）【分析】本题是开放题，可以针对正方形的判定方法，由给出条件四边形ABCD为平行四边形，加上条件AC＝BD根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到ABCD为矩形，再加上对角线AC与BD垂直，根据对角线垂直的矩形是正方形即可得证；或加上邻边AB与BC相等，根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到ABCD为菱形，再加上AB垂直BC，即有一个角是直角的菱形为正方形，即可得证．【解答】解：如图所示：添加的条件是AC＝BD且AC⊥BD，或AB＝BC且AB⊥BC，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC＝BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；添加的条件是AB＝BC且AB⊥BC时；∵四边形ABCD是平行四边形．AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥BC，即∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；故答案为：AC＝BD且AC⊥BD或AB＝BC且AB⊥BC．【点评】本题是一道开放型题目，主要考查矩形、菱形及正方形的判定；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若BF＝6，则DE＝ 6 ．【分析】根据直角三角形的性质得到BF＝AC，根据三角形中位线定理得到DE＝AC，根据题意计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点F是边CA的中点，则BF＝AC，∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∴DE＝BF，∵BF＝6，∴DE＝6，故答案是：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 9 ．【分析】法1：由四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠CBG+∠ABF＝90°，又根据CG与BE垂直得到∠BCG+∠CBG＝90°，根据同角的余角相等得到一对角相等，又根据一对直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等，根据全等三角形的对应边相等得到AF与BG相等，又因为FH＝FB，从而得到AH＝FG，然后由垂直得到一对直角相等，加上一个公共角，得到三角形APH与三角形ABF相似，根据相似得比例，设AH＝FG＝x，用x表示出PH，由四边形PHFB一组对边平行，另一组对边不平行得到此四边形为梯形，根据梯形的面积公式，由上底PH，下底为BF＝3，高FH＝3，表示出梯形的面积；然后在三角形BCG与三角形ECG中，根据同角的余角相等，再加上一对直角得到两三角形相似，根据相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG＝3，利用表示出的GE，利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积，把表示出的两面积相加，化简即可得到值；法2：作出相应的辅助线，如图所示，易得三角形BPQ与三角形CGE全等，利用转化思想求出所求即可．【解答】解：法1：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠CBG+∠ABF＝90°，又CG⊥BE，即∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，又AF⊥BG，∴∠AFB＝∠BGC＝90°，∴△ABF≌△BCG，∴AF＝BG，BF＝CG＝FH＝3，又∵FH＝BF，∴AH＝FG，设AH＝FG＝x，∵PH⊥AF，BF⊥AF，∴∠AHP＝∠AFB＝90°，又∠PAH为公共角，∴△APH∽△ABF，∴＝，即PH＝，∵PH∥BF，BP不平行FH，∴四边形BFHP为梯形，其面积为＝+；又∵∠BCG+∠ECG＝90°，∠ECG+∠BEC＝90°，∴∠BCG＝∠BEC，又∠BGC＝∠CGE＝90°，∴△BCG∽△CEG，∴＝，即GE＝，故Rt△CGE的面积为×3×，则△CGE与四边形BFHP的面积之和为++＝+＝9．法2：延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3，作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：9【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，此题的综合性比较强，常常综合了多个考点和数学思想方法，因而解答时需“分解题意”，即将一个大问题分解为一个一个的小问题，从而解决问题．14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 ．【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．然后证四边形AEMF是矩形，得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出答案．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM与EF互相平分，∵N为EF的中点，∴MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂线段最短等知识，证明四边形AEMF为矩形是解题的关键．15．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为 5cm ．【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR BC＝AS CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3cm，OB＝4cm，∴AB＝＝5（cm）．故答案是：5cm．【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．16．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠AEO＝ 30 度．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AO＝AB，推出△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，求得AC＝OC＝CE，于是得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴CO＝BO＝AO＝AB，∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，∴AC＝OC＝CE，∴∠COE＝∠CEO＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠AEO＝∠CEO﹣∠AEC＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．（3分）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝BC，则△ABC底角的度数为 45°或15°或75° ．【分析】根据题意画出符合的三种情况，再根据含30°角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质求出即可．【解答】解：分为三种情况：①如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∴AD＝BD＝DC，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°；②如图，△ABC中，AC＝BC，∵AD＝BC，AD⊥BC，∴∠D＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵∠B+∠BAC＝∠ACD，∴∠B＝∠BAC＝15°，③如图，AD＝BC，∠C＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝75°；故答案为：45°或15°或75°．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【解答】解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC的中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查三角形中位线定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三．解答题（共8小题，满分76分）19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）【分析】（1）连接BE，DE，根据直角三角形的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据勾股定理求出BE，根据题意计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接BE，DE，在△ABC和△ADC中，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC中点，∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝DE，∵F为BD中点，∴EF⊥BD；（2）在Rt△BFE中，EF＝3，BF＝BD＝4，由勾股定理得：BE＝＝＝5，∴AC＝2BE＝10．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．20．（9分）在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为 ．【分析】（1）证△AEF≌△CED（AAS），得FE＝DE，再由AE＝CE，即可得出四边形ADCF是平行四边形；（2）先证AE＝DE，再证平行四边形ADCF是矩形，得∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，然后由勾股定理求出AC＝3，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC边的中点，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴FE＝DE，又∵AE＝CE，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：∵∠FEA＝∠ADE+∠DAE，∠FEA＝2∠ADE，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE，由（1）得：四边形ADCF是平行四边形，AE＝CE，FE＝DE，∴AC＝DF，∴平行四边形ADCF是矩形，∴∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，∴AC＝＝＝3，∴AE＝AC＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，EF与AC相交于点O，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）已知sin∠ACF＝，CF＝5，AB＝6，请你直接写出sinB的值．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得OA＝OC．EA＝EC，再证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，则四边形AECF是平行四边形，然后由EA＝EC，即可得出结论；（2）过A作AM⊥BC于M，由锐角三角函数定义得OF＝，则OC＝2，AC＝2OC＝4，再由勾股定理求出FM＝3，则AM＝4，即可解决问题．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．EA＝EC，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EA＝EC∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：过A作AM⊥BC于M，如图所示：∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∵sin∠ACF＝＝，CF＝5，∴OF＝，∴OC＝＝＝2，∴AC＝2OC＝4，由（1）得：四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝5，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，∴AM2＝AF2﹣FM2＝AC2﹣CM2，即52﹣FM2＝（4）2﹣（FM+5）2，解得：FM＝3，∴AM＝＝＝4，∴sinB＝＝＝．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．（1）求证：2EF＝CD；（2）当EF与BC满足 EF⊥BC 时，四边形ABCD是矩形；（3）当EF与BC满足 BC＝2EF 时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；（4）当EF与BC满足 EF⊥BC且BC＝2EF 时，四边形ABCD是正方形．【分析】（1）利用三角形中位线定理以及其性质判断得出即可；（2）利用矩形的判定方法得出即可；（3）利用菱形的判定方法得出即可；（4）利用正方形的判定方法得出即可．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴点F为AC，BD的中点，又∵E是BC的中点，∴EF为△DBC的中位线，∴2EF＝CD；（2）EF⊥BC；理由：∵EF为△DBC的中位线，EF⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故答案为：EF⊥BC；（3）BC＝2EF，理由：∵点E为BC的中点，且BC＝2EF∴EF＝BE＝EC，∴∠EBF＝∠BFE，∠EFC＝∠ECF又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF＝180°∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝90°，∴平行四边形ABCD是菱形；故答案为：BC＝2EF；（4）EF⊥BC且BC＝2EF．理由：由（2）（3）可得：当EF与BC满足EF⊥BC且BC＝2EF时，四边形ABCD是正方形．故答案为：EF⊥BC且BC＝2EF．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及菱形和矩形以及正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理是解题关键．23．（9分）如图，在 ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①当AE＝ 6 时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝ 4 时，四边形CEDF是菱形．【分析】（1）证△DEG≌△CFG（AAS），得EG＝FG，再由DG＝CG，即可得出四边形CEDF是平行四边形；（2）①过A作AM⊥BC于M，证△MBA≌△EDC（SAS），得∠CED＝∠AMB＝90°，即可得出结论；②证△CDE是等边三角形，得CE＝DE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEG＝∠CFG，∵G是CD的中点，∴DG＝CG，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG，∵DG＝CG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：①当AE＝6时，四边形CEDF是矩形，理由如下：过A作AM⊥BC于M，如图所示：∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，∵∠B＝60°，∴∠BAM＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDE＝∠B＝60°，CD＝AB＝4，BC＝AD＝8，∵AE＝6，∴DE＝2＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：6；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由如下：∵AD＝8，AE＝4，∴DE＝4，∵CD＝4，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明△DEG≌△CFG和△MBA≌△EDC是解题的关键．24．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∵CE＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴四边形DECG是正方形，∴CG＝CE＝．【点评】本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证得△EQF≌△EPD．25．（10分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．【分析】（1）如图1，过M作MN⊥BC于N，根据正方形的性质得到∠D＝∠C＝90°，根据矩形的性质得到MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，由全等三角形的性质即可得到AF＝EM；（2）如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，根据正方形的性质得到∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，根据全等三角形的性质得到∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，求得∠GAE＝∠DAE，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB等量代换得到∠GAE＝∠AEB，根据线段的和差即可得到结论．【解答】（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，在△DAF与△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（12分）如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：DE+DF＝AB．【分析】首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AEDF是平行四边形，进而得到DF＝AE，然后证明DE＝CE，即可得到DE+DF＝AB．【解答】证明：如图∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF＝AE，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DF+DE＝AE+CE＝AC＝AB．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
A
C
B
D
O
B
A
C
D
A
BA
CA
DA
EA
FA
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
正方形
平行四边形
矩形
菱形
1-2
1-1
变式2
2-3
2-1
2-2
变式3
3-1
3-2
A
B
D
C
O
H
G
变式4
A
B
C
D
O
G
H
变式5
O
B
H
C
A
G
D
变式6
B
A
D
C
F
E
例2
2-1
1
2
A
B
D
C
F
E
G
1
2
3
4
2-2
2-3
作2
基本信息：单元名称： 人教版八年级下册第18章《平行四边形》 科目名称： 初中数学 课程类型： 必修课 课时： 12课时 日期：
课程标准：1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.2.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.3.了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.4.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质.5.探索并证明三角形的中位线定理.教材分析：平行四边形是常见的几何图形，既有丰富的性质，又在现实生活中具有广泛的应用，尤其矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的性质更加丰富、应用更加广泛.学生在第一学段已经学行四边形，本学段八年级上册“三角形”一章研究了多边形及内角和等内容，包括四边形及其内角和，“全等三角形”一章又研究了三角形全等的判定及全等角形的性质，这些内容是学习本章的重要基础.本章先研究平行四边形，在平行四边形的基础上，学习矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形.第18.1节主要研究平行四边形的概念、性质定理和判定定理；在平行四边形概念和性质定的基础上，介绍两条平行线之间距离的概念；作为性质定理和判定定理的一个应用，探索并证明三角形中位线定理.第18.2节首先研究特殊的平行四边形——矩形和菱形，它们分别是有一个角是直角和有一组邻边相等的特殊平行四边形，第18.2.1小节和第18.2.2小节分别研究矩形和菱形的概念、性质定理和判定定理，在矩形和菱形的基础上，再研究它们的特殊情况，即同时具有两个特殊条件的平行四边形——正方形，它是有一个角是直角的特殊菱形，或者是有一组邻边相等的特殊矩形.由此得出，正方形具有平行四边形的所有性质.第18.2.3小节给出了正方形的概念，并让学生自己研究它的性质定理和判定定理.本章重点是平行四边形的概念、性质定理和判定定理.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的性质定理和判定定理的研究方法，与平行四边形性质定理和判定定理的研究方法一脉相承，两条平行线之间的距离相等、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等结论的探索与证明，都以平行四边形、矩形的概念和有关定理为依据，是平行四边形、矩形知识的综合应用，另外，平行四边形的性质定理，也常常是证明两条线段相等、两角相等以及两条直线平行或垂直的重要依据.掌握平行四边形的概念、性质定理和判定定理，并能应用这些知识解决问题，是学好本章的关键.本章教学内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法类似，推理论证的难度不大.相对来说，平行四边形与矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形之间的联系与区别，是本章教学难点，因为各种平行四边形概念交错，容易混淆.在应用它们的性质定理和判定定理的时候，有时会出现错用、多用、少用条件的问题.教学中要注意结合教科书中的结构图，分清这些平行四边形的从属关系，梳理它们的性质定理和判定定理，克服难点.基本问题：1.你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗？2.平行四边形有哪些性质？如何判定一个四边形是平行四边形？3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质？如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形？你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗？4.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理.你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗？驱动性问题：如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O是正方形A′B′C′O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，正方形A′B′C′O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，想一想这是为什么？学情分析：在小学已经初步认识平行四边形、了解平行四边形的定义.七年级学习了相交线与平行线、三角形、全等三角形的相关知识.八年级储备了轴对称和勾股定理的相关知识和动手操作的意识和能力，分析问题和知识的迁移的能力有了也有了一定的提高.但合理运用辅助线的能力还欠缺，而平行四边形的研究内容、过程与方法与三角形有极大的可类比性，所以应把平行四边形作为培养学生探究发现能力的载体，为学生创设更大的自.主学习空间，引导学生通过自主探究，整体构建平行四边形的研究框架，在一般观念的引领下，经历完整的“概念——性质——判定——应用”的过程，理解平行四边形的概念内涵、组成要素和相关要素等，再通过对内涵、要素、相关要素等之间关系的探索，或通过建立相关概念的联系而发现结论、提出猜想，最后通过逻辑推理证明结论、得出定理.同时，要通过适当的情境，引导学生从一般到特殊，逐步提出值得研究的新对象、新问题，最终形成“四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形”的完整知识体系.资源分析：《义务教育社会学课程标准（2011年版）》；人教版八年级下册数学课本、同步练习册；自制导学案、课件。
单元目标：1.理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、通过观察、归纳、猜想、证明得出性质与判定定理，会应用其进行与线段、角有关的数量关系或位置关系的证明，会证明一个四边形是否为平行四边形与特殊平行四边形；2.经历平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定定理的探究过程，体会它们之间的联系与区别，积累研究四边形和研究图形定义、性质、判定的思维经验，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学核心素养；3.通过对平行四边形及特殊平行四边形的探究，体会数学知识之间的内在联系，感悟数学追求严密、系统、一般、统一的理性精神，养成批判质疑和勇于创新的品质。
重难点：1．类比三角形的研究过程，得出四边形研究路线.2．根据平行四边形及特殊平行四边形定义推导得出性质，利用性质进行简单应用.3.类比平行线性质与判定的互逆关系得出平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定定理.4.根据性质及判定进行计算、证明解决简单的问题.
单元评价：评价任务1.探索平行四边形定义、边角性质.学习目标：16-1-1通过平行四边形定义的学习，能用文字语言、图形语言、符号语言来描述平行四边形的定义.知道平行四边形的研究是以定义为出发点的，会用定义识别平行四边形.16-1-2探索并掌握平行四边形边、角的性质.能利用平行四边形的定义证明其边、角、对角线的性质，能利用性质进行基本的计算或证明；初步学会分别从题设或结论出发寻求论证思路.16-1-3进一步体会几何研究的一般思路和方法.在探究过程中，能够体会对图形性质的研究实际上就是揭示图形中各几何要素之间的关系知道观察、度量、实验、猜想、证明是几何研究的基本活动，体会“用合情推理发现结论，用演绎推理证明结论这一几何研究的基本思考方式16-1-4能将平行线间的距离”转化成点到直线的距离,体会“三种距离”之间的转化.评价任务：教师出示问题，学生先独立思考，然后组内交流，由小组长和教师记录并填写评价结果.评价量规1：水平划分水平一水平二水平三水平四平行四边形的表示不能说出平行四边形的定义 能说出平行四边形的定义能准确说出平行四边形的定义，能用图形语言和符号语言表示平行四边形能准确说出平行四边形的定义，能用图形语言和符号语言表示平行四边形，并能自主举例平行四边形的性质的证明不会证明平行四边形的性质定理能在教师的指导下或通过小组合作证明平行四边形的性质定理能独立完成平行四边形的性质定理的证明不仅能独立证明性质，还能主动分享自己的见解平行四边性质的应用能说出部分性质能说出全部性质，但不会用能通过与同学合作，用性质解决边角的证明和求解能熟练应用性质分析问题，并解决问题具体实施：学习完学习活动4后，实施此任务，6人为一小组，由小组长评价组员，教师评价小组长。教学活动： 第1课时学习活动一：明确单元学习目标教师：出示单元学习目标，并做出解释。学生：阅读学习目标，明确学习目标。学习活动二：类比三角形学习路线，得出平行四边形整章的学习路线教师：根据三角形构成要素关系的特殊化，我们应该先研究哪一种特殊的四边形？如何研究呢？学生：类比三角形学习路线，从一般到特殊的研究思路得出平行四边形整章学习路线，得出本章的研究对象、研究内容、研究方法.学习活动三：学习平行四边形的定义、表示方法、符号语言教师：回顾小学平行四边形的定义，类比三角形的表示方法怎样表示一个平行四边形？四边形具备了什么条件我们就说这个四边形就是平行四边形？用符号怎样表达？学生：根据定义和图形得出符号表示学习活动四：探索平行四边形的性质教师：平行四边形除去具有一般四边形的性质，它还有哪些自己特有的性质？从组成图形的元素考虑（边、角、对角线）学生：经历观察、猜想、验证、证明的过程，并在小组交流的基础上得出平行四边形的性质学习活动五：两条平行线之间的距离教师：两条平行线之间的距离是如何定义的？两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？学生：根据平行四边形定义性质得出两条平行线之间的距离学习活动六：小结归纳学生：每组推荐一名代表，汇报本组的发现和收获。教师：教师及时给予评价，引导学生总结出（1）通过观察、猜想、验证、证明发现问题；（2）研究问题要从一般逐步到特殊；学习活动七：性质的应用学生：完成下列练习：1.已知□ABCD中，∠A=40°，∠B=_____ ,∠C=___，∠D=______ .2.已知□ABCD中，AB=8cm,周长等于24cm，则BC=_______，CD=_____ ，DA=___.3.已知□ABCD中,∠A+∠C=200°，∠B=___.4如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，则下列说法，错误的是（ ）．（A）OA＝OC （B）∠BAD＝∠BCD （C）AC⊥BD （D）∠BAD＋∠ABC＝180°5.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交DC于点E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长． 【变式拓展】平行四边形的一条角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长.【收获与反思】 评价任务2.探索平行四边形的判定.学习目标：16-2-1通过经历平行四边形判定定理的探索过程，丰富活动经验和体验，进一步培养和发展合情推理能力.16-2-2.通过平行四边形判定定理以及相关问题的证明和计算，一步培养和发展学生的演绎推理能力.具体任务：教师引导学生类比等腰三角形、直角三角形性质判定的互逆关系，学生独立思考，证明判定，组内交流.评价量规2：水平划分水平一水平二水平三水平四平行四边形的判定不能探究出平行四边形的性质 能在同学的帮助下探究平行四边形的判定能自主探究出平行四边形的性质，并能在合作中学会应用能自主探究判定，并熟练应该用判定解决问题具体实施：6人为一小组，由小组长根据小组互评1号与3号互评，2号和4号互评，5号和6号互评）作出评价。小组长记录。学习活动： 第2课时学习活动一：探索平行四边形的判定.教师：类比平行线、直角三角形等图形的性质和判定的互逆关系，你认为平行四边形的判定应该怎样研究？学生:独立思考后，说出平行四边形性质的逆命题.学生：小组派一名代表板书解题过程，并进行讲解。学习活动二：平行四边形判定的证明教师：怎样证明的？用的方法是什么？你是如何想到的？学生：写出证明过程，最终得出平行四边形的判定填一填：四边形ABCD中，（1）若AB∥CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.（理由： ）.（2）若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.（理由： ）.（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.（理由： ）.学习活动三：判定的应用1.如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF=45 ，则∠EDF的度数是_______度.2.在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，已知AB∥CD，那么以下四个说法中，正确的有（ ）．①如果再加上条件“AD∥BC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②如果再加上条件“AB＝CD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；③如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；④如果再加上条件“AO＝CO”，那么四边形ABCD一定是平行四边形.（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个3.如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点，连结AO.若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是________.4.已知：如图，□ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，求证：AE=CF．【收获与反思】18-1-3探索中位线定理学习目标：1.通过经历平行四边形判定定理的探索过程，丰富活动经验和体验，进一步培养和发展合情推理能力.2.通过平行四边形判定定理以及相关问题的证明和计算，一步培养和发展学生的演绎推理能力.具体任务：教师引导学生类比等腰三角形、直角三角形性质判定的互逆关系，学生独立思考，证明判定，组内交流.评价任务：能说出三角形中位线的概念，能在老师启发下证明中位线定理.评价量表：水平划分水平一水平二水平三水平四中位线的概念不能说出中位线的定义 能说出中位线的定义，并能认识中位线与中线的区别能准确说出中位线定义，能准确区分中位线与中线，并认识到构造三角形形的中位线的方法 能准确说出中位线定义，能准确区分中位线与中线，并认识到构造三角形形的中位线的方法，并能初步猜想中位线与第三边的关系证明中位线定理.不会证明三角形中位线定理能在教师提示下做出辅助线，在同学或老师帮助下完成证明能在教师提示下做出辅助线，自己独立完成中位线定理的证明能独立做出辅助线，准确完整的完成中位线定理的证明评价实施：学习完学习活动4后，实施此任务，6人为一小组，由小组长评价组员，教师评价小组长.学习活动 第3课时 学习活动一：明确三角形的中位线概念.1.结合图形说出三角形中位线的定义；2.结合图形说出三角形的中线与三角形中位线的区别.【思考】：（1）（三角形的中位线与第三边有怎样的关系？ 一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． 学习活动二：探索三角形的中位线定理1.思考问题：如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，猜想DF与BC有何位置关系和数量关系？2.学生借助右图中两个完全相同的图形，发现DF与BC的位置关系和数量关系.教师引导学生借助拼图，如何将发现的问题转化为平行四边形的问题.3.学生独立尝试解决问题，然后组内讨论，小组代表进行展示.4.师生归纳解决该问题用到的转化的思想方法.学习活动三：应用中位线定理解决问题1.思考问题：已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．2.学生复习总结平行四边形的方法有哪些？3.学生独立尝试解决，然后分组讨论.4.开展小组竞赛，看看小组解决问题的办法多.5.师生归纳其中方法和思想.学习活动四：中位线定理巩固练习1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．18-2-1-1探索矩形定义、性质和判定学习目标：1.经历矩形概念的形成及性质、判定的探索过程，发展合情推理能力和演绎推理能力.2.通过灵活运用矩形的性质、判定解决有关问题，增强应用意识，提高分析问题和解决问题的能力.评价任务：教师引导学生类比平行四边形定义、性质判定的得出矩形的定义、性质过程，并会根据定义推导性质和判定.水平划分水平一水平二水平三水平四矩形的定义不能说出矩形的定义 能说出矩形的定义，并能认识矩形的定义既是矩形的性质又是矩形的判定能准确矩形定义，认识矩形的定义既是矩形的性质又是矩形的判定，并能运用定义解决一些基本问题 能准确矩形定义，认识矩形的定义既是矩形的性质又是矩形的判定，并能运用定义解决一些基本问题，并能认识矩形是一种特殊的平行四边形，它的研究方式可以类比平行四边形进行矩形的性质能猜想矩形的性质，但是不全，也不够准确能在教师提示下完整地猜想出矩形的性质能完整地猜想出矩形的性质，并能根据定义对性质进行证明能类比平行四边形的研究方法完整地猜想出矩形的性质，并能根据定义和全等的知识对性质进行证明评价实施：学习完学习活动4后，实施此任务，6人为一小组，由小组长评价组员，教师评价小组长.学习活动 第4课时学习活动一：归纳矩形的定义操作、观察教学具从平行四边形变为矩形的特点，思考如何在平行四边的基础上得出矩形的概念.尝试给出矩形的概念并逐步精确规范.学习活动二：归纳矩形的性质1.回忆平行四边形从哪几个方面总结性质，分别有哪些性质.2.学生借助学具或画出图形，猜想平行四边形从边、角、对角线等方面有哪些性质,哪些是四边形不具有的。归纳出矩形的性质.3.独立尝试证明这些性质，先小组讨论，再展示.学习活动三：矩形性质的推论1.观察矩形图形，说出它的性质. 2.剪掉△ACD后，剩余的图形是什么图形，有何特点？学习活动三：矩形性质的应用1.思考问题：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长.2.独立尝试解决，先小组讨论，再展示，教师订正.学习活动四：矩形性质的巩固1．（填空）（10分）（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．2、（10分）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°（1）求∠2的度数．（2）求证：BO＝BE．18-2-1-2矩形的判定学习目标：通过类比平行四边形判定定理的研究过程，能从矩形性质定理的逆命题出发，证明矩形的判定定理，并能应用于实际问题。评价任务：知道矩形的判定定理，能发现和证明矩形判定定理，并能应用于实际问题。评价量规：水平划分水平一水平二水平三水平四矩形的判定定理不能类比平行四边形的判定定理发现和证明矩形的判定定理，不能说出判定定理内容。在教师的引导下可以完成矩形判定定理的发现和证明，会用文字语言准确表达矩形判定定理。自主的发现和证明矩形判定定理，并能用文字语言和符号语言表达矩形判定定理。自主的发现和证明矩形的判定定理，对于判定定理的不同描述能进行判断和应用。能用矩形判定定理解决实际问题不能用矩形的判定定理解决课本例题在教师或同伴引导下能用矩形判定定理完成例题。能独立完成课本例题的求解和证明，且过程较规范。能独立准确的完成课本例题，并能找出矩形判定定理在生活中的实例。学习活动 第5课时一、导入新知（活动1）、你能说出矩形的定义和性质吗？类比平行四边形的判定，矩形的判定定理有那些？二、探究新知（活动2）说一说：矩形的对角线相等，矩形的四个角是直角，它们的逆命题是什么？证一证：1.对角线相等的平行四边形是矩形（尝试自己写出已知和求证，画出图形）2.有三个角是直角的四边形是矩形（同证明判定定理1尝试自己写出已知和求证，画出图形）想一想：工人师傅在做门窗时或矩形零件时，为何要测量两组对边的长度和对角线的长度？3.木匠师傅制作矩形踏板时，在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的地方锯了两次，就能得到矩形踏板。为什么？三.精讲例题（活动3）例2 已知：如图,在ABCD中，AC 、DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：ABCD是矩形.四．巩固应用1、下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形； （）（2）有四个角是直角的四边形是矩形； （）（3）四个角都相等的四边形是矩形； （）（4）对角线相等的四边形是矩形； （）（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （）2、已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．思考应该用哪种方法判定。学生不同的方法展示，并一步归纳各种矩形的判定方法。五、课堂小结定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形.矩形的判定 判定定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明18-2-2-1菱形定义及性质学习目标：通过具体实例，理解菱形的概念，明确菱形与矩形与平行四边形的联系与区别；在教师的引导下，通过小组讨论，能从边、角、对角线三方面进行研究，发现和证明菱形的性质，并用菱形的相关性质解决问题；通过具体例题，能用不同的方法计算菱形面积，并总结出菱形面积和对角线的关系式。评价任务：理解菱形的概念，能证明菱形的性质，并用性质进行相关计算和证明。水平划分水平一水平二水平三水平四菱形的概念 不能说出菱形的概念能准确地说出菱形的概念，并能举出生活中的例子能准确地说出菱形的概念，在教师引导下能说出菱形和矩形、平行四边形的联系和区别。能准确地说出菱形的概念，并能举出生活中的例子，能明确说出菱形和矩形、平行四边形的联系和区别。菱形的性质不能发现和证明菱形的性质能说出菱形的性质但不能完成菱形性质的发现和证明 在教师的引导下，能发现和证明菱形的性质能独立的发现和证明菱形的性质，用文字和符号语言表达菱形的性质菱形面积的计算不能计算菱形面积通过小组合作能完成菱形面积的计算自主完成菱形面积的计算，并能得出菱形面积等于对角线乘积一半能用多种方法完成菱形面积的计算，并能解决课本例题和习题。学习活动： 第6课时课堂导入操作、观察教学具从平行四边形变为矩形的特点，思考如何在平行四边的基础上得出菱形的概念二、探索性质探:1：将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开，你发现这是一个什么样的图形呢？从对称性角度，它有什么性质？ 探究2：回忆平行四边形从哪几个方面总结性质，分别有哪些性质。学生借助学具或画出图形，猜想平行四边形从边、角、对角线等方面有哪些性质,哪些是四边形不具有的。归纳出矩形的性质。探究3：思考平行四边形面积的计算方法观察菱形对角线之间的位置关系，转化两个三角形的面积，总结出菱形面积另一种计算方法：三、 精讲例题例3 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，∠ABC=60 ，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.四、性质巩固1.若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．五、课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获？还有哪些疑问？18-2-2-2菱形的判定学习目标：在教师的引导下，类比平行四边形、矩形判定定理的研究过程，从性质定理的逆定理出发，推导出菱形的两种判定方法。评价任务1：在理解与掌握菱形定义的前提下，知道菱形的两种判定方法。评价量规：水平划分水平一水平二水平三水平四菱形的判定方法不能说出菱形的判定方法以及菱形判定的几何语言在教师的引导下说出菱形的判定方法，会用几何语言描述菱形的判定方法，完成例题自主准确说出菱形的判定方法，会用几何语言描述菱形的判定方法，独立完成课本例题自主准确说出菱形的判定方法，会自主推导出菱形的两种判定方法并会用几何语言表示，会对P58练习3有自己的认识，独立完成课本例题。学习活动： 第7课时活动一.回顾知识问题一：菱形的定义是什么？除此之外还有其他的判定菱形的方法吗？有一组邻边相等的平行四边行是菱形。有活动二探究新知问题二：类比研究平行四边行、矩形的判定方法，菱形的性质定理的逆命题是什么？命题1.四条边相等的四边行是菱形。命题2.对角线相互垂直的平形四边形是菱形。问题三：结合菱形的定义，你能证明上述逆命题是否成立吗？将命题1转化为以下证明题：已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD求证：四边形ABCD是菱形2.将命题2转化为以下证明题：已知：在□ABCD中，AC⊥BD求证：□ABCD是菱形 【总结】通过以上证明，得到菱形的两种判定定理：四边相等的四边形是菱形.对角线相互垂直的平行四边形是菱形.三、精讲例题（课本P57 例4）如图，□ABCD的对角线AC,BD相较于点O，且AB=5,AO=4,BO=3.求证：□ABCD是菱形.证明：∵AB=5,AO=4,BO=3∴=+∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD∴□ABCD是菱形四、课堂小结菱形的判定方法：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。判定定理:四边相等的四边形是菱形。判定定理：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。18-2-3正方形学习目标：掌握正方形的概念，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，探索正方形的性质。评价任务：通过老师的引导，知道正方形的概念，总结出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，进而探索正方形的性质。水平划分水平一水平二水平三水平四正方形的概念不能说出正方形的概念在教师的引导下说出正方形的概念自主准确说出正方形的概念根据矩形和菱形的定义，结合正方形的特点独立自主的准确总结出正方形的概念正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别不能说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别能说出部分正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别能完整说出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，完成例题。能自主总结出正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，独立完成例题。正方形的性质不能说出正方形的性质在教师的引导下说出正方形的性质自主准确说出正方形的性质，独立完成例题自主准确说出正方形的性质，独立完成例题，并能举一反三学习活动： 第8课时学习活动一：正方形概念回顾矩形和菱形的定义，结合正方形的特点，尝试给出定义，在教师引导下逐步给出准确定义。思考正方形、菱形、矩形之间的关系。学习活动二：探索正方形的性质回顾平行四边形、矩形、菱形的性质，思考正方形与以上三者的关系；课本P58思考，归纳出正方形的性质。正方形的性质：（1）一般性质： （2）特殊性质： 例题1:正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）A、 四条边相等 B、对角线互相垂直平分C、对角线相等 D、每一条对角线平分一组对角尝试变式：例题2：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形18-8-2学习目标：掌握正方形的判定方法，并会用他们进行有关的论证和计算。评价任务：在老师的引导下，总结正方形的判定方法，并会用他们进行有关的论证和计算。水平划分水平一水平二水平三水平四正方形的判定方法不能说出正方形的判定方法，不会做题。在教师的引导下说出正方形的判定方法，做题不熟悉。自主准确说出正方形的判定方法，独立完成例题自主总结出正方形的判定方法，独立完成例题，并会举一反三。学习活动一：探索正方形的判定方法。回顾平行四边形、矩形、菱形的判定，思考正方形与以上三者的关系；归纳正方形的判定方法。例题3:在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） （A）AC=BD，AB∥CD，AB=CD （B）AD∥BC，∠A=∠C（C）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD （D）AO=CO，BO=DO，AB=BC18-8-3学习目标：熟练掌握正方形的性质和判定方法，并会用他们进行有关的论证和计算。评价任务：熟练掌握正方形的性质和判定方法，用性质和判定进行有关的论证和计算水平划分水平一水平二水平三水平四正方形的性质和判定方法不能说出正方形的性质和判定方法在教师的引导下说出能说出正方形的性质和判定方法，不够熟练自主准确说出正方形的性质和判定方法。自主准确说出正方形的性质和判定方法，能独立完成例题。用性质和判定进行有关的论证和计算不能说出正方形的性质和判定方法，不会做题能说出正方形的性质和判定方法，做题不熟练会利用正方形的性质和判定方法做简单的应用题熟知正方形的性质和判定方法，独立的应用性质和判定进行有关的论证和计算学习活动： 第9课时学习活动一：正方形判定与性质的应用例1.如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．2.分析正方形的特点和题目中的已知条件，鼓励一题多解。学习活动二：正方形判定与性质的巩固1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（ ）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）3.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数． 学习活动： 第10课时一、以题代纲，梳理知识（一）开门见山，直奔主题同学们，今天我们一起来复行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。（二）诊断练习1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：（1）AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）（2）∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ） （3）AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形 （ 菱形 ） （4）OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ） （5）AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为 5 厘米。3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是 菱形 。4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有： 矩形、菱形、正方形 ，中心对称图形的有： 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是： 矩形、菱形、正方形 。（三）归纳整理，形成体系1、性质判定，列表归纳平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定1、两组对边分别平行；2、两组对边分别相等；3、一组对边平行且相等;4、两组对角分别相等；5、两条对角线互相平分.1、有三个角是直角的四边形;2、有一个角是直角的平行四边形;3、对角线相等的平行四边形.1、四边相等的四边形；2、对角线互相垂直的平行四边形；3、有一组邻边相等的平行四边形。4、每条对角线平分一组对角的四边形。1、有一个角是直角的菱形；2、对角线相等的菱形；3、有一组邻边相等的矩形；4、对角线互相垂直的矩形；对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S= ahS=abS=S= a22、基础练习：（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ） A.对角线相等 （距、正） B. 对角线平分一组对角 （菱、正） C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 （菱、正）（2）正方形具有，矩形也具有的性质是（ A ） A.对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直 C. 对角线互相垂直且互相平分 D.对角线互相垂直平分且相等（3）如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ D ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形（4）矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 内角和为3600问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。（5）正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ） A. 内角为3600 B. 四个角都是直角 C. 两组对边分别相等 D. 对角线平分对角问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等2、集合表示，突出关系二、查漏补缺，讲练结合（一）一题多变，培养应变能力〖例题1〗已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O， EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．求证：OE=OF． 变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？ 对角线互相平分的四边形是平行四边形。变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？对角线互相平分的四边形是平行四边形。变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，这时仍有OE=OF吗？你还能构造出几个新的平行四边形？对角线互相平分的四边形是平行四边形。变式4．在图1中，若改为过A作AH⊥BC，垂足为H，连结HO并延长交AD于G，连结GC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？可由变式1可知四边形AHCG是平行四边形，再由一个直角可得四边形AHCG是矩形。变式5．在图1中，若GH⊥BD，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？ 可由变式1可知四边形BGDH是平行四边形，再由对角线互相垂直可得四边形BGDH是菱形。变式6．在变式5中，若将“□ABCD”改为“矩形ABCD”，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH的长吗？（这一问题相当于将矩形ABCD对折，使B、D重合，求折痕GH的长。）略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。 设OG = x，则BG = GD=． 在Rt△ABG中，则勾股定理得：AB2 + AG2 = BG2 ，即， 解得 ． ∴GH = 2 x = 7.5． （二）一题多解，培养发散思维〖例题2〗已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，F是CD的中点，且AE = DC + CE． 求证：AF平分∠DAE． 证法一：（延长法）延长EF，交AD的延长线于G（如图2-1）。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角） ∴∠GDF=90°， ∴∠C =∠GDF 在△EFC和△GFD中 ∴△EFC≌△GFD（ASA） ∴CE=DG，EF=GF ∵AE = DC + CE， ∴AE = AD + DG = AG， ∴AF平分∠DAE．证法二：（延长法）延长BC，交AF的延长线于G（如图2-2） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90° （正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角） ∴∠3=∠G，∠FCG=90°， ∴∠FCG =∠D 在△FCG和△FDA中 ∴△△FCG和△FDA（ASA） ∴CG=DA ∵AE = DC + CE， ∴AE = CG + CE = GE， ∴∠4 =∠G， ∴∠3 =∠4， ∴AF平分∠DAE．思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G，使AG=AD，再连结GF、EF（如图2-3），这样能证明吗？三、综合训练，总结规律综合练习，提高解题能力1.在例2中，若将条件“AE = DC + CE”和结论“AF平分∠DAE”对换， 所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？ 2.已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， G、H分别是BC、AD的中点． 求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法） （二）课堂小结，领悟思想方法 1.一题多变，举一反三。 经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力。 2.一题多解，触类旁通。 在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。 3.善于总结，领悟方法。数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。 第11课时 单元测试一．选择题（共10小题，满分24分）1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）A．4 B．4.5 C．4.8 D．52．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD3．（3分）如图， ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请你数一数图中共有（ ）个平行四边形．A．2 B．3 C．4 D．54．（3分）下列能够判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC5．（3分）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB∥CD，（2）AB＝CD，（3）BC∥AD，（4）BC＝AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法种数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．56．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC7．（3分）已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为矩形，则可增加条件为（ ）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD8．（3分）已知 ABCD的周长是64，AB＝8，则BC的长为（ ）A．8 B．24 C．48 D．569．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（ ）A．四边形ACFD是平行四边形 B．BD2+FD2＝BF2 C．OE＝BD D．面积关系：S△GEO＝S△ADO10．如图，在边长为4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，连接DE，BF，BD，则DE2+BF2＝（ ）A．10 B．20 C．30 D．40二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 ．（填一个即可）12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若BF＝6，则DE＝ ．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 ．14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 ．15．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为 ．16．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠AEO＝ 度．17．（3分）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝BC，则△ABC底角的度数为 ．18．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有 ．（填序号）三．解答题（共8小题，满分76分）19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）20．（9分）在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为 ．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，EF与AC相交于点O，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）已知sin∠ACF＝，CF＝5，AB＝6，请你直接写出sinB的值．22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．（1）求证：2EF＝CD；（2）当EF与BC满足 时，四边形ABCD是矩形；（3）当EF与BC满足 时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；（4）当EF与BC满足 时，四边形ABCD是正方形．23．（9分）如图，在 ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①当AE＝ 时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝ 时，四边形CEDF是菱形．24．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．25．（10分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．26．（12分）如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：DE+DF＝AB． 学习活动： 第12课时一．选择题（共10小题，满分24分）1．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）A．4 B．4.5 C．4.8 D．5【分析】由中位线定理可得点P的运动轨迹是线段P1P2，再由垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，由勾股定理求出BP2、BP1、CE的长，由三角形中位线定理得出P1P2的长，设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，由勾股定理得BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，解得x＝，即可得出结果．【解答】解：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE，当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP，由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，如图所示：∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°，∴CP1＝CD＝3，∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝3，连接BP1、BP2，作BP′⊥P1P2于P′，作P2Q⊥AB于Q，则BP的最小值为BP′的长，P2Q是△EAD的中位线，∴P2Q＝AD＝2，QE＝AQ＝AE＝，∴BQ＝BE+QE＝3+＝，在Rt△BP2Q中，由勾股定理得：BP2＝＝＝，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE＝＝＝5，∴P1P2＝CE＝，在Rt△BCP1中，由勾股定理得：BP1＝＝＝5，设P′P2＝x，则P′P1＝﹣x，由勾股定理得：BP22﹣P′P22＝BP12﹣P′P12，即（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，解得：x＝，∴BP′2＝（）2﹣（）2＝，∴BP′＝4.8，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．2．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．【点评】本题考查平行四边形的判定，解答本题的关键是明确平行四边形的判定方法．3．（3分）如图， ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请你数一数图中共有（ ）个平行四边形．A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行四边形的性质进行分析可得共有四对，分别是 AECG， BFDH， OPMN， ABCD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴AE＝CG，∴四边形AECG是平行四边形，同理：四边形BFDH是平行四边形，四边形OPMN是平行四边形．故选：C．【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解及运用能力．4．（3分）下列能够判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D C．AB＝AD，CB＝CD D．AB＝CD，AD＝BC【分析】直接利用平行四边形的判定方法分别判断得出答案．【解答】解：如图所示：A、∵AB∥CD，AD＝BC，不符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；B、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，不符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；C、∵AB＝AD，CB＝CD，不符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；D、∵AB＝CD，AD＝BC，符合“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．5．（3分）点A、B、C、D在同一平面内，从（1）AB∥CD，（2）AB＝CD，（3）BC∥AD，（4）BC＝AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法种数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据平行四边形的判定在四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有4种．【解答】解：因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故选法有四种．故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是（ ）A．四边形ABCD是菱形 B．AB＝AD C．AO＝OC，BO＝OD D．∠BAD＝∠ABC【分析】由平行四边形的性质得AO＝CO，AD∥BC，则∠BAD+∠ABC＝180°，再由AB＝BC得平行四边形ABCD是菱形，则AB＝AD，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形ABCD为菱形是解题的关键．7．（3分）已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为矩形，则可增加条件为（ ）A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD【分析】由四边形ABCD是平行四边形，增加AB＝BC或AC⊥BD或AC平分∠BAD，可判定四边形ABCD是菱形，由AC＝BD，即可判定四边形ABCD是矩形．注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴四边形ABCD是菱形，故D不符合题意；故选：B．【点评】此题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定定理是解此题的关键．8．（3分）已知 ABCD的周长是64，AB＝8，则BC的长为（ ）A．8 B．24 C．48 D．56【分析】根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，进而可得AB+BC＝32，然后可得BC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∵ ABCD的周长为64，∴AB+BC＝32，∵AB＝8，∴BC＝24，故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．9．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，延长BC到点F，使CF＝BC，连接AF，DF，AF分别交CD，BD于点G，O，则下列结论错误的是（ ）A．四边形ACFD是平行四边形 B．BD2+FD2＝BF2 C．OE＝BD D．面积关系：S△GEO＝S△ADO【分析】由菱形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，可得CF＝BC，由平行四边形的判定可证四边形ACFD是平行四边形，可得BD⊥DF，由勾股定理可得BD2+FD2＝BF2，由相似三角形的性质可得S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，AE＝EC，BE＝DE，AC⊥BD，∵CF＝BC，∴CF＝AD，∴四边形ACFD是平行四边形，故选项A不合题意；∴AC∥DF，DG＝GC，∴BD⊥DF，∴BD2+FD2＝BF2，故选项B不合题意；∵DG＝GC，AE＝EC，∴EG∥AD，AD＝2EG，∴△EGO∽△DAO，∴＝（）2＝4，，∴S△GEO＝S△ADO，OE＝DE＝BD，故选项C符合题意，选项D不合题意，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．10．如图，在边长为4正方形ABCD的外部作Rt△AEF，且AE＝AF＝2，连接DE，BF，BD，则DE2+BF2＝（ ）A．10 B．20 C．30 D．40【分析】连接BE，DF交于点O，由题意可证△AEB≌△AFD，可得∠AFD＝∠AEB，可证∠EOF＝90°，由勾股定理可求解．【解答】解：连接BE，DF交于点O，∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝90°∴∠EAB＝∠DAF，在△AEB和△AFD中，，∴△AEB≌△AFD（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∵∠AEF+∠AFE＝90°＝∠AEB+∠BEF+∠AFE＝∠BEF+∠AFE+∠AFD＝∠BEF+∠EFD＝90°，∴∠EOF＝90°，∴EO2+FO2＝EF2，DO2+BO2＝DB2，EO2+DO2＝DE2，OF2+BO2＝BF2，∴DE2+BF2＝EF2+DB2＝2AE2+2AD2＝2×22+2×42＝40．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（3分）能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 AC＝BD且AC⊥BD或AB＝BC且AB⊥BC等 ．（填一个即可）【分析】本题是开放题，可以针对正方形的判定方法，由给出条件四边形ABCD为平行四边形，加上条件AC＝BD根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到ABCD为矩形，再加上对角线AC与BD垂直，根据对角线垂直的矩形是正方形即可得证；或加上邻边AB与BC相等，根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到ABCD为菱形，再加上AB垂直BC，即有一个角是直角的菱形为正方形，即可得证．【解答】解：如图所示：添加的条件是AC＝BD且AC⊥BD，或AB＝BC且AB⊥BC，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：添加的条件时AC＝BD且AC⊥BD时；∵四边形ABCD是平行四边形．又AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形；添加的条件是AB＝BC且AB⊥BC时；∵四边形ABCD是平行四边形．AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥BC，即∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；故答案为：AC＝BD且AC⊥BD或AB＝BC且AB⊥BC．【点评】本题是一道开放型题目，主要考查矩形、菱形及正方形的判定；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若BF＝6，则DE＝ 6 ．【分析】根据直角三角形的性质得到BF＝AC，根据三角形中位线定理得到DE＝AC，根据题意计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点F是边CA的中点，则BF＝AC，∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∴DE＝BF，∵BF＝6，∴DE＝6，故答案是：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．13．（3分）如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为 9 ．【分析】法1：由四边形ABCD为正方形，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠CBG+∠ABF＝90°，又根据CG与BE垂直得到∠BCG+∠CBG＝90°，根据同角的余角相等得到一对角相等，又根据一对直角相等，利用“AAS”即可得到三角形BCG与三角形FBA全等，根据全等三角形的对应边相等得到AF与BG相等，又因为FH＝FB，从而得到AH＝FG，然后由垂直得到一对直角相等，加上一个公共角，得到三角形APH与三角形ABF相似，根据相似得比例，设AH＝FG＝x，用x表示出PH，由四边形PHFB一组对边平行，另一组对边不平行得到此四边形为梯形，根据梯形的面积公式，由上底PH，下底为BF＝3，高FH＝3，表示出梯形的面积；然后在三角形BCG与三角形ECG中，根据同角的余角相等，再加上一对直角得到两三角形相似，根据相似得比例，用含x的式子表示出GE，由CG＝3，利用表示出的GE，利用三角形的面积公式表示出直角三角形CGE的面积，把表示出的两面积相加，化简即可得到值；法2：作出相应的辅助线，如图所示，易得三角形BPQ与三角形CGE全等，利用转化思想求出所求即可．【解答】解：法1：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠CBG+∠ABF＝90°，又CG⊥BE，即∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∴∠ABF＝∠BCG，又AF⊥BG，∴∠AFB＝∠BGC＝90°，∴△ABF≌△BCG，∴AF＝BG，BF＝CG＝FH＝3，又∵FH＝BF，∴AH＝FG，设AH＝FG＝x，∵PH⊥AF，BF⊥AF，∴∠AHP＝∠AFB＝90°，又∠PAH为公共角，∴△APH∽△ABF，∴＝，即PH＝，∵PH∥BF，BP不平行FH，∴四边形BFHP为梯形，其面积为＝+；又∵∠BCG+∠ECG＝90°，∠ECG+∠BEC＝90°，∴∠BCG＝∠BEC，又∠BGC＝∠CGE＝90°，∴△BCG∽△CEG，∴＝，即GE＝，故Rt△CGE的面积为×3×，则△CGE与四边形BFHP的面积之和为++＝+＝9．法2：延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3，作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：9【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，此题的综合性比较强，常常综合了多个考点和数学思想方法，因而解答时需“分解题意”，即将一个大问题分解为一个一个的小问题，从而解决问题．14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，M为BC边上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，N为EF的中点，则MN的最小值为 ．【分析】过点A作AM⊥BC于点M′，根据勾股定理求出BC的长，再由三角形的面积公式求出AM′的长．然后证四边形AEMF是矩形，得出AM＝EF，MN＝AM，当MN最小时，AM最短，此时M与M′重合，据此可得出答案．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M′，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝＝5，∵AM⊥BC，∴BC×AM＝AB×AC，∴AM′＝＝＝，∵ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∴∠MEA＝∠MFA＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴AM＝EF，AM与EF互相平分，∵N为EF的中点，∴MN＝AM，∴当MN最小时，AM最短，此时点M与M′重合，∴MN＝AM′＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂线段最短等知识，证明四边形AEMF为矩形是解题的关键．15．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为 5cm ．【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，由题意知，AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵两张纸条等宽，∴AR＝AS．∵AR BC＝AS CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．在Rt△AOB中，OA＝3cm，OB＝4cm，∴AB＝＝5（cm）．故答案是：5cm．【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．16．（3分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，则∠AEO＝ 30 度．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AO＝AB，推出△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，求得AC＝OC＝CE，于是得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∵∠BAE＝15°，∴∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴CO＝BO＝AO＝AB，∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，∴AC＝OC＝CE，∴∠COE＝∠CEO＝×（180°﹣30°）＝75°，∴∠AEO＝∠CEO﹣∠AEC＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．（3分）规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝BC，则△ABC底角的度数为 45°或15°或75° ．【分析】根据题意画出符合的三种情况，再根据含30°角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质求出即可．【解答】解：分为三种情况：①如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC，∴AD＝BD＝DC，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝45°；②如图，△ABC中，AC＝BC，∵AD＝BC，AD⊥BC，∴∠D＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∵∠B+∠BAC＝∠ACD，∴∠B＝∠BAC＝15°，③如图，AD＝BC，∠C＝30°，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝75°；故答案为：45°或15°或75°．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．18．（3分）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，连接AD，DE，DF，有下列结论：①四边形AEDF一定是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形；④若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【解答】解：①∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC的中位线，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四边形AEDF一定是平行四边形，故正确；②若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是矩形，故正确；③若AD平分∠BAC，则∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴不能判定四边形AEDF是正方形，故错误；④若AD⊥BC，则AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故正确．故答案为：①②④．【点评】本题主要考查三角形中位线定理和平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定定理．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三．解答题（共8小题，满分76分）19．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E，F分别是AC，BD的中点，连接EF．（1）求证：EF⊥BD；（2）若EF＝3，BD＝8，求AC的长．（简述过程）【分析】（1）连接BE，DE，根据直角三角形的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；（2）根据勾股定理求出BE，根据题意计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接BE，DE，在△ABC和△ADC中，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC中点，∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝DE，∵F为BD中点，∴EF⊥BD；（2）在Rt△BFE中，EF＝3，BF＝BD＝4，由勾股定理得：BE＝＝＝5，∴AC＝2BE＝10．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．20．（9分）在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AC边的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若∠FEA＝2∠ADE，CF＝2，CD＝1，请直接写出AE的长为 ．【分析】（1）证△AEF≌△CED（AAS），得FE＝DE，再由AE＝CE，即可得出四边形ADCF是平行四边形；（2）先证AE＝DE，再证平行四边形ADCF是矩形，得∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，然后由勾股定理求出AC＝3，即可求解．【解答】（1）证明：∵E是AC边的中点，∴AE＝CE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠CDE，在△AEF和△CED中，，∴△AEF≌△CED（AAS），∴FE＝DE，又∵AE＝CE，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）解：∵∠FEA＝∠ADE+∠DAE，∠FEA＝2∠ADE，∴∠ADE＝∠DAE，∴AE＝DE，由（1）得：四边形ADCF是平行四边形，AE＝CE，FE＝DE，∴AC＝DF，∴平行四边形ADCF是矩形，∴∠AFC＝90°，AF＝CD＝1，∴AC＝＝＝3，∴AE＝AC＝，故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和矩形的判定与性质是解题的关键．21．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，EF与AC相交于点O，连接AF，CE．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）已知sin∠ACF＝，CF＝5，AB＝6，请你直接写出sinB的值．【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得OA＝OC．EA＝EC，再证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，则四边形AECF是平行四边形，然后由EA＝EC，即可得出结论；（2）过A作AM⊥BC于M，由锐角三角函数定义得OF＝，则OC＝2，AC＝2OC＝4，再由勾股定理求出FM＝3，则AM＝4，即可解决问题．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，又∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．EA＝EC，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵EA＝EC∴平行四边形AECF是菱形；（2）解：过A作AM⊥BC于M，如图所示：∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∵sin∠ACF＝＝，CF＝5，∴OF＝，∴OC＝＝＝2，∴AC＝2OC＝4，由（1）得：四边形AECF是菱形，∴AF＝CF＝5，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝∠AMC＝90°，∴AM2＝AF2﹣FM2＝AC2﹣CM2，即52﹣FM2＝（4）2﹣（FM+5）2，解得：FM＝3，∴AM＝＝＝4，∴sinB＝＝＝．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．22．（9分）如图，在平行四边形ABCD中，F是对角线的交点，E是边BC的中点，连接EF．（1）求证：2EF＝CD；（2）当EF与BC满足 EF⊥BC 时，四边形ABCD是矩形；（3）当EF与BC满足 BC＝2EF 时，四边形ABCD是菱形，并证明你的结论；（4）当EF与BC满足 EF⊥BC且BC＝2EF 时，四边形ABCD是正方形．【分析】（1）利用三角形中位线定理以及其性质判断得出即可；（2）利用矩形的判定方法得出即可；（3）利用菱形的判定方法得出即可；（4）利用正方形的判定方法得出即可．【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴点F为AC，BD的中点，又∵E是BC的中点，∴EF为△DBC的中位线，∴2EF＝CD；（2）EF⊥BC；理由：∵EF为△DBC的中位线，EF⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；故答案为：EF⊥BC；（3）BC＝2EF，理由：∵点E为BC的中点，且BC＝2EF∴EF＝BE＝EC，∴∠EBF＝∠BFE，∠EFC＝∠ECF又∵∠EBF+∠BFE+∠EFC+∠ECF＝180°∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝90°，∴平行四边形ABCD是菱形；故答案为：BC＝2EF；（4）EF⊥BC且BC＝2EF．理由：由（2）（3）可得：当EF与BC满足EF⊥BC且BC＝2EF时，四边形ABCD是正方形．故答案为：EF⊥BC且BC＝2EF．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及菱形和矩形以及正方形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理是解题关键．23．（9分）如图，在 ABCD中，G是CD的中点，E是边长AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线相交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形．（2）若BC＝2AB＝8，∠B＝60°．填空：①当AE＝ 6 时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝ 4 时，四边形CEDF是菱形．【分析】（1）证△DEG≌△CFG（AAS），得EG＝FG，再由DG＝CG，即可得出四边形CEDF是平行四边形；（2）①过A作AM⊥BC于M，证△MBA≌△EDC（SAS），得∠CED＝∠AMB＝90°，即可得出结论；②证△CDE是等边三角形，得CE＝DE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DEG＝∠CFG，∵G是CD的中点，∴DG＝CG，在△DEG和△CFG中，，∴△DEG≌△CFG（AAS），∴EG＝FG，∵DG＝CG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：①当AE＝6时，四边形CEDF是矩形，理由如下：过A作AM⊥BC于M，如图所示：∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，∵∠B＝60°，∴∠BAM＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDE＝∠B＝60°，CD＝AB＝4，BC＝AD＝8，∵AE＝6，∴DE＝2＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：6；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由如下：∵AD＝8，AE＝4，∴DE＝4，∵CD＝4，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定、等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明△DEG≌△CFG和△MBA≌△EDC是解题的关键．24．（10分）如图，四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度．【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∵CE＝，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，∴四边形DECG是正方形，∴CG＝CE＝．【点评】本题考查正方形的判定和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证得△EQF≌△EPD．25．（10分）在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．【分析】（1）如图1，过M作MN⊥BC于N，根据正方形的性质得到∠D＝∠C＝90°，根据矩形的性质得到MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，由全等三角形的性质即可得到AF＝EM；（2）如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，根据正方形的性质得到∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，根据全等三角形的性质得到∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，求得∠GAE＝∠DAE，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEB等量代换得到∠GAE＝∠AEB，根据线段的和差即可得到结论．【解答】（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，在△DAF与△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠FAE，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（12分）如图，点D是等腰△ABC底边BC上任意一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：DE+DF＝AB．【分析】首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形AEDF是平行四边形，进而得到DF＝AE，然后证明DE＝CE，即可得到DE+DF＝AB．【解答】证明：如图∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DF＝AE，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴DF+DE＝AE+CE＝AC＝AB．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
A
C
B
D
O
B
A
C
D
A
BA
CA
DA
EA
FA
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
正方形
平行四边形
矩形
菱形
1-2
1-1
变式2
2-3
2-1
2-2
变式3
3-1
3-2
A
B
D
C
O
H
G
变式4
A
B
C
D
O
G
H
变式5
O
B
H
C
A
G
D
变式6
B
A
D
C
F
E
例2
2-1
1
2
A
B
D
C
F
E
G
1
2
3
4
2-2
2-3
作2