第8章三角形 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形
2.下列图形具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
3.在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm
4.下面边长相等的正多边形能用来作平面镶嵌的是（ ）
A.3个等边三角形和2个正方形
B.2个正五边形和2个等边三角形
C.1个正方形和2个正六边形
D.1个正六边形和5个等边三角形
5.如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是（ ）
第5题图
A.∠1＜∠2＜∠3
B.∠1＜∠3＜∠2
C.∠3＜∠2＜∠1
D.∠2＜∠1＜∠3
6.在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则∠A的度数是（ ）
A.36° B.45° C.72° D.68°
7.已知凸n边形有n条对角线，正m边形的每个内角是144°，则边数为m＋n的多边形的内角和是（ ）
A.1 440° B.2 340°
C.2 160° D.2 520°
8.如图，点D为△ABC中BC边的中点，点E为AD的中点，设S△ABE＝m，S△CDE＝n，下面结论正确的是（ ）
第8题图
A.m＞n
B.m＜n
C.m＝n
D.m，n大小关系无法确定
9.如图，把△ABC沿EF翻折，点B，C的对应点分别为B'，C'，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ ）
第9题图
A.15° B.20°
C.25° D.35°
10.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值是（ ）
第10题图
A.240° B.360°
C.540° D.720°
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.如图，已知AE＝3 cm，BD＝2 cm，那么在△ABC中，边BC上的高的长度为 .
第11题图
12.一个三角形的两边长分别为2 cm和6 cm，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是 .
13.如图所示，则∠1＝ .
第13题图
14.若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为4 cm，则该等腰三角形的底边长为 cm.
15.如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为I.若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ .
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，求这个正多边形的边数及内角和.
17.（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，AB＝10，AC＝6.若△BDE与四边形AEDC的周长相等，求BE－AE的值.
18.（8分）如图，已知AD平分∠BAC，F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC于点E，∠1＝40°，∠F＝15°.求∠B和∠C的度数.
19.（9分）如图，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于点M，∠B＝46°，∠BAM＝8°，求∠ACB的度数.
20.（10分）已知a，b，c是三角形的三边长.
（1）化简：｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜；
（2）若a＋b＝11，b＋c＝9，a＋c＝10，求这个三角形的各边长.
21.（10分）一个零件的形状如图所示，按规定，∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°的零件为合格零件.现质检工人量得∠BDC＝149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
22.（12分）（1）如图是一个多边形，你能否沿一条直线截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件（画出图形，把截去的部分打上阴影）：
①新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了180°.
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.
图1 图2 图3
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2 520°，求原多边形的边数.
23.（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝α，∠BCD＝β，延长AB到点E，AF是∠DAB的平分线，BG是∠CBE的平分线.
（1）如图1，当AF∥BG时，试说明：α＋β＝180°；
图1
（2）如图2，当α＋β＞180°时，直线AF交直线BG于点M，问∠AMB与α，β之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由；
（3）如图3，如果将（2）中的条件α＋β＞180°改为α＋β＜180°，那么∠AMB与α，β之间又有何数量关系？请写出结论并证明.第8章三角形 综合评价
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝70°，那么△ABC是（ B ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形
2.下列图形具有稳定性的是（ A ）
A. B. C. D.
3.在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm的两条线段围成一个三角形的是（ C ）
A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm
4.下面边长相等的正多边形能用来作平面镶嵌的是（ A ）
A.3个等边三角形和2个正方形
B.2个正五边形和2个等边三角形
C.1个正方形和2个正六边形
D.1个正六边形和5个等边三角形
5.如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，则∠1，∠2，∠3的大小关系是（ D ）
第5题图
A.∠1＜∠2＜∠3
B.∠1＜∠3＜∠2
C.∠3＜∠2＜∠1
D.∠2＜∠1＜∠3
6.在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则∠A的度数是（ B ）
A.36° B.45° C.72° D.68°
7.已知凸n边形有n条对角线，正m边形的每个内角是144°，则边数为m＋n的多边形的内角和是（ B ）
A.1 440° B.2 340°
C.2 160° D.2 520°
8.如图，点D为△ABC中BC边的中点，点E为AD的中点，设S△ABE＝m，S△CDE＝n，下面结论正确的是（ C ）
第8题图
A.m＞n
B.m＜n
C.m＝n
D.m，n大小关系无法确定
9.如图，把△ABC沿EF翻折，点B，C的对应点分别为B'，C'，若∠A＝60°，∠1＝95°，则∠2的度数是（ C ）
第9题图
A.15° B.20°
C.25° D.35°
10.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的值是（ B ）
第10题图
A.240° B.360°
C.540° D.720°
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.如图，已知AE＝3 cm，BD＝2 cm，那么在△ABC中，边BC上的高的长度为 3 cm .
第11题图
12.一个三角形的两边长分别为2 cm和6 cm，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是 14 cm .
13.如图所示，则∠1＝ 114° .
第13题图
14.若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为4 cm，则该等腰三角形的底边长为 2或4 cm.
15.如图，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为I.若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ 50° .
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，求这个正多边形的边数及内角和.
解：设这个正多边形一个外角的度数为x°，则一个内角的度数为（5x－60）°.
根据题意，得x＋5x－60＝180，
解得x＝40.
边数：360°÷40°＝9.
内角和：（9－2）×180°＝1 260°.
答：这个正多边形的边数是9，内角和是1 260°.
17.（8分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，AB＝10，AC＝6.若△BDE与四边形AEDC的周长相等，求BE－AE的值.
解：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD.
∵△BDE与四边形AEDC的周长相等，
∴BE＋DE＋BD＝AE＋DE＋CD＋AC，
∴BE＝AE＋AC，∴BE－AE＝AC.
∵AC＝6，∴BE－AE＝6.
18.（8分）如图，已知AD平分∠BAC，F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC于点E，∠1＝40°，∠F＝15°.求∠B和∠C的度数.
解：∵EF⊥BC，
∴∠DEF＝90°.
∵∠F＝15°，
∴∠ADE＝90°－∠F＝75°.
又∵∠1＝40°，
∴∠B＝∠ADE－∠1＝75°－40°＝35°.
∵AD平分∠BAC，∠1＝40°，
∴∠DAC＝40°.
∵∠ADE＋∠C＋∠DAC＝180°，
∴∠C＝180°－40°－75°＝65°.
19.（9分）如图，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于点M，∠B＝46°，∠BAM＝8°，求∠ACB的度数.
解：∵AM⊥CD，
∴∠AMD＝90°.
∵∠DAM＝8°，
∴∠ADM＝90°－8°＝82°.
∵∠ADM＝∠B＋∠DCB，∠B＝46°，
∴∠DCB＝∠ADM－∠B＝36°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCB＝72°.
20.（10分）已知a，b，c是三角形的三边长.
（1）化简：｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜；
（2）若a＋b＝11，b＋c＝9，a＋c＝10，求这个三角形的各边长.
解：（1）∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，
∴｜a－b－c｜＋｜b－c－a｜＋｜c－a－b｜
＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b
＝a＋b＋c.
（2）由题意，得
由①－②，得a－c＝2，④
由③＋④，得2a＝12，∴a＝6.
∴b＝11－6＝5，c＝10－6＝4.
21.（10分）一个零件的形状如图所示，按规定，∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°的零件为合格零件.现质检工人量得∠BDC＝149°，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.
解：延长BD交AC于点E.
∵∠A＝90°，∠B＝32°，
∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°.
∵∠C＝21°，
∴∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°≠149°.
∴这个零件不合格.
22.（12分）（1）如图是一个多边形，你能否沿一条直线截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件（画出图形，把截去的部分打上阴影）：
①新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了180°.
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.
解：（1）如图所示.
图1 图2 图3
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2 520°，求原多边形的边数.
解：（2）设新多边形的边数为n，
则（n－2）·180°＝2 520°，
解得n＝16.
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形的边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形的边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形的边数为17，
故原多边形的边数可以为15或16或17.
23.（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝α，∠BCD＝β，延长AB到点E，AF是∠DAB的平分线，BG是∠CBE的平分线.
（1）如图1，当AF∥BG时，试说明：α＋β＝180°；
图1
（2）如图2，当α＋β＞180°时，直线AF交直线BG于点M，问∠AMB与α，β之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由；
（3）如图3，如果将（2）中的条件α＋β＞180°改为α＋β＜180°，那么∠AMB与α，β之间又有何数量关系？请写出结论并证明.
解：（1）∵AF是∠DAB的平分线，BG是∠CBE的平分线，
∴∠BAD＝2∠BAF，∠EBC＝2∠EBG，
∵AF∥BG，∴∠BAF＝∠EBG，
∴2∠BAF＝2∠EBG，∴∠BAD＝∠EBC，
∴AD∥BC，∴α＋β＝180°.
（2）2∠AMB＝α＋β－180°，理由如下：
延长AD，BC交于点H，
∵∠EBM＝∠EBC，∠BAM＝∠BAD，
∴∠AMB＝∠EBM－∠BAM＝（∠EBC－∠BAD）＝∠H，
∴2∠AMB＝∠H.
∵∠H＝180°－（∠HDC＋∠HCD）＝180°－（180°－α＋180°－β）＝α＋β－180°.
∴2∠AMB＝α＋β－180°.
（3）2∠AMB＝180°－α－β.
证明：延长DA，CB交于点L，
∵∠ABM＝∠EBG，∠EBC＝∠ABL，
∴∠ABM＝∠EBG＝∠EBC＝∠ABL.
∵∠BAF＝∠BAD，
∴∠AMB＝∠BAF－∠ABM＝（∠BAD－∠ABL）＝∠L，
∴2∠AMB＝∠L.
∵∠L＝180°－α－β，∴2∠AMB＝180°－α－β.
