9.3 旋转
9.3.1 图形的旋转
@基础分点训练
知识点 旋转及有关概念
1.有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（ ）
A.按顺时针方向旋转了45°
B.按逆时针方向旋转了45°
C.按顺时针方向旋转了90°
D.按逆时针方向旋转了90°
3.如图，某测绘装置上的一枚指针原来的指向是南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转圆周，则此时指针的指向是（ ）
第3题图
A.南偏西50° B.北偏西50°
C.南偏东40° D.东南方向
4.如图，△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：
第4题图
（1）旋转中心是点 ；
（2）点B的对应点是点 ；
（3）线段BD的对应线段是线段 ；
（4）∠B的对应角是 .
5.如图，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A'B'C，问：
（1）旋转中心是哪个点？
（2）旋转角是哪个角？
（3）如果M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
@中档提分训练
6.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是 °；要使木条a与b垂直，木条a顺时针旋转的度数至少是 °.
7.图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过 分钟后，9号车厢才会运行到最高点.
9.3.2 旋转的特征
@基础分点训练
知识点1 旋转的特征
1.一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：①对应线段相等；②对应角相等；③对应线段平行；④图形的形状没有发生变化；⑤图形的位置没有发生变化；⑥图形的大小没有发生变化.其中正确的有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD.若∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，则旋转角度是（ ）
第2题图
A.25° B.15°
C.65° D.40°
3.（开封期末）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转30°至△FEC，∠B＝40°，∠ACE＝80°，则∠F的度数是（ ）
第3题图
A.30° B.35°
C.40° D.45°
4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时边AC'经过点B，若AB＝4，AC＝7，则BC'的长是 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC的位置，则△ADE的面积为 .
第5题图
6.如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点.
（1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 ，旋转角度为 ；
（2）若BC＝8，求AC的长.
知识点2 旋转作图
7.如图，△ABC的顶点均在8×8的方格纸的格点上.
（1）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）画出△ABC绕点A顺时针旋转180°得到的△AB2C2.
8.如图，已知△ABC，旋转中心点O及点A的对应点D，请画出△ABC旋转后的图形△DEF.
@中档提分训练
9.（天津中考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ ）
第9题图
A.∠ACB＝∠ACD B.AC∥DE
C.AB＝EF D.BF⊥CE
10.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 .
第10题图
11.如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，将△ABE旋转到△ADF的位置.已知AF＝4，AB＝7.
（1）旋转中心是点 ，旋转的角度是 ；
（2）求DE的长度；
（3）直线BE与DF的位置关系是 .
@拓展素养训练
12.把我们常用的一副三角尺按照如图所示的方式摆放，其中∠AOB＝45°，∠COD＝60°.
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一直线上.
①易知AB∥CD，理由是 ；
②求出∠BOC的度数.
（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以点O为中心顺时针旋转得到△OA'B'，当∠AOA'为 时，OB'平分∠COD.
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD？
9.3.3 旋转对称图形
@基础分点训练
知识点 旋转对称图形
1.下列图案中，不是旋转对称图形的是（ ）
2.观察下列图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合的有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图，该图案绕它的中心至少旋转m度能与自身完全重合，则m的值是（ ）
A.45 B.90
C.135 D.180
4.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针旋转的度数至少为 .
5.如图，在△ABC中，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置，其中A'，B'分别是A，B的对应点，且点B'在边AB上，按照上述方法旋转△A'B'C，…，这样共旋转四次恰好构成一个旋转对称图形.
（1）求∠BCB'的度数.
（2）判断△BCB'的形状.
@中档提分训练
6.下面的图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合.若三个叶片的总面积为12，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
7.如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，将该图形绕点O顺时针旋转90°，180°，270°，你会得到一个美丽的图形，你来试一试吧！但是在画图和涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果.9.3 旋转
9.3.1 图形的旋转
@基础分点训练
知识点 旋转及有关概念
1.有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.其中属于旋转的有（ C ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.正常运行的钟表，分针从“9”第一次走到“12”，分针就（ C ）
A.按顺时针方向旋转了45°
B.按逆时针方向旋转了45°
C.按顺时针方向旋转了90°
D.按逆时针方向旋转了90°
3.如图，某测绘装置上的一枚指针原来的指向是南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转圆周，则此时指针的指向是（ C ）
第3题图
A.南偏西50° B.北偏西50°
C.南偏东40° D.东南方向
4.如图，△ABC是等边三角形，D是边BC的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：
第4题图
（1）旋转中心是点 A ；
（2）点B的对应点是点 C ；
（3）线段BD的对应线段是线段 CE ；
（4）∠B的对应角是 ∠ACE .
5.如图，△ABC绕顶点C旋转某一个角度后得到△A'B'C，问：
（1）旋转中心是哪个点？
（2）旋转角是哪个角？
（3）如果M是BC的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
解：（1）旋转中心是点C.
（2）旋转角是∠ACA'或∠BCB'.
（3）点M转到了B'C的中点处.
@中档提分训练
6.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a顺时针旋转的度数至少是 20 °；要使木条a与b垂直，木条a顺时针旋转的度数至少是 110 °.
7.图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过 20 分钟后，9号车厢才会运行到最高点.
9.3.2 旋转的特征
@基础分点训练
知识点1 旋转的特征
1.一个图形无论经过平移还是旋转，有以下说法：①对应线段相等；②对应角相等；③对应线段平行；④图形的形状没有发生变化；⑤图形的位置没有发生变化；⑥图形的大小没有发生变化.其中正确的有（ B ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD.若∠AOB＝40°，∠BOC＝25°，则旋转角度是（ C ）
第2题图
A.25° B.15°
C.65° D.40°
3.（开封期末）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转30°至△FEC，∠B＝40°，∠ACE＝80°，则∠F的度数是（ A ）
第3题图
A.30° B.35°
C.40° D.45°
4.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时边AC'经过点B，若AB＝4，AC＝7，则BC'的长是 3 .
第4题图
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°至△EDC的位置，则△ADE的面积为 2 .
第5题图
6.如图，将△ABC逆时针旋转一定角度后得到△DEC，点D为BC的中点.
（1）若∠ACE＝130°，则旋转中心为点 C ，旋转角度为 115° ；
（2）若BC＝8，求AC的长.
解：∵BC＝8，点D为BC的中点，
∴CD＝BC＝4.
由旋转，得AC＝CD＝4.
知识点2 旋转作图
7.如图，△ABC的顶点均在8×8的方格纸的格点上.
（1）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB1C1；
解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求.
（2）画出△ABC绕点A顺时针旋转180°得到的△AB2C2.
解：（2）如图所示，△AB2C2即为所求.
8.如图，已知△ABC，旋转中心点O及点A的对应点D，请画出△ABC旋转后的图形△DEF.
解：如图所示，△DEF即为所求.
@中档提分训练
9.（天津中考）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（ D ）
第9题图
A.∠ACB＝∠ACD B.AC∥DE
C.AB＝EF D.BF⊥CE
10.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 90° .
第10题图
11.如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，将△ABE旋转到△ADF的位置.已知AF＝4，AB＝7.
（1）旋转中心是点 A ，旋转的角度是 90° ；
（2）求DE的长度；
（3）直线BE与DF的位置关系是 BE⊥DF .
解：由旋转得AE＝AF＝4，
∵AD＝AB＝7，
∴DE＝AD－AE＝7－4＝3.
@拓展素养训练
12.把我们常用的一副三角尺按照如图所示的方式摆放，其中∠AOB＝45°，∠COD＝60°.
（1）如图1，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一直线上.
①易知AB∥CD，理由是 同旁内角互补，两直线平行 ；
②求出∠BOC的度数.
（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以点O为中心顺时针旋转得到△OA'B'，当∠AOA'为 105° 时，OB'平分∠COD.
（3）如图3，两个三角尺的直角边OA，OD摆放在同一条直线上，另一条直角边OB，OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转，当旋转多少度时，两条斜边AB∥CD？
解：（1）②∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°－45°－60°＝75°.
（3）如图4，当A'B'与OD相交于点E，A'B'∥CD时，
有∠A'EO＝∠D＝60°.
∵∠A'EO＝∠B'＋∠EOB'，
∴∠EOB'＝60°－45°＝15°.
∴∠BOB'＝∠BOD＋∠EOB'＝90°＋15°＝105°.
如图5，当A'B'与AO相交于点F，
A'B'∥CD时，
有∠A'FO＝∠D＝60°.
∴∠A'OF＝180°－∠A'FO－∠A'＝75°.
∴旋转的角度为360°－75°＝285°.
综上所述，旋转的角度为105°或285°.
9.3.3 旋转对称图形
@基础分点训练
知识点 旋转对称图形
1.下列图案中，不是旋转对称图形的是（ A ）
2.观察下列图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合的有（ B ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.如图，该图案绕它的中心至少旋转m度能与自身完全重合，则m的值是（ A ）
A.45 B.90
C.135 D.180
4.如图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针旋转的度数至少为 60° .
5.如图，在△ABC中，以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置，其中A'，B'分别是A，B的对应点，且点B'在边AB上，按照上述方法旋转△A'B'C，…，这样共旋转四次恰好构成一个旋转对称图形.
（1）求∠BCB'的度数.
（2）判断△BCB'的形状.
解：（1）∵旋转四次恰好构成一个旋转对称图形，
∴∠BCB'＝360°÷5＝72°.
（2）∵△ABC旋转到△A'B'C的位置，
∴CB＝CB'，
∴△BCB'是等腰三角形.
@中档提分训练
6.下面的图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合.若三个叶片的总面积为12，∠AOB＝120°，则图中阴影部分的面积为（ B ）
A.2 B.4
C.6 D.8
7.如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，将该图形绕点O顺时针旋转90°，180°，270°，你会得到一个美丽的图形，你来试一试吧！但是在画图和涂阴影时要注意利用旋转变换的特点，不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果.
解：如图所示.
