考点精炼--等时圆问题 2025年高考物理二轮复习备考

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考点精炼--等时圆问题
2025年高考物理二轮复习备考
一、单选题
1．如图所示，甲图中质点从竖直面内的圆环上，沿三个不同的光滑弦1、2、3上端由静止开始滑到环的最低点，所用的时间分别为、、；乙图中质点从竖直面内的圆环上最高点，沿三个不同的光滑弦4、5、6由静止开始滑到下端所用的时间分别为、、，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．如图所示，OA、OB为两条不同的光滑轨道，端点O、A、B都在竖直圆周上，OC竖直直径。完全相同的两个小球分别从A、B两点沿两条轨道由静止开始同时释放，不计空气阻力。两小球到达O点的过程中，下列判断正确的是（　　）
A．沿BO轨道运动的小球先到达O点
B．两个小球重力的冲量不相同
C．两小球的动量变化率相同
D．沿AO轨道运动小球的动量变化率大
3．如图所示，竖直平面内固定一个光滑绝缘圆环，圆心为O，光滑绝缘轻杆AC是圆环的直径，光滑绝缘轻杆AB是圆环的弦，AC、AB与水平方向的夹角分别为45°和60°，圆环所在空间有匀强电场（图中未画出）。质量均为m的带电小球（可视为质点）穿在杆AB、AC上，分别从B、C点沿BA、CA由静止下滑到A点所用的时间相等。不考虑两小球间的影响，则（　　）

A．小球一定都带负电
B．圆周上C点电势一定最高
C．电场强度方向一定由C指向A
D．小球受到的电场力大小可能等于重力大小
4．如图所示，有直角三角形光滑轨道框架，其中AB竖直。，光滑圆弧轨道CB为的外接圆上的一部分。小球1、2分别沿轨道AB、AC从A点由静止开始运动，到B、C点对应的时间分别为、，小球3沿轨道CB从C点由静止开始运动，到B点的时间为；小球4在圆弧轨道CB上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B点的时间为。则下列时间的关系正确的是（　　）

A． B． C． D．
5．如图所示，从竖直圆上的A到圆周上的C、D两点有两条光滑的直轨道，BC是圆的竖直直径，AD是圆的倾斜直径，AD与BC夹角为。让两个质量相等的小球1、2同时从A点由静止释放，分别沿AC、AD滑行到圆上的C、D两点。，，则在运动过程中，1、2两球重力的冲量大小之比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，OA、OB是竖直面内两根固定的光滑细杆，O、A、B位于同一圆周上，OB为圆的直径。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），两个滑环都从O点无初速释放，用t1、t2分别表B示滑环到达A、B所用的时间，则（ ）
A． B． C． D．无法比较t1、t2的大小
7．如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2上，三块板都通过两圆的切点，在圆上，在圆内，在圆外。从、、三处同时由静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2上的球是（　　）
A．从处释放的球 B．从处释放的球
C．从处释放的球 D．从、、三处释放的球同时到达
8．如图所示，是一个倾角为的传送带，上方离传送带表面距离为的处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在与传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度地从处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从处到达传送带的时间为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图所示有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的顶点，它们处在同一竖直平面内。现有两条光滑直轨道AOB、COD，轨道与竖直直径的夹角关系为，现让一小物块先后从这两条轨道顶端由静止下滑至底端，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，MA、MB、NA是竖直面内三根固定的光滑细杆，M、N、A、B、C位于同一圆周上、C、A两点分别为圆周的最高点和最低点，O点为圆心。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），3个滑环分别从M点和N点无初速度释放，、依次表示滑环从M点到达B点和A点所用的时间，表示滑环从N点到达A点所用的时间，则（　　）

A． B． C． D．
11．如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
12．如图在设计三角形的屋顶时，使雨水尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动，试分析：在屋顶宽度（2L） 一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？
13．滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏。有两部直滑梯AB和AC，A、B、C在竖直平面内的同一圆周上，且A为圆周的最高点，示意图如图所示，已知圆周半径为R。在圆周所在的竖直平面内有一位置P，距离A点为R，且与A等高。各滑梯的摩擦均不计，已知重力加速度为g。
（1）如果小朋友由静止开始分别沿AB和AC滑下，试通过计算说明两次沿滑梯运动的时间关系；
（2）若设计一部上端在P点，下端在圆周上某点的直滑梯，则小朋友沿此滑梯由静止滑下时，在滑梯上运动的最短时间是多少。
参考答案
1．A
如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第二定律可知加速度为
位移为
由匀变速直线运动规律有
联立解得下滑时间
相当于沿竖直直径自由下落的时间，有
故选A。
2．D
A．设轨道与水平方向的夹角为，对小球研究，小球受重力和支持力，将重力沿轨道方向和垂直轨道方向正交分解，根据牛顿第二定律可得
由图中的直角三角形可知，小球的位移为
由于小球下落过程中做初速度为0的匀加速直线运动，故下落时间为
所以下落时间与无关，故两小球一起到达，故A错误；
B．下落时间相同，重力相同，由
可得两个小球重力的冲量相同，故B错误；
CD．小球的末速度为
由于A点下落的大，即 大，故从A点下落的末速度大，根据
可知沿AO轨道运动小球的动量变化率大，故C错误，D正确。
故选D。
3．D
ABC．小球分别从B、C点沿BA、CA由静止下滑到A点的时间相等，圆环为等时圆，A点为等效最低点，重力与电场力的合力一定沿CA方向，电场方向未知，故ABC错误；
D．当电场方向水平、小球受到的电场力水平向左时，小球受到的电场力大小等于重力大小，故D正确。
故选D。
4．C
设AB为2R，小球1做自由落体运动，则有
解得
设，根据几何关系可知AC为2R，根据牛顿第二定律可知
则有
解得
同理可知小球3的位移为，加速度为
则有
解得
小球4的运动可看作是摆长为R的单摆运动，则时间为
综上分析可知
=
故选C。
5．D
根据题意可知，小球沿运动的加速度为
则有
解得
设与水平方向夹角为，连接，如图所示
由几何关系可得
小球沿运动的加速度为
则有
解得
在运动过程中，1、2两球重力的冲量大小之比为
故选D。
6．C
如图所示
以O点为最高点，取合适的直径做等时圆，由图可知，从O到C、B时间相等，比较图示位移
可得
故选C。
7．B
假设经过切点的板两端点分别在圆1、圆2上，板与竖直方向的夹角为，圆1的半径为，圆2的半径为，则圆内轨道的长度为
对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律得
解得下滑时小球的加速度为
根据位移时间公式得
解得
可知当板的端点在圆上时，小球沿不同板下滑到底端所用的时间相同。由题意可知，在圆上，在圆内，在圆外，可知从处释放的球下滑的时间最短，B正确。
故选B。
8．D
如图所示
以处为圆的最高点作圆与传送带相切于点，设圆的半径为，从处建立一管道到圆周上，管道与竖直方向的夹角为，原料下滑的加速度为
管道长度为
由运动学公式可得
解得
可知从处建立任一管道到圆周上，原料下滑的时间相等，故在与传送带间建立一管道，原料从处到传送带上所用时间最短；根据图中几何关系可得
可得
联立可得
故选D。
9．BD
AB．小物块下滑的过程，由动能定理可知
可得
由于从A到B下落的高度差大于从C到D的高度差，故有
故A错误，B正确；
CD．以AOB轨道的物块为研究对象，根据位移与速度的关系
同理COD轨道
两式相比且：
所以，故D正确，C错误。
故选BD。
10．BC
设MA与竖直方向的夹角为α，圆周的直径为d，根据牛顿第二定律得：滑环的加速度为
滑杆的长度为
s=dcosα
则根据
得
可见，时间t与α无关，故有
以M点为最高点，取合适的竖直直径作圆，如图所示

从M点滑到A、D时间相同，则从M点滑到B点时间大于A点，即
故选BC。
11．BC
1号小球的加速度为
位移为
运动时间为
2号小球的加速度为
位移为
运动时间为
3号小球的加速度为
位移为
运动时间为
4号小球的加速度为
位移为
运动时间为
则
故选BC。
12．45°，
如图所示，通过屋顶作直线AC与水平线BC相垂直；并以L为半径、O为圆心画一个圆与AC、BC相切；然后，画倾角不同的屋顶A1B、A2B、A3B……从图可以看出：在不同倾角的屋顶中，只有A2B是圆的弦，而其余均为圆的割线；根据“等时圆”规律，雨水沿A2B运动的时间最短，且最短时间为
屋顶的倾角满足
tan α＝＝1
可得
α＝45°
13．（1）；（2）
（1）设AB与水平方向的夹角为θ，小朋友沿AB下滑时的加速度
由运动学公式有
由几何关系知
解得
由上式可知，沿滑梯运动的时间t与滑梯和水平面间的夹角无关，同理可知
故
（2）画出以P点为最高点、半径为r与题图中圆外切的圆，如图
设切点为D，根据第（1）问的结论，当小朋友沿滑梯PD下滑时，在滑梯上运动的时间最短，由几何关系知
解得
结合第（1）问的结论有
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