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11.1.1 不等式及其解集
学习目标
1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义;
2.理解不等式的解、解集，能正确表示不等式的解集;
3.通过把不等式的解集正确表示在数轴上，渗透数形结合思想，初步掌握类比的思想方法.
自主探索
老师的身高是170cm，如果用x表示某同学的身高，你能用怎样的式子表示上面三种情况呢
任务一 探究不等式的概念
活动1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶,6:00时汽车距前方的A地210km.
问题 1:汽车要在8:00准时到达A地,你能利用一元一次方程的有关知识计算出汽车的速度吗
设车速为x千米/小时，可列式子: .
问题 2 如果要求在8:00之前到达A地，车速应满足什么条件
设车速为x千米/小时，可列式子: .
问题3 如果要求8:00之后到达A地，车速应满足什么条件
设车速为x千米/小时，可列式子: .
问题4 比较以上3个问题，哪些词的变化使原来的相等关系变为了不等关系
问题5 你还记得什么是等式吗 你能类比等式的定义来说一说什么是不等式吗
总结归纳：
这样用符号“<”或“>”表示 关系的式子，叫作不等式.像a+2≠a-2这样.
用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
【即时测评】
1.下列式子中哪些是不等式
(1) a+b=b+a；(2)-3>-5 ；(3) x≠1；
(4) x+3>6；(5)2m
2.你能举出几个不等式的例子吗？
例1用不等式表示下列不等关系:
(1)a与15的和大于27;
(2)b的一半与3的差是负数;
(3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍.
任务二 探究不等式的解集
活动2 当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些值.如对于前面问题中的不等式2x>210，我们需要了解满足条件的车速x的值.
问题1判断下列数中哪些满足不等式2x>210
归纳总结：
与方程的解类似，我们把使不等式成立的 叫作不等式的解.
问题2 (1)满足不等式2x>210的未知数的值还有吗 若有，还有多少 请举出2～3 个.
(2)再取x的一些值试一试，看哪些是不等式 2x>210 的解.
x … 90 110 …
2x … 180 220 …
观察不等式2x>210的解，它们都满足什么条件？
归纳总结：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的 ，组成这个不等式的解集.例如x>105是不等式2x>210 的解集.求不等式的 的过程叫作解不等式.
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
问题3 不等式2x>210 的解集在数轴上怎么表示
例2 1.写出下列各数轴所表示的不等式的解集:
(1)
(2)
2.直接写出下列不等式的解集，并用数轴表示.
（1）x+1<0;（2）2x>6.
总结归纳：
1.用数轴表示不等式的解集的步骤:
第一步:画数轴;第二步:定界点;第三步:定方向.
2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
（1）大于向右画,小于向左画;
（2）>,<画空心圆.
【即时测评】
1.下列说法正确的是( )
A.x=4是不等式2x>-8的一个解
B.x=-4是不等式2x>-8的解集
C.不等式2x>-8的解集是x>4
D.2x>-8的解集是x<-4
2.写出下列用数轴表示的不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
当堂达标
1. 给出下列5个式子：①3＞0；②4x＋3y≠0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2＜3，其中不等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下面说法正确的是( )
A.x=3是不等式2x>3的一个解 B.x=3是不等式2x>3的解集
C.x=3是不等式2x>3的唯一解 D.x=3不是不等式2x>3的解
3.如图所示，左边物体的质量为x g，右边物体的质量为50 g，用不等式表示下列数量关系是 ．
4.在-4，-3，-2，-1，0，1，2这些整数中，是不等式4-x>6的解的有 .
5.用不等式表示下列关系:
(1)x与1的和是正数;
(2)x与y的差小于;
(3)a与b的差是负数;
(4)x的与x的2倍的和大于 .
6.直接写出下列不等式的解集,并用数轴表示:
(1)x-3>0;(2)x+<0;(3)2x>-2.
参考答案
当堂达标
1.B 2.A 3.x＞50 4.-4、-3
5.解：(1)x+1>0.(2)x-y<.(3)a-b<0.(4)x+2x>.
6.解:(1)解集为x>3,用数轴表示如图:
(2)解集为x<-,用数轴表示如图:
(3)解集为x>-1,用数轴表示如图:
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11.1.1 不等式及其解集
课标摘录 1.结合具体问题,了解不等式的意义. 2.能在数轴上表示出解集.
教学目标 1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义; 2.理解不等式的解、解集,能正确表示不等式的解集; 3.通过把不等式的解集正确表示在数轴上,渗透数形结合思想,初步掌握类比的思想方法.
教学重难点 重点:正确理解不等式、不等式解与解集的意义,把不等式的解集正确地表示到数轴上. 难点:不等式解集的意义.
教学策略 从学生的生活实际导入,让学生感知生活中的不等关系,感受数学来源于生活,教学中采用小组合作方式,让学生经历动手实验—观察—思考—归纳—发现的学习过程,探究不等式与不等式的解集的意义,培养学生的合作意识,让每个学生都能得到最大收获.
情境导入 教师:同学们,老师的身高是170 cm,与老师的身高一样的请站起来;比老师高的请站起来;比老师矮的请站起来. 师生活动:学生根据老师的要求,分别站起来. 如果用x cm表示某同学的身高,你能用怎样的式子表示上面三种情况呢 x=170,x>170,x<170. 可见,数量之间有大小之分,他们之间有相等关系,也有不等关系.如同等式和方程是研究相等关系的数学工具一样,不等式是研究不等关系的数学工具.(引入课题) 设计意图:通过对比自己的身高与老师身高,不仅调动了学生学习的积极性,而且让学生体会到生活中存在很多的不等关系,感受数学来源于生活,激发学生学习数学的兴趣. 问题:前面我们研究等式的时候是从哪些方面进行的 学生回答:等式的定义,等式的基本性质,特殊的等式——方程,方程的解法,方程的实际应用. 追问:你能大体猜想一下不等式这一章我们将要研究的内容吗 学生猜想:不等式的定义、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用. 设计意图:让学生了解本章的研究内容,类比方程是让学生逐步形成研究代数类问题的统一思路,同时体会类比的思想,为接下来进行不等式的相关概念的学习作好铺垫.
新知初探 探究一 不等式的概念 活动1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶,6:00时汽车距前方的A地210 km. 问题1~3 见课件、导学案. 师生活动:学生分析问题,问题1学生应该很顺利地独立解决,问题2,3相对问题1难度加大了,难在题意中的条件不像上面那样直接明了,并且可从距离和时间两个角度来分析、解决问题,而七年级学生恰恰缺乏阅读分析题意、多维度思考解决问题的能力,所以采用小组讨论交流的形式解决问题2,3.教师深入小组讨论中,鼓励学生多发表意见,并适当点拨,得出两种不等式. 设计意图:通过实例创设情境,从“等”过渡到“不等”,培养学生的观察能力,激发他们的学习兴趣. 问题4:比较以上3个问题,哪些词的变化使原来的相等关系变为了不等关系 师生活动:学生通过对比,认识到“准时到达”体现的是相等关系,而“之前到达”和“之后到达”体现的是不等关系.列不等式的关键是找到体现不等关系的词语. 设计意图:让学生通过比较一些关键词,进一步体会由“等”到“不等”的变化,并强调解题时注意抓住并理解关键词,正确表达不等关系. 问题5:你还记得什么是等式吗 你能类比等式的定义来说一说什么是不等式吗 师生活动:学生充分发表自己意见,师生共同归纳得出:用“<”或“>”表示大小关系的式子叫作不等式;用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 总结归纳:见课件. 追问:像3<4,-1>-2这样的式子是不等式吗 设计意图:引导学生类比等式的定义得出不等式的定义,培养学生的知识迁移能力和归纳总结能力. 【例1】见教材P121例1或课件、导学案. 师生活动:学生讨论、分析,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:第(1)题主要是让学生进一步把握不等式的定义,其中(2)(4)小题让学生认识到不等式中可含有未知数,也可不含未知数.第(2)题训练学生发散思维,自己能举出不等式,进一步加深对不等式概念的理解. 探究二 不等式的解集 活动2 当不等式中的字母表示未知数时,经常需要求出未知数应取哪些值.如对于前面问题中的不等式2x>210,我们需要了解满足条件的车速x的值. 问题1:判断下列数中哪些满足不等式2x>210 80,90,110,120. 师生活动:学生计算后思考,教师和学生一起类比方程得出不等式的解的概念. 设计意图:通过简单代值运算,使每名学生都动起来,边代、边算、边答、边交流,调动学生的学习兴趣,让每位学生都在数学活动中获取成功的体验机会,并培养学生观察能力和数感. 追问1:你能类比方程的解的定义,说出不等式的解的定义吗 归纳总结:见课件. 追问2:方程的解与不等式的解有什么区别吗 问题2:(1)满足不等式2x>210的未知数的值还有吗 若有,还有多少 请举出2~3个. (2)再取x的一些值试一试,看哪些是不等式2x>210的解. x…90110…2x…180220…
观察不等式2x>210的解,它们都满足什么条件 师生活动:教师引导学生讨论后发现:当x>105时,不等式2x>210总成立;而当x<105或x=105时,不等式2x>210不成立,这就是说,任何一个大于105的数都是不等式2x>210的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x>210的解.因此,x>105表示能使不等式2x>210成立的x的取值范围. 追问1:在前面的问题中,汽车要在8:00之前到达A地,你能说出汽车的速度吗 归纳总结:见课件. 追问2:不等式的解和不等式的解集有什么区别 设计意图:让学生进一步明确解和解集的关系.不等式的解是对孤立的数值而言的,不等式的解集则是对这些数值的整体而言的. 问题3:不等式2x>210的解集在数轴上怎么表示 师生活动:学生试着画出数轴,教师引导学生完成. 追问:数轴上表示105的点为什么画成圆圈的形式 设计意图:让学生自主探究不等式的解集与数轴的联系,教学中渗透数形结合思想,在培养学生自主探究能力的同时教会学生将已学知识进行总结,实现将数学知识系统化. 【例2】见课件、导学案. 总结归纳:见课件. 设计意图:使学生明确不等式的解集有2种表示,一种是x>a或x当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.本节课你学到了哪些知识 2.你觉得有哪些需要注意的问题 3.你是对比什么研究不等式的,这对你接下来继续学习不等式的其他内容有什么启发吗 设计意图:通过学习自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结,让学生养成“反思”的好习惯,并培养学生语言表述能力.
板书设计 11.1 不等式 11.1.1 不等式及其解集 1.不等式 2.不等式的解 3.不等式的解集——用数轴表示解集
教学反思
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第11章 不等式与不等式组
11.1.1 不等式及其解集
学习目标
1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义;
2.理解不等式的解、解集，能正确表示不等式的解集;
3.通过把不等式的解集正确表示在数轴上，渗透数形结合思想，初步掌握类比的思想方法.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
老师的身高是170cm，如果用x表示某同学的身高，你能用怎样的式子表示同学身高与老师身高的关系？
现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.
观察与思考
xcm
170cm
xcm
170cm
xcm
170cm
x=170
x>170
x<170
新知初探
贰
问题 1 汽车要在8:00准时到达A地,你能利用一元一次方程的有关知识计算出汽车的速度吗
设车速为x千米/小时，可列式子: .
新知初探
问题 2 如果要求在8:00之前到达A地，车速应满足什么条件
设车速为x千米/小时，可列式子: .
2x=210
任务一 探究不等式的概念
活动1 一辆汽车在高速公路上匀速行驶,6:00时汽车距前方的A地210km.
2x>210（或 )
问题3 如果要求8:00之后到达A地，车速应满足什么条件
设车速为x千米/小时，可列式子: .
2x<210（或 )
问题4 比较以上3个问题，哪些词的变化使原来的相等关系变为了不等关系
问题5 你还记得什么是等式吗 你能类比等式的定义来说一说什么是不等式吗
总结归纳
像这样用符号 “＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫作不等式. 像 a + 2 ≠ a - 2 这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
即时测评
1.下列式子中哪些是不等式
(1) a+b=b+a；(2)-3>-5 ；(3) x≠1；
(4) x+3>6；(5)2m解：不等式有(2)(3)(4)(5).
2.你能举出几个不等式的例子吗？
范例应用
解:(1) a+15>27;
表示不等关系的词语是哪些？
(2) -3<0;
(3)设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm ，那么1333>18x,也可以表示为18x<1333.
例1 用不等式表示下列不等关系:
(1)a与15的和大于27;
(2)b的一半与3的差是负数;
(3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍.
解：当x=80时，2x=160，不等式2x>210 不成立;
当x=90时，2x=180，不等式2x>210 不成立;
当x=110 时，2x=220，不等式2x>210 成立.
当x=120 时，2x=240，不等式2x>210 成立.
任务二 探究不等式的解集
活动2 当不等式中的字母表示未知数时，经常需要求出未知数应取哪些值.如对于前面问题中的不等式2x>210，我们需要了解满足条件的车速x的值.
问题1 判断下列数中哪些满足不等式2x>210
80,90,110,120.
与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.
代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法.
例如：例如，110,120 是不等式2x>210 的解，而80，90 不是不等式2x>210的解.
概念学习
观察不等式2x>210的解，它们都满足什么条件？
问题2 (1)满足不等式2x>210的未知数的值还有吗 若有，还有多少 请举出2～3 个.
(2)再取x的一些值试一试，看哪些是不等式 2x>210 的解.
x … 90 110 …
2x … 180 220 …
95
190
100
200
105
210
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
想一想：
1. 不等式的解和不等式的解集是一样的吗
2. 不等式的解与解不等式一样吗？
求不等式的解集的过程叫解不等式.
概念学习
概念区分
不等式的解 不等式的解集
区别 定义
特点
形式
联系
满足一个不等式的未知数的某个值
满足一个不等式的未知数的所有值
个体
全体
如：x＝3 是不等式 2x＜10 的一个解
如：x＜5 是不等式 2x＜10 的解集
某个解一定是解集中
的一员
解集一定包含了
所有的解
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
先在数轴上标出表示 105 的点 A
则点 A 右边所有的点表示的数都大于 105，而点 A 左边所有的点表示的数都小于 105.
因此可以像下图那样表示不等式的解集 x > 105.
问题3 如何在数轴上表示出不等式 2x>210的解集呢？
0
105
A
把表示 105 的点上画空心圆圈，表示不包含这一点.
例2 1.写出下列各数轴所表示的不等式的解集:
(1)
(2)
解:(1)x>- . (2)x<0.
范例应用
2.直接写出下列不等式的解集，并用数轴表示.
（1）x+1<0;（2）2x>6.
解：（1）解集为x<-1，用数轴表示为
（2）解集为x>3，用数轴表示为
1.用数轴表示不等式的解集的步骤:
第一步:画数轴;
第二步:定界点;
第三步:定方向.
2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律:
(1)大于向右画,小于向左画;
(2)>,<画空心圆.
总结归纳
即时测评
A
1.下列说法正确的是( )
A.x=4是不等式2x>-8的一个解
B.x=-4是不等式2x>-8的解集
C.不等式2x>-8的解集是x>4
D.2x>-8的解集是x<-4
2.写出下列用数轴表示的不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
x＜-1
x＞3
x＞1
当堂达标
叁
当堂达标
1. 给出下列5个式子：①3＞0；②4x＋3y≠0；③x＝3；④x－1；⑤x＋2＜3，其中不等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2.下面说法正确的是( )
A.x=3是不等式2x>3的一个解
B.x=3是不等式2x>3的解集
C.x=3是不等式2x>3的唯一解
D.x=3不是不等式2x>3的解
B
A
3.如图所示，左边物体的质量为x g，右边物体的质量为50 g，用不等式表示下列数量关系是 ．
4.在-4，-3，-2，-1，0，1，2这些整数中，是不等式4-x>6的解的有 .
-4,-3
x>50
x+1>0
5.用不等式表示下列关系:
(1)x与1的和是正数;
(2)x与y的差小于 ;
(3)a与b的差是负数;
(4)x的 与x的2倍的和大于 .
x-y<
a-b<0
x+2x>
6.直接写出下列不等式的解集,并用数轴表示:
(1)x-3>0;(2)x+ <0;(3)2x>-2.
解:(1)解集为x>3,用数轴表示如图:
(2)解集为x<- ,用数轴表示如图:
(3)解集为x>-1,用数轴表示如图:
课堂小结
肆
课堂小结
不等式
→
用数轴表示不等式的解集
概念
↓
↓
解、解集
课后作业
基础题：1.课后习题 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2,3题
谢
谢(共17张PPT)
11.1 不等式
11.1.1 不等式及其解集
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.不等式的有关概念
不等式:用 表示不等关系的式子,叫作不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
不等式的解:使不等式成立的 的值叫作不等式的解.
不等式的解集:一般地,一个含有未知数的不等式的 ,组成这个不等式的解集.
解不等式:求不等式的 的过程叫作解不等式.
符号“<”或“>”
未知数
所有的解
解集
2.不等式的解集的数轴表示
表示方法:不等式的解集在数轴上可直观地表示出来,但应注意不等号的类型,小于往左画,大于往右画.当不等号为“>”或“<”时,分界点用空心圆圈表示.
课堂互动
知识点一 不等式的概念及列不等式
例1 下列式子中是不等式的是( )
A.3x-1 B.a=b+2
C.x-1>3 D.c+2
C
知识点二 利用数轴表示不等式的解集
例3 用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )
A.x>-3
B.x<-3
C.x>3
D.x≠-3
A
例4 有下列说法:①4是不等式x+3>6的解;②x+3<6的解集是x<2;③3是不等式x+3<7的解;④x>4是不等式x+3>6解集的一部分.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
知识点三 不等式的解与解集
基础题
B
2.已知药品A的保存温度要求为0 ℃～5 ℃,药品B的保存温度要求为
2 ℃～7 ℃,若需要将A,B两种药品放在一起保存,则保存温度要求为
( )
A.0 ℃～2 ℃ B.0 ℃～7 ℃
C.2 ℃～5 ℃ D.5 ℃～7 ℃
C
C
3.(2024 贵州)不等式x<1的解集在数轴上表示正确的是( )
A B
C D
4.在数值-2,-1,0,1,2中,能使不等式x+2>1 成立的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
5.用不等号连接下列各组数:
(1)π 3.14;(2)(x-1)2+1 0.
C
>
>
6.用不等式表示.
(1)m与3的和是负数;
(2)x减去8的差大于4;
(3)a的2倍小于6;
(4)x与y的和不等于-2.
解:(1)m+3<0.
(2)x-8>4.
(3)2a<6.
(4)x+y≠-2.
中档题
7.不等式x<4的非负整数解的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
A
8.请通过甲、乙、丙、丁以下几句正确的对话,推测他们体重的大小关系是( )
①甲对乙说:“我的体重比你大.”
②丙对乙说:“我的体重比你小.”
③丁对甲说:“我们两个体重加起来比他们小.”
A.乙>丙>甲>丁
B.丁>甲>乙>丙
C.甲>乙>丁>丙
D.甲>乙>丙>丁
D
9.若|x|=2,|y|=3,且x+y<0,则x-y的值为 .
10.某工厂工人小张4月份计划生产零件176个,前10天平均每天生产
4个,后来改进技术,提前3天并且超额完成任务,若小张10天之后平均每天生产零件x个,写出x所满足的关系式: .
1或5
10×4+(30-10-3)x>176
素养题
12.(推理能力)(1)若图示的两架天平都保持平衡,则对a,b,c三种物体的质量判断正确的是( )
A.a>c B.aC.a(2)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重从小到大是 (用“<”连接).
A
Q