5.1 从实际问题到方程
@基础分点训练
知识点1 方程的概念
1.下列叙述中，正确的是（ B ）
A.方程是含有未知数的式子
B.方程是等式
C.只含有字母x，y的等式才叫方程
D.带等号和字母的式子叫方程
2.下列选项中是方程的是（ B ）
A.5x2＋5 B.2x＋3y＝5
C.2x＋3≠－5 D.4x＋3＞1
3.已知式子：①3－4＝－1；②2x－5y；③1＋2x＝0；④6x＋4y＝2；⑤3x2－2x＋1＝0.其中是等式的有 ①③④⑤ ，是方程的有 ③④⑤ .（填序号）
知识点2 方程的解
4.下列说法错误的是（ D ）
A.x＝2是方程x－10＝－4x的解
B.方程2x＋4＝5x－2的解是x＝2
C.x＝2和x＝－2都是方程x2＝4的解
D.x＝y不是方程
5.下列方程中，解是x＝3的方程是（ B ）
A.3x＝6 B.（x－3）（x＋1）＝0
C.x＋3＝0 D.x（x－1）＝4
6.（教材习题变式）检验方程后面大括号内所列各数是不是相应方程的解：
3x＋1＝x＋5，{1，2}.
解：当x＝1时，左边＝3×1＋1＝4，
右边＝1＋5＝6，
因为左边≠右边，所以x＝1不是方程的解.
当x＝2时，左边＝3×2＋1＝7，
右边＝2＋5＝7，
因为左边＝右边，所以x＝2是方程的解.
知识点3 根据实际问题列方程
7.已知某数为x，若比它的2倍大1的数是3，则列出的方程是（ C ）
A.2x－1＝3 B.x＋1＝3
C.2x＋1＝3 D.x－1＝3
8.“某学校七年级学生人数为n，其中男生占45％，女生共有110人”，下列方程能表示上述语句中的相等关系的有（ D ）
①（1－45％）n＝110；②1－45％＝；③45％＝1－；④n＝；⑤1＝＋45％.
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
9.（教材习题变式）小明到商店去买铅笔，店主告诉他，如果多买一些可以享受八折优惠，于是，小明就买了20支，结果便宜了1.8元，原来每支铅笔的价格是多少？若设原来每支铅笔的价格为x元，依题意可列方程为 20x－20x×80％＝1.8 .
10.根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）：
（1）把1 500元奖学金按照两种奖项颁给24名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？
解：设获得一等奖的学生有x人，则
200x＋50（24－x）＝1 500.
（2）春运期间，汽车票价会上浮20％，这期间小明从南京到上海的票价是84元，求从南京到上海原来的票价.
解：设原来的票价为x元，则
x＋20％x＝84.
@中档提分训练
11.关于式子①2x＝3和②1－3＝－2，下列说法正确的是（ B ）
A.①②均是方程
B.①是方程，②不是方程
C.①不是方程，②是方程
D.①②均不是方程
12.方程－3（☆－9）＝5x－1，“☆”处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么“☆”处的数字是（ A ）
A.1 B.2 C.3 D.4
13.下列说法：①等式是方程；②x＝4是方程5x＋20＝0的解；③x＝－4和x＝6都是方程｜x－1｜＝5的解.其中正确的是 ③ .（填序号）
14.小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了A，B两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子贵12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等.
（1）①若设每千克橘子x元，则每千克苹果 （x＋12） 元，根据题意，可列方程为 2（x＋12）＝5x ；
②若设每千克苹果x元，则每千克橘子 （x－12） 元，根据题意，可列方程为 5（x－12）＝2x .
（2）检验橘子的价格是每千克6元，还是每千克8元.
解：将x＝6代入方程2（x＋12）＝5x中，
左边＝2×（6＋12）＝36，右边＝5×6＝30.
因为左边≠右边，所以x＝6不是方程的解；
将x＝8代入方程2（x＋12）＝5x中，
左边＝2×（8＋12）＝40，右边＝5×8＝40.
因为左边＝右边，所以x＝8是方程的解.
故橘子的价格是每千克8元.
@拓展素养训练
15.阅读下列材料：
x3＋x＝13＋1的解是x＝1；
x3＋x＝23＋2的解是x＝2；
x3＋x＝（－2）3＋（－2）的解是x＝－2.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于x的方程x3＋x＝43＋4的解为x＝ 4 ；
（2）比较关于x的方程x3＋x＝a3＋a与上面各式的关系，猜想它的解是 x＝a ；
（3）请验证第（2）问猜想的结论；
（4）利用第（2）问的结论，求解关于x的方程（x－1）3＋x＝（a＋1）3＋a＋2的解.
解：（3）把x＝a代入等式，左边＝a3＋a＝右边，
所以x＝a是原方程的解.
（4）将（x－1）3＋x＝（a＋1）3＋a＋2整理，得
（x－1）3＋x－1＝（a＋1）3＋a＋1，
所以x－1＝a＋1，
解得x＝a＋2.5.1 从实际问题到方程
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知识点1 方程的概念
1.下列叙述中，正确的是（ ）
A.方程是含有未知数的式子
B.方程是等式
C.只含有字母x，y的等式才叫方程
D.带等号和字母的式子叫方程
2.下列选项中是方程的是（ ）
A.5x2＋5 B.2x＋3y＝5
C.2x＋3≠－5 D.4x＋3＞1
3.已知式子：①3－4＝－1；②2x－5y；③1＋2x＝0；④6x＋4y＝2；⑤3x2－2x＋1＝0.其中是等式的有 ，是方程的有 .（填序号）
知识点2 方程的解
4.下列说法错误的是（ ）
A.x＝2是方程x－10＝－4x的解
B.方程2x＋4＝5x－2的解是x＝2
C.x＝2和x＝－2都是方程x2＝4的解
D.x＝y不是方程
5.下列方程中，解是x＝3的方程是（ ）
A.3x＝6 B.（x－3）（x＋1）＝0
C.x＋3＝0 D.x（x－1）＝4
6.（教材习题变式）检验方程后面大括号内所列各数是不是相应方程的解：
3x＋1＝x＋5，{1，2}.
知识点3 根据实际问题列方程
7.已知某数为x，若比它的2倍大1的数是3，则列出的方程是（ ）
A.2x－1＝3 B.x＋1＝3
C.2x＋1＝3 D.x－1＝3
8.“某学校七年级学生人数为n，其中男生占45％，女生共有110人”，下列方程能表示上述语句中的相等关系的有（ ）
①（1－45％）n＝110；②1－45％＝；③45％＝1－；④n＝；⑤1＝＋45％.
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
9.（教材习题变式）小明到商店去买铅笔，店主告诉他，如果多买一些可以享受八折优惠，于是，小明就买了20支，结果便宜了1.8元，原来每支铅笔的价格是多少？若设原来每支铅笔的价格为x元，依题意可列方程为 .
10.根据题意设未知数，并列出方程（不必求解）：
（1）把1 500元奖学金按照两种奖项颁给24名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？
（2）春运期间，汽车票价会上浮20％，这期间小明从南京到上海的票价是84元，求从南京到上海原来的票价.
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11.关于式子①2x＝3和②1－3＝－2，下列说法正确的是（ ）
A.①②均是方程
B.①是方程，②不是方程
C.①不是方程，②是方程
D.①②均不是方程
12.方程－3（☆－9）＝5x－1，“☆”处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么“☆”处的数字是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
13.下列说法：①等式是方程；②x＝4是方程5x＋20＝0的解；③x＝－4和x＝6都是方程｜x－1｜＝5的解.其中正确的是 .（填序号）
14.小张去水果市场购买苹果和橘子，他看中了A，B两家的苹果和橘子，这两家的苹果和橘子的品质都一样，售价也相同，但每千克苹果要比每千克橘子贵12元，买2千克苹果与买5千克橘子的费用相等.
（1）①若设每千克橘子x元，则每千克苹果 元，根据题意，可列方程为 ；
②若设每千克苹果x元，则每千克橘子 元，根据题意，可列方程为 .
（2）检验橘子的价格是每千克6元，还是每千克8元.
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15.阅读下列材料：
x3＋x＝13＋1的解是x＝1；
x3＋x＝23＋2的解是x＝2；
x3＋x＝（－2）3＋（－2）的解是x＝－2.
根据以上材料，解答下列问题：
（1）观察上述方程以及解的特征，请你直接写出关于x的方程x3＋x＝43＋4的解为x＝ ；
（2）比较关于x的方程x3＋x＝a3＋a与上面各式的关系，猜想它的解是 ；
（3）请验证第（2）问猜想的结论；
（4）利用第（2）问的结论，求解关于x的方程（x－1）3＋x＝（a＋1）3＋a＋2的解.
