2024-2025人教版八年级数学下大单元结构化整合系列第16章二次根式 微专题一 二次根式化简求值题常见的五种类型（含解析）

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2024-2025人教版八年级数学下大单元结构化整合系列
第16章二次根式 微专题一 二次根式化简求值题常见的五种类型
二次根式化简求值是本章的重点，其主要依据是二次根式的性质和二次根式的运算法则。下面举例谈谈几种常见的化简求值方法。
类型1 化简二次根式后直接代入求值
【例1-1】．先化简，再求值：
已知，求的值．
【例1-2】．先化简，再求值：，其中．
【变式1-1】化简并求值：，其中，．
【变式1-2】．先化简，再求值：，其中，．
【变式1-3】．先化简，再求值：
，其中．
类型2 将二次根式变形后整体代入求值
【例2-1】．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】．已知，，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
【变式2-1】．已知：，，求：的值．
【变式2-2】．科华数学之星在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解决的：
，
，
，，
，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1) ， ．
(2)化简：．
(3)若，请按照小明的方法求出的值．
【变式2-3】．已知：，，且，求的值．
类型3 已知二次根式的整数部分、小数部分代入求值
【例3-1】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为．
②，即的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为_______，小数部分为_______；
(2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【例3-2】．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ．
【变式3-1】我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是－1，请解答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________；
(2)若，其中x为正整数，，求的值；
(3)若表示不超过x的最大整数，如：，，求的值．
【变式3-2】．阅读下面文字，解答问题∶
∵即，
∴的整数部分是1，小数部分是．
请回答∶
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【变式3-3】．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
类型4化简分式后将二次根式代入求值
【例4-1】．先化简，再求值：，其中
【例4-2】．先化简，再求值：，其中．
【变式4-1】．先化简，再求值：，其中．
【变式4-2】．先化简，再求值：，其中
【变式4-3】．小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如下：
解： ① ② ③当时，原式 ④ ⑤
(1)请指出他解答过程中开始出现错误的步骤是_________；（填序号）
(2)写出正确的完整解答过程．
类型5 根据二次根式概念化简后求值
【例5-1】．已知满足，求的平方根．
【例5-2】．先化简，再求值：，其中a，b满足．
【变式5-1】．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【变式5-2】．已知有理数、满足等式．
(1)求的平方根；
(2)计算：．
【变式5-3】．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
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第16章二次根式 微专题一 二次根式化简求值题常见的五种类型
二次根式化简求值是本章的重点，其主要依据是二次根式的性质和二次根式的运算法则。下面举例谈谈几种常见的化简求值方法。
类型1 化简二次根式后直接代入求值
【例1-1】．先化简，再求值：
已知，求的值．
【答案】，3
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．先化简得，再将代入即可得．
【详解】解：原式
=
当代入得：
【例1-2】．先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，分母有理化等内容，先根据完全平方公式，平方差公式进行展开化简得出，再把整理得，然后代入计算，即可作答．
【详解】解：
，
∵，
∴，
把代入，得出．
【变式1-1】化简并求值：，其中，．
【答案】．，4
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键；由题意易得，，然后代入进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
．
【变式1-2】．先化简，再求值：，其中，．
【答案】．．，
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案．
【详解】解：原式
，
当，时，原式．
【变式1-3】．先化简，再求值：
，其中．
【答案】，．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，掌握二次根式和分式的运算法则是解题的关键．
【详解】
解：∵，
∴，
∴
，
当时，原式．
类型2 将二次根式变形后整体代入求值
【例2-1】．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值
【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴值为．
故选：A．
【例2-2】．已知，，．求：
(1)和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)9
【知识点】已知条件式，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案；
（2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，，
．
【变式2-1】．已知：，，求：的值．
【答案】
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴
．
【变式2-2】．科华数学之星在解决问题：已知，求的值．
他是这样分析与解决的：
，
，
，，
，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1) ， ．
(2)化简：．
(3)若，请按照小明的方法求出的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化、已知条件式，化简求值
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．
（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值．
【详解】（1）解：，
．
故答案为：，．
（2）原式．
（3）∵，
．
，．
．
原式．
【变式2-3】．已知：，，且，求的值．
【答案】
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分母有理化、已知条件式，化简求值
【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
，
，
．
类型3 已知二次根式的整数部分、小数部分代入求值
【例3-1】阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为．
②，即的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为_______，小数部分为_______；
(2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
【答案】(1)2，
(2)4
【知识点】无理数整数部分的有关计算、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键．
（1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可；
（2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分为2，小数部分是．
（2）解：，
，即，
的整数部分是，
小数部分是．
．
【例3-2】．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ．
【答案】1
【知识点】无理数整数部分的有关计算、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算
【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方差公式，由于，可求出a，进而求出b，代入计算即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴整数部分为，小数部分为，
∴．
故答案为：．
【变式3-1】我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是－1，请解答以下问题：
(1)的小数部分是________，的小数部分是________；
(2)若，其中x为正整数，，求的值；
(3)若表示不超过x的最大整数，如：，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【知识点】无理数的大小估算、已知字母的值 ，求代数式的值、分母有理化
【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、分母有理化，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）估算出、的大小，即可得出答案；
（2）估算出，结合题意得出，，代入计算即可得解；
（3）分别求出，，，，的值，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分为，小数部分为；
∵，
∴，即，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为；
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∵，其中x为正整数，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，，，
∴
【变式3-2】．阅读下面文字，解答问题∶
∵即，
∴的整数部分是1，小数部分是．
请回答∶
(1)的整数部分是________，小数部分是________；
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)5，
(2)1
(3)
【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式的加减运算
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各无理数的小数部分是解题的关键．
（1）根据解答即可；
（2）根据得出，根据得出，再把a，b的值代入计算即可；
（3）根据得出，然后根据题意得出，，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴的整数部分是5，小数部分是；
（2）∵，
∴．
∴的小数部分，
∵，
，
∴的整数部分，
∴
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分是12，小数部分是，
∵x是整数，且，
∴，．
∴，
∴相反数是．
【变式3-3】．我们知道无理数都可以化为无限不循环小数，所以的小数部分不可能全部写出来，若的整数部分为a，小数部分为b，则，且．
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)若的整数部分为m，小数部分为n，求的值．
【答案】(1)4，
(2)
【知识点】无理数整数部分的有关计算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算
【分析】（1）利用无理数的估算求值；
（2）利用无理数的估算确定m和n的值，然后代入求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的整数部分是4，小数部分是；
故答案为：4；．
（2）∵，的整数部分为m，小数部分为n，
∴，，
∴．
【点睛】本题查看无理数的估算，二次根式的加减混合运算，掌握算术平方根的概念和二次根式的加减运算法则是解题关键．
类型4化简分式后将二次根式代入求值
【例4-1】．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
；
当时，
原式
．
【例4-2】．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、二次根式的混合运算
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
【变式4-1】．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先通分括号内，再运算除法，最后化简原式等于，再代入，进行分母有理化，即可作答．
【详解】解：
当时，原式．
【变式4-2】．先化简，再求值：，其中
【答案】；
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值、最简二次根式，熟练掌握分式的运算法则，二次根式的化简是解题的关键．根据分式的运算法则化简分式，再代入的值求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
当时，原式．
【变式4-3】．小明解答“先化简，再求值：，其中．”的过程如下：
解： ① ② ③当时，原式 ④ ⑤
(1)请指出他解答过程中开始出现错误的步骤是_________；（填序号）
(2)写出正确的完整解答过程．
【答案】(1)①
(2)，，过程见解析．
【知识点】二次根式的混合运算、异分母分式加减法、分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简求值．
（1）根据分式加法运算步骤进行判断即可；
（2）先通分把异分母分式加法变为同分母分式加法，再进行计算即可．
【详解】（1）解：他解答过程中开始出现错误的步骤是①，理由是：
这是分式的加减法，不是解分式方程，不能去分母；
故答案为：①
（2）解：

当时，
原式

类型5 根据二次根式概念化简后求值
【例5-1】．已知满足，求的平方根．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、分式有意义的条件、求二次根式中的参数
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以列出关于a的不等式组，解出a的值，舍去分母为0的值后，代入的表达式，求出值，然后将代入所求式子化简整理即可．
【详解】由题意得
∴
∴
∴
∴
∵2的平方根为
∴
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数是非负数，列不等式组求解的问题，解不等式注意要验证取值是否符合题意，求平方根时注意平方根有两个．
【例5-2】．先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】-1
【知识点】运用平方差公式进行运算、求二次根式中的参数
【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案.
【详解】解：原式
，
∵a，b满足，
∴，，
，，
原式．
【点睛】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质.
【变式5-1】．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【详解】解：根据数轴得：，
∴，
∴
．
故选：A．
【变式5-2】．已知有理数、满足等式．
(1)求的平方根；
(2)计算：．
【答案】(1)的平方根是；
(2)
【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、数字类规律探索、求二次根式中的参数
【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求得，继而求得，代入计算即可求解；
（2）代入，，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）解：代入，，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式的定义进行求解．
【变式5-3】．阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)7或13
(4)当时，，当时，
【知识点】复合二次根式的化简
【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据结合完全平方公式求解即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根据进行化简求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
∴，，
∵x，y为正整数，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．
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