7.3 解一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
@基础分点训练
知识点1 一元一次不等式的定义
1.（巴中期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ D ）
A.＋1＞0 B.x2≥4
C.2x＋y＜－3 D.≤1
2.若3xm－1－2＞1是关于x的一元一次不等式，则m＝ 2 .
知识点2 解一元一次不等式
3.不等式2x＋3≥1的解集是（ B ）
A.x≤－1 B.x≥－1
C.x≤－2 D.x≥－2
4.不等式3x＋2≤2x＋1的解集在数轴上表示正确的是（ B ）
A B
C D
5.（临汾期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给后一人，最后完成化简.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ B ）
A.只有乙 B.甲和乙
C.乙和丙 D.乙和丁
6.当x ＜－2 时，整式2（x＋1）的值小于整式的值.
7.不等式4（x－1）≤3x－2的正整数解有 2 个.
8.如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m－2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 m＜－5 .
9.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）5x－1＞2x＋5；
解：移项，得5x－2x＞5＋1.
合并同类项，得3x＞6.
两边都除以3，得x＞2.
解集在数轴上表示如图.
（2）5x＋3≤3（2＋x）；
解：去括号，得5x＋3≤6＋3x.
移项、合并同类项，得2x≤3.
两边都除以2，得x≤.
解集在数轴上表示如图.
（3）≤.
解：去分母，得3（1＋x）≤2（1＋2x）.
去括号，得3＋3x≤2＋4x.
移项、合并同类项，得－x≤－1.
两边都除以－1，得x≥1.
解集在数轴上表示如图.
@中档提分训练
10.（郑州月考）若（m－2）x2m＋1－1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为（ B ）
A.m＝0 B.x＜－3
C.x＞－3 D.m≠2
11.（吕梁交口县期末）小康在整理课桌时，不小心将墨水打翻，正好将不等式3x－1≥－x－●中的数字“●”污染了，已知该不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨水污染的数字“●”是（ B ）
A.3 B.5 C.－3 D.－5
12.若关于x的不等式3x－2＜4x＋1的解都是关于x的不等式2x－a＞x＋a的解，则a的取值范围是 a≤－ .
13.（成都金牛区期末）若关于x的不等式ax－b＞2b的解集是x＜1，则不等式bx－a＞2a的解集是 x＜9 .
14.当k取何值时，方程5x－6＝3（x＋k）的解：
（1）是正数；
（2）是负数；
（3）大于k.
解：解方程5x－6＝3（x＋k），得x＝.
（1）当＞0时，解得k＞－2.
（2）当＜0时，解得k＜－2.
（3）当＞k时，解得k＞－6.
15.【新定义】定义一种新运算“a b”：当a≥b时，a b＝a＋2b；当a＜b时，a b＝a－2b.例如：3 （－4）＝3＋（－8）＝（－5），（－6） 12＝－6－24＝－30.
（1）填空：（－3） （－2）＝ 1 ；
（2）若（3x－4） （5＋x）＝（3x－4）＋2（5＋x），则x的取值范围为 x≥4.5 ；
（3）已知（5x－7） （－2x）＞1，求x的取值范围.
解：∵（5x－7） （－2x）＞1，
∴当5x－7≥－2x时，可得x≥1.
则（5x－7）＋2×（－2x）＞1，解得x＞8.
当5x－7＜－2x时，可得x＜1.
则（5x－7）－2×（－2x）＞1，解得x＞.
∴＜x＜1.
综上所述，x的取值范围是x＞8或＜x＜1.
@拓展素养训练
16.阅读理解：
【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”.
【初步感知】
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①
解：（1）①解方程2x－4＝0，得x＝2.
解不等式5x－2＜3，得x＜1.
∵2不在x＜1范围内，
∴①组合是“无缘组合”.
②
解：②解方程＝2－，得x＝－13.
解不等式－1＜，得x＜.
∵－13在x＜范围内，
∴②组合是“有缘组合”.
【问题解决】
（2）若关于x的组合是“无缘组合”，求a的取值范围.
解：（2）解关于x的方程－3＝2x－3a，
得x＝.
解关于x的不等式＋1≤x＋a，得x≥－3a＋2.
∵关于x的组合是“无缘组合”，
∴＜－3a＋2，解得a＜.
第2课时 一元一次不等式的应用
@基础分点训练
知识点 利用不等式解决实际问题
1.某学校组织七年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300 m2.开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30 m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3 h，若他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，则x满足的不等关系为（ C ）
A.30＋（3－0.5）x≤300
B.300－30x－0.5≤3
C.30＋（3－0.5）x≥300
D.0.5＋300－30x≥3
2.（开封期末）一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分？设他要答对x道题，则可列不等式为（ A ）
A.5x－2（20－2－x）≥60
B.5x－2（20－x）≥60
C.5x－2（20－2－x）＜60
D.5x＋2（20－x）＜60
3.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过2 000元.若每个篮球60元，每个足球30元，则篮球最多可购买（ C ）
A.14个 B.15个
C.16个 D.17个
4.某抢险地段需实行爆破.操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是1.3厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒.为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ D ）
A.87厘米 B.97厘米
C.107厘米 D.117厘米
5.（晋中期末）在学校举办的“阅读经典·传承文明”读书活动期间，小亮从图书馆借到一本共108页的经典图书，计划在一周内读完.若周六、周日每天的阅读页数是周一到周五每天阅读页数的2倍，则小亮周一到周五每天至少要读 12 页.
6.某种型号汽车每行驶100 km耗油10 L，其油箱容量为40 L.为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是 350 km.
7.某品牌衬衫的进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20％，则这种品牌衬衫最多可以打 六 折.
8.为帮助同学们新学期以新形态树新目标，以新姿态显新气象，王老师准备在开学第一天举行“奋斗，让青春热辣滚烫”的主题班会，计划让11名同学进行总计不超过40分钟的个人演讲或朗诵活动，要求每名同学只能选演讲或朗诵中的一种形式，演讲时间为5分钟，朗诵时间为3分钟，那么最多能安排几名同学进行演讲.
解：设安排x名同学进行演讲，则安排（11－x）名同学进行朗诵，
根据题意，得5x＋3（11－x）≤40，解得x≤.
∵x是正整数，∴x的最大值为3.
答：最多安排3名同学进行演讲.
9.（山西中考）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个，其中水基灭火器的单价为540元，干粉灭火器的单价为380元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
解：设购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50－x）个，
根据题意，得
540x＋380（50－x）≤21 000，解得x≤12.5.
∵x为整数，∴x取最大值为12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
@中档提分训练
10.小锐家到学校大约有1 920米，根据平时经验，他步行的速度是60米/分，小跑的速度是120米/分.某天早上小锐起晚了，他想在20分钟内赶到学校，则在路上至少要小跑的时间是（ D ）
A.6分钟 B.8分钟
C.10分钟 D.12分钟
11.国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 55 cm.
12.（山西中考）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20％的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 32 元.
13.（吕梁孝义市期末）学科实践
统计资料表明，2021年山西省各市城市建成区面积排行榜中，太原市一城独大，城市建成区面积达340平方千米，大同市排第二，晋中市排第三，已知大同市城市建成区面积比晋中市大22平方千米，且大同市与晋中市城市建成区面积共228平方千米.
（1）求2021年大同市与晋中市的城市建成区面积分别是多少；（用二元一次方程组解答）
（2）2021年太原市城市建成区绿地面积为150平方千米，若从2021年到2025年太原市城市建成区面积平均每年增加10平方千米，要使到2025年太原市城市建成区园林绿地率超过45％（城市建成区园林绿地率＝×100％，简称绿地率），则这四年（2021年到2025年），太原市平均每年增加城市建成区绿地面积应超过多少平方千米？
解：（1）设2021年大同市的城市建成区面积为x平方千米，2021年晋中市的城市建成区面积为y平方千米，依题意，得
解得
答：2021年大同市的城市建成区面积为125平方千米，2021年晋中市的城市建成区面积为103平方千米.
（2）设平均每年增加城市建成区绿地面积为a平方千米，依题意，得
150＋4a＞（340＋10×4）×45％，解得a＞.
答：平均每年增加城市建成区绿地面积应超过平方千米.
@拓展素养训练
14.（河南中考）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，求a的取值范围.
解：（1）∵450×＝360（元），450－80＝370（元），
360＜370，
∴选择活动一更合算.
（2）设一件这种健身器材的原价为x元.
若x＜300，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等，
∴300≤x＜500，
∴x＝x－80，
解得x＝400.
答：一件这种健身器材的原价是400元.
（3）当300≤a＜600时，a－80＜0.8a，
解得a＜400.
∴300≤a＜400；
当600≤a＜900时，a－160＜0.8a，
解得a＜800.
∴600≤a＜800.
综上所述，300≤a＜400或600≤a＜800.7.3 解一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
@基础分点训练
知识点1 一元一次不等式的定义
1.（巴中期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A.＋1＞0 B.x2≥4
C.2x＋y＜－3 D.≤1
2.若3xm－1－2＞1是关于x的一元一次不等式，则m＝ .
知识点2 解一元一次不等式
3.不等式2x＋3≥1的解集是（ ）
A.x≤－1 B.x≥－1
C.x≤－2 D.x≥－2
4.不等式3x＋2≤2x＋1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B
C D
5.（临汾期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给后一人，最后完成化简.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A.只有乙 B.甲和乙
C.乙和丙 D.乙和丁
6.当x 时，整式2（x＋1）的值小于整式的值.
7.不等式4（x－1）≤3x－2的正整数解有 个.
8.如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m－2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 .
9.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）5x－1＞2x＋5；
（2）5x＋3≤3（2＋x）；
（3）≤.
@中档提分训练
10.（郑州月考）若（m－2）x2m＋1－1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为（ ）
A.m＝0 B.x＜－3
C.x＞－3 D.m≠2
11.（吕梁交口县期末）小康在整理课桌时，不小心将墨水打翻，正好将不等式3x－1≥－x－●中的数字“●”污染了，已知该不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨水污染的数字“●”是（ ）
A.3 B.5 C.－3 D.－5
12.若关于x的不等式3x－2＜4x＋1的解都是关于x的不等式2x－a＞x＋a的解，则a的取值范围是 .
13.（成都金牛区期末）若关于x的不等式ax－b＞2b的解集是x＜1，则不等式bx－a＞2a的解集是 .
14.当k取何值时，方程5x－6＝3（x＋k）的解：
（1）是正数；
（2）是负数；
（3）大于k.
15.【新定义】定义一种新运算“a b”：当a≥b时，a b＝a＋2b；当a＜b时，a b＝a－2b.例如：3 （－4）＝3＋（－8）＝（－5），（－6） 12＝－6－24＝－30.
（1）填空：（－3） （－2）＝ ；
（2）若（3x－4） （5＋x）＝（3x－4）＋2（5＋x），则x的取值范围为 ；
（3）已知（5x－7） （－2x）＞1，求x的取值范围.
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16.阅读理解：
【形成概念】我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”.
【初步感知】
（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
①
②
【问题解决】
（2）若关于x的组合是“无缘组合”，求a的取值范围.
第2课时 一元一次不等式的应用
@基础分点训练
知识点 利用不等式解决实际问题
1.某学校组织七年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地300 m2.开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完30 m2，学校要求完成全部任务的时间不超过3 h，若他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，则x满足的不等关系为（ ）
A.30＋（3－0.5）x≤300
B.300－30x－0.5≤3
C.30＋（3－0.5）x≥300
D.0.5＋300－30x≥3
2.（开封期末）一次智力测验，有20道选择题，评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分？设他要答对x道题，则可列不等式为（ ）
A.5x－2（20－2－x）≥60
B.5x－2（20－x）≥60
C.5x－2（20－2－x）＜60
D.5x＋2（20－x）＜60
3.为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过2 000元.若每个篮球60元，每个足球30元，则篮球最多可购买（ ）
A.14个 B.15个
C.16个 D.17个
4.某抢险地段需实行爆破.操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到450米以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度是1.3厘米/秒，操作人员跑步的速度是5米/秒.为了保证操作人员的安全，导火线的长度要超过（ ）
A.87厘米 B.97厘米
C.107厘米 D.117厘米
5.（晋中期末）在学校举办的“阅读经典·传承文明”读书活动期间，小亮从图书馆借到一本共108页的经典图书，计划在一周内读完.若周六、周日每天的阅读页数是周一到周五每天阅读页数的2倍，则小亮周一到周五每天至少要读 页.
6.某种型号汽车每行驶100 km耗油10 L，其油箱容量为40 L.为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是 km.
7.某品牌衬衫的进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20％，则这种品牌衬衫最多可以打 折.
8.为帮助同学们新学期以新形态树新目标，以新姿态显新气象，王老师准备在开学第一天举行“奋斗，让青春热辣滚烫”的主题班会，计划让11名同学进行总计不超过40分钟的个人演讲或朗诵活动，要求每名同学只能选演讲或朗诵中的一种形式，演讲时间为5分钟，朗诵时间为3分钟，那么最多能安排几名同学进行演讲.
9.（山西中考）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个，其中水基灭火器的单价为540元，干粉灭火器的单价为380元.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
@中档提分训练
10.小锐家到学校大约有1 920米，根据平时经验，他步行的速度是60米/分，小跑的速度是120米/分.某天早上小锐起晚了，他想在20分钟内赶到学校，则在路上至少要小跑的时间是（ ）
A.6分钟 B.8分钟
C.10分钟 D.12分钟
11.国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm.
12.（山西中考）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20％的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元.
13.（吕梁孝义市期末）学科实践
统计资料表明，2021年山西省各市城市建成区面积排行榜中，太原市一城独大，城市建成区面积达340平方千米，大同市排第二，晋中市排第三，已知大同市城市建成区面积比晋中市大22平方千米，且大同市与晋中市城市建成区面积共228平方千米.
（1）求2021年大同市与晋中市的城市建成区面积分别是多少；（用二元一次方程组解答）
（2）2021年太原市城市建成区绿地面积为150平方千米，若从2021年到2025年太原市城市建成区面积平均每年增加10平方千米，要使到2025年太原市城市建成区园林绿地率超过45％（城市建成区园林绿地率＝×100％，简称绿地率），则这四年（2021年到2025年），太原市平均每年增加城市建成区绿地面积应超过多少平方千米？
@拓展素养训练
14.（河南中考）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，求a的取值范围.
