5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第1课时 等式的性质
@基础分点训练
知识点 等式的性质
1.（大同期末）已知a＝b，则下列式子不一定成立的是（ ）
A.a＋2＝b＋2 B.ac＝bc
C.＝ D.a－m＝b－m
2.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ）
A.若a＝b，则＝
B.若m＝n，则－2m＝－2n
C.若x－3＝y－3，则x＝y
D.若2x＝6，则x＝3
3.（广安期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ ）
A.如果a＝b，那么ac＝bc
B.如果a＝b，那么＝（c≠0）
C.如果a＝b，那么a＋c＝b＋c
D.如果a＝b，那么a2＝b2
4.如果等式x＝y变形为＝，那么a的取值范围是 .
5.用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质变形的.
（1）如果x＋8＝10，那么x＝10＋ ，根据 ；
（2）如果4x＝3x＋7，那么4x－ ＝7，根据 ；
（3）如果－3x＝8，那么x＝ ，根据 ；
（4）如果x＝－2，那么 x＝ ，根据 .
6.利用等式的性质，说明由a－1＝b＋1如何变形得到a＝b＋4.
@中档提分训练
7.下列条件：①a＋2＝b＋2；②－3a＝－3b；③－a－c＝b＋c；④ac－1＝bc－1；⑤＝.其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 .（填序号）
8.（许昌期末）已知5a＋8b＝3b＋10，利用等式的性质可求得a＋b的值是 .
9.小帆同学用等式的基本性质对方程5m－2＝3m－2进行变形，得出“5＝3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小帆同学的具体过程如图所示：
解：将等式5m－2＝3m－2变形，
得5m＝3m（第1步），
∴5＝3（第2步）.
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因.
5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第2课时 方程的变形规则
@基础分点训练
知识点1 方程的变形规则
1.下列变形符合方程的变形规则的是（ ）
A.若2x－3＝7，则2x＝7－3
B.若3x－2＝x＋1，则3x－x＝1－2
C.若－3x＝5，则x＝5＋3
D.若－x＝1，则x＝－4
2.用适当的数或整式填空，使变形后的方程的解不变，并说明根据方程的哪一个变形规则得到的.
（1）若4x＋6＝3，则4x＝3－ ；
（2）若－5x＝，则x＝ .
知识点2 移项
3.方程x－3＝x＋1移项，可以得到（ ）
A.x＋x＝1－3 B.x－x＝1＋3
C.x＋x＝1＋3 D.2x－6＝3x＋2
4.下列方程变形中，移项正确的是（ ）
A.由x＋3＝6，得x＝6＋3
B.由2x＝x＋1，得x－2x＝1
C.由－2y＝12－y，得y－2y＝12
D.由6＋x＝2，得x＝6－2
知识点3 系数化为1
5.将方程2x＝8的系数化为1，方程两边应该都除以 或者都乘以 ，得到x＝ .
6.解下列方程：
（1）－3x＝1；
（2）－x＝.
@中档提分训练
7.下列变形属于移项的有（ ）
①由5x＋6＝0，得5x＝－6；
②由3x＝4x＋8，得3x－4x＝－8；
③由2x＝4x－2＋3x，得2x＝4x＋3x－2；
④由3x＝4，得x＝.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.【开放探究】写出一个满足下列条件的方程：①未知数的系数是－3；②方程的解是2；③求方程的解时，一定要有移项这步运算.这样的方程可以是 .
9.若方程2x＋1＝3的解与方程x＋3a＝7的解相同，求关于x的方程－ax－4＝－1的解.
@拓展素养训练
10.【古代数学】（巴中期末）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在1＋＋＋＋＋…中，“…”代表按规律不断求和，设1＋＋＋＋＋…＝x，则有x＝1＋x，解得x＝2，故1＋＋＋＋＋…＝2.类似地，1＋＋＋＋…的结果为（ ）
A. B. C. D.2
5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第3课时 利用方程的变形规则解方程
@基础分点训练
知识点 利用方程的变形规则解方程
1.（海南中考）若代数式x－3的值为5，则x＝（ ）
A.8 B.－8 C.2 D.－2
2.下列解方程的步骤正确的是（ ）
A.由－12x＝6，得x＝－2
B.由x＝1，得x＝1－
C.由－x＝－，得x＝1
D.由2x－1＝7x＋6，得2x－7x＝6＋1
3.解方程4x－2＝3－x的顺序是（ ）
①合并同类项，得5x＝5；
②移项，得4x＋x＝3＋2；
③将未知数的系数化为1，得x＝1.
A.①②③ B.③②①
C.②①③ D.③①②
4.若9－4m与m互为相反数，则m＝ .
5.解下列方程：
（1）3x－2＝x－2；
（2）8－x＝3x＋2.
@中档提分训练
6.（开封期末）如果单项式2xyb＋1与－xa＋3y5是同类项，那么关于x的方程ax＋b＝0的解为（ ）
A.x＝1 B.x＝－1
C.x＝2 D.x＝－2
7.（乐山期末）若2a－b＝1，则关于x的方程ax＋1＝bx的解为（ ）
A.x＝－2 B.x＝－1
C.x＝1 D.x＝2
8.【新定义】规定一种新运算“*”： a*b＝a2＋2ab，例如：3*2＝32＋2×3×2＝21.若（－3）*x＝3x，则x的值为 .
9.（教材习题变式）已知y1＝3x＋8，y2＝x＋3.
（1）若y1的值与y2的值相等，求x的值；
（2）当x取何值时，y1比y2大3？
@拓展素养训练
10.【类比探究】小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化0.为分数，解决方法是：设x＝0.，即x＝0.333…，将方程两边都乘以10，得10x＝3.333…，即10x＝3＋0.333….又因为x＝0.333…，所以10x＝3＋x，所以9x＝3，即x＝，所以0.＝.
尝试解决下列各题：
（1）把0.化成分数为 .
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数0.化成分数.5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第1课时 等式的性质
@基础分点训练
知识点 等式的性质
1.（大同期末）已知a＝b，则下列式子不一定成立的是（ C ）
A.a＋2＝b＋2 B.ac＝bc
C.＝ D.a－m＝b－m
2.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ A ）
A.若a＝b，则＝
B.若m＝n，则－2m＝－2n
C.若x－3＝y－3，则x＝y
D.若2x＝6，则x＝3
3.（广安期末）等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是（ C ）
A.如果a＝b，那么ac＝bc
B.如果a＝b，那么＝（c≠0）
C.如果a＝b，那么a＋c＝b＋c
D.如果a＝b，那么a2＝b2
4.如果等式x＝y变形为＝，那么a的取值范围是 a≠0 .
5.用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质变形的.
（1）如果x＋8＝10，那么x＝10＋ （－8） ，根据 等式的性质1 ；
（2）如果4x＝3x＋7，那么4x－ 3x ＝7，根据 等式的性质1 ；
（3）如果－3x＝8，那么x＝ － ，根据 等式的性质2 ；
（4）如果x＝－2，那么 x＝ －6 ，根据 等式的性质2 .
6.利用等式的性质，说明由a－1＝b＋1如何变形得到a＝b＋4.
解：等式两边都乘2，得a－2＝b＋2.
等式两边都加上2，得a－2＋2＝b＋2＋2，
即a＝b＋4.
@中档提分训练
7.下列条件：①a＋2＝b＋2；②－3a＝－3b；③－a－c＝b＋c；④ac－1＝bc－1；⑤＝.其中根据等式的性质可以推导出a＝b的条件有 ①②⑤ .（填序号）
8.（许昌期末）已知5a＋8b＝3b＋10，利用等式的性质可求得a＋b的值是 2 .
9.小帆同学用等式的基本性质对方程5m－2＝3m－2进行变形，得出“5＝3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小帆同学的具体过程如图所示：
解：将等式5m－2＝3m－2变形，
得5m＝3m（第1步），
∴5＝3（第2步）.
（1）哪一步等式变形产生错误？
（2）请你分析产生错误的原因.
解：（1）第2步等式变形产生错误.
（2）第2步产生错误的原因是：等式两边都除以一个可能等于0的m值，等式不成立.
5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第2课时 方程的变形规则
@基础分点训练
知识点1 方程的变形规则
1.下列变形符合方程的变形规则的是（ D ）
A.若2x－3＝7，则2x＝7－3
B.若3x－2＝x＋1，则3x－x＝1－2
C.若－3x＝5，则x＝5＋3
D.若－x＝1，则x＝－4
2.用适当的数或整式填空，使变形后的方程的解不变，并说明根据方程的哪一个变形规则得到的.
（1）若4x＋6＝3，则4x＝3－ 6 ；
解：根据方程的变形规则1得到的.
（2）若－5x＝，则x＝ － .
解：根据方程的变形规则2得到的.
知识点2 移项
3.方程x－3＝x＋1移项，可以得到（ B ）
A.x＋x＝1－3 B.x－x＝1＋3
C.x＋x＝1＋3 D.2x－6＝3x＋2
4.下列方程变形中，移项正确的是（ C ）
A.由x＋3＝6，得x＝6＋3
B.由2x＝x＋1，得x－2x＝1
C.由－2y＝12－y，得y－2y＝12
D.由6＋x＝2，得x＝6－2
知识点3 系数化为1
5.将方程2x＝8的系数化为1，方程两边应该都除以 2 或者都乘以 ，得到x＝ 4 .
6.解下列方程：
（1）－3x＝1；
解：系数化为1，得x＝－.
（2）－x＝.
解：系数化为1，得x＝－.
@中档提分训练
7.下列变形属于移项的有（ A ）
①由5x＋6＝0，得5x＝－6；
②由3x＝4x＋8，得3x－4x＝－8；
③由2x＝4x－2＋3x，得2x＝4x＋3x－2；
④由3x＝4，得x＝.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.【开放探究】写出一个满足下列条件的方程：①未知数的系数是－3；②方程的解是2；③求方程的解时，一定要有移项这步运算.这样的方程可以是 －3x－4＝－10（答案不唯一） .
9.若方程2x＋1＝3的解与方程x＋3a＝7的解相同，求关于x的方程－ax－4＝－1的解.
解：解方程2x＋1＝3，得x＝1，
由题意，得x＝1也是方程x＋3a＝7的解，
∴1＋3a＝7，解得a＝2.
把a＝2代入关于x的方程－ax－4＝－1，
得－x－4＝－1，解得x＝－3.
@拓展素养训练
10.【古代数学】（巴中期末）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在1＋＋＋＋＋…中，“…”代表按规律不断求和，设1＋＋＋＋＋…＝x，则有x＝1＋x，解得x＝2，故1＋＋＋＋＋…＝2.类似地，1＋＋＋＋…的结果为（ B ）
A. B. C. D.2
5.2.1 等式的性质与方程的简单变形 第3课时 利用方程的变形规则解方程
@基础分点训练
知识点 利用方程的变形规则解方程
1.（海南中考）若代数式x－3的值为5，则x＝（ A ）
A.8 B.－8 C.2 D.－2
2.下列解方程的步骤正确的是（ D ）
A.由－12x＝6，得x＝－2
B.由x＝1，得x＝1－
C.由－x＝－，得x＝1
D.由2x－1＝7x＋6，得2x－7x＝6＋1
3.解方程4x－2＝3－x的顺序是（ C ）
①合并同类项，得5x＝5；
②移项，得4x＋x＝3＋2；
③将未知数的系数化为1，得x＝1.
A.①②③ B.③②①
C.②①③ D.③①②
4.若9－4m与m互为相反数，则m＝ 3 .
5.解下列方程：
（1）3x－2＝x－2；
解：移项，得3x－x＝－2＋2，
合并同类项，得2x＝0.
系数化为1，得x＝0.
（2）8－x＝3x＋2.
解：移项，得－x－3x＝2－8，
合并同类项，得－4x＝－6.
系数化为1，得x＝.
@中档提分训练
6.（开封期末）如果单项式2xyb＋1与－xa＋3y5是同类项，那么关于x的方程ax＋b＝0的解为（ C ）
A.x＝1 B.x＝－1
C.x＝2 D.x＝－2
7.（乐山期末）若2a－b＝1，则关于x的方程ax＋1＝bx的解为（ A ）
A.x＝－2 B.x＝－1
C.x＝1 D.x＝2
8.【新定义】规定一种新运算“*”： a*b＝a2＋2ab，例如：3*2＝32＋2×3×2＝21.若（－3）*x＝3x，则x的值为 1 .
9.（教材习题变式）已知y1＝3x＋8，y2＝x＋3.
（1）若y1的值与y2的值相等，求x的值；
（2）当x取何值时，y1比y2大3？
解：（1）由题意，得3x＋8＝x＋3，
解得x＝－2.
（2）由题意，得3x＋8＝x＋3＋3，
解得x＝－.
∴当x＝－时，y1比y2大3.
@拓展素养训练
10.【类比探究】小明课后利用方程的知识探索发现，所有纯循环小数都可以化为分数，例如，化0.为分数，解决方法是：设x＝0.，即x＝0.333…，将方程两边都乘以10，得10x＝3.333…，即10x＝3＋0.333….又因为x＝0.333…，所以10x＝3＋x，所以9x＝3，即x＝，所以0.＝.
尝试解决下列各题：
（1）把0.化成分数为 .
（2）请利用小明的方法，把纯循环小数0.化成分数.
解：设x＝0.，即x＝0.161 6…，
将方程两边都乘以100，得100x＝16.161 6…，
即100x＝16＋0.161 6….
又∵x＝0.161 6…，
∴100x＝16＋x.∴99x＝16，即x＝.
∴0.＝.
