第十七章勾股定理小结与复习教学设计人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 第十七章勾股定理小结与复习教学设计人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 145.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-02-25 14:39:21 | ||
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文档简介
第十七章勾股定理
《勾股定理小结与复习》教学设计
一、教学目标
知识目标
1.能够熟练运用勾股定理解决简单问题，让学生切实掌握勾股定理这一重要工具，提升其基本运算和应用能力。
2.精准运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，培养学生对定理的反向运用思维，强化对直角三角形判定方法的理解。
3.灵活运用勾股定理解决综合问题和实际问题，使学生学会将理论知识与实际情境相结合，提高知识迁移和解决复杂问题的能力。
4.发展学生合情推理的能力，通过对勾股定理相关问题的探究和思考，引导学生从已有知识和经验出发，合理推测和归纳，提升逻辑思维水平。
5.体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，在教学过程中，借助图形直观展示勾股定理的原理，让学生理解数与形的紧密联系；通过从特殊直角三角形到一般情况的推导，培养学生的归纳总结能力。
6.树立数形结合的思想、分类讨论思想，让学生在面对不同类型的勾股定理问题时，能够主动运用这些思想方法，有条理地分析和解决问题，提高思维的严谨性和灵活性。
核心素养目标
1.通过获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生数学学习的信心，让学生在解决问题的过程中体验到成就感，激发他们对数学学习的兴趣和热情。
2.激发学生的民族自豪感和爱国情怀，介绍勾股定理在我国古代数学中的重要地位和辉煌成就，让学生了解我国悠久的数学文化，增强民族自信心和文化认同感。
二、教学重点、难点
重点
系统回顾并深入思考勾股定理及逆定理，强化学生对核心知识的记忆和理解，为后续应用奠定坚实基础。
通过多种题型训练，加深学生对勾股定理及逆定理的掌握程度，提高学生运用定理解决问题的熟练度。
难点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生将抽象的数学知识转化为实际解决方案的能力，克服从理论到实践的转化障碍。
在复杂情境中准确识别和运用勾股定理及逆定理，引导学生学会分析问题，提取关键信息，构建数学模型，提高解决综合问题的能力。
三、教学过程
（一）知识回顾 —— 开启勾股智慧之门
一、勾股定理
1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用
设计意图：强调定理的适用范围，加深学生对条件的重视，避免在后续解题中出现错误应用。
勾股定理表达式的常见变形：
a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；
、、.
设计意图：展示勾股定理的多种变形形式，拓宽学生对定理的理解，使其在不同题型中能灵活运用合适的表达式进行计算。
（二）逆定理探秘 —— 挖掘勾股定理的另一面
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个
三角形是直角三角形.
2.勾股数
满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数.
设计意图：明确勾股数的概念，让学生了解到满足勾股定理的特殊整数组合，为后续判断和计算提供依据。
原命题与逆命题（互为逆定理）
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
设计意图：讲解原命题与逆命题以及逆定理的关系，培养学生的逻辑思维和对数学定理结构的深入理解，让学生明白数学知识之间的内在联系。
（三）考点突破 —— 攻克勾股难题堡垒
考点一 勾股定理及其应用
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于D.(1)求AB的长；(2)求BD的长.
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理
(2)方法一：∵ S△ABC=AC BC=AB CD
∴ 20×15=25CD
∴ CD=12
在Rt△BCD中，根据勾股定理
方法二：设BD=x，则AD=25-x
在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据勾股定理
得 AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2
∴ AC2-AD2=BC2-BD2
即 202-(25-x)2=152-x2
解得 x=9，∴ BD=9
方法总结
对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高，常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.
设计意图：通过具体的直角三角形例题，让学生熟练运用勾股定理求边长，同时展示多种解题方法，培养学生的发散思维和灵活运用知识的能力，总结方法有助于学生形成解题策略。
针对训练
1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
2.如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长为_____.
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为_______.
4.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝8cm，c＝6cm，求△ABC的面积.
解：∵ a+b=8
∴ (a+b)2=64，即a2+b2+2ab=64
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 a2+b2=c2=36
∴ 2ab=64-(a2+b2)=64-36=28
∴ ab=7
即△ABC的面积为7cm2.
设计意图：通过一系列针对性练习，巩固学生对勾股定理的应用，不同题型从不同角度考查学生对知识的掌握程度，及时反馈学生的学习效果，强化解题技能。
例2 由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为12米，求这棵树原来的高度.
解：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D.
在Rt△BCD中，BC=13m，CD=12m，根据勾股定理
(m)
∴ AD=AB+BD=9(m)
在Rt△ACD中，根据勾股定理
(m)
∴ AC+AB=15+4=19(m)
答：这棵树原来的高度是19米.
设计意图：以实际生活中的树木折断问题为背景，让学生体会勾股定理在解决实际问题中的应用，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，增强学生对数学实用性的认识。
5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺.
在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理
BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1) 2
25+x2=x2+2x+1
2x=24
解得 x=12
∴ AC=12尺，AD=13尺
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
6.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体
的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为
多少？
解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：
①沿ABB1A1和A1B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：
①在Rt△ABC1中，根据勾股定理得AC1==5
②在Rt△ACC1中，根据勾股定理得AC1==
③在Rt△AB1C1中，根据勾股定理得AC1==
∵ 5＜＜
∴ 沿路径①走路径最短，最短路径长为5.
7.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD=1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点，连接OA.
在Rt△ABO中，OA=2米，OB=CD=1.4米，根据勾股定理得
AB2=OA2-OB2=22-1.42=2.04
∵ 4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04＞1.96
∴ 卡车可以通过，但要小心.
8.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)？
(2)距离哨所多少米(即OB的长)？
解：(1)根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.
∴ AC=AO=500米，BC=OC
在Rt△AOC中，根据勾股定理得
OC===500(米)
∴ BC=OC=500(米)
∴ AB=AC+BC=(500+500)米
(2)在Rt△BOC中，根据勾股定理得
OB===500(米)
设计意图：通过不同实际情境的题目，进一步强化学生运用勾股定理解决实际问题的能力，涵盖了几何图形与方向角度等多方面知识的综合运用，提升学生的数学素养和实际应用能力。
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例3 在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，，2c－b＝12，求△ABC的面积.
解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k
∵ 2c-b=12
∴ 10k-4k=12，解得 k=2
∴ a=6，b=8，c=10
∵ 62+82=102
∴ BC2+AC2=AB2
∴ △ABC为直角三角形
∴ △ABC的面积为×6×8=24
例4 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：根据题意画出右图
∴ BM=8×2=16(海里)，BP=15×2=30(海里)，MP=34(海里)
∵ 162+302=1156，342=1156
∴ BM2+BP2=MP2
∴ △MBP为直角三角形，即∠MBP=90°
∴ ∠1=180°-90°-60°=30°
∴ 乙船是沿着南偏东30°方向航行的
针对训练
9.下列各组数中，是勾股数的为( )
A.32、42、52 B.、、
C.0.3、0.4、0.5 D.30、40、50
10.命题“在同一个三角形中，等边对等角.”的逆命题是______________________________
是________(填“真命题”或“假命题”)
11.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有__________.
设计意图：通过对勾股数概念、逆命题以及格点三角形中直角三角形判定的练习，巩固学生对勾股定理逆定理相关知识的理解和应用，强化对概念的辨析能力。
考点三 勾股定理与折叠问题
例5 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
解：∵ 长方形ABCD折叠，使点B与点D重合
∴ DE=BE
设AE=x cm，则DE=BE=(9-x)cm
在Rt△ABE中，根据勾股定理
AB2+AE2=BE2
即 32+x2=(9-x)2，解得x=4
∴ △ABE的面积为×3×4=6(cm2)
针对训练
12.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为________.
设计意图：通过类似的折叠问题练习，进一步巩固学生对勾股定理在折叠问题中应用的掌握程度，强化学生运用方程思想解决问题的能力，提高学生分析和解决复杂几何问题的能力。
（四）总结 —— 勾股定理的智慧之旅
同学们，今天我们一起回顾了勾股定理及其逆定理这一数学史上璀璨的明珠。勾股定理，它简洁而深刻地揭示了直角三角形三边之间的数量关系，从古老的毕达哥拉斯发现直角三角形地砖的秘密，到如今在建筑、测量、航海等众多领域的广泛应用，它贯穿了人类文明的进程。我们通过实际问题，如树木折断、水池深度测量、船只航行等，看到了勾股定理如何将抽象的数学知识与现实世界紧密相连，帮助我们解决生活中的难题。而勾股定理的逆定理，就像一把神奇的钥匙，能让我们从三角形三边的长度判断它是否为直角三角形，在几何图形的判定和构建中发挥着关键作用。在学习过程中，我们还体会到了数形结合、分类讨论等重要数学思想的魅力，它们如同指引我们前行的灯塔，让我们在数学的海洋中找到方向。希望大家能将勾股定理这一有力武器牢记心中，在未来的数学学习和生活实践中，不断探索，勇于创新，用数学的眼光去发现美、创造美。
四、教学反思
成功之处
在知识回顾环节，通过清晰呈现勾股定理及其逆定理的内容、应用条件和常见变形，帮助学生快速梳理了核心知识，为后续解题奠定了坚实基础。从学生的课堂反应来看，大部分学生对基础知识的记忆较为准确，能够顺利进入后续的例题讲解和练习环节。
在例题讲解过程中，注重一题多解和方法总结。例如在例 1 中，展示了两种求BD长度的方法，拓宽了学生的解题思路，培养了学生的发散思维。学生在后续的针对训练中，能够尝试运用不同方法解决问题，体现了方法总结的有效性。
以丰富多样的实际问题为载体，如树木折断、蚂蚁爬行、卡车通过通道等，激发了学生的学习兴趣，让学生深刻体会到数学的实用性。学生在解决这些实际问题时，积极思考，主动参与，课堂气氛活跃，有效提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
不足之处
在针对训练部分，对于一些基础较薄弱的学生，部分题目难度较大，导致他们在解题过程中遇到困难，花费时间较长，影响了整体教学进度。例如在考点一的例 2 中，涉及到将实际问题转化为数学模型并多次运用勾股定理求解，部分学生理解起来有困难。
在讲解勾股定理逆定理的应用时，虽然通过具体例题让学生理解了如何判断直角三角形，但对于勾股数概念的讲解可以更加深入，结合更多有趣的数学故事或历史背景，帮助学生更好地记忆和理解勾股数的特点，提升学生对数学文化的兴趣。
在课堂互动方面，部分学生参与度不够高，可能是问题的设置没有充分考虑到全体学生的水平差异。在今后的教学中，需要更加关注学生的个体差异，设计分层问题，让每个学生都能在课堂上有所收获。
改进措施
在今后的教学中，对于基础薄弱的学生，在课前或课后安排适当的辅导，帮助他们巩固基础知识，提高解题能力。在课堂教学中，对于难度较大的题目，可以设置一些引导性问题，逐步降低难度，帮助学生理解和掌握。
在讲解勾股数等概念时，提前收集相关数学文化资料，如古代数学家对勾股数的研究成果、勾股数在神秘学中的传说等，在课堂上生动有趣地呈现给学生，增加数学学习的趣味性和文化底蕴。
优化课堂提问策略，根据学生的学习情况和能力水平，设计分层问题，鼓励不同层次的学生积极参与课堂互动。对于参与度不高的学生，主动给予关注和引导，创造更多机会让他们表达自己的想法，增强他们的学习自信心。
五、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见
《勾股定理小结与复习》教学设计
一、教学目标
知识目标
1.能够熟练运用勾股定理解决简单问题，让学生切实掌握勾股定理这一重要工具，提升其基本运算和应用能力。
2.精准运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，培养学生对定理的反向运用思维，强化对直角三角形判定方法的理解。
3.灵活运用勾股定理解决综合问题和实际问题，使学生学会将理论知识与实际情境相结合，提高知识迁移和解决复杂问题的能力。
4.发展学生合情推理的能力，通过对勾股定理相关问题的探究和思考，引导学生从已有知识和经验出发，合理推测和归纳，提升逻辑思维水平。
5.体会数形结合和由特殊到一般的数学思想，在教学过程中，借助图形直观展示勾股定理的原理，让学生理解数与形的紧密联系；通过从特殊直角三角形到一般情况的推导，培养学生的归纳总结能力。
6.树立数形结合的思想、分类讨论思想，让学生在面对不同类型的勾股定理问题时，能够主动运用这些思想方法，有条理地分析和解决问题，提高思维的严谨性和灵活性。
核心素养目标
1.通过获得成功的经验和克服困难的经历，增强学生数学学习的信心，让学生在解决问题的过程中体验到成就感，激发他们对数学学习的兴趣和热情。
2.激发学生的民族自豪感和爱国情怀，介绍勾股定理在我国古代数学中的重要地位和辉煌成就，让学生了解我国悠久的数学文化，增强民族自信心和文化认同感。
二、教学重点、难点
重点
系统回顾并深入思考勾股定理及逆定理，强化学生对核心知识的记忆和理解，为后续应用奠定坚实基础。
通过多种题型训练，加深学生对勾股定理及逆定理的掌握程度，提高学生运用定理解决问题的熟练度。
难点
灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题，培养学生将抽象的数学知识转化为实际解决方案的能力，克服从理论到实践的转化障碍。
在复杂情境中准确识别和运用勾股定理及逆定理，引导学生学会分析问题，提取关键信息，构建数学模型，提高解决综合问题的能力。
三、教学过程
（一）知识回顾 —— 开启勾股智慧之门
一、勾股定理
1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用
设计意图：强调定理的适用范围，加深学生对条件的重视，避免在后续解题中出现错误应用。
勾股定理表达式的常见变形：
a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；
、、.
设计意图：展示勾股定理的多种变形形式，拓宽学生对定理的理解，使其在不同题型中能灵活运用合适的表达式进行计算。
（二）逆定理探秘 —— 挖掘勾股定理的另一面
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个
三角形是直角三角形.
2.勾股数
满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数.
设计意图：明确勾股数的概念，让学生了解到满足勾股定理的特殊整数组合，为后续判断和计算提供依据。
原命题与逆命题（互为逆定理）
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
设计意图：讲解原命题与逆命题以及逆定理的关系，培养学生的逻辑思维和对数学定理结构的深入理解，让学生明白数学知识之间的内在联系。
（三）考点突破 —— 攻克勾股难题堡垒
考点一 勾股定理及其应用
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于D.(1)求AB的长；(2)求BD的长.
解：(1)在Rt△ABC中，根据勾股定理
(2)方法一：∵ S△ABC=AC BC=AB CD
∴ 20×15=25CD
∴ CD=12
在Rt△BCD中，根据勾股定理
方法二：设BD=x，则AD=25-x
在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据勾股定理
得 AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2
∴ AC2-AD2=BC2-BD2
即 202-(25-x)2=152-x2
解得 x=9，∴ BD=9
方法总结
对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高，常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解.
设计意图：通过具体的直角三角形例题，让学生熟练运用勾股定理求边长，同时展示多种解题方法，培养学生的发散思维和灵活运用知识的能力，总结方法有助于学生形成解题策略。
针对训练
1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )
A.8 B.4 C.6 D.无法计算
2.如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长为_____.
3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为_______.
4.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝8cm，c＝6cm，求△ABC的面积.
解：∵ a+b=8
∴ (a+b)2=64，即a2+b2+2ab=64
在Rt△ABC中，根据勾股定理得 a2+b2=c2=36
∴ 2ab=64-(a2+b2)=64-36=28
∴ ab=7
即△ABC的面积为7cm2.
设计意图：通过一系列针对性练习，巩固学生对勾股定理的应用，不同题型从不同角度考查学生对知识的掌握程度，及时反馈学生的学习效果，强化解题技能。
例2 由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为12米，求这棵树原来的高度.
解：延长AB，过点C作CD⊥AB延长线于点D.
在Rt△BCD中，BC=13m，CD=12m，根据勾股定理
(m)
∴ AD=AB+BD=9(m)
在Rt△ACD中，根据勾股定理
(m)
∴ AC+AB=15+4=19(m)
答：这棵树原来的高度是19米.
设计意图：以实际生活中的树木折断问题为背景，让学生体会勾股定理在解决实际问题中的应用，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，增强学生对数学实用性的认识。
5.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：如图，设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺.
在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理
BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1) 2
25+x2=x2+2x+1
2x=24
解得 x=12
∴ AC=12尺，AD=13尺
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
6.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体
的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为
多少？
解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：
①沿ABB1A1和A1B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三种方式分别展成平面图形如下：
①在Rt△ABC1中，根据勾股定理得AC1==5
②在Rt△ACC1中，根据勾股定理得AC1==
③在Rt△AB1C1中，根据勾股定理得AC1==
∵ 5＜＜
∴ 沿路径①走路径最短，最短路径长为5.
7.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边于点D，取点C，使CD=1.4米，过C作OD的平行线交半圆直径于B点，交半圆于A点，连接OA.
在Rt△ABO中，OA=2米，OB=CD=1.4米，根据勾股定理得
AB2=OA2-OB2=22-1.42=2.04
∵ 4-2.6=1.4，1.42=1.96，2.04＞1.96
∴ 卡车可以通过，但要小心.
8.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.
(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)？
(2)距离哨所多少米(即OB的长)？
解：(1)根据题意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.
∴ AC=AO=500米，BC=OC
在Rt△AOC中，根据勾股定理得
OC===500(米)
∴ BC=OC=500(米)
∴ AB=AC+BC=(500+500)米
(2)在Rt△BOC中，根据勾股定理得
OB===500(米)
设计意图：通过不同实际情境的题目，进一步强化学生运用勾股定理解决实际问题的能力，涵盖了几何图形与方向角度等多方面知识的综合运用，提升学生的数学素养和实际应用能力。
考点二 勾股定理的逆定理及其应用
例3 在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，，2c－b＝12，求△ABC的面积.
解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k
∵ 2c-b=12
∴ 10k-4k=12，解得 k=2
∴ a=6，b=8，c=10
∵ 62+82=102
∴ BC2+AC2=AB2
∴ △ABC为直角三角形
∴ △ABC的面积为×6×8=24
例4 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：根据题意画出右图
∴ BM=8×2=16(海里)，BP=15×2=30(海里)，MP=34(海里)
∵ 162+302=1156，342=1156
∴ BM2+BP2=MP2
∴ △MBP为直角三角形，即∠MBP=90°
∴ ∠1=180°-90°-60°=30°
∴ 乙船是沿着南偏东30°方向航行的
针对训练
9.下列各组数中，是勾股数的为( )
A.32、42、52 B.、、
C.0.3、0.4、0.5 D.30、40、50
10.命题“在同一个三角形中，等边对等角.”的逆命题是______________________________
是________(填“真命题”或“假命题”)
11.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有__________.
设计意图：通过对勾股数概念、逆命题以及格点三角形中直角三角形判定的练习，巩固学生对勾股定理逆定理相关知识的理解和应用，强化对概念的辨析能力。
考点三 勾股定理与折叠问题
例5 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积.
解：∵ 长方形ABCD折叠，使点B与点D重合
∴ DE=BE
设AE=x cm，则DE=BE=(9-x)cm
在Rt△ABE中，根据勾股定理
AB2+AE2=BE2
即 32+x2=(9-x)2，解得x=4
∴ △ABE的面积为×3×4=6(cm2)
针对训练
12.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为________.
设计意图：通过类似的折叠问题练习，进一步巩固学生对勾股定理在折叠问题中应用的掌握程度，强化学生运用方程思想解决问题的能力，提高学生分析和解决复杂几何问题的能力。
（四）总结 —— 勾股定理的智慧之旅
同学们，今天我们一起回顾了勾股定理及其逆定理这一数学史上璀璨的明珠。勾股定理，它简洁而深刻地揭示了直角三角形三边之间的数量关系，从古老的毕达哥拉斯发现直角三角形地砖的秘密，到如今在建筑、测量、航海等众多领域的广泛应用，它贯穿了人类文明的进程。我们通过实际问题，如树木折断、水池深度测量、船只航行等，看到了勾股定理如何将抽象的数学知识与现实世界紧密相连，帮助我们解决生活中的难题。而勾股定理的逆定理，就像一把神奇的钥匙，能让我们从三角形三边的长度判断它是否为直角三角形，在几何图形的判定和构建中发挥着关键作用。在学习过程中，我们还体会到了数形结合、分类讨论等重要数学思想的魅力，它们如同指引我们前行的灯塔，让我们在数学的海洋中找到方向。希望大家能将勾股定理这一有力武器牢记心中，在未来的数学学习和生活实践中，不断探索，勇于创新，用数学的眼光去发现美、创造美。
四、教学反思
成功之处
在知识回顾环节，通过清晰呈现勾股定理及其逆定理的内容、应用条件和常见变形，帮助学生快速梳理了核心知识，为后续解题奠定了坚实基础。从学生的课堂反应来看，大部分学生对基础知识的记忆较为准确，能够顺利进入后续的例题讲解和练习环节。
在例题讲解过程中，注重一题多解和方法总结。例如在例 1 中，展示了两种求BD长度的方法，拓宽了学生的解题思路，培养了学生的发散思维。学生在后续的针对训练中，能够尝试运用不同方法解决问题，体现了方法总结的有效性。
以丰富多样的实际问题为载体，如树木折断、蚂蚁爬行、卡车通过通道等，激发了学生的学习兴趣，让学生深刻体会到数学的实用性。学生在解决这些实际问题时，积极思考，主动参与，课堂气氛活跃，有效提高了学生运用数学知识解决实际问题的能力。
不足之处
在针对训练部分，对于一些基础较薄弱的学生，部分题目难度较大，导致他们在解题过程中遇到困难，花费时间较长，影响了整体教学进度。例如在考点一的例 2 中，涉及到将实际问题转化为数学模型并多次运用勾股定理求解，部分学生理解起来有困难。
在讲解勾股定理逆定理的应用时，虽然通过具体例题让学生理解了如何判断直角三角形，但对于勾股数概念的讲解可以更加深入，结合更多有趣的数学故事或历史背景，帮助学生更好地记忆和理解勾股数的特点，提升学生对数学文化的兴趣。
在课堂互动方面，部分学生参与度不够高，可能是问题的设置没有充分考虑到全体学生的水平差异。在今后的教学中，需要更加关注学生的个体差异，设计分层问题，让每个学生都能在课堂上有所收获。
改进措施
在今后的教学中，对于基础薄弱的学生，在课前或课后安排适当的辅导，帮助他们巩固基础知识，提高解题能力。在课堂教学中，对于难度较大的题目，可以设置一些引导性问题，逐步降低难度，帮助学生理解和掌握。
在讲解勾股数等概念时，提前收集相关数学文化资料，如古代数学家对勾股数的研究成果、勾股数在神秘学中的传说等，在课堂上生动有趣地呈现给学生，增加数学学习的趣味性和文化底蕴。
优化课堂提问策略，根据学生的学习情况和能力水平，设计分层问题，鼓励不同层次的学生积极参与课堂互动。对于参与度不高的学生，主动给予关注和引导，创造更多机会让他们表达自己的想法，增强他们的学习自信心。
五、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见