考点精炼--极值点偏移问题 2025年高考数学二轮复习备考

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考点精炼--极值点偏移问题
2025年高考数学二轮复习备考
一、单选题
1．已知函数有两个零点，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，对于正实数a，若关于t的方程恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正整数k，使得恒成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
4．已知函数，则下面结论成立的是（ ）
A．当时，函数有两个实数根
B．函数只有一个实数根，则
C．若函数有两个实数根，，则
D．若函数有两个实数根，，则
5．设函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数有且只有一个零点
C．函数的值域为
D．对任意两个不相等的正实数，若，则
6．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．与 的定义域不同
B．的单调递减区间为
C．若有三个不同的解，则
D．对任意两个不相等正实数，若，则
三、填空题
7．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是 .
①；
②；
③；
④.
四、解答题
8．已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若方程有两个根，证明：.
9．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
10．已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若方程的两个解为、，求证：.
11．已知常数，函数.
(1)若，求的取值范围;
(2)若、是的零点，且，证明:.
12．设函数.
(1)若对恒成立，求实数的取值范围；
(2)已知方程有两个不同的根、，求证：，其中为自然对数的底数.
13．已知函数．
(1)若只有一个零点，求的值；
(2)若有两个零点，证明：．
14．已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
参考答案
1．D
由可得，令，其中，
则直线与函数的图象有两个交点，，
由可得，即函数的单调递增区间为，
由可得，即函数的单调递减区间为，
且当时，，当时，，，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故A错误；
由图可知，，
因为，由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，则必有，
所以，，则，
令，其中，
则，则函数在上单调递减，
所以，，即，即，
又，可得，
因为函数的单调递减区间为，则，即，故B错误；
由，两式相加整理可得，
所以，，可得，故C错误；
由图可知，则，又因为，所以，，故D正确.
故选：D.
2．D
研究的图像可知，若，令，则 ，且，可以推出，或，通过对数不等式写出关于的不等式，即可求出的范围
因为，，令得：；令得：，所以在区间单调递增，在单调递减，且时，恒成立，的图像如下：
令，则 ，且
①当时，，成立，所以是方程的一个实数根
②当时，由得：，令
则： ，两式相减得： ，两式相加得：
所以：，由对数均值不等式得：
所以：，且，所以，，即：
所以
故选：D
3．BD
对于A，定义域为，，
时,时，是的极小值点，A错误；
对于B，令，
在上递减，，有唯一零点，B正确；
对于C，令，
令，时,时,，
在上递减，在上递增，则，
，在上递减，图象恒在x轴上方，
与x轴无限接近，不存在正实数k使得恒成立，C错误；
对于D，由A选项知，在上递减，在上递增，
由正实数，且，，得，
当时，令，
，即在上递减，
于是有，从而有，
又 ，所以，即成立，D正确.
故选：BD
4．AC
令参变分离可得，令，利用导数说明其单调性，即可得到函数的函数图象，从而判断A、B，若函数有两个实数根，，则，即可得到，再令，，利用导数研究函数的单调性，即可判断C、D；
解：根据题意，令则，令，则，所以当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图象如下：

函数的最大值在处取得，最大值为，所以选项A正确，当或时函数只有一个实数根，故选项B不正确，
若函数有两个实数根，，则，所以，令，，对函数求导可得，，令，则恒成立，所以函数单调递增，又，所以，所以在时单调递增，的函数图象如下所示：

可得，所以选项C正确，选项D不正确．
故选：AC
5．AB
利用导数判断时，的单调性，根据单调性可求值域，然后结合时，，从而可判断选项A，C；首先利用导数判断时，的零点个数；然后再利用单调性判断时，的零点个数，从而可判断选项B；不妨设，根据题意把要证明，转化为证明；然后构造函数，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D.
当时，，所以，
所以当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
且当时，故时，，
又当时，，所以，
所以函数在单调递增，值域为，所以A正确，C错误；
当时，令，则，
所以在单调递减，所以当时，，
所以函数在上没有零点；
当时，令，
所以只需求函数在上零点个数，
又因为在上单调递减，且，
所以函数在上只有一个零点．
所以函数有且仅有一个零点，所以B正确；
当时，若，因为函数在单调递增，在单调递减，
所以不妨设，则，
所以要证，只需证，即只需证，
又因为，所以只需证.
因为，
所以令函数，
则，
所以在单调递增，所以，
即恒成立，所以，
即，所以，
从而成立， 所以D错误.
故选：AB.
6．AD
利用定义域关于原点对称且是奇函数，确定选项A；利用求导和导函数值小于0，解不等式，排除选项B；利用导数研究单调性和自变量趋向于正、负无穷时的极限值来作出简图，通过是不符合题意，来排除选项C；利用极值点偏移法，构造函数并进行求导分析证明，确定选项D．
对于A，由的定义域为，而的定义域为，所以选项A是正确的；
对于B，由函数定义域为，因为，由，得到，解得或，
所以的单调递减区间为，，所以选项B是错误；
对于C，因为，由，解得且，
所以的增区间为区间，，
由选项B知，的减区间为，，
又，当时，，且，
当时，，且，
当且时，，当且时，，
其图象如图所示，
由图知，有三个不同的解，则且，所以选项C是错误；
对于D，由题知，得到，
由图，不妨设，设，，
则，
当时，，，所以，
即在区间上单调递增，又，
所以，得到，
又，当时，，即在区间上单调递减，
又，所以，得到，所以选项D是正确.
故选：AD.
7．①②④
设，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断②的正误；分析可知，结合基本不等式可判断①的正误；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断③④的正误.
设，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，
作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对；
因为，则，由图可知，则，
所以，，①对；
令，其中，由图可知，
，
当时，，则，此时函数单调递减，
所以，，即，
因为，，且函数在上单调递减，
所以，，则，故，③错④对.
故答案为：①②④.
8．（1）；（2）证明见解析.
（1），
所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为.
（2）若方程有两个根，
则，即.
要证，需证，即证，
设，则等价于.
令，则，
所以在上单调递增，，即，故.
9．(1)在区间内单调递增，在区间内单调递减；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间；
（2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围；
（3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论.
（1）由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
（2）（i）由，得，
设，
由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是．
（ii）不妨设，则，且．
法一：
当时，结合（i）知，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．
10．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；
(2)证明见解析
（1）解：函数的定义域为，且，
令可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）解：设，其中，则，
令，可得，此时，函数在上单调递减，
令，可得，此时，函数在上单调递增，
所以，是函数的极小值点，
因为函数有两个零点、，设，则，
即且，要证，即证，
因为函数在上单调递增，
所以，只需证明：，即证，
令，其中，
则，
因为，则，
所以，，故函数在上为减函数，
又因为，所以，对任意的恒成立，
则，即，故成立.
11．(1)
(2)证明见解析
（1）由已知得的定义域为，
且
，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增.
所以在处取得极小值即最小值，
，
，
，即的取值范围为.
（2）由（1）知，的定义域为，
在上单调递减，在上单调递增，且是的极小值点.
、是的零点，且，
、分别在、上，不妨设，
设，
则
当时，，即在上单调递减.
，
，即，
，
，
，
，
又，在上单调递增，
，即.
12．(1)
(2)证明见解析
（1）解：由，得.
令，，则，
令，则.
所以，函数在上单增，故.
①当时，则，所以在上单增，，
此时对恒成立，符合题意；
②当时，，，
故存在使得，
当时，，则单调递减，此时，不符合题意.
综上，实数的取值范围.
（2）证明：由（1）中结论，取，有，即.
不妨设，，则，整理得.
于是，
即.
13．(1)
(2)证明见解析
（1）求出函数的导数，通过函数的单调区间，从而求出函数的最小值，令最小值为0求得的值；
（2）问题转化为证明，设函数，根据函数的单调性证明即可．
（1）函数，
令得
当时，在单调递增；
当时，在单调递减；
所以函数在时取最大值，
当时，函数;当 时，函数 ;
根据函数的单调性可知当最大值为0时，函数只有一个零点，
易知，
所以；
（2）证明：
不妨设要证明：，只需要证，易知
由（1）可知在单调递增，在单调递减；
所以只要证明，即证，
设函数而，
并且在区间上
即在单调递增，所以
从而所以
所以
14．(1)；
(2)①；②证明见解析.
（1）依题意，，
设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，
切线方程为，而点在切线上，
则，即有，
由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，
令，则函数有2个零点，
求导得，
①若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，
又，
当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
②若，恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多1个零点，不合题意；
③若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，
显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
④若，显然，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
要函数有2个零点，必有，得，
当时，，
而函数在上的值域为，因此在上的值域为，
当时，令，求导得，函数在上单调递减，
则，，
而函数在上单调递减，值域为，
因此函数在上的值域为，
于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是.
（2）①由（1）知，，
由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，上单调递减，，
且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根
所以函数有两个极点时，的取值范围是.
②由，即，得，
要证明，只需证明，
而，
令，则，欲证明，
即证明，只需证明即可，
令，
求导得，
则在时单调递增，故，
则，令在时单调递增，则，
因此，即，
所以.
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