8.1.3 三角形的三边关系
@基础分点训练
知识点1 三角形的三边关系
1.下列四组数均为线段的长度，可以构成三角形的是（ D ）
A.2，3，5 B.1，5，7
C.2，6，8 D.3，4，5
2.（绵阳月考）已知三角形的两边的长分别为2 cm和5 cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（ D ）
A.2＜x＜5 B.3＜x＜5
C.5＜x＜7 D.3＜x＜7
3.（淮安中考）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ B ）
A.9 cm B.7 cm
C.2 cm D.1 cm
4.已知三角形两边的长分别为1 cm，5 cm，第三边长为整数，则第三边的长为 5 cm .
5.以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？
（1）6 cm，8 cm，10 cm；
（2）5 cm，8 cm，2 cm；
（3）三条线段长度之比为4∶5∶6；
（4）a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）.
解：根据三角形的三边关系：
6＋8＞10，可以构成三角形.
5＋2＜8，不能构成三角形.
4＋5＞6，可以构成三角形.
a＋1＋a＋2＞a＋3，可以构成三角形.
故（1）（3）（4）可以构成三角形.
6.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，试说明：AB＋BC＋AC＞2AD.
解：∵在△ABD中，AB＋BD＞AD，在△ACD中，AC＋CD＞AD，
∴AB＋BD＋AC＋CD＞AD＋AD，即AB＋BC＋AC＞2AD.
知识点2 三角形的稳定性
7.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ B ）
A.全等形
B.稳定性
C.灵活性
D.对称性
8.下列图形中，具有稳定性的是（ B ）
9.（南阳期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（ A ）
A.E，H两点之间
B.E，G两点之间
C.F，H两点之间
D.A，B两点之间
@中档提分训练
10.若用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（ A ）
A.只有①可以 B.只有②可以
C.①②都可以 D.①②都不可以
11.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（ D ）
A.1 m B.2 m
C.3 m D.4 m
12.（益阳中考）如图1所示，将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱，则图中a的值可以是（ B ）
A.1 B.2
C.3 D.4
13.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ B ）
第13题图
A.7 B.10
C.11 D.14
14.如图，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 3 根木条.
第14题图
15.（成都武侯区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足｜b－2｜＋（c－3）2＝0，且a为方程｜a－5｜＝1的解，则△ABC的周长为 9 .
16.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数.
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数，求△ABC的周长；
（2）化简：｜a－b＋c｜－｜b－c－a｜＋｜a＋b＋c｜.
解：（1）∵a＝2，b＝5，
∴5－2＜c＜5＋2.
∴3＜c＜7.
∵c为偶数，∴c＝4或6.
当c＝4时，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋5＋4＝11；
当c＝6时，△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋5＋6＝13.
综上所述，△ABC的周长为11或13.
（2）｜a－b＋c｜－｜b－c－a｜＋｜a＋b＋c｜
＝a＋c－b－（a＋c－b）＋a＋b＋c
＝a＋c－b－a－c＋b＋a＋b＋c
＝a＋b＋c.
@拓展素养训练
17.【新情境】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境.
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下.
铁条规格/米 2 3 4 5 6
价格/（元/根） 6 8 10 15 20
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.
（1）根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有 2 种制作方案；
（2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？
解：当三角形框架的边长为2，3，4时，
所需费用为6＋8＋10＝24（元）；
当三角形框架的边长为2，4，5时，
所需费用为6＋10＋15＝31（元）.
∴24＋31＝55（元）.
答：购买铁条共需55元.8.1.3 三角形的三边关系
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知识点1 三角形的三边关系
1.下列四组数均为线段的长度，可以构成三角形的是（ ）
A.2，3，5 B.1，5，7
C.2，6，8 D.3，4，5
2.（绵阳月考）已知三角形的两边的长分别为2 cm和5 cm，设第三边的长为x cm，则x的取值范围是（ ）
A.2＜x＜5 B.3＜x＜5
C.5＜x＜7 D.3＜x＜7
3.（淮安中考）用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（ ）
A.9 cm B.7 cm
C.2 cm D.1 cm
4.已知三角形两边的长分别为1 cm，5 cm，第三边长为整数，则第三边的长为 .
5.以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？
（1）6 cm，8 cm，10 cm；
（2）5 cm，8 cm，2 cm；
（3）三条线段长度之比为4∶5∶6；
（4）a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）.
6.如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，试说明：AB＋BC＋AC＞2AD.
知识点2 三角形的稳定性
7.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（ ）
A.全等形
B.稳定性
C.灵活性
D.对称性
8.下列图形中，具有稳定性的是（ ）
9.（南阳期末）如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（ ）
A.E，H两点之间
B.E，G两点之间
C.F，H两点之间
D.A，B两点之间
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10.若用如图所示的①②两根铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以折成两段的铁丝是（ ）
A.只有①可以 B.只有②可以
C.①②都可以 D.①②都不可以
11.为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB，BC，CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB，CD可分别绕轴BE和CF转动.若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为（ ）
A.1 m B.2 m
C.3 m D.4 m
12.（益阳中考）如图1所示，将长为6的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱，则图中a的值可以是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
13.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3，4，6，8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
第13题图
A.7 B.10
C.11 D.14
14.如图，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条.
第14题图
15.（成都武侯区期中）已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足｜b－2｜＋（c－3）2＝0，且a为方程｜a－5｜＝1的解，则△ABC的周长为 .
16.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数.
（1）若a＝2，b＝5，且c为偶数，求△ABC的周长；
（2）化简：｜a－b＋c｜－｜b－c－a｜＋｜a＋b＋c｜.
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17.【新情境】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境.
数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下.
铁条规格/米 2 3 4 5 6
价格/（元/根） 6 8 10 15 20
数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架.
（1）根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有 种制作方案；
（2）若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？
