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{#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}2025 年 1 月葫芦岛市普通高中期末考试
高一数学
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1.C 2. A 3. C 4. D 5.B 6.D 7. B 8.B
二、多选选择题
9. AD 10.BD 11. ACD
三、填空题
12. 2 13 .33 14. (0,4]
四、解答题
15.(13 分)
(1) 由 = { |2 2 5 3 ≤ 0}，得(2 + 1)( 3) ≤ 0，
1 1
解得 ≤ ≤ 3，所以 = { | ≤ ≤ 3}………………………………………………1 分
2 2
当 = 1时，集合 = ( 1)( + 3) ≤ 0，
即 = { | 3 ≤ ≤ 1}………………………………………………………………………2 分
则 = { | < 3 或 > 1} ………………………………………………………………4 分
1
则 ∩ = { | ≤ ≤ 1} …………………………………………………………………6 分
2
(2)由( 2)( + 2) = 0的两个根为 1 =
2, 2 = 2，…………………7 分
因为 2
1 7
+ 2 = ( )2 + > 0 …………………………………………………9 分
2 4
所以 = { | 2 ≤ ≤ 2} ， …………………………………………………………10 分
1
2 ≥
又因为 ，∴ { 2，……………………………………………………11 分
2 ≤ 3
3
解得 ≤ ≤ √3
2
3
所以实数 的取值范围为[ , √3]…………………………………………………………13 分
2
16.（15分）
（1）设点 G(x,y),由中心坐标公式得：
{#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}
2+ 2+ 6
x= = 2 , ……………………………………………………………………2分
3
3+ 7+ 5 5
y= = ,…………………………………………………………………………4分
3 3
又 B(2,7),
16
所以，BG =(-4,- ), …………………………………………………………………5分
3
20
故 BG = ………………………………………………………………………………7分
3
法二：
根据题意： BA = ( 4， 4)， BC = ( 8， 12)，……………………………………2分
16
BG 1= (B A +B C )=（-4，- ）……………………………………………………………5分
3 3
20
所以， BG = …………………………………………………………………………7分
3
（2）由B E = λB A , B F = μB C ,
得B A
1 1= B E ，B C = B F ， ………………………………………………………………9分
λ μ
所以BG
1 1 1 1 1 1
= (B A +B C )= ( B E + B F ) = B E + B F …………………………………11分
3 3 λ μ 3λ 3μ
因为 E,F,G三点共线,
1 1
所以 + = 1.
3λ 3μ
1 1 10 8μ 2λ 10 8μ 2λ
则2λ+ 8μ = (2λ+ 8μ) ( + ) = + + ≥ + 2√ = 6, ………13分
3λ 3μ 3 3λ 3μ 3 3λ 3μ
8μ 2λ 1
当且仅当 = ，即λ = 1，μ = 时等号成立，
3λ 3μ 2
所以2λ+ 8μ的最小值为 6.………………………………………………………………15分
17（15 分）
2 2+
（1）因为 ( ) = 的定义域为 R 且函数为奇函数，
2 +1
1 2+
所以 (0) = 0 = 0 = 1 ………………………………………………2 分
1+1
2 1
∴ ( ) =
2 + 1
2 1 1 2 2 1
因为 ( ) = = = = ( )， 2 +1 2 +1 2 +1
{#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}
所以 ( )是奇函数，符合题意，故 = 1成立；…………………………………………4 分
2 1 2
( ) = = 1 ，是定义域上的增函数. …………………………………………5 分 2 +1 2 +1
（2）因为函数 ( )是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由 (4 ) + ( 2 +2 5) > 0
(4 ) > ( 2 +2 5)
(4 ) > (2 +2 + 5) ……………………………………………………………………7 分
4 > 2 +2 + 5
(2 )2 4 2 5 > 0
(2 5)(2 + 1) > 0 ……………………………………………………………………9 分
> log2 5，
所以不等式的解集为(log2 5 , +∞)………………………………………………………10 分
2 1 2
（3）因为函数 ( ) = == 1 ， …………………………………………11 分 2 +1 2 +1
1
显然2 + 1 > 1，所以有0 < < 1 2 +1
2
0 < < 2， 2 +1
2
2 < < 0，
2 +1
1 < ( ) < 1， ………………………………………………………………………12 分
( ) = log2( 16
2) log4 + = ( 2 16 + log
2
4 2
) (log4 log4 4) +
1
= (4 + 2 log2 ) ( log2 1) + = (log
2
2 ) 4 + ， 2
1
令 = log2 ，当 ∈ [ , 16]时， ∈ [ 1,4]， 2
设 ( ) = 2 4 + ， ……………………………………………………………………13 分
所以 ( ) = 4, ( ) = 12 + ，
1
于是当 2 ∈ [ , 16]时， ( 2) ∈ [ 4 , 12 + ]，……………………………………14 分 2
1
对 1 ∈ ，总 2 ∈ [ , 16]，使得 ( 1) = ( 2)成立， 2
12 + ≥ 1
所以有{ 11 ≤ ≤ 3，即实数 的取值范围为[ 11,3]. ………………15 分
4 ≤ 1
18.（17）
（1）由题意得:10 (0.01+0.015+0.020+ t +0.025) =1，解得 = 0.03，
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抽取的样本中，设第 60 百分位数为 ，则
0.01 10+0.015 10+0.02 10+0.03 (x 80) = 0.6，
解得 = 85，因此高一年级体测成绩的 60％的分位数为 85．
8
（2）由题意知，抽出的 5 位同学中，得分在[70,80)的有5 × = 2人，
20
12
设为 ， ，在[80,90)的有5 × = 3人，设为 ， ， ．
20
则样本空间为 Ω={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},
n(Ω)=10．
设事件 = “两人分别来自[70,80)和[80,90)，则
= {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}, ( ) = 6，
( ) 6 3
因此 ( ) = = = ，
( ) 10 5
3
所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为 ．
5
（3）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40 10 0.02 = 8个，
落在区间[80,90)内的数据有40 10 0.03=12个．
记在区间[70,80)的数据分别为 x1, x2 , , x8 ，平均分为 ，方差为
2
；
在区间[80,90)的数据分别为为 y1, y2 , , y12 ，平均分为 y ，方差为
2
；
这 20 个数据的平均数为 ，方差为 2．
1 8 1 12
由题意， = 75， = 85， 2 = 9， 2 = 4，且 x = xi , y = y j ，则8 i=1 12 j=1
8x +12y 8 75+12 85
z = = = 81．
20 20
由分层抽样方差公式可得：
2 1 2 2 2 3 = [8 + 8( ) + 12
2
+ 12( )
2] = [ 2 + ( )
2] + [ 2 2 + ( ) ] 20 5 5
2 3
= [9 + (75 81)2] + [4 + (85 81)2] = 30
5 5
故得分在[70,90)内的平均数为 81，方差为 30．
19.(17 分)
（1）不是“RS 函数”，…………………………………………………………1 分
易知 ( ) ( ) = ( + 2)( + 2) = + 2( + ) + 4① ………………………3 分
+
[ ( )]2 [ ( )]2 = ( )2 ( + )2 = 4 ②，
2 2
{#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}
显然①②两式不相等，即 ( ) = 2 不是 ( ) = + 2的“RS 函数”，…………………5 分
（2） = ( )为奇函数…………………………………………………………………6 分
+
令 = ，则有 ( ) ( ) = [ ( )]2 [ ( )]2，……………………………………7 分
2 2
+
令 = ，则有 ( ) ( ) = [ ( )]2 [ ( )]2，…………………………………8 分
2 2
两式相加得 ( )( ( ) + ( )) = 0， ……………………………………………………9 分
因为 = ( )是定义在 上的非常值函数，所以 ( )不恒为 0，
所以 ( )( ( ) + ( )) = 0 ( ) = ( )，所以 ( )是奇函数. ………………11 分
（3）令 = + , = ，则
( + ) ( ) = [ ( )]2 [ ( )]2…………………………………………………12 分
令 = 0
[ ( )]2 = [ (0)]2 [ ( )]2 = 1 [ ( )]2 [ ( )]2 + [ ( )]2 = 1，………………13 分
因为 (3) = 1，所以 (3) = 0 = ( 3)，
令 = + 3，则 (2 + 3) ( 3) = [ ( + 3)]2 [ ( )]2 = 0，
令 = 3 ，则 ( + 3) ( 3) = [ (3)]2 [ ( )]2 = 1 [ ( )]2
( + 6) ( ) = 1 [ ( + 3)]2 = 1 [ ( )]2 = [ ( )]2
若 ( ) ≠ 0 ( + 6) = ( )，…………………………………………………………14 分
若 ( ) = 0, [ ( )]2 = 1 [ ( )]2 = 1 [ ( + 3)]2 = [ ( + 3)]2 = [ ( + 6)]2，
则 ( + 6) = ( )，
综上可知 = 6满足题意. …………………………………………………………………15 分
再用反证法证 = 6是满足题意的最小正数，
若 0 < 0 < 6满足要求，令 = 0 , =
0，则 0 ∈ (0,3)，即[ ( 0)]2 < 1，
2 2 2
故
2
( 0
) ( 0
) = [ ( 0)] [ (0)]2 < 0，
2 2 2
而 ( 0) = ( 0) , ( 0) = ( 0)，
2 2 2 2
所以 ( 0) = ( 0) = 0，矛盾，故不符题意.
2 2
所以存在 T=6 是满足题意的最小正数. …………………………………………………17 分
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