专题训练（八） 方案设计、决策问题
1.【甘肃人文信息】定西马铃薯是甘肃省定西市特产，中国国家地理标志产品.生产的马铃薯品质好且耐储存，受到众多客户青睐.现欲将一批马铃薯运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满马铃薯一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满马铃薯一次可运走11吨.现有马铃薯31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满马铃薯.根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满马铃薯一次可分别运送多少吨？
解：设1辆A型车载满马铃薯一次可运送x吨，1辆B型车载满马铃薯一次可运送y吨.
根据题意，得解得
答：1辆A型车载满马铃薯一次可运送3吨，1辆B型车载满马铃薯一次可运送4吨.
（2）请你帮该物流公司设计租车方案.
解：根据题意，得3a＋4b＝31.∴a＝.
∵a，b均为非负整数，
∴或或
∴该物流公司共有3种租车方案.方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车.
2.【核心素养·应用意识】小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8米的钢管100根，还需要长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同，并要求这些用料不能是焊接而成的.经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米.
（1）把一根长为6米的钢管进行裁剪，有下面几种方法，请完成填空.（余料作废）
方法①：当只裁剪0.8米的用料时，最多可裁剪7根；
方法②：当先裁剪下1根2.5米的用料时，余下部分最多能裁剪0.8米的用料 4 根；
方法③：当先裁剪下2根2.5米的用料时，余下部分最多能裁剪0.8米的用料 1 根；
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
解：设用方法②裁剪x根，方法③裁剪y根6米长的钢管.
根据题意，得解得
答：用方法②裁剪24根，方法③裁剪4 根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料.
（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6米长的钢管与（2）中根数相同？
解：设用方法①裁剪m根，方法③裁剪n根6米长的钢管.
根据题意，得解得
∴m＋n＝28.
∵x＋y＝24＋4＝28.∴m＋n＝x＋y.
设用方法①裁剪a根，方法②裁剪b根6米长的钢管.
根据题意，得解得无意义.
∴方法①与方法③联合，所需要6米长的钢管与（2）中根数相同.
*10.4 三元一次方程组的解法
1.方程组含有 三 个未知数，且含有未知数的式子都是 整式 ，含有未知数的项的次数都是 1 ，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路是：通过“ 代入 ”或“ 加减 ”进行消元，把“三元”化为“ 二元 ”，使解三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转化为解 一元一次方程 .
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知识点1 三元一次方程组的概念
1.下列方程组是三元一次方程组的是（ D ）
A. B.
C. D.
知识点2 三元一次方程组的解法
2.解三元一次方程组时，要使解法较为简单，应（ C ）
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.先消去常数
3.在下面所给的四组数值中，是方程组的解的是（ D ）
A. B.
C. D.
4.【教材变式题】解下列三元一次方程组：
（1）
解：把①代入②，得11x＋2z＝23. ④
③与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝2代入①，得y＝－3.
因此，这个三元一次方程组的解为
（2）
解：①－③×2，得5y－3z＝－11. ④
②－③，得y－2z＝－5. ⑤
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把y＝－1，z＝2代入②，得x－－2＝0，
x＝1.
因此，这个三元一次方程组的解为
知识点3 三元一次方程组的简单应用
5.某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元.则购买1件二等奖奖品需要的钱数是（ B ）
A.20元 B.30元 C.40元 D.50元
6.【核心素养·运算能力】甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变.如果他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米，并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次.求甲的速度和环形道路的长度.
解：设甲的速度为x米/分钟，乙的速度为y米/分钟，环形道路的长度为z米.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲的速度为220米/分钟，环形道路的长度为4 000米.
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7.三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ A ）
A. B.
C. D.
8.【整体思想】（2024·张掖月考）若2x＋5y＋4z＝0，4x＋y＋2z＝0，则x＋y＋z的值等于（ A ）
A.0 B.1
C.2 D.不能求出
9.元旦前，某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式的服装.若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各1件共需 240 元.
10.【教材变式题】已知多项式ax2＋bx＋c，当x＝1和x＝－3时，它的值都为5，当x＝－1时，它的值为1.
（1）求a，b，c的值；
解：根据题意，得
由①＋③，得2a＋2c＝6，即c＝3－a.
由②－①，得8a－4b＝0，即b＝2a.
将c＝3－a，b＝2a代入③，
得a－2a＋3－a＝1.解得a＝1.
∴b＝2，c＝2.
∴a的值为1，b的值为2，c的值为2.
（2）当x＝－2时，求多项式ax2＋bx＋c的值.
解：由（1），知多项式为x2＋2x＋2.
当x＝－2时，
多项式的值为（－2）2＋2×（－2）＋2＝2.
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11.【数学文化】《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱.甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十.”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成七十.”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十六.”若设甲，乙各持钱数为x，y，则丙持钱数不可以表示为（ C ）
A.56－－ B.180－2x－y
C.140－2x－y D.140－x－2y专题训练（八） 方案设计、决策问题
1.【甘肃人文信息】定西马铃薯是甘肃省定西市特产，中国国家地理标志产品.生产的马铃薯品质好且耐储存，受到众多客户青睐.现欲将一批马铃薯运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满马铃薯一次可运走10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满马铃薯一次可运走11吨.现有马铃薯31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满马铃薯.根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满马铃薯一次可分别运送多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案.
2.【核心素养·应用意识】小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8米的钢管100根，还需要长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同，并要求这些用料不能是焊接而成的.经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米.
（1）把一根长为6米的钢管进行裁剪，有下面几种方法，请完成填空.（余料作废）
方法①：当只裁剪0.8米的用料时，最多可裁剪7根；
方法②：当先裁剪下1根2.5米的用料时，余下部分最多能裁剪0.8米的用料 根；
方法③：当先裁剪下2根2.5米的用料时，余下部分最多能裁剪0.8米的用料 根；
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6米长的钢管与（2）中根数相同？
*10.4 三元一次方程组的解法
1.方程组含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含有未知数的项的次数都是 ，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
2.解三元一次方程组的基本思路是：通过“ ”或“ ”进行消元，把“三元”化为“ ”，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
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知识点1 三元一次方程组的概念
1.下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
知识点2 三元一次方程组的解法
2.解三元一次方程组时，要使解法较为简单，应（ ）
A.先消去x B.先消去y
C.先消去z D.先消去常数
3.在下面所给的四组数值中，是方程组的解的是（ ）
A. B.
C. D.
4.【教材变式题】解下列三元一次方程组：
（1）
（2）
知识点3 三元一次方程组的简单应用
5.某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元.则购买1件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A.20元 B.30元 C.40元 D.50元
6.【核心素养·运算能力】甲、乙两人在某环形道路上跑步，假设他们在跑步过程中各自保持一定的速度不变.如果他们同时从同一地点反向而行，那么就会形成每隔10分钟相遇一次的规律；如果他们同时从同一地点同向而行，那么5分钟后甲在乙的前方200米，并且他们的相遇规律变成了每隔100分钟相遇一次.求甲的速度和环形道路的长度.
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7.三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（ ）
A. B.
C. D.
8.【整体思想】（2024·张掖月考）若2x＋5y＋4z＝0，4x＋y＋2z＝0，则x＋y＋z的值等于（ ）
A.0 B.1
C.2 D.不能求出
9.元旦前，某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式的服装.若购买甲4件，乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520元，则该顾客购买甲、乙、丙各1件共需 元.
10.【教材变式题】已知多项式ax2＋bx＋c，当x＝1和x＝－3时，它的值都为5，当x＝－1时，它的值为1.
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝－2时，求多项式ax2＋bx＋c的值.
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11.【数学文化】《孙子算经》中有一个问题：今有甲、乙、丙三人持钱.甲语乙、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成九十.”乙复语甲、丙：“各将公等所持钱半以益我，钱成七十.”丙复语甲、乙：“各将公等所持钱半以益我，钱成五十六.”若设甲，乙各持钱数为x，y，则丙持钱数不可以表示为（ ）
A.56－－ B.180－2x－y
C.140－2x－y D.140－x－2y
