考点精炼--解三角形必用的定理 2025年高考数学二轮复习备考

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考点精炼--解三角形必用的定理
2025年高考数学二轮复习备考
一、单选题
1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足．角A的内角平分线交于点M，若，则（ ）
A． B． C． D．2
2．在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．
3．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边，该公式具有轮换对称的特点.已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题
5．已知中，为的角平分线，交于点为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题
6．在中，若，且AB边上的中线长为2，则面积的最大值为 ．
7．已知中，，的角平分线交于点，且，则的面积为 .
8．在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为 .
9．在中，的平分线为与交于点，，则 ．
10．在中，为边上一点，且满足，则 ．
四、解答题
11．已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若BD为AC边上的中线，且，求面积的最大值.
12．在中，角、、的对边分别为、、．已知．
(1)求角的大小；
(2)设为边的中点，若，，求的大小．
13．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，，为AC边的中点，求BD的长.
14．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，
(1)求A的大小：
(2)点D在BC上，
（Ⅰ）当，且时，求AC的长；
（Ⅱ）当，且时，求的面积．
15．在中，分别为边所对的角，且满足.
(1)求的大小；
(2)的角平分线交边于点，当时，求.
16．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若在边上，且，求的周长.
参考答案
1．A
由条件有：，
又，则，
即，又，则
由为的角平分线，则,即
则
在中，
即 ①
在中，
在中，
由，则
化简得到： ②
将②代入①可得： ③
将③代入②可得：, 所以
所以
故选：A
2．B
是边中点，则，
所以，
即，解得，
，
是的平分线，则，，
，
在中，，
故选：B．
3．C
由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果.
因为是的内心，的延长线交于， ，，，
由角平分线定理可得，可得，，
即，则，
又因为，，且为的角平分线，
所以，，所以，，
又，且向量、不共线，所以，，所以.
故选：C.
4．D
先求得，然后利用三角形的面积公式、向量法求得边上的中线长度.
设是的中点，连接.
依题意，在中，，
设，由余弦定理得，
所以为钝角，所以，
所以，
，两边平方得
，
所以.
故选：D
5．ACD
在中，由余弦定理得，
由角平分线定理得：，所以A正确；
由得，解得，所以B错误；
，所以C正确；
在中，
设，则，由正弦定理得：
，其中，所以D正确.
故选：ACD.
6．
因，由正弦定理可得，
即，所以，又，
所以，，设边上的中线为，
则，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以.
故答案为：.
7．/
因为的角平分线交于点，且，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，且，所以，
可得，所以，
又因为，且，为角的平分线，
可得，
因为，且，
可得，解得，
所以.
故答案为：.

8．
由，得，
即，因为，所以，
因为，所以，
由，两边平方，
所以，则.
故答案为：
9．
方法一：设，
因为，
所以，
化简得，，
故，
因为，所以，
所以，则．
因为，所以，
所以，
故答案为：.
方法二：由余弦定理得，
由角平分线定理得，
所以，，
所以，
故答案为：.
10．
根据计算可得．
如图，因为，所以，
由，知，
化简得，
因，则有，
因,故得，解得．
在中，．
故答案为：．
11．(1)
(2)．
（1）因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，即.
（2）因为，，
所以，．
因为BD为AC边上的中线，所以，
又因为，所以，即，
所以，
由基本不等式得，
解得，当且仅当时等号成立．
故，
所以面积的最大值为．
12．(1)
(2)2
（1）用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出，进而可得角的大小；
（2）用余弦定理结合题目所给条件可求出及，再用向量即可求解.
（1）,
,
,
,
，
.
（2）在中, 由余弦定理得,
,
又因为，
所以，
联立解得，
因为为边的中点，所以,
所以，
即，
所以.

13．(1)
(2)
（1）由正弦定理和得到，求出；
（2）由向量基本定理得到，两边平方，结合，求出，得到.
（1），由正弦定理得，
由于，
故，
所以，
因为，所以，故，，
因为，所以；
（2）为AC边的中点，故，
两边平方得，
又，，，所以，故.
14．(1)
(2)；
（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值；
（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解.
（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．
（1）因为，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
因为为三角形内角，，
所以，可得，
因为，所以；
（2）（Ⅰ）此时，，
所以，所以，
在中，由正弦定理可得；
（Ⅱ）设，由，
可得，化简可得
有，
由于，所以，
所以，
则．
15．(1)
(2).
（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
（2）由余弦定理及角平分线定理求解即可.
（1），
，
，
，
，，
又，.
（2）如图，
中，由余弦定理，
可得，解得.
是角平分线，，
设，则，在中，由余弦定理可得：
，
即，
整理得，解得，
16．(1)
(2)
（1）根据题意利用正弦定理角化边整理可得，结合三角形性质得，即可求解；
（2）根据得，结合向量模的运算求得，利用余弦定理求得，即可得解.
（1）因为，
所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，因为，所以.
（2）因为，所以，
所以，即，
即，解得，或（舍），
由余弦定理，得，所以，
所以的周长为.
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