期末综合评价（二）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.下列方程是一元一次方程的是（ ）
A.x－1＝ B.2x－3＝5 C.3a－3＜1 D.2x2＋1＝5
2.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
3.若ac2＜bc2，则下列各不等式不成立的是（ ）
A.a＜b B.a－1＜b－1 C.2a＞2b D.－a＞－b
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，则下列说法不正确的是（ ）
第5题图
A.AD＝CF B.∠BAC＝∠EDF
C.BC＝EF D.CE＝CF
6.小李家装饰地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是（ ）
A.正方形 B.正六边形
C.正八边形 D.正十二边形
7.定义新运算a☉b＝b（a＜b），若☉7＝7，则x的取值范围是（ ）
A.x＞－10 B.x＞－11 C.x＜－10 D.x＜11
8.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为（ ）
第8题图
A.90° B.45°
C.30° D.22.5°
9.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为20 cm，下列说法：
①两根铁棒的长度和为340 cm；
②其中一根铁棒的长度为170 cm；
③两根铁棒的长度和为440 cm；
④其中一根铁棒露出水面的长度为60 cm.
其中说法正确的有（ ）
A.0个 B.3个 C.2个 D.1个
10.在下列三个图中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1＋∠O2＋∠O3＝（ ）
A.84° B.111°
C.225° D.201°
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.如果一个多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形是 边形.
12.已知关于x，y的方程组无论k取何值，x＋9y的值都是一个定值，则这个定值为 .
13.如图，四边形EFIH与四边形GEHJ关于AC所在直线对称.若△ABC的面积是18 cm2，则阴影部分的面积为 cm2.
14.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的方程2y－a－3＝0有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 .
15.设△ABC的面积为1，如图1，E1，D1分别是AC，BC的中点，BE1，AD1相交于点O1，△BO1D1与△AO1E1的面积差记为S1；如图2，E2，D2分别是AC，BC的3等分点，BE2，AD2相交于点O2，△BO2D2与△AO2E2的面积差记为S2；如图3，E3，D3分别是AC，BC的4等分点，BE3，AD3相交于点O3，△BO3D3与△AO3E3的面积差记为S3……以此类推，则S2 023的值为 .
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（9分）解方程（组）或不等式组：
（1）－＝1；
（2）
（3）
17.（6分）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形.
18.（8分）若关于x，y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数.
（1）用含m的代数式表示x，y；
（2）求m的取值范围.
19.（7分）为了更好地落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组，学校用1 000元从体育用品商店购入A，B两种款式的跳绳各40条，且B种跳绳的单价比A种跳绳单价的2倍还少5元，分别求A，B两种款式跳绳的单价.
20.（10分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF⊥BC，垂足为F.
（1）若∠ABE＝18°，∠BED＝61°，求∠BAD的度数；
（2）若△ABC的面积为48 cm2，且CD＝6 cm，求EF的长.
21.（10分）如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形.求：
（1）小长方形的长和宽；
（2）图中阴影部分的面积.
22.（12分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位上的数字比十位上的数字大3，那么称这个两位数为“慧泉数”.将一个“慧泉数”的个位上的数字与十位上的数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）.例如：a＝14，对调个位上的数字与十位上的数字后得到新的两位数为41，新两位数与原两位数的和为14＋41＝55，其和与11的商为55÷11＝5，所以f（14）＝5.
根据以上定义，回答下列问题：
（1）f（36）＝ ；
（2）若f（a）＝7，求a的值；
（3）如果一个“慧泉数”m的十位数字是x，另一个“慧泉数”n的个位数字是x，且满足f（m）＋f（n）＜20，求m，n的值.
23.（13分）如图，在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2∶1∶6，CD平分∠ACB交AB于点D.在△DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°.如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°）.
（1）求∠A，∠ABC，∠ACB的度数；
（2）在旋转过程中，如图2，当DE∥AC时，求α的度数；
（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点.
①α的取值范围是 ；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系.期末综合评价（二）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请选出该项）
1.下列方程是一元一次方程的是（ B ）
A.x－1＝ B.2x－3＝5 C.3a－3＜1 D.2x2＋1＝5
2.生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ D ）
3.若ac2＜bc2，则下列各不等式不成立的是（ C ）
A.a＜b B.a－1＜b－1 C.2a＞2b D.－a＞－b
4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ B ）
A. B.
C. D.
5.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，则下列说法不正确的是（ D ）
第5题图
A.AD＝CF B.∠BAC＝∠EDF
C.BC＝EF D.CE＝CF
6.小李家装饰地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则小李不应购买的地砖形状是（ C ）
A.正方形 B.正六边形
C.正八边形 D.正十二边形
7.定义新运算a☉b＝b（a＜b），若☉7＝7，则x的取值范围是（ A ）
A.x＞－10 B.x＞－11 C.x＜－10 D.x＜11
8.如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，如果得到的四边形是正方形，那么剪口与折痕所夹的角α的度数为（ B ）
第8题图
A.90° B.45°
C.30° D.22.5°
9.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，若两根铁棒长度差为20 cm，下列说法：
①两根铁棒的长度和为340 cm；
②其中一根铁棒的长度为170 cm；
③两根铁棒的长度和为440 cm；
④其中一根铁棒露出水面的长度为60 cm.
其中说法正确的有（ C ）
A.0个 B.3个 C.2个 D.1个
10.在下列三个图中，∠A＝42°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠O1＋∠O2＋∠O3＝（ D ）
A.84° B.111°
C.225° D.201°
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.如果一个多边形的每一个内角都等于120°，那么这个多边形是 正六 边形.
12.已知关于x，y的方程组无论k取何值，x＋9y的值都是一个定值，则这个定值为 7 .
13.如图，四边形EFIH与四边形GEHJ关于AC所在直线对称.若△ABC的面积是18 cm2，则阴影部分的面积为 18 cm2.
14.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的方程2y－a－3＝0有非负整数解，则符合条件的所有整数a的个数为 5 .
15.设△ABC的面积为1，如图1，E1，D1分别是AC，BC的中点，BE1，AD1相交于点O1，△BO1D1与△AO1E1的面积差记为S1；如图2，E2，D2分别是AC，BC的3等分点，BE2，AD2相交于点O2，△BO2D2与△AO2E2的面积差记为S2；如图3，E3，D3分别是AC，BC的4等分点，BE3，AD3相交于点O3，△BO3D3与△AO3E3的面积差记为S3……以此类推，则S2 023的值为 .
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（9分）解方程（组）或不等式组：
（1）－＝1；
解：去分母，得2x－1＋x＝4.
移项，得2x＋x＝4＋1.
即3x＝5.
系数化为1，得x＝.
（2）
解：把①代入②，得3x＋2x－7＝8，
解得x＝3.
把x＝3代入①，得y＝6－7＝－1.
所以
（3）
解：解不等式①，得x＞－1，
解不等式②，得x＞－2，
所以不等式组的解集为x＞－1.
17.（6分）如图，这是由小正方形拼成的大长方形，请沿图中的虚线，用三种方法将下列图形划分为两个全等图形.
解：如图所示（答案不唯一）.
18.（8分）若关于x，y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数.
（1）用含m的代数式表示x，y；
（2）求m的取值范围.
解：（1）y＝m＋4.
（2）∵x的值为负数，y的值为正数.
∴
解不等式③，得m＜，
解不等式④，得m＞－4.
∴－4＜m＜.
19.（7分）为了更好地落实国家“双减”政策，增强学生体质，某中学利用课后服务时间开设了花样跳绳社团兴趣小组，学校用1 000元从体育用品商店购入A，B两种款式的跳绳各40条，且B种跳绳的单价比A种跳绳单价的2倍还少5元，分别求A，B两种款式跳绳的单价.
解：设A种跳绳的单价为x元，则B种跳绳的单价为（2x－5）元，
依题意，得40（2x－5）＋40x＝1 000，
解得x＝10.
∴2x－5＝15.
答：A种跳绳的单价为10元，B种跳绳的单价为15元.
20.（10分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF⊥BC，垂足为F.
（1）若∠ABE＝18°，∠BED＝61°，求∠BAD的度数；
（2）若△ABC的面积为48 cm2，且CD＝6 cm，求EF的长.
解：（1）∵∠BED是△ABE的外角，
则∠BED＝∠ABE＋∠BAD.
又∠ABE＝18°，∠BED＝61°，
∴∠BAD＝∠BED－∠ABE＝61°－18°＝43°.
（2）连结EC，则S△CDE＝CD·EF.
∵AD为△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ACD.
同理S△ACD＝2S△CDE，∴S△ABC＝4S△CDE.
又∵CD＝6 cm，S△ABC＝48 cm2，∴4××6·EF＝48.
解得EF＝4 cm.故EF的长为4 cm.
21.（10分）如图，在大长方形ABCD中，放入9个相同的小长方形.求：
（1）小长方形的长和宽；
（2）图中阴影部分的面积.
解：（1）设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
依题意，得
解得
答：小长方形的长是7 cm，宽是2 cm.
（2）S阴影＝15×（9＋2）－9×7×2＝39（cm2）.
22.（12分）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位上的数字比十位上的数字大3，那么称这个两位数为“慧泉数”.将一个“慧泉数”的个位上的数字与十位上的数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）.例如：a＝14，对调个位上的数字与十位上的数字后得到新的两位数为41，新两位数与原两位数的和为14＋41＝55，其和与11的商为55÷11＝5，所以f（14）＝5.
根据以上定义，回答下列问题：
（1）f（36）＝ 9 ；
（2）若f（a）＝7，求a的值；
（3）如果一个“慧泉数”m的十位数字是x，另一个“慧泉数”n的个位数字是x，且满足f（m）＋f（n）＜20，求m，n的值.
解：（2）设a的个位数字为y，则其十位数字为（y－3），
∵f（a）＝7，∴＝7，
解得y＝5，则y－3＝5－3＝2，∴a＝25.
（3）∵一个“慧泉数”m的十位数字是x，另一个“慧泉数”n的个位数字是x，
∴数m的个位上的数字是（x＋3），数n的十位上的数字是（x－3），
∴f（m）＝＝2x＋3，f（n）＝＝2x－3，
∵f（m）＋f（n）＜20，∴2x＋3＋2x－3＜20，解得x＜5.
∵x－3＞0且x为整数，∴3＜x＜5且x为整数，∴x＝4，
则x＋3＝4＋3＝7，x－3＝4－3＝1，即m＝47，n＝14.
23.（13分）如图，在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2∶1∶6，CD平分∠ACB交AB于点D.在△DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°.如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°）.
（1）求∠A，∠ABC，∠ACB的度数；
（2）在旋转过程中，如图2，当DE∥AC时，求α的度数；
（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点.
①α的取值范围是 70°＜α＜100° ；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请直接写出该数量关系.
解：（1）在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2∶1∶6，
∴∠BAC＝180°×＝40°，∠ABC＝180°×＝20°，∠ACB＝180°×＝120°.
（2）∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A＝40°.
∵∠E＝90°，∠F＝60°，
∴∠EDF＝180°－90°－60°＝30°.
∴α＝40°－30°＝10°.
（3）②∠CMD＋∠CND＝90°，理由如下：
连结MN，
∵∠MCN＝∠ACB＝120°，
∴∠CMN＋∠CNM＝180°－∠MCN＝60°.
在△DMN中，∠DMN＋∠DNM＝180°－∠MDN＝150°，
∴∠CMD＋∠CND＝150°－60°＝90°.
