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2024年9月
26.1.1反比例函数
知识点 1.一次函数:y=kx+b(k,b是常数,且k≠0) 2.正比例函数:y=kx(k是常数,且k≠0) 3.反比例函数:y=(k是常数,且k≠0) 4.反比例函数的三种表达方式:y= y=kx-1 x y=k(注意k≠0)
例题 问题.你能用等式来表示吗？ (1)京沪线铁路全程长1463km,某次列车的平均速度为v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变化而变化； (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪,草坪的长y(单位:m)随宽x(单位:m)的变化而变化； (3)已知北京市的总面积为km2,人均占有面积S(单位:km2/人)随全市总人口n(单位:人)的变化而变化； 例1.已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6. (1)写出y关于x的函数解析式. (2)当x=4时,求y的值.
练习 1.y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值. x-2-1-13y2-1
(1)写出这个反比例函数的表达式; (2)根据函数表达式完成上表. 2.点(4,6)满足反比例函数y=,则下面点满足这个函数的是( ). A.(-4,6) B.(3,-8) C.(-3,-8) D.(-2,12) 4.若y=是反比例函数关系式,则m应满足的条件是_____. 5.已知函数是反比例函数,则m=_____； 6.已知函数,当x＝1时,y＝－3,当x=-3时,y=_____. 7.已知函数y=(m2-2m) (1)若y是x的正比例函数,求m的值； (2)若y是x的反比例函数,求其函数解析式. 8.已知y＝y1＋y2,y1与x成正比例,y2与(x-2)成反比例,当x＝1时,y＝2；当x＝3时,y＝10.求: (1)y关于x的关系式； (2)当x＝－1时,y的值.
备注
26.1.2.1反比例函数的图象和性质(K的几何意义)
知识点
例题 例1.画出反比例函数y=和y=的图象. (1)观察反比例函数y=和y=的图象,有哪些性质呢？ (2)对于反比例函数y=(k>0)你能得出同样的结论吗？ (3)函数图象在哪几个象限？与y=中的函数图象有什么不同？为什么会有这样的变化？
练习 1.请将下列函数图象是哪些函数？ 2.已知反比例函数的图象如图1所示,则k 0,在图象的每一分支上,y随x的增大而 . 3.已知反比例函数y=的图象过点(2,1),则它的图象在 象限,k 0． 4.y=-(x>0)的图象叫 ,图象位于象限 . 5.写出一个图象在二、四象限内的反比例函数 . 6.反比例函数y=的图象两支分布在第二、四象限,则点(m,m-2)在第 象限. 7.已知函数y=(m2-2m)是反比例函数,且图象经过一、三象限,求m的值.
备注
26.1.2.2反比例函数的图象和性质
知识点 待定系数法求反比例函数解析式步骤: 设:设反比例函数解析式为y=(k≠0) 列:代入点坐标列出方程 解:解方程 还原:还原反比例函数解析式
例题 例3.已知反比例函数的图象经过点A(2,6)． (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)你能求出它的表达式吗？
练习 1.如图1,它是反比例函数y=图象的一支,根据图象,回答问题: (1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象的某一支上任取A(x1,y1)和点B(x2,y2),如果x1＞x2,那么y1和y2有怎样的关系？ 2.如图2,是反比例函数y=的图象,则k的值可以是( ) A．－1 B．3 C．1 D．0 3.已知反比例函数y=的图象经过点A(2,－4). (1)求k的值； (2)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化 (3)画出该函数的图象； (4)点B(1,－8),C(－3,5)是否在该函数的图象上
备注
26.1.2.3反比例函数中几何性质
知识点 1.反比例函数y=图象任一点向坐标轴作垂线围成的矩形的面积S矩形=|k|. 2.反比例函数y=图象中三角形的面积:S三角形=|k|
例题 例1.如图,点A在反比例函数y=的图象上,AC垂直x轴于点C,且△AOC的面积为2,求该反比例函数的表达式．
练习 1.如图,过反比例函数y=图象上的一点P,作PA⊥x轴于A,若△POA的面积为6,则k= . 2.若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为点M,N,若四边形PMON的面积为3,则这个反比例函数的关系式是 . 3.如图,P,C是函数y=(x>0)图像上的任意两点,PA,CD垂直于x轴.设S△POA为S1,则S1= ； 若S梯形CEAD为S2,则S1 S2； 若S△POE为S3,那么S2 S3 4.如图,点A是反比例函数y=(x>0)的图象上任意一点,AB//x轴交反比例函数y=-(x>0)的图象于点B,C在x轴上,则S△ABC= .
备注
26.2.1实际问题与反比例函数
知识点 1.待定系数法求反比例函数解析式步骤: (1)设:设反比例函数解析式为y=(k≠0) (2)列:代入点坐标列出方程 (3)解:解方程 (4)还原:还原反比例函数解析式
例题 例1.市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有怎样的函数关系 (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向下掘进多深 (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为25m.相应地,储存室的底面积应改为多少 例2.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间 (1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度v(单位:吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨？ 例3.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以80千米/时的平均速度用6小时达到乙地. (1)甲、乙两地相距多少千米？ (2)当他按原路匀速返回时,汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
练习 1.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,这样必须把1200m3的生活垃圾运走． (1)假如每天能运xm3,所需时间为y天,写出y与x之间的函数关系式； (2)若每辆拖拉机一天能运12m3,则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？ (3)在(2)的情况下,运了8天后,剩下的任务要在不超过6天的时间内完成,那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？ 2.面积为2的直角三角形一直角边为x,另一直角边长为y,则y与x的变化规律用图象可大致表示为() 3.学校锅炉旁建有一个储煤库,开学时购进一批煤,现在知道:按每天用煤0.6吨计算,一学期(按150天计算)刚好用完.若每天的耗煤量为x吨,那么这批煤能维持y天. (1)则y与x之间有怎样的函数关系？ (2)若每天节约0.1吨,则这批煤能维持多少天？ 4.王强家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为v米/分,所需时间为t分钟. (1)速度v与时间t之间有怎样的函数关系？ (2)若王强到单位用15分钟,那么他骑车的平均速度是多少？ (3)如果王强骑车的速度最快为300米/分,那他至少需要几分钟到达单位？
备注
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第 26 章 反比例函数 (2020)22．如图,在平面直角坐标系xOy中,已知一次函数y＝x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A,B两点,且点A的坐标为(a,6)． (1)求该一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积． (2021)22．一次函数y＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(2,3),B(6,n)两点．(1)求一次函数的解析式； (2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l,l与两坐标轴分别相交于M,N,与反比例函数的图象相交于点P,Q,求的值． (2022)22．如图,直线与反比例函数的图象相交于点,,已知点的纵坐标为6 (1)求的值； (2)若点是轴上一点,且的面积为3,求点的坐标． (2023)23．如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y＝kx+2与x,y轴分别相交于点A,B,与反比例函数y＝(x＞0)的图象相交于点C,已知OA＝1,点C的横坐标为2． (1)求k,m的值； (2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D,E,若以B,D,E,O为顶点的四边形为平行四边形,求点D的坐标． (2024)23．(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数与轴相交于点,与反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直线与反比例函数和的图象分别交于点,,且,求点的坐标．
备注
27.1.1 图形的相似
知识点 1.相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形. 2.如果a,b,c,d四条线段是比例线段,那么. 3.判断已知的四条线段是否成比例:按从小到大的顺序排列,用最短的线段长度乘以最长的线段长度,再计算中间两条线段长度的乘积,如果积相等,一定成比例,如果积不相等,一定不成比例.
例题 例1.判断下列线段a、b、c、d 是否是成比例线段： (1) a＝4,b＝6,c＝5,d ＝10； (2) 例2.在比例尺为1:10000000的地图上,量得甲乙两地的距离是30cm,求两地的实际距离.
练习 1.如图是一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这些镜中的形象相似吗？ 2.如图,图形(a)～(f )中,哪些与图形(1)或(2)相似？
3.一把矩形米尺1,长1m,宽3cm,则这把米尺的长和宽的比为( ) . A.100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3 4.甲、乙两地相距35km,图上距离为7cm,则这张图的比例尺为( ) . A.5:1 B.1:5 C.1:500000 D.500000:1 5.甲、乙两地相距200km,这张图的比例1:10000000,则两地的图上距离是 cm. 6.已知线段a、b、c满足关系式,且b=4,那么ac= . 7.已知,那么、各等于多少？
备注
27.1.2 图形的相似
知识点 1.相似多边形的特征：对应角相等,对应边的比相等. 2.相似多边形的定义：两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.
例题 例1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？ 例2.如图,四边形ABCD和EFGH相似,求角α,β的大小和EH的长度x． 例3.如图,点E、F分别是矩形ABCD的边AD、BC的中点,若矩形ABCD与矩形EABF相似,AB=1,求矩形ABCD的面积.
练习 1.如图所示的两个五边形相似,求a,b,c,d的值. 2.在两个相似的五边形中,一个五边形各边长分别为1,2,3,4,5,另一个五边形最大边为10,则最短的边为 . 3.△ABC与△DEF相似,且相似比是k,则△DEF与△ABC的相似比是 . 4.将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折,得到的矩形EADF与矩形ABCD相似,确定矩形ABCD长与宽的比.
备注
27.2.1 .1平行线分线段成比例
知识点 1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 说明：①定理的条件是“ 三条平行线截两条直线 ”. ②是“对应线段成比例”,注意“对应”两字. 2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.
例题 例1.如图,在△ABC中,EF∥BC. (1) 如果E、F分别是AB和AC上的点,AE=BE=7,FC=4,那么AF的长是多少？ 如果 AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少？ 例2.如图所示,如果D,E,F分别在OA,OB,OC上,且DF∥AC,EF∥BC． 求证：OD∶OA＝OE∶OB
练习 如图,F为□ABCD 的边AD延长线上一点,BF分别交CD,AC于点G,E. 求证: 如图,在△ABC中,D为AC上一点,E为CB的延长线上一点,连接ED交AB于点F.且,DG//AB. 求证:AD=EB.
如图,在△ABC中,AM 是BC边上的中线,直线DN//AM ,交AB于点D,交CA的延长线于点 E,交BC于点N.求证:. 如图,在△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB 于点D,过B作BE//CD 交AC于点E. 求证: .
备注
27.2.1.2 相似三角形的判定(SSS、SAS)
知识点 1.三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．(SSS) 2.两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．(SAS)
例题 例1.图中的两个三角形是否相似？为什么？ 例2.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6.另一个三角形框架的一边长为2,它的别外两条边长应当是多少？你有几种答案？ 例3.如图,AB AE=AD AC,且∠1=∠2,求证：△ABC∽△AED．
练习 1.如图,D,E分别是△ABC的边AC、AB上的点,AE=1.5,AC=2,BC=3,且,求DE的长. 2.如图,在△ABC中,CD是边AB上的高且,求证:∠ACB=90°．
3.已知：如图,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.ΔADQ与ΔQCP 是否相似？为什么？ 4.如图,在正方形ABCD中,E是AD的中点,点F在CD上,且CF=3FD. (1)求证：△ ABE ∽△ DEF ． (2)△ABE与△DEF相似吗？为什么？
备注
27.2.1.3 相似三角形的判定(AA、HL)
知识点 1.利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似(AA). 2.“直角边、斜边”定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似(HL).
例题 例1.如图,△ABC和△DEF中,∠A=40°, ∠B=80°,∠E =80°,∠F=60°. 求证:△ABC∽△DEF. 例2.如图,弦 AB和CD相交于⊙O内一点P,求证:PA·PB=PC·PD. 证明:连接AC,DB. ∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角, ∴∠A= _______ , 同理 ∠C = _______ , ∴ △PAC∽△PDB , ∴ 即 PA·PB= PC·PD.
例3.如图,已知∠ACB=∠ADC= 90°,AD=2, CD =,当AB的长为多少时,△ACB与△ADC相似． 例4.已知：在 RtΔABC中, CD是斜边AB上的高．求证:
练习 1.如图1,已知AB∥DE,∠AFC＝∠E,则图中相 似三角形共有( ). A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 2.如图2,△ABC中, AE交BC于点D,∠C =∠E, AD:DE =3:5,AE=8,BD=4 ,则DC的长等于( ) . 3.如图3,点D在AB上,当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时,△ACD∽△ABC. 4.如图4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D.若AB=6,AD=2, 则AC= ,BD= ,BC= . 5.如图5,△ABC的高AD、BE交于点F． 求证： 6.如图6,∠1=∠2=∠3 ,求证:△ABC∽△ADE． 7.如图7,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高,求证：AC·BC=BE·CD.
备注
27.2.2 相似三角形的性质
知识点 相似三角形的性质： 1.相似三角形对应高线(角平分线、中线)的比等于相似比. 2.相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.相似三角形(多边形)周长的比等于相似比. 4.相似三角形(多边形)面积的比等于相似比的平方.
例题 例1.如图在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A =∠D．若△ABC的边BC上的高是6,面积为,求△DEF的边EF上的高和面积． 例2.如图,△ABC的面积为100,周长为80, AB=20,点D是AB上一点,BD=12,过点D作 DE∥BC,交AC于点E． (1)求△ADE的周长和面积； (2)过点E作EF∥AB,EF交BC于点F ,求△EFC和四边形DBFE的面积．
练习 1.填空： (1)已知ΔABC与ΔDEF的相似比为2：3,则对应中线的比为 ,对应角平分线的比为 ,周长比为 ,面积比为 . (2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′面积之比为16：9,则相似比为 ,对应高之比为 ,周长之比为 . (3)已知ΔABC ∽ΔA′B′C′它们对应中线的比为1:3,ΔABC的面积为2,周长为4,则 ΔA′B′C′的面积等于 ,周长等于 . 2.如图,DE∥BC,DE=1,BC=4, (1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似,求它们的相似比. (2)△ADE的周长:C△ABC＝ . (3) 3.如图,在 ABCD中,若E是AB的中点,则 (1) AEF与 CDF的相似比为多少？ (2)若 AEF的面积为5cm2,则 CDF的面积为多少？ 4.蛋糕店制作两种圆形蛋糕,一种半径15cm,一种半径是30cm,如果半径是15cm的蛋糕够2个人吃,径是30cm的蛋糕够多少人吃？(假设两种蛋糕高度相同) 5. 在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
备注
27.2.3 相似三角形应用举例
知识点 利用相似三角形测量高度:物1高:物2高=影1长:影2长 . 2.求树高常用的辅助线： 作垂直,作平行,延长两条直线相交,构造相似三角形. 3.相似三角形的性质： (1)三角对应相等,三边对应成比例. (2)对应线段的比等于相似比(对应中线、高线、角平分线的比都等于相似比) . (3)周长的比等于相似比. (4)面积的比等于相似比的平方.
例题 例1.如图,木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔的高度BO. 例2.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q 且垂直PS的直线b的交点 R．如果测得 QS＝45m,ST＝90m,QR＝60m,求河的宽度PQ．
例3.已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m,两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C了？
练习 1.如图,测得BD=200m,DC=50m, EC=70m,求河宽AB． 2.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高AB？
3.如图,教学楼旁边有一棵树,数学小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米,当他们马上测量树的影子长时,发现树的影子不全落在地面上,于是他们测得落在地面上的影子长2.7米,落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.
备注
27.3 .1 位似图形的概念及画法
知识点 1.位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心． 2.位似的特征： ⑴位似图形一定是相似图形,反之相似图形不一定是位似图形． ⑵判断位似图形时,要注意它们必须是相似图形,其次每一对对应点所在直线都经过同一点． 3.位似的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 位似图形的位似比等于相似比 .
例题 例1.把四边形ABCD缩小到原来的. (1) 在四边形外任选一点O ； (2) 分别在线段OA、OB、OC、OD 上取点A'、B'、C'、D',使得； (3) 顺次连接点A'、B'、C'、D',所得四边形 A'B'C'D'就是所要求的图形．
练习 1.下列说法不正确的是( ) . A. 位似图形一定是相似图形 B. 相似图形不一定是位似图形 C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于相似比 D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2.用作位似图形的方法,可以将一个图形放大或缩小,位似中心( ). A. 只能选在原图形的外部 B. 只能选在原图形的内部 C. 只能选在原图形的边上 D. 可以选择任意位置 3.如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为2∶3,已知AB=4,则DE的长等于( ). A.6 B.5 C.9 D. 4.如图,正方形 EFGH,IJKL都是正方形ABCD的位似图形,点P是位似中心. (1)如果相似比为3,正方形ABCD的位似图形是哪一个？ (2)正方形IJKL是正方形 EFGH 的位似图形吗？如果是,求相似比； (3)如果由正方形EFGH得到它的位似图形正方形ABCD,求相似比. 5.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,点A,B,A′,B′,O共线, 点O为位似中心. (1)AC与A′C′平行吗 请说明理由; (2)若AB＝2A′B′,OC′=5,求CC′的长.
备注
27.3.2 平面直角坐标系中的位似
知识点 位似图形的坐标规律: 在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为原点同侧(kx,ky)或原点异侧(-kx,-ky).
例题 例 如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(-2,4), B(-2,0), O(0,0).以原点O为位似中心,画出一个三角形,使它与△ABO的相似比为.
练习 1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△OCD,求△AOB与△COD的相似比. 2.如图,△ABO三个顶点的坐标分别为A(4,-5), B (6,0), O(0,0).以原点O为位似中心,把这个三角形放大为原来的2倍,得到△A′B′O′.写出△A′B′O′三个顶点的坐标.
3.△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-2), B(-4,-2),C(-6,-4),以原点为位似中心,将△ABC放大后得到的△DEF与△ABC的相似比为2∶1,这时△DEF中点D的坐标是 . 4.某学习小组在讨论“ 变化的鱼 ”时,知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示), 则小鱼上的点 (a,b)对应大鱼上的点( ) A.(-2a,-2b) B.(-a ,-2b) C.(-2b,-2a) D.(-2a,-b )
5.如图所示,图中的小方格都是边长为1的正方形,△ABC 与△A′B′C′是以O为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上. (1) 画出位似中心点O; (2) 直接写出△ABC与△A′B′C′的相似比; (3) 以位似中心O为坐标原点,以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″,并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
备注
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第 27 章 相似三角形
备注
28.1.1 锐角三角函数(正弦函数)
知识点 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90 ,锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine). 即
例题 例1.如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,且CD⊥AB,AC=8,BC=6,求的值. 【活动一】如图,☉O的半径为3,弦AB的长为4,求sinA的值.
【活动二】如图：在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=10,,求BC的长. 【活动三】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4, ,求AB的长.
练习 【活动四】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AB=2∶3,求sinA. 1.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍,sinA的值( ). A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定 2.判断对错. 如图(1) sinA= ( ) (2) sinB= ( ) (3) sinA=0.6m ( ) (4) SinB=0.8 ( ) 3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,图中sinB可由哪两条线段比求得.
备注
28.1.2 锐角三角函数 (余弦和正切函数)
知识点 1.余弦:在RtABC中,锐角A的邻边和斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作cosA. 2.正切:在RtABC中,锐角A的对边和邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作tanA. 3.在RtABC中,对于任意锐角α,有cosα=sin(90°-α) sinα=cos(90°-α) .
例题 1.如图1,BC=8,AC=6,则： , . 2.如图2, . 例1.如图3,在RtABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA和tanA的值.
练习 1.P65课本练习1(1)求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值,余弦值和正切值. 2.在RtABC中,∠C=90°,a=6,b=8,则sinA=_______,cosA=_______,tanA=______. 3.若tan(65°-∠A)=1,则∠A=________. 4.如图1,在RtABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,,BC=2, 求tan∠BCD的值. 5.如图2,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则cos∠OBC 的值为___________. 6.如图3,ABC中的各个顶点都在格点上,则sinA=_____,cosB=______, tanC=______. 7.在RtABC中,∠C=90°,,AC=12,求tanB的值.
备注
28.1.3 锐角三角函数 (特殊角的三角函数值)
知识点 1.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 2. 3.在RtABC中,对于任意锐角α,有cosα=sin(90°-α) sinα=cos(90°-α) .
例题 例 1 求下列各式的值： 例2.已知△ABC中的∠A与∠B满足,试判断△ABC的形状． 例3.已知:,求∠A,∠B的度数 . 例4.已知α为锐角,且tanα是方程 x2 +2x-3=0的一个根,求 的值．
练习 计算. sin30°+cos45°； (2) sin230°+ cos230°－tan45°. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,,,求∠A的度数； 3.求满足下列条件的锐角α. (1)2sinα－=0； (2)tanα－1=0. 4.tan(α+15°)＝1,锐角α的度数应是( ) . A．40° B．30° C．20° D．10° 5.在△ABC中,若,则∠C= . 6.求下列各式的值： 7.若规定sin(α-β)=sinαcosβ－cosαsinβ,求sin15°的值.
备注
28.2.1 解直角三角形及其应用 (解直角三角形)
知识点 解直角三角形的依据 (1) 三边之间的关系:a2＋ b2＝c2(勾股定理)； (2) 锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90 ； (3) 边角之间的关系: (4)面积公式：
例题 例1.在Rt△ABC中,∠C= 90o,,,解这个直角三角形？ 例2.在Rt△ABC中,∠C= 90o,∠B= 35o,b=20,解这个直角三角形？
练习 1.在下列直角三角形中不能求解的是( ) . A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角 2.Rt△ABC中,∠C=90°,若,AB=10,那么BC=______,tanB=______． 3.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知,,解这个直角三角形？ (2)已知,,解这个直角三角形？ 4.如图,在Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边. (1)已知,,,解这个直角三角形？ (2)已知,, a=8,解这个直角三角形？ 5.如图,在Rt△ABC中∠C=90o,∠A=30o,a=5,求∠B,b,c.
备注
28.2.2 解直角三角形及其应用 (俯角、仰角)
知识点 1.解直角三角形的依据 (1) 三边之间的关系:a2＋ b2＝c2(勾股定理)； (2) 锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90 ； (3) 边角之间的关系: 2.解直角三角形的技巧：有弦(斜边)用弦,无弦用切. 3.解法:只要知道五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出余下的三个未知元素.
例题 例1.2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在 离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,结果取整数)？ 例2.热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整)？
练习 1.建筑物BC上有一旗杆AB,由距 BC 40m的 D 处观察旗杆顶部A的仰角54°,观察底部 B 的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) 2.如图,沿AC方向开山修路．为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°,那么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线(精确到0.1m). ( ) 3.如图,为固定电线杆AC,在离地面高度为6m的A处引拉线AB,使拉线AB与地面上的BC的夹角为48°,则拉线AB的长度约为 ( ) (结果精确到0.1m,sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)
备注
28.2.3 解直角三角形及其应用(方向角、坡度)
知识点 1.方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角. 2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： (1)将实际问题转化为几何问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)； (2)根据条件的特点,选用适当锐角三角函数去解直角三角形； (3)得到数学问题的答案； (4)得到实际问题的答案． 3.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母α表示. 4.坡度比(坡比):坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度,用字母i表示,如图,坡度比通常写成的形式.
例题 例1.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(结果取整数)？ 例2.如图,防洪大堤的横截面是梯形ABCD,其中AD∥BC,α=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m,求改造后的坡长AE．(结果保留根号)
练习 1.海中有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险？ 2.如图1,完成下列填空： (1)斜坡的坡度是,则坡角a= ； (2)斜坡的坡角是45°,则坡比是 ； (3)斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是 ； 4.如图2,一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发,沿山坡向上走了240m到达点B.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米(角度精确到0.01°,长度精确到0.1m)？ 5.如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽(精确到0.1m).
备注
中考链接
第 28章 锐角三角函数 (2021)23．如图,A,B是海面上位于东西方向的两个观测点,有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号,此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上,同时位于观测点B的北偏西60°方向上,且测得C点与观测点A的距离为海里． （1）求观测点B与C点之间的距离； （2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处,在接到海轮的求救信号后立即前往营救,其航行速度为42海里/小时,求救援船到达C点需要的最少时间． (2022)23．如图,海中有两小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向,小岛D位于南偏东30°方向,且A,D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B,此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距8 nmile．求B,D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． (2023)22．如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为的斜坡AB前进m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度（参考数据：,,,计算结果用根号表示,不取近似值）． (2024)22．（8分）如图,海中有一个小岛C,某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达B点,测得小岛C位于北偏西方向上,再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛D位于北偏西方向上．已知A,C相距30n mile．求C,D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
备注
29.1.1 投影(平行投影与中心投影)
知识点 1.平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影. 2.平行投影的光源为平行光线,一般有探照灯、太阳光. 3.中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影. 4.中心投影的光源为点光源,一般有灯泡、蜡烛,其光线相交于一点.
例题 例1.某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m.某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示,你能画出此时乙木杆的影子吗？ 例2.确定下图路灯灯泡所在的位置.
例3.下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的,哪幅图是太阳光下形成的吗？ 例4.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点沿OA所在的直线行走14米到B点时,影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
练习 1.下列物体的影子中,不正确的是( ). 2.高4米的旗杆在水平地面上的影子长6米,此时测得附近一个建筑物的影子长30米,则此建筑物的高度为( ). A.45 B.35 C.20 D.10
3.如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形是( ). 4.如图所示,夜晚路灯下同样高的旗杆,离路灯越近,它的影子( ). A.越长 B.越短 C.一样长 D.无法确定
5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子,将它们按时间先后顺序排列正确的是 ( ). 6.一位同学想利用树影测树高,已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿的影长为3m,但当他马上测量树影时,发现树的影子有一部分落在墙上.经测量,留在墙上的影高CD=1.2m,地面部分影长BD=5.4m,求树高AB.
备注
29.1.2 投影(正投影)
知识点 1.平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影. 2.平行投影的光源为平行光线,一般有探照灯、太阳光. 3.中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影. 4.中心投影的光源为点光源,一般有灯泡、蜡烛,其光线相交于一点. 5.线段：平行长相等,倾斜长缩短,垂直成一点. 6.平行四边形：平行形不变,倾斜形改变,垂直成线段.
例题 例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影． (1) 正方体的一个面ABCD平行于投影面P； (2) 正方体的一个面ABCD倾斜于投影面P,底面ADEF垂直于投影面P,并且其对角线AE垂直于投影面P．
练习 1.球的正投影是( ). A.圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环 2.木棒长为 1.2m ,则它的正投影的长一定( ). A.大于1.2m B.小于1.2m C.等于1.2m D.小于或等于1.2m 3.小明在操场上练习双杠时,在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子( ). A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法确定 4.下图水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是( ). 5.画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影． 6.一个长8cm的木棒AB,已知AB平行于投影面α,投影线垂直于α. (1)求影子A1B1的长度 (如图①)； (2)若将木棒绕其端点A逆时针旋转30°,求旋转后木棒的影长A2B2(如图②)．
备注
29.2.1 三视图(简单的三视图)
知识点 1.在正面得到的由前向后观察物体的视图,叫主视图(从前面看). 2.在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫左视图(从左面看). 3.在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫俯视图(从上面看). 4.三视图是主视图、俯视图、左视图的统称. 注意：看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.
例题 例1.画出图中基本几何体的三视图. 例2.画出如图所示的支架的三视图,其中支架的两个台阶的高度和宽度相等．
例3.如图,分别根据三视图(1)(2)说出立体图形的名称. 例4.根据物体的三视图描述物体的形状.
例5.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是 个.
练习 1.画出如图所示的正三棱柱、圆锥、半球的三视图. 2.如下图几何体,请画出这个物体的三视图.
3、图是一根钢管的直观图,画出它的三视图． 4.画出几何体的三视图.
5.根据下列物体的三视图,填出几何体的名称： (1)如图①所示的几何体是__________； (2)如图②所示的几何体是__________. 6.请根据下面提供的三视图,画出几何图形.
7.根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的 共有几层 一共需要多少个小正方体
备注
29.2.2 三视图(复杂图形的三视图)
知识点 1.在正面得到的由前向后观察物体的视图,叫主视图(从前面看). 2.在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫左视图(从左面看). 3.在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫俯视图(从上面看). 4.三视图是主视图、俯视图、左视图的统称. 注意：看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.
例题 例1.某工厂要加工一批密封罐,设计者给出了密封罐的三视图,请按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积.(结果可保留根号,图中单位尺寸:mm)
练习 1.如图是一个几何体的三视图,根据图中所示数据,求这个几何体的侧面积为( ) . 2.如图,已知某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) .
3.如图是一个上下底密封纸盒的三视图,请你根据图中数据,计算这个密封纸盒的表面积为 cm2(结果可保留根号) 4.2019年6月17日四川省长宁县发生6.0级地震,救灾人员临 时搭建了很多帐篷,帐篷的三视图如图所示(单位:m),根据三视图可 以得出每顶帐篷(无底)的表面积为( ) . A.6πm2 B.9πm2 C.12πm2 D.18πm2
如图,一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形,则这个几何体的体积为 ； 表面积为 .
备注
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第 29 章 投影 (2018)4.如图是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是( ) A． B． C． D． (2019)4.下列立体图形中,俯视图是三角形的是( ). A． B． C． D． (2020)3.如图所示的几何体的主视图是( ). A． B． C． D． (2021)3.下列立体图形中,主视图是圆的是( ). A． B． C． D． (2022)3.如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体,它的俯视图是( ). A． B． C． D． (2023)4.一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是( ). A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱 (2024)3.下列几何体中,其三视图的主视图和左视图都为矩形的是( ). A． B． C． D．
备注人民教育出版社(2012 版)
学
习
资
九年级下册
料
班级：
姓名：
2024 年 9 月
第 1 页
26.1.1 反比例函数
1.一次函数:y=kx+b(k,b是常数,且 k≠0)
知
2.正比例函数:y=kx(k是常数,且 k≠0)
识 3.反比例函数:y= (k是常数,且 k≠0)
点 -14.反比例函数的三种表达方式:y= y=kx x y=k(注意 k≠0)
问题.你能用等式来表示吗？
(1)京沪线铁路全程长1463km,某次列车的平均速度为 v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时
间 t(单位:h)的变化而变化；
2
(2)某住宅小区要种植一块面积为 1000m 的矩形草坪,草坪的长 y(单位:m)随宽 x(单位:m)的
变化而变化；
例 2 2(3)已知北京市的总面积为 km ,人均占有面积 S(单位:km /人)随全市总人口 n(单位:人)的变
化而变化；
题 例 1.已知 y是 x的反比例函数,并且当 x=2 时,y=6.
(1)写出 y关于 x的函数解析式.
(2)当 x=4 时,求 y的值.
1.y是 x的反比例函数,下表给出了 x与 y的一些值.
1 1x -2 -1 - 1 3
2 2
2
y 2 -1
3
(1)写出这个反比例函数的表达式;
(2)根据函数表达式完成上表.
2.点(4,6)满足反比例函数 y= ,则下面点满足这个函数的是( ).
A.(-4,6) B.(3,-8) C.(-3,-8) D.(-2,12)
m 4
练 4.若 y= 是反比例函数关系式,则 m应满足的条件是_____.
习 5.已知函数是反比例函数 y xm 9 ,则 m=_____；
6.已知函数,当 x＝1时,y＝－3,当 x=-3 时,y=_____.
2 2
7.已知函数 y=(m -2m) + 1
(1)若 y是 x的正比例函数,求 m的值；
(2)若 y是 x的反比例函数,求其函数解析式.
8.已知 y＝y1＋y2,y1与 x成正比例,y2与(x-2)成反比例,当 x＝1时,y＝2；当 x＝3时,y＝10.求:
(1)y关于 x的关系式；
(2)当 x＝－1时,y的值.
备
注
第 2 页
26.1.2.1 反比例函数的图象和性质(K的几何意义)
知
识
点
6 12
例 1.画出反比例函数 y= 和 y= 的图象.
6 12
(1)观察反比例函数 y= 和 y= 的图象,有哪些性质呢？
k
(2)对于反比例函数 y= (k>0)你能得出同样的结论吗？
例
6
(3)函数图象在哪几个象限？与 y= 中的函数图象有什么不同？为什么会有这样的变化？
题
1.请将下列函数图象是哪些函数？
图 1
2.已知反比例函数的图象如图1所示,则 k 0,在图象的每一分支上,y随 x的增大而 .
练 k3.已知反比例函数 y= 的图象过点(2,1),则它的图象在 象限,k 0．
习 34.y=- (x>0)的图象叫 ,图象位于象限 .
5.写出一个图象在二、四象限内的反比例函数 .
m
6.反比例函数 y= 的图象两支分布在第二、四象限,则点(m,m-2)在第 象限.
y m2 27.已知函数 =( -2m) + 1是反比例函数,且图象经过一、三象限,求 m的值.
备
注
第 3 页
26.1.2.2 反比例函数的图象和性质
1. 待定系数法求反比例函数解析式步骤:
知 k（1）设:设反比例函数解析式为 y= (k≠0)
识 （2）列:代入点坐标列出方程
（3）解:解方程
点 （4）还原:还原反比例函数解析式
例 3.已知反比例函数的图象经过点 A(2,6)．
(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随 x的增大如何变化？
(2)你能求出它的表达式吗？
例
题
y m 51.如图 1,它是反比例函数 = 图象的一支,根据图象,回答问题:
图 1
(1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取 A(x1,y1)和点 B(x2,y2),如果 x1＞x2,
那么 y1和 y2有怎样的关系？
2.如图 2,是反比例函数 y 1 k= 的图象,则 k的值可以是( ) 图 2
练 A．－1 B．3 C．1 D．0
k
习 3.已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(2,－4).
(1)求 k的值；
(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y随 x的增大如何变化
(3)画出该函数的图象；
(4)点 B(1,－8),C(－3,5)是否在该函数的图象上
备
注
第 4 页
26.1.2.3 反比例函数中几何性质
y k k知 1.反比例函数 = 图象任一 2.反比例函数 y= 图象中三
点向坐标轴作垂线围成的
识 角形的面积:S
1
三角形= |k|
矩形的面积 S =|k|. 2矩形
点
k
例 1.如图,点 A在反比例函数 y= 的图象上,AC垂直 x轴于点 C,且△AOC的面积为 2,求该反
比例函数的表达式．
例
题
k
1.如图,过反比例函数 y= 图象上的一点 P,作 PA⊥x轴于 A,若△
POA的面积为 6,则 k= .
2.若点 P是反比例函数图象上的一点,过点 P分别向 x轴、y轴作垂线,垂足分别
为点 M,N,若四边形 PMON的面积为 3,则这个反比例函数的关系式是 .
4
3.如图,P,C是函数 y= (x>0)图像上的任意两点,PA,CD垂直于 x轴.设 S
△POA
为 S1,
练
则 S1= ；
习
若 S 梯形 CEAD为 S2,则 S1 S2；
若 S△POE为 S3,那么 S2 S3
4
4.如图,点 A 是反比例函数 y= (x>0)的图象上任意一
6
点,AB//x轴交反比例函数 y=- (x>0)的图象于点 B,C在 x轴
上,则 S△ABC= .
备
第 5 页
注
26.2.1 实际问题与反比例函数
1.待定系数法求反比例函数解析式步骤:
知 (1)设:设反比例函数解析式为 y k= (k≠0)
识 (2)列:代入点坐标列出方程
(3)解:解方程
点 (4)还原:还原反比例函数解析式
3
例 1.市煤气公司要在地下修建一个容积为 104m 的圆柱形煤气储存室.
2
(1)储存室的底面积 S(单位:m )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系
2
(2)公司决定把储存室的底面积 S定为 500m ,施工队施工时应该向下掘进多深
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15m时,公司临时改变计划,把储存室的深度改为 25m.
相应地,储存室的底面积应改为多少
例 例 2.码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物,装载完毕恰好用了 8天时间
(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度 v(单位:吨/天)与卸货天数 t之间有怎样的函数
题 关系？
(2)由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少
吨？
例 3.一司机驾驶汽车从甲地去乙地,他以 80 千米/时的平均速度用 6小时达到乙地.
(1)甲、乙两地相距多少千米？
(2)当他按原路匀速返回时,汽车的速度 v与时间 t有怎样的函数关系？
3
1.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,这样必须把 1200m 的生活垃圾运走．
3
(1)假如每天能运 xm ,所需时间为 y天,写出 y与 x之间的函数关系式；
3
(2)若每辆拖拉机一天能运 12m ,则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
(3)在(2)的情况下,运了 8 天后,剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成,那么至少需要增加
多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
2.面积为 2 的直角三角形一直角边为 x,另一直角边长为 y,则 y与 x的变化规律用图象可大致
表示为()
练
习 3.学校锅炉旁建有一个储煤库,开学时购进一批煤,现在知道:按每天用煤 0.6 吨计算,一学期
(按 150 天计算)刚好用完.若每天的耗煤量为 x吨,那么这批煤能维持 y天.
(1)则 y与 x之间有怎样的函数关系？
(2)若每天节约 0.1 吨,则这批煤能维持多少天？
4.王强家离工作单位的距离为 3600 米,他每天骑自行车上班时的速度为 v米/分,所需时间为 t
分钟.
(1)速度 v与时间 t之间有怎样的函数关系？
(2)若王强到单位用 15 分钟,那么他骑车的平均速度是多少？
(3)如果王强骑车的速度最快为 300 米/分,那他至少需要几分钟到达单位？
备
第 6 页
注
中考链接
(2020)22．如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知一次函数 y＝ x+b的图象与反比例函数 y＝ 的图象相交
于 A,B两点,且点 A的坐标为(a,6)．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)求△AOB的面积．
(2021)22．一次函数 y＝kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y＝ 的图象相交于A(2,3),B(6,n)
两点．(1)求一次函数的解析式；
(2)将直线 AB沿 y轴向下平移 8 个单位后得到直线 l,l与两坐标轴分别相交于M,N,与反比例函数的
图象相交于点 P,Q,求 的值．
第
22 , = 3 + = 12(2022) ．如图 直线 与反比例函数 的图象相交于点 , ,已知点 的纵坐标为 6
26 2
章 (1)求 的值；
(2)若点 是 轴上一点,且△ 的面积为 3,求点 的坐标．
反
比 (2023)23．如图,在平面直角坐标系 xOy中,直线 l:y＝kx+2 与 x,y轴分别相交于点 A,B,
例 与反比例函数 y＝ (x＞0)的图象相交于点 C,已知 OA＝1,点 C 的横坐标为
函 2．
(1)求 k,m的值；
数
(2)平行于 y 轴的动直线与 l 和反比例函数的图象分别交于点 D,E,若以
B,D,E,O为顶点的四边形为平行四边形,求点 D的坐标．
(2024)23．(8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y kx b与 x轴相交于点 A( 2,0) ,与反比例函数
y a 的图象相交于点 B(2,3) ．
x
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) x m(m 2) y a (x 0) y 2直线 与反比例函数 和 (x 0) 的图象
x x
分别交于点C ,D ,且 S OBC 2S OCD ,求点C的坐标．
备
注
第 7 页
第 8 页
27.1.1 图形的相似
1.相似图形：我们把形状相同的图形叫相似图形.
知 2.如果 a,b,c,d a c四条线段是比例线段,那么 .
b d
识 3.判断已知的四条线段是否成比例:按从小到大的顺序排列,用最短的线段长度乘以最长的线
段长度,再计算中间两条线段长度的乘积,如果积相等,一定成比例,如果积不相等,一定不成比
点
例.
例 1.判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段：
(1) a＝4,b＝6,c＝5,d ＝10；
(2) a ＝2 ， b ＝ 5 ， c ＝2 15 ， d ＝5 3 ；
例
题
例 2.在比例尺为 1:10000000 的地图上,量得甲乙两地的距离是 30cm,求两地的实际距离.
1.如图是一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到的 2.如图,图形(a)～(f )中,哪些与图形(1)或
自己的形象,这些镜中的形象相似吗？ (2)相似？
3.一把矩形米尺 1,长 1m,宽 3cm,则这把米尺的长和宽的比为( ) .
练 A.100:3 B.1:3 C.10:3 D.1000:3
4.甲、乙两地相距 35km,图上距离为 7cm,则这张图的比例尺为( ) .
习 A.5:1 B.1:5 C.1:500000 D.500000:1
5.甲、乙两地相距 200km,这张图的比例 1:10000000,则两地的图上距离是 cm.
6.已知线段 a、b、c a b满足关系式 ,且 b=4,那么 ac= .
b c
7. a 3 a b b已知 ,那么 、 各等于多少？
b 2 b a b
备
注
第 9 页
27.1.2 图形的相似
1.相似多边形的特征：对应角相等,对应边的比相等.
2.相似多边形的定义：两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个
多边形叫做相似多边形.
知
识
点
例 1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
例 例 2.如图,四边形 ABCD和 EFGH相似,求角α,β的大小和 EH的长度 x．
题
例 3.如图,点 E、F分别是矩形 ABCD的边 AD、BC的中点,若矩形 ABCD
与矩形 EABF相似,AB=1,求矩形 ABCD的面积.
1.如图所示的两个五边形相似,求 a,b,c,d的值.
2.在两个相似的五边形中,一个五边形各边长分别为 1,2,3,4,5,另一个五边形最大边为 10,则
最短的边为 .
练 3.△ABC与△DEF相似,且相似比是 k,则△DEF与△ABC的相似比是 .
4.将矩形 ABCD沿两条较长边的中点的连线对折,得到的矩形 EADF与矩形 ABCD相似,确定
习 矩形 ABCD长与宽的比.
备
注
第 10 页
27.2.1 .1 平行线分线段成比例
1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
说明：①定理的条件是“ 三条平行线截两条直线 ”.
②是“对应线段成比例”,注意“对应”两字.
知
识
点
2.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.
例 1.如图,在△ABC中,EF∥BC.
(1) 如果 E、F分别是 AB和 AC上的点,AE=BE=7,FC=4,那么 AF的长是多少？
(2) 如果 AB=10,AE=6,AF=5,那么 FC的长是多少？
例 例 2.如图所示,如果 D,E,F分别在 OA,OB,OC上,且 DF∥AC,EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
题
1. 如图,F 为□ABCD 的边 AD 延长线上一点,BF 2. 如图,在△ABC中,D为 AC上一点,E为 CB
GE BE 的延长线上一点,连接 ED交 AB于点 F.且
分别交 CD,AC于点 G,E. 求证:
EB EF AC EF ,DG//AB.
BC FD
求证:AD=EB.
练
3. 如图,在△ABC中,AM 是 BC边上的中线, 4. 如图,在△ABC中,∠ACB的平分线 CD交
习
直线 DN//AM ,交 AB于点 D,交 CA的延长线 AB 于点D,过 B作 BE//CD
于点 E BC AD AE 交 AC于点 E.,交 于点 N.求证: .
AB AC AD AC
求证: .
BD BC
备
注
第 11 页
27.2.1.2 相似三角形的判定(SSS、SAS)
1.三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．(SSS)
知
识
2.两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．(SAS)
点
例 1.图中的两个三角形是否相似？为什么？
例 例 2.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为 4,5,6.另一个
三角形框架的一边长为 2,它的别外两条边长应当是多少？你有几种答案？
题
例 3.如图,AB AE=AD AC,且∠1=∠2,求证：△ABC∽△AED．
1.如图,D,E分别是△ABC的边 AC、AB上的 2.如图,在△ABC 中,CD 是边 AB 上的高且
点 ,AE=1.5,AC=2,BC=3,
CD2AD 3 AD BD ,求证:∠ACB=90°．
且 ,求 DE的长.
AB 4
练
3.已知：如图,在正方形 ABCD中,P是 BC上 4.如图,在正方形 ABCD中,E是 AD的中点,
习 的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.ΔADQ与Δ 点 F在 CD上,且 CF=3FD.
QCP 是否相似？为什么？ (1)求证：△ ABE ∽△ DEF ．
(2)△ABE与△DEF相似吗？为什么？
备
注
第 12 页
27.2.1.3 相似三角形的判定(AA、HL)
1.利用两组角判定两个三角形相似的定 2.“直角边、斜边”定理:如果一个直角三角形的
知 理：两角分别相等的两个三角形相似(AA). 斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和
一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相
识 似(HL).
点
例 1.如图,△ABC和△DEF中,∠A=40°, 例 2.如图,弦 AB和 CD相交于⊙O内一点 P,
∠B=80°,∠E =80°,∠F=60°. 求证:PA·PB=PC·PD.
求证:△ABC∽△DEF. 证明:连接 AC,DB.
∵∠A和∠D都是弧 CB所对
的圆周角,
∴∠A= _______ ,
同理 ∠C = _______ ,
例 ∴ △PAC∽△PDB ,
∴ 即 PA·PB= PC·PD.
题 例 3.如图,已知∠ACB=∠ADC= 90°,AD=2, 例 4.已知：在 RtΔABC中, CD是斜边 AB上
的高．求证:
CD = 2 ,当 AB 的长为多少时,△ACB 与△
AC 2 AD AB;CD2 AD BD;BC 2 BD AB
ADC相似．
图 1 图 2 图 3 图 4 图 5
1.如图 1,已知 AB∥DE,∠AFC＝∠E,则图中相 似三角形共有( ).
A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对
2.如图 2,△ABC中, AE交 BC于点 D,∠C =∠E, AD:DE =3:5,AE=8,BD=4 ,则 DC的长等
于( ) .
练 3.如图 3,点 D在 AB上,当∠ ＝∠ (或∠ =∠ )时,△ACD∽△ABC.
4.如图 4,在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点 D.若 AB=6,AD=2,
习 则 AC= ,BD= ,BC= . 图 6 图 7
5.如图 5,△ABC的高 AD、BE交于点 F．
AF EF
求证：
BF FD
6.如图 6,∠1=∠2=∠3 ,求证:△ABC∽△ADE．
7.如图 7,BE是△ABC的外接圆 O的直径,CD是△ABC的高,求证：AC·BC=BE·CD.
备
注
第 13 页
27.2.2 相似三角形的性质
知 相似三角形的性质：
1.相似三角形对应高线(角平分线、中线)的比等于相似比.
识 2.相似三角形对应线段的比等于相似比.
3.相似三角形(多边形)周长的比等于相似比.
点 4.相似三角形(多边形)面积的比等于相似比的平方.
例 1.如图在△ABC和△DEF 例 2.如图,△ABC 的面积为 100,周长为 80,
中,AB=2DE,AC=2DF,∠A =∠D．若△ABC的 AB=20,点 D 是 AB 上一点,BD=12,过点 D 作
DE∥BC,交 AC于点 E．
边 BC上的高是6,面积为12 5 ,求△DEF的边
(1)求△ADE的周长和面积；
例 EF上的高和面积． (2)过点 E作 EF∥AB,EF交 BC于点 F ,求△
EFC和四边形 DBFE的面积．
题
1.填空：
(1)已知ΔABC与ΔDEF的相似比为2：3,则对应中线的比为 ,对应角平分线的比为 ,
周长比为 ,面积比为 .
(2)已知ΔABC∽ΔA′B′C′面积之比为 16：9,则相似比为 ,对应高之比为 ,周
长之比为 .
(3)已知ΔABC ∽ΔA′B′C′它们对应中线的比为 1:3,ΔABC 的面积为 2,周长为 4,则
ΔA′B′C′的面积等于 ,周长等于 .
2.如图,DE∥BC,DE=1,BC=4,
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似,求它们的相似比.
(2)△ADE的周长:C△ABC＝ .
S
(3) ADE
练 S ABC
3.如图,在 ABCD中,若 E是 AB的中点,则
习 (1) AEF与 CDF的相似比为多少？
(2)若 AEF 2的面积为 5cm ,则 CDF的面积为多少？
4.蛋糕店制作两种圆形蛋糕,一种半径15cm,一种半径是30cm,如果半径是15cm的蛋糕够2个
人吃,径是 30cm的蛋糕够多少人吃？(假设两种蛋糕高度相同)
5. 在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的 2cm变成了 6cm,这次复印的放缩
比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
备
注
第 14 页
27.2.3 相似三角形应用举例
1. 利用相似三角形测量高度:物 1高:物 2高=影 1长:影 2长 .
2.求树高常用的辅助线：
知
作垂直,作平行,延长两条直线相交,构造相似三角形.
3.相似三角形的性质：
识
(1)三角对应相等,三边对应成比例.
(2)对应线段的比等于相似比(对应中线、高线、角平分线的比都等于相似比) .
点
(3)周长的比等于相似比.
(4)面积的比等于相似比的平方.
例 1.如图,木杆 EF长 2m,它的影长 例2.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一
FD为 3m,测得 OA为 201m,求金字 个目标点 P,在近岸取点 Q和 S,使点 P、Q、S共线且直
塔的高度 BO. 线 PS与河垂直,接着在过点 S且
与 PS垂直的直线 a上选择适当
的点T,确定PT与过点Q 且垂直
PS的直线 b的交点 R．如果测得
QS＝45m,ST＝90m,QR＝60m,
例 求河的宽度 PQ．
题
例 3.已知左、右并排的两棵大树的高分别是 AB＝8m和 CD＝12m,两树
底部的距离 BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面 1.6m.她沿着正对这两
棵树的一条水平直路 l从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多
少时,就不能看到右边较高的树的顶端点 C了？
1.如图,测得 BD=200m,DC=50m, 2.小明要测量一座古塔的高度,从距他 2 米的一小块积
EC=70m,求河宽 AB． 水处 C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度
DE是1.5米,塔底中心 B到积水处 C的距离是40米.求
塔高 AB？
练
习 3.如图,教学楼旁边有一棵树,数学小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时在阳光下他
们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米,当他们马上测量树的影子
长时,发现树的影子不全落在地面上,于是他们测得落在地面上的影子
长 2.7 米,落在墙壁上的影长 1.2 米,求树的高度.
备
注
第 15 页
27.3 .1 位似图形的概念及画法
1.位似图形的概念：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,那么这样的两个
知 图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心．
2.位似的特征：
识 ⑴位似图形一定是相似图形,反之相似图形不一定是位似图形．
⑵判断位似图形时,要注意它们必须是相似图形,其次每一对对应点所在直线都经过同一点．
点 3.位似的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
位似图形的位似比等于相似比 .
1
例 1.把四边形 ABCD缩小到原来的 .
2
(1) 在四边形外任选一点 O ；
' ' ' '
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A'、B'、C'、D',使得OA OB OC OD 1 ；
OA OB OC OD 2
例 (3) 顺次连接点 A'、B'、C'、D',所得四边形 A'B'C'D'就是所要求的图形．
题
1.下列说法不正确的是( ) .
A. 位似图形一定是相似图形 B. 相似图形不一定是位似图形
C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于相似比
D. 位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2.用作位似图形的方法,可以将一个图形放大或缩小,位似中心( ).
A. 只能选在原图形的外部 B. 只能选在原图形的内部
C. 只能选在原图形的边上 D. 可以选择任意位置
3.如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比为 2∶3,已知 AB=4,则 DE的长等于( ).
A.6 B 8.5 C.9 D.
3
练 4.如图,正方形 EFGH,IJKL都是正方形 ABCD的位似图形,点 P是位似中心.
(1)如果相似比为 3,正方形 ABCD的位似图形是哪一个？
习 (2)正方形 IJKL是正方形 EFGH 的位似图形吗？如果是,求相似比；
(3)如果由正方形 EFGH得到它的位似图形正方形 ABCD,求相似比.
5.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,点 A,B,A′,B′,O共线, 点 O为位似中心.
(1)AC与 A′C′平行吗 请说明理由;
(2)若 AB＝2A′B′,OC′=5,求 CC′的长.
备
注
第 16 页
27.3.2 平面直角坐标系中的位似
知
位似图形的坐标规律:
识 在平面直角坐标系中,以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为 k,那么与原图形上
的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为原点同侧(kx,ky)或原点异侧(-kx,-ky).
点
例 如图,△ABO三个顶点的坐标分别为 A(-2,4), B(-2,0), O(0,0).以原点 O为位似中心,
3
画出一个三角形,使它与△ABO的相似比为 .
2
例
题
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的 2.如图,△ABO三个顶点的坐标分别为 A(4,-5), B
△OCD,求△AOB (6,0), O(0,0).以原点 O为
与△COD的相似 位似中心,把这个三角形放大
比. 为原来的2倍,得到△A′B′
O′.写出△A′B′O′三个
顶点的坐标.
4.某学习小组在讨论“ 变化的鱼 ”时,知道大鱼
3.△ABC三个顶点坐标分别为 A(-2,-2), 与小鱼是位似图形(如图所示), 则小鱼上的点
B(-4,-2),C(-6,-4),以原点为位似中心, (a,b)对应大鱼上的点( )
练 将△ABC放大后得到的△DEF与△ABC A.(-2a,-2b)
的相似比为 2∶1,这时△DEF中点 D的坐 B.(-a ,-2b)
习 标是 . C.(-2b,-2a)
D.(-2a,-b )
5.如图所示,图中的小方格都是边长为 1 的正方形,△ABC 与△A′B′C′是以 O为位似中心
的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上.
(1) 画出位似中心点 O;
(2) 直接写出△ABC与△A′B′C′的相似比;
(3) 以位似中心 O为坐标原点,以格线所在直线为坐标轴建
立平面直角坐标系,画出△A′B′C′关于点 O中心对称的
△A″B″C″,并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
备
注
第 17 页
中考链接
第
27
章
相
似
三
角
形
备
注
第 18 页
第 19 页
28.1.1 锐角三角函数(正弦函数)
1.如图,在 Rt△ABC中,∠C=90 ,锐角 A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine).
知
即 sinA A的对边 a
识 斜边 c
点
例1.如图,已知 AB是☉O的直径,CD是弦,且 【活动一】如图,☉O的半径为 3,弦 AB的长
CD⊥AB,AC=8,BC=6,求 sin ABD的值. 为 4,求 sinA的值.
例
题 【活动二】如图：在 Rt△ABC中,∠C=90°, 【活动三】在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,
AB sinB 3 BC sinA 2=10, ,求 的长. ,求 AB的长.
5 3
【活动四】如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC∶AB=2∶3,求 sinA.
1.在 Rt△ABC中,锐角 A的对边和斜边同时扩大 100 倍,sinA的值( ).
A 1.扩大 100 倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定
100
2.判断对错.
BC
如图(1) sinA= ( )
练 AB
(2) sinB BC= ( )
习 AB
(3) sinA=0.6m ( )
(4) SinB=0.8 ( )
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,图中 sinB可由哪两条线段比求得.
备
注
第 20 页
28.1.2 锐角三角函数 (余弦和正切函数)
1.余弦:在 RtABC中,锐角 A的邻边和斜边的比叫做∠A的余弦(cosine),记作 cosA.
2.正切:在 RtABC中,锐角 A的对边和邻边的比叫做∠A的正切(tangent),记作 tanA.
知
cos A A的邻边 b tan A A的对边 a tan A sin A
识 斜边 c A的邻边 b cos A
点 sin2 A cos2 A 1 sin2 B cos2 B 1
3.在 RtABC中,对于任意锐角α,有 cosα=sin(90°-α) sinα=cos(90°-α) .
图 1 图 2 图 3
例 1.如图 1,BC=8,AC=6,则： sin B , sin ACD .
2.如图 2, sin B .
题 例 1.如图 3,在 RtABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求 sinA,cosA和 tanA的值.
1.P65 课本练习 1(1)求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值,余弦值
和正切值.
2.在 RtABC中,∠C=90°,a=6,b=8,则 sinA=_______,cosA=_______,tanA=______.
3.若 tan 图 1(65°-∠A)=1,则∠A=________.
4.如图 1,在 RtABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB, AC 5 ,BC=2,
练 求 tan∠BCD的值.
图 2
习
5.如图 2,直径为10的⊙A经过点 C(0,5)和点 O(0,0),B是 y轴右侧⊙A优
弧上一点,则 cos∠OBC 的值为___________.
6.如图 3,ABC中的各个顶点都在格点上,则 sinA=_____,cosB=______,
tanC=______. 图 3
7.在 RtABC C sinA= 3中,∠ =90°, ,AC=12,求 tanB的值.
5
备
注
第 21 页
28.1.3 锐角三角函数 (特殊角的三角函数值)
1.30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
知
sin2 A cos2 A 1 sin22. B cos
2 B 1
识
3.在 RtABC 中,对于任意锐角α,有 cosα=sin(90°-α)
点 sinα=cos(90°-α) .
例 1 求下列各式的值：
o
(1)cos2 60o sin 2 60o (2) cos 45o tan 45
o
sin 45
2 2
例 例 2.已知△ABC中的∠A与∠B满足 1－tanA ＋ sinB－ ＝0 ,试判断△ABC的形状．
2
题
例 3.已知: 3 tan B－ 3 ＋ 2sinA－ 3 2＝0 ,求∠A,∠B的度数 .
例 4.已知α为锐角,且 tanα是方程 x2 +2x-3=0的一个根,求 2sin2 cos2 3tan（ 15 ）的
值．
1. 计算.
(1) sin 2 230°+cos45°； (2) sin 30°+ cos 30°－tan45°.
2. 如图,在 Rt△ABC中,∠C= 90°, AB 6 ,BC 3 ,求∠A的度数；
3.求满足下列条件的锐角α.
(1)2sinα－ 3 =0； (2)tanα－1=0.
练 4.tan(α+15°)＝1,锐角α的度数应是( ) .
A．40° B．30° C．20° D．10°
习
1 3
5.在△ABC中,若 sin A cos B 2 2
0 ,则∠C= .
6.求下列各式的值：
0
2 sin 1 45o 1 cos 1 60o 1 2005 1 2
2
7.若规定 sin(α-β)=sinαcosβ－cosαsinβ,求 sin15°的值.
备
注
第 22 页
28.2.1 解直角三角形及其应用 (解直角三角形)
解直角三角形的依据
知 2 2 2(1) 三边之间的关系:a＋ b＝c (勾股定理)；
(2) 锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90 ；
识 sinA a b a(3) 边角之间的关系: ＝ cosA＝ tanA＝
c c b
点 1 1
(4)面积公式： S ABC a b c h2 2
例 1.在 Rt△ABC 中 ,∠C= 90o, AC 2 , BC 6 ,解这个直角三角
形？
例
例 2.在 Rt△ABC中,∠C= 90o,∠B= 35o,b=20,解这个直角三角形？
题
1.在下列直角三角形中不能求解的是( ) .
A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角
2.Rt△ABC 4中,∠C=90°,若 sinA ,AB=10,那么 BC=______,tanB=______．
5
3.如图,在 Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知 c 2 5 , a 15 ,解这个直角三角形？
(2)已知 a 3 3 ,b 3 1 ,解这个直角三角形？
练 4.如图,在 Rt△ABC中,∠C= 90o,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知, B 45o , c 2 4 ,解这个直角三角形？
习 (2)已知, A 45o , a=8,解这个直角三角形？
5.如图,在 Rt△ABC中∠C=90o,∠A=30o,a=5,求∠B,b,c.
备
注
第 23 页
28.2.2 解直角三角形及其应用 (俯角、仰角)
1.解直角三角形的依据
2 2 2
知 (1) 三边之间的关系:a＋ b＝c (勾股定理)；
(2) 锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90 ；
识 a b a(3) 边角之间的关系: sinA＝ cosA＝ tanA＝
c c b
点 2.解直角三角形的技巧：有弦(斜边)用弦,无弦用切.
3.解法:只要知道五个元素中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出余下的三个未知元素.
例 1.2012 年 6 月 18 日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会
对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在 离地球表面 343km的圆形轨道上运行,如图,
当组合体运行到地球表面 P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
最远点与 P点的距离是多少(地球半径约为 6400km,π取 3.142,结果取整数)？
例
题
例2.热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部
的俯角为 60°,热气球与楼的水平距离为 120m,这栋楼有多高(结果取整)？
1.建筑物 BC上有一旗杆 AB,由距 BC 40m的 D 处观察旗杆顶部 A的仰角 54°,观察底部 B
的仰角为 45°,求旗杆的高度(精确到 0.1m)
2.如图,沿 AC方向开山修路．为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工,
从 AC上的一点 B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°,那么开挖点 E离 D
多远正好能使 A,C,E成一直线(精确到 0.1m).
练 ( sin 50o 0.766 cos50o 0.643 tan 50o 1.19 )
习
3.如图,为固定电线杆 AC,在离地面高度为6m的 A处引拉线 AB,使拉线 AB与地
面上的 BC的夹角为 48°,则拉线 AB的长度约为 ( )
(结果精确到 0.1m,sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)
备
注
第 24 页
28.2.3 解直角三角形及其应用(方向角、坡度)
1.方向角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的角叫做方位角.
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题转化为几何问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问
知 题)；
(2)根据条件的特点,选用适当锐角三角函数去解直角三角形；
识 (3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
点 3.坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,用字母α表示.
4.坡度比(坡比):坡面的铅直高度 h和水平距离 l的比叫做坡度,用字母 i
h
表示,如图,坡度比通常写成 i tan a 的形式.
l
例 1.如图,一艘海轮位于灯塔 P的北偏东 65°方向,距离灯塔 80 海里的 A处,
它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P的南偏东 34°方向上的 B处,
这时,海轮所在的 B处距离灯塔 P有多远(结果取整数)？
例
题 例 2. 如图 ,防洪大堤的横截面是梯形 ABCD, 其中 AD∥
BC,α=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造后的背水面坡角
β=45°．若原坡长 AB=20m,求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
1.海中有一个小岛 A,它周围 8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航
行,在 B点测得小岛 A在北偏东 60°方向上,航行 12 海里到达 C点,这时
测得小岛 A在北偏东 30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有
没有触礁的危险？
2.如图 1,完成下列填空：
练 (1)斜坡的坡度是1 3 ,则坡角 a= ；
习 (2)斜坡的坡角是 45°,则坡比是 ； 图 2
(3)斜坡长是12米,坡高 6米,则坡比是 ； 图 1
4.如图 2,一山坡的坡度为 i=1:2.小刚从山脚 A出发,沿山坡向上走了240m到达点 B.这座山坡
的坡角是多少度？小刚上升了多少米(角度精确到 0.01°,长度精确到 0.1m)？
5.如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝
底宽(精确到 0.1m).
备
注
第 25 页
中考链接
(2021)23．如图,A,B是海面上位于东西方向的两个观测点,有一艘海轮在 C点处遇险发出求救
信号,此时测得 C点位于观测点 A的北偏东 45°方向上,同时位于观测点 B的北偏西 60°方向
上,且测得 C点与观测点 A的距离为 25 2 海里．
（1）求观测点 B与 C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点 B的正南方向且与观测点 B相距 30 海里
的 D点处,在接到海轮的求救信号后立即前往营救,其航行速度为 42 海
里/小时,求救援船到达 C点需要的最少时间．
(2022)23．如图,海中有两小岛 C,D,某渔船在海中的 A处测得小岛 C位于东北方向,小岛 D位
于南偏东 30°方向,且 A,D相距 10 nmile．该渔船自西向东航行一段
第
时间后到达点 B,此时测得小岛 C 位于西北方向且与点 B 相距 8 2
28
nmile．求 B,D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
章
锐
(2023)22．如图,某数学兴趣小组为了测量古树 DE的高度,采用了如下的方法：先从与古树底
角 端D在同一水平线上的点 A出发,沿斜面坡度为 i 1: 3 的斜坡 AB前进 20 7 m到达点 B,再沿
水平方向继续前进一段距离后到达点 C．在点 C处测得古树 DE的顶端 E的俯角为 37°,底部
三
D 3 4 3的俯角为 60°,求古树 DE的高度（参考数据：sin37 , cos37 , tan37 ,计算结果
5 5 4
角
用根号表示,不取近似值）．
函
数
(2024)22．（8分）如图,海中有一个小岛 C,某渔船在海中的 A点测得小岛 C位于东北方向上,
该渔船由西向东航行一段时间后到达 B点,测得小岛 C位于北偏西30 方向上,再沿北偏东60
方向继续航行一段时间后到达D点,这时测得小岛D位于北偏西60 方向上．已知 A,C相距30n
mile．求 C,D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
备
注
第 26 页
第 27 页
29.1.1 投影(平行投影与中心投影)
知
1.平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影.
2.平行投影的光源为平行光线,一般有探照灯、太阳光.
识
3.中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
4.中心投影的光源为点光源,一般有灯泡、蜡烛,其光线相交于一点.
点
例 1.某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的 例 2.确定下图路灯灯泡所在的位置.
高度为1.5m.某一时刻甲木杆在阳光下的影子
如下图所示,你能
画出此时乙木杆的
影子吗？
例
例 3.下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻 例4.如图,路灯(P点)距地面8米,身高 1.6米
题 的影子.你能判断出哪幅图是灯光下形成的, 的小明从距路灯的底部(O点)20 米的 A点沿
哪幅图是太阳光下形成的吗？ OA所在的直线行走 14 米到 B点时,影子的长
度是变长了还是变短了？变长或变短了多少
米？
1.下列物体的影子中,不正确的是( ). 2.高 4 米的旗杆在水平地面上的影子长 6 米,
此时测得附近一个建筑物的影子长30米,则此
建筑物的高度为( ).
A.45 B.35 C.20 D.10
3.如图所示,表示两棵小树在同一时刻阳光下 4.如图所示,夜晚路灯下同样高的旗杆,离路
的影子的图形是( ). 灯越近,它的影子( ).
A.越长
练 B.越短
C.一样长
习 D.无法确定
5.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的 6.一位同学想利用树影测树高,已知在某一时
影子,将它们按时间先后顺序排列正确的是 刻直立于地面的长 1.5m的竹竿的影长为 3m,
( ). 但当他马上测量树影时,发现树的影子有一部
分落在墙上 .经测量 ,留在墙上的影高
CD=1.2m,地面部分影长 BD=5.4m,求树高
AB.
备
注
第 28 页
29.1.2 投影(正投影)
1.平行投影:由平行光线形成的投影是平行投影.
知
2.平行投影的光源为平行光线,一般有探照灯、太阳光.
3.中心投影:由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
识
4.中心投影的光源为点光源,一般有灯泡、蜡烛,其光线相交于一点.
5.线段：平行长相等,倾斜长缩短,垂直成一点.
点
6.平行四边形：平行形不变,倾斜形改变,垂直成线段.
例 画出如图摆放的正方体在投影面 P上的正投影．
(1) 正方体的一个面 ABCD平行于投影面 P；
(2) 正方体的一个面 ABCD倾斜于投影面 P,底面 ADEF垂直于投影面 P,并且其对角线 AE垂
直于投影面 P．
例
题
1.球的正投影是( ).
A.圆面 B.椭圆面 C.点 D.圆环
2.木棒长为 1.2m ,则它的正投影的长一定( ).
A.大于 1.2m B.小于 1.2m C.等于 1.2m D.小于或等于 1.2m
3.小明在操场上练习双杠时,在练习的过程中他发现在地上双杠的两横杠的影子( ).
A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法确定
4.下图水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是( ).
练 5.画出下列立体图形投影线从上方射向下方的正投影．
习
6.一个长 8cm的木棒 AB,已知 AB平行于投影面α,投影线垂直于α.
(1)求影子 A1B1的长度 (如图①)；
(2)若将木棒绕其端点 A逆时针旋转 30°,求旋转后木棒的影长 A2B2(如图②)．
备
注
第 29 页
29.2.1 三视图(简单的三视图)
知 1.在正面得到的由前向后观察物体的视图,叫主视图(从前面看).
2.在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫左视图(从左面看).
识 3.在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫俯视图(从上面看).
4.三视图是主视图、俯视图、左视图的统称.
点 注意：看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.
例 1.画出图中基本几何体的三视图. 例 2.画出如图所示的支架的三视图,其中支架
的两个台阶的高度和宽度相等．
例 3.如图,分别根据三视图(1)(2)说出立体图 例 4.根据物体的三视图描述物体的形状.
例
形的名称.
题
例 5.如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,
则搭成这个几何体的小正方体的个数是 个.
1.画出如图所示的正三棱柱、圆锥、半球的三 2.如下图几何体,请画出这个物体的三视图.
视图.
(1) (2)
3、图是一根钢管的直观图,画出它的三视图． 4.画出几何体的三视图.
(1) (2)
练 5.根据下列物体的三视图,填出几何体的名 6.请根据下面提供的三视图,画出几何图形.
称：
习 (1)如图①所示的几何体是__________；
(2)如图②所示的几何体是__________.
7.根据下面三视图请说出建筑物是什么样子的 共有几层
一共需要多少个小正方体
备
注
第 30 页
29.2.2 三视图(复杂图形的三视图)
知 1.在正面得到的由前向后观察物体的视图,叫主视图(从前面看).
2.在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫左视图(从左面看).
识 3.在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫俯视图(从上面看).
4.三视图是主视图、俯视图、左视图的统称.
点 注意：看得见的轮廓线画实线,看不见的轮廓线画虚线.
例 1.某工厂要加工一批密封罐,设计者给出了密封罐的三视图,请按照三视图确定制作每个密
封罐所需钢板的面积.(结果可保留根号,图中单位尺寸:mm)
例
题
1.如图是一个几何体的三视图,根据图中所示 2.如图,已知某几何体的三视图,则该几何体
数据,求这个几何体的侧面积为( ) . 的表面积为( ) .
3.如图是一个上下底密封纸盒的三视图,请你 4.2019 年 6 月 17 日四川省长宁县发生 6.0 级
根据图中数据,计算这个密封纸盒的表面积为 地震,救灾人员临 时搭建了很多帐篷,帐篷的
cm2(结果可保留根号) 三视图如图所示(单位:m),根据三视图可 以
得出每顶帐篷(无底)的表面积为( ) .
A 2.6πm
练 B.9πm
2
C 2.12πm
2
习 D.18πm
5. 如图,一个几何体的三视图分
别是两个矩形、一个扇形,则这个
几何体的体积为 ；
表面积为 .
备
注
第 31 页
中考链接
(2018)4.如图是一个由 5个完全相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图是( )
A． B． C． D．
(2019)4.下列立体图形中,俯视图是三角形的是( ).
A． B． C． D．
(2020)3.如图所示的几何体的主视图是( ).
A． B． C． D．
第 (2021)3.下列立体图形中,主视图是圆的是( ).
29
章
投 A． B． C． D．
(2022)3.如图是一个由 6个大小相同的正方体组成的几何体,它的俯视图是( ).
影
A． B． C． D．
(2023)4.一个立体图形的三视图如图所示,则该立体图形是( ).
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．三棱柱
(2024)3.下列几何体中,其三视图的主视图和左视图都为矩形的是( ).
A． B． C． D．
备
注
第 32 页
