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1．（八年级下·吉林长春·期末）直角三角形的两边长分别为和，该三角形第三边的长是（ ）
A． B． C． D．或
2．（八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，，，为△ABC的中线，垂直平分交于点G，则 ．
3．（八年级下·上海·期末）如图，△ABC中，，，．求△ABC的面积．
1．（八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
2．（八年级下·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
3．（八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
4．（八年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为1，3，2，则正方形D的面积为 ．
1．（八年级下·浙江绍兴·期末）如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
2．（八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（八年级下·广东揭阳·期中）如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
4．（八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是△ABC的高，则的长为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
1．（八年级下·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）．
A． B． C．4 D．
2．（八年级下·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在△ABC中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将△ABC折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（八年级下·山东东营·期中）如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的面积？
1．（八年级下·浙江·期末）如图，在△ABC中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级下·河北张家口·期末）在△ABC中，为线段上一点，过点做直线，交平分线于点，交平分线于点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（八年级下·湖南永州·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ）
A． B．
C． D．
1．（八年级下·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（八年级下·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（ ）
A． B． C． D．
3．（八年级下·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．
(1)请利用所给的图形证明勾股定理；
(2)若，，求小正方形的面积．
4．（八年级下·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
(1)判断：与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
1．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，取中点D，取上的一个动点E，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（八年级下·吉林长春·期末）如图，已知△ABC中，，，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则的长是（ ）
A． B．5 C． D．
3．（八年级下·江苏盐城·阶段练面直角坐标系中，已知△ABC位置如图所示，，点、的坐标分别是、，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．
5．（八年级下·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，，是斜边上的高，，，点在上，且，则的长为 ．
6．（八年级下·广东广州·开学考试）如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，，则________，________．（无需解答过程）
7．（七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点坐标都在小正方形的顶点上．
(1)在平面直角坐标系中作，使得与关于x轴对称；
(2)在直线上确定点P，使得；（不写理由）
(3)若连接，，则与的数量关系是 ．
8．（八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形，，和相交于点．
(1)试问和有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．
(2)若，，求的长．中小学教育资源及组卷应用平台
1．（八年级下·吉林长春·期末）直角三角形的两边长分别为和，该三角形第三边的长是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】解：根据题意，
当为斜边时，第三边的长为，
当第三边为斜边时，第三边的长为，
综上，该直角三角形的第三边的长为或．
故选：D．
2．（八年级下·河南开封·阶段练习）如图，在等腰△ABC中，，，为△ABC的中线，垂直平分交于点G，则 ．
【答案】
【详解】解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵为△ABC的中线，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
3．（八年级下·上海·期末）如图，△ABC中，，，．求△ABC的面积．
【答案】
【详解】解：如图，过点作于点，
则，
设，则，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
即的面积为．
1．（八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【详解】解：由勾股定理得：，即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：A．
2．（八年级下·山东东营·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．1
【答案】A
【详解】解：如图，
由题意得，正方形的面积为1，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，
“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
故选：A
3．（八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积为：．
故答案为：6．
4．（八年级下·河南驻马店·阶段练习）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面积依次为1，3，2，则正方形D的面积为 ．
【答案】6
【详解】解：由题意：，，
正方形A，B，C的面积依次为1，3，2，
，
．
故答案为：6．
1．（八年级下·浙江绍兴·期末）如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据题意可得：
该阴影正方形的边长为：，
故选：．
2．（八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图在的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，为边上的高，
，
，，
，
解得：．
故选：B．
3．（八年级下·广东揭阳·期中）如图，△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【详解】解：由勾股定理得：，
，
∵，
∴的面积，
∴，
故选：A．
4．（八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是△ABC的高，则的长为（ ）．
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【详解】解：根据勾股定理得： ，
，
又，
，
，
．
故选：A．
1．（八年级下·广东深圳·期末）在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（ ）．
A． B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：过点作，
∵长方形，
∴，
∵平分，
∴，
由翻折可得，
由勾股定理，得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
故选：B．
2．（八年级下·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在△ABC中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，，
∴，，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
则，
∴，
解得，
即，
故选：B．
3．（八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将△ABC折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】解：∵是的中点，
∴，
设，
∵将△ABC折叠，使点与边的中点重合，折痕为，
∴，
∵，
在中，，即
解得：
即线段的长为
故选：B．
4．（八年级下·山东东营·期中）如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，则，
是沿直线翻折而成，
，
是直角三角形，
，
即，
解得，
∴
故选：B．
5．（八年级下·河南南阳·开学考试）如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，求的面积？
【答案】
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，
在中，，
由折叠的性质，得，，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
故的长为，
∴的面积为．
1．（八年级下·浙江·期末）如图，在△ABC中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴是等边三角形．
∴
∵
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故选：B．
2．（八年级下·河北张家口·期末）在△ABC中，为线段上一点，过点做直线，交平分线于点，交平分线于点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
由勾股定理，得，
故此选项正确，不符合题意；
B、∵
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴
故此选项正确，不符合题意；
C、∵，，
∴，
故此选项正确，不符合题意；
D、若，则
∵，，
∴，
而题目中没有这一条件，根据题意与并不一定相等，故与不一定相等，
故此选项错误，符合题意；
故选：D．
3．（八年级下·湖南永州·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，则，，三者的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点C作，使，连接，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
故选C．
1．（八年级下·河北保定·阶段练习）利用四个全等的直角三角形可以拼成如下图所示的“赵爽弦图”，在用“赵爽弦图”的面积验证勾股定理时，用到的相等关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知：大正方形的面积为，小正方形的面积为，直角三角形的面积为，
则，
，
故选：．
2．（八年级下·山西晋城·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富．下面图形能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，不能证明，不符合题意；
，能证明，符合题意；
，能证明，符合题意；
不能证明，不符合题意；
综上可知：能证明，
故选：．
3．（八年级下·福建漳州·期中）三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空的部分是一个小正方形，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．
(1)请利用所给的图形证明勾股定理；
(2)若，，求小正方形的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)9
【详解】（1）证明：方法一：大正方形的面积为，
方法二：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形与中间空的小正方形的面积之和，
则大正方形的面积为，
所以．
（2）解：由（1）已证：，
∵，，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
∴小正方形的面积为．
4．（八年级下·江苏连云港·期中）如图，，，垂足分别为，，点在上，连接，交于点，，．
(1)判断：与的位置关系，并说明理由；
(2)连接，，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积（即“算两次”思想），验证勾股定理．
【答案】(1)，理由见解析；(2)见解析．
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵，，
，
在和中，
．
，
，
．
．
，
∴．
（2）解：如图，连接、，
∵，
，，，．
．
，
．
．
即．
1．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，取中点D，取上的一个动点E，连接，将沿翻折至，点是点的对应点，连接，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：，的中点，
，
将沿翻折至，点是点的对应点，
，
如图，连接，
当上同一直线上时，最短，
，，，，
，
，
的最小值为2，
故选：B．
2．（八年级下·吉林长春·期末）如图，已知△ABC中，，，过△ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则的长是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
由题意可知，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：A．
3．（八年级下·江苏盐城·阶段练面直角坐标系中，已知△ABC位置如图所示，，点、的坐标分别是、，则点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，过点A作于点D，轴于点E，
∵，
∴，
点B、C的坐标分别是、，
∴，
∴，
在中
∴，
∴点A的横坐标为，纵坐标为，
∴点A坐标为．
故选：A．
4．（八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，．若点D在直线上（不与点A，B重合），且，则的长为 ．
【答案】6或12
【详解】解：在中，，
，
，
如图所示，当点D位于点B的左上方时，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点D位于点B的右下方时，如图所示，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
综上所述，的长为6或12，
故答案为：6或12．
5．（八年级下·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，，是斜边上的高，，，点在上，且，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵在中，，，
∴，
，
∵是斜边上的高，
∴，
，即，
∴，
∵，且，
∴，
∵在中，，
∴在中，．
故答案为：
6．（八年级下·广东广州·开学考试）如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，，则________，________．（无需解答过程）
【答案】(1)见解析 (2)10，4
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
在中，，
，
．
7．（七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点坐标都在小正方形的顶点上．
(1)在平面直角坐标系中作，使得与关于x轴对称；
(2)在直线上确定点P，使得；（不写理由）
(3)若连接，，则与的数量关系是 ．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵关于x轴对称，则x轴为的垂直平分线，
根据垂直平分线上的点到两端的距离相等可知，与x轴交点即为．
（3）解：连接，，
，，
∴．
8．（八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，等腰直角三角形和等腰直角三角形，，和相交于点．
(1)试问和有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)，证明见解析(2)
【详解】（1）解：．理由：
∵，
∴，
∴，
∵三角形和三角形是等腰直角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵三角形和三角形是等腰直角，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
