8.1.2 三角形的内角和与外角和 第1课时 三角形的内角和
@基础分点训练
知识点1 三角形的内角和
1.如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝35°，则∠C等于（ ）
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
2.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为（ ）
第2题图
A.29° B.58°
C.36° D.25°
3.如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为（ ）
第3题图
A.85° B.80°
C.75° D.70°
4.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C＝ .
5.（开封期末）如图，巡逻艇C在游轮A北偏东58°的方向上，巡逻艇C在游轮B北偏东13°的方向上，游轮B位于游轮A的正东方向，求∠ACB的度数.
知识点2 直角三角形的两个锐角互余
6.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
第6题图
A.30° B.40°
C.50° D.60°
7.（巴中期末）如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°.若∠A＝35°，则∠BCD的度数是 .
第7题图
8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，求∠ACD的度数.
知识点3 有两个锐角互余的三角形是直角三角形
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上均有可能
10.【新定义】三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°，那么这个“特征三角形”是 三角形.（填“锐角”或“直角”或“钝角”）
@中档提分训练
11.在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（ ）
A.45°
B.60°
C.50°
D.75°
12.在△ABC中，∠A，∠B，∠C为三个内角，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A.∠A＋∠B＝∠C
B.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
C.∠C－∠A＝90°
D.∠A＋∠B＝90°
13.【传统文化】（株洲中考）《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）.
问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ °.
14.（凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 .
15.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ .
16.（德阳月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°.
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数.
@拓展素养训练
17.【类比探究】在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
（1）如图1，AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的关系是 （直接写出结论，不需证明）.
8.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时 三角形的外角及外角和
@基础分点训练
知识点 三角形的外角及外角和
1.（商丘期中）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（ ）
第1题图
A.100° B.110°
C.120° D.130°
2.（焦作期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
第2题图
A.90° B.100°
C.105° D.110°
3.（开封期末）如图，在△ABC中，点E在边AC上，CD∥AB，连结ED.若∠A＝68°，∠D＝54°，则∠AED的度数为（ ）
第3题图
A.108° B.112°
C.122° D.130°
4.【新情境】一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数.
@中档提分训练
6.（成都双流区期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，若∠DAC＝∠B，∠ADC＝97.5°，则∠BAC的度数为（ ）
第6题图
A.73.5° B.83.5°
C.97.5° D.107.5°
7.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的是（ ）
第7题图
A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B.∠1＋∠2＝∠4－∠3
C.∠1－∠3＝∠2－∠4
D.∠1＋∠3＝∠2＋∠4
8.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ °.
@拓展素养训练
9.【推理能力】现有一张三角形纸片ABC，点D，E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠纸片.
探究1：如果折成图1的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 .
探究2：如果折成图2的形状，猜想∠1＋∠2与∠A的数量关系是 ；
探究3：如果折成图3的形状，猜想∠1，∠2和∠A的数量关系，并说明理由.8.1.2 三角形的内角和与外角和 第1课时 三角形的内角和
@基础分点训练
知识点1 三角形的内角和
1.如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝35°，则∠C等于（ B ）
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
2.如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为（ A ）
第2题图
A.29° B.58°
C.36° D.25°
3.如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为（ A ）
第3题图
A.85° B.80°
C.75° D.70°
4.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C＝ 32° .
5.（开封期末）如图，巡逻艇C在游轮A北偏东58°的方向上，巡逻艇C在游轮B北偏东13°的方向上，游轮B位于游轮A的正东方向，求∠ACB的度数.
解：由题意可知，∠BAC＝90°－58°＝32°，∠ABC＝90°＋13°＝103°，
∴∠ACB＝180°－32°－103°＝45°.
知识点2 直角三角形的两个锐角互余
6.如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ C ）
第6题图
A.30° B.40°
C.50° D.60°
7.（巴中期末）如图，CD是△ABC的高，∠ACB＝90°.若∠A＝35°，则∠BCD的度数是 35° .
第7题图
8.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，求∠ACD的度数.
解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠ACB＝50°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝25°.
∵CD⊥BD，∴∠BDC＝90°.
在△BCD中，∠BCD＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝65°－40＝25°.
知识点3 有两个锐角互余的三角形是直角三角形
9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDE＝∠A，则△BDE为（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.以上均有可能
10.【新定义】三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为60°，那么这个“特征三角形”是 直角 三角形.（填“锐角”或“直角”或“钝角”）
@中档提分训练
11.在实践活动中，李明和王刚进行角的探究，他们将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的两边互相垂直，则∠1＝（ D ）
A.45°
B.60°
C.50°
D.75°
12.在△ABC中，∠A，∠B，∠C为三个内角，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（ C ）
A.∠A＋∠B＝∠C
B.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
C.∠C－∠A＝90°
D.∠A＋∠B＝90°
13.【传统文化】（株洲中考）《周礼·考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”.意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）.
问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝ 22.5 °.
14.（凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 100° .
15.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC＝ 80°或40° .
16.（德阳月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝3∠B，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，若∠BAC＝60°.
（1）求∠ACB的度数；
（2）求∠DCE的度数.
解：（1）∵∠ACB＋∠B＋∠BAC＝180°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＋∠B＝120°.
∵∠ACB＝3∠B，∴∠ACB＝90°.
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝30°.
∵CE⊥AD，∴∠ACE＝90°－∠CAD＝60°.
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACE＝30°.
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17.【类比探究】在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
（1）如图1，AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，点E在AD上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于点F，试探究∠DEF与∠B，∠C的关系是 ∠DEF＝（∠C－∠B） （直接写出结论，不需证明）.
解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC.
∵AE⊥BC，∴∠CAE＝90°－∠C.
∴∠DAE＝∠CAD－∠CAE＝∠BAC－（90°－∠C）＝（180°－∠B－∠C）－（90°－∠C）＝∠C－∠B＝（∠C－∠B）.
∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠DAE＝×（70°－50°）＝10°.
（2）结论：∠DEF＝（∠C－∠B）.
理由：过A作AG⊥BC于点G，
∵EF⊥BC，∴AG∥EF.∴∠DAG＝∠DEF.
由（1）可得，∠DAG＝（∠C－∠B），
∴∠DEF＝（∠C－∠B）.
8.1.2 三角形的内角和与外角和 第2课时 三角形的外角及外角和
@基础分点训练
知识点 三角形的外角及外角和
1.（商丘期中）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝70°，∠C＝50°，则∠ABD等于（ C ）
第1题图
A.100° B.110°
C.120° D.130°
2.（焦作期末）将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ C ）
第2题图
A.90° B.100°
C.105° D.110°
3.（开封期末）如图，在△ABC中，点E在边AC上，CD∥AB，连结ED.若∠A＝68°，∠D＝54°，则∠AED的度数为（ C ）
第3题图
A.108° B.112°
C.122° D.130°
4.【新情境】一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你！这个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是 70° .
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数.
解：∵∠1＝∠2＝36°，
∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝72°.
∴∠DAC＝180°－（∠3＋∠4）＝180°－2×72°＝36°.
@中档提分训练
6.（成都双流区期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，若∠DAC＝∠B，∠ADC＝97.5°，则∠BAC的度数为（ C ）
第6题图
A.73.5° B.83.5°
C.97.5° D.107.5°
7.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的关系正确的是（ B ）
第7题图
A.∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B.∠1＋∠2＝∠4－∠3
C.∠1－∠3＝∠2－∠4
D.∠1＋∠3＝∠2＋∠4
8.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝ 30 °.
@拓展素养训练
9.【推理能力】现有一张三角形纸片ABC，点D，E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠纸片.
探究1：如果折成图1的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ∠1＝2∠A .
探究2：如果折成图2的形状，猜想∠1＋∠2与∠A的数量关系是 ∠1＋∠2＝2∠A ；
探究3：如果折成图3的形状，猜想∠1，∠2和∠A的数量关系，并说明理由.
解：∠2－∠1＝2∠A，理由如下：
∵∠2＝∠AFE＋∠A，∠AFE＝∠A'＋∠1，
∴∠2＝∠A'＋∠A＋∠1.
∵∠A＝∠A'，∴∠2＝2∠A＋∠1.
∴∠2－∠1＝2∠A.
