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第11章 不等式与不等式组
11.1.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
学习目标
1.掌握不等式的三个性质，并能熟练地应用不等式的性质进行不等式的变形.
2.通过经历类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.
3.通过创设问题情景和实验研究活动,增加学习数学的兴趣和信心,体会在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
1.直接说出下列不等式的解集：
(1)x+4>10;(2)2x<6.
你能直接说出不等式
的解集吗？
2.解方程2x-1=0，并说明每一步的依据.
解：移项，得2x=1,（等式的性质1）
两边同时除以2，得x= (等式的性质2).
等式的性质
基本事实
性质1
性质2
等式两边可以交换.如果a=b，那么b=a.
相等关系可以传递.如果a=b，b=c，那么a=c.
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c.
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b,那么ac=bc；如果a=b,c≠0,那么 .
我比你大两岁，所以我是你哥哥
大两岁,那三年前，你不就比我小吗？
哈哈！三年前我还是比你大
哦
那...再过十年，我肯定比你大.
呵呵，再过二十年，你也比我小!
新知初探
贰
新知初探
任务一 探究不等式的性质
活动1 不等式的基本事实
问题 (1)如果a>b，那么b a;
<
(2)如果a>b，b>c，那么a与c的大小关系是怎样的？
a>c
(3)类比等式的基本事实，你能说出不等式的的基本事实吗？尝试一下.
归纳总结
(1)交换不等式两边，不等号的方向改变.
如果a>b，那么b
(2)不等关系可以传递.
如果a>b，b>c，那么a>c.
不等式的基本事实
用“>,=,<”填空：
(1)由5>x，可得x 5;
(2)由y>x，x>-3，可得y -3.
即时测评
<
>
活动2 1.我们知道，等式两边加或减同一个
数（或式子），等式仍然成立.不等式是不是具有类似的性质呢？猜想一下.
2.用“＜”或“＞”完成下列两组填空.
(1) 5＞3，
5 + 2_____3 + 2,5 + 0_____3 + 0，5 + (-2)_____3 + (-2)；
(2) -1＜3，
-1 + 4_____3 + 4，-1 + 0_____3 + 0，-1 + (-7)_____3 + (-7).
＞
＞
＞
＜
＜
＜
不等号的方向有没有发生改变？你发现了什么规律？
当不等式的两边减去同一个数时，这个规律仍然成立吗？为什么？
不等式的性质1 不等式两边加或减同一个数（或式子），不等号的方向不变.
即，如果a>b，那么 a + c > b + c，且 a-c>b-c.
一般地，不等式具有如下性质：
不等式的性质1
a
b
b + c
a + c
a b
a + c b + c
a
b
b - c
a - c
a < b
a - c b - c
<
<
<
用数轴探究不等式的性质1
即时测评
已知a>b,用“>”或“<”填空:
(1)a-4 b-4;
(2)a+7 b+7;
(3)a-m b-m;
(4)b+2 a+2.
>
>
>
<
活动3 1.等式两边乘同一个数，或除以同一个
不为0的数，结果仍相等.不等式是不是具有类似的性质呢？猜想一下.
猜想：当不等式两边乘同一个正数时，不等号的方向 ；而乘同一个负数时，不等号的方向 .
不变
改变
2.用“＜”或“＞”完成填空，总结其中的规律.
(1) 6＞2，6×5_______2×5， 6×(-5)_______2×(-5)；
(2) -2＜3，-2×4_______3×4， -2×(-0.5)_______3×(-0.5).
＞
＞
＜
＜
不等号的方向有没有发生改变？你发现了什么规律？
当不等式的两边除以同一个不为0的数时，这个规律仍然成立吗？为什么？
不等式的性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a > b，c > 0，那么 ac > bc ， > .
一般地，不等式还有如下性质：
不等式的性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
即，如果a > b，c < 0，那么 ac < bc ， < .
即时测评
已知a>b,用“>”或“<”填空:
(1)10a 10b;
(2)-6a -6b.
>
<
范例应用
例题 已知a>b,比较下列两个式子的大小，并说明依据.
(1)a+3与b+3;
(2)-2a与2b;
(3)3a-1与3b-1；
(4)2-5a与2-5b.
因为a>b,所以-5a<-5b(不等式的性质3)
因为a>b,所以a+3>b+3(不等式的性质1)
因为a>b,所以-2a<-2b(不等式的性质3)
因为a>b,所以3a>3b(不等式的性质2)
所以3a-1>3b-1(不等式的性质1)
所以2-5a<2-5b(不等式的性质1)
即时测评
写出不等式的变形依据：
(1)若x＋4>3，则x>－1，依据 ；
(2)若 >－2，则x>－10，依据 ；
(3)若－3x>7，则x<－ ，依据 ．
不等式的性质1
不等式的性质2
不等式的性质3
当堂达标
叁
1. 如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y
C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1
2.已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C. D．ma＞mb
当堂达标
A
D
3.根据不等式的性质用不等号填空.
（1）由 x＞-3，得x -6；
（2）由3+x<5，得x 2；
（3）由-2x＜6，得x -3；
（4）由3x＞2x-4，得x -4．
>
>
>
<
解：（1）因为a＜b，所以a-3＜b-3，（不等式的性质1）
所以不等式成立.
（2）因为a＜b，所以2a＜2b，（不等式的性质2）
所以不等式成立.
（3）因为a＜b，所以-5a＞-5b，（不等式的性质3）
所以不等式不成立.
（4）因为a＜b，所以-4a＞-4b，（不等式的性质3）
所以-4a+2＞-4b+2，（不等式的性质1）
所以不等式成立．
4.已知a＜b，判断下列不等式是否成立，并说明变形的依据：
（1）a-3＜b-3．
（2）2a＜2b．
（3）-5a＜-5b．
（4）-4a+2＜-4b+2．
5.已知x<2,利用不等式的性质写出下列各式的取值范围:
(1)x+7;(2) ;(3)-3x;(4)6x-1.
解：(1)因为x<2，所以x+7<2+7,即x+7<9.
(2)因为x<2，所以 ,即 .
(3)因为x<2，所以-3x>2×(-3),即-3x>-6.
(4)因为x<2，所以6x<12,
所以6x-1<12-1，即6x-1<11.
课堂小结
肆
课堂小结
不等式的性质
不等式的性质2
不等式的性质3
→
→
如果 那么
如果 那么
利用性质对简单不等式变形
不等式的性质1
如果a>b，那么a+c>b+c，
a-c>b-c
→
不等式的基本事实
课后作业
基础题：1.课后习题 第 4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
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第1课时 不等式的性质
学习目标
1.掌握不等式的三个性质，并能熟练地应用不等式的性质进行不等式的变形.
2.通过经历类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.
3.通过创设问题情景和实验研究活动,增加学习数学的兴趣和信心,体会在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.
自主探索
1.直接说出下列不等式的解集：
(1)x+4>10;(2)2x<6.
2.解方程2x-1=0，并说明每一步的依据.
任务一 探究不等式的性质
活动1 不等式的基本事实
问题 (1)如果a>b，那么b a;
(2)如果a>b，b>c，那么a与c的大小关系是怎样的？
(3)类比等式的基本事实，你能说出不等式的的基本事实吗？尝试一下.
总结归纳：
(1)交换不等式两边，不等号的方向 .如果a>b，那么b a.
(2)不等关系可以 .如果a>b，b>c，那么a c.
【即时测评】
用“>,=,<”填空：
(1)由5>x，可得x 5;
(2)由y>x，x>-3，可得y -3.
活动2 1.我们知道，等式两边加或减同一个数（或式子），等式仍然成立.
不等式是不是具有类似的性质呢？猜想一下.
2.用“＜”或“＞”完成下列两组填空.
(1) 5＞3，5 + 2_____3 + 2,5 + 0_____3 + 0，5 + (-2)_____3 + (-2)；
(2) -1＜3，-1 + 4_____3 + 4，-1 + 0_____3 + 0，-1 + (-7)_____3 + (-7).
归纳总结：不等式的性质1
不等式两边加或减同一个数(或式子)，不等号的方向 .
如果a>b，那么a±c b±c.
【即时测评】
已知a>b,用“>”或“<”填空:
(1)a-4 b-4;
(2)a+7 b+7;
(3)a-m b-m;
(4)b+2 a+2.
活动3 1.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
不等式是不是具有类似的性质呢？猜想一下.
2.用“＜”或“＞”完成填空，总结其中的规律.
(1) 6＞2，6×5___2×5， 6×(-5)___2×(-5)；
(2) -2＜3，-2×4___3×4， -2×(-0.5)___3×(-0.5).
总结归纳：
不等式的性质2 不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向 .
如果a>b,c>0，那么ac bc(或).
不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向 .
如果a>b,c<0，那么ac bc(或).
【即时测评】
已知a>b,用“>”或“<”填空:
(1)10a 10b;(2)-6a -6b.
例题 已知a>b,比较下列两个式子的大小，并说明依据.
(1)a+3与b+3;
(2)-2a与2b;
(3)3a-1与3b-1；
(4)2-5a与2-5b.
【即时测评】
写出不等式的变形依据：
(1)若x＋4>3，则x>－1，依据 ；
(2)若>－2，则x>－10，依据 ；
(3)若－3x>7，则x<－，依据 ．
课堂小结
1.不等式的基本性质是什么
2.不等式的性质与等式的基本性质异同点是什么
3.运用什么思想方法来学习不等式的基本性质的
当堂达标
1. 如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ A ）
A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1
2.已知a＜b，下列式子不一定成立的是（ D ）
A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣2a＞﹣2b
C．a+1b+1 D．ma＞mb
3.根据不等式的性质用不等号填空.
（1）由x＞-3，得x -6；
（2）由3+x<5，得x 2；
（3）由-2x＜6，得x -3；
（4）由3x＞2x-4，得x ＞ -4．
4.已知a＜b，判断下列不等式是否成立，并说明变形的依据：
（1）a-3＜b-3．
（2）2a＜2b．
（3）-5a＜-5b．
（4）-4a+2＜-4b+2．
5.已知x<2,利用不等式的性质写出下列各式的取值范围:
(1)x+7;(2);(3)-3x;(4)6x-1.
参考答案
当堂达标
1.A 2.D 3.＞ < ＞ ＞
4.解：（1）因为a＜b，所以a-3＜b-3，（不等式的性质1）
所以不等式成立.
（2）因为a＜b，所以2a＜2b，（不等式的性质2）
所以不等式成立.
（3）因为a＜b，所以-5a＞-5b，（不等式的性质3）
所以不等式不成立.
（4）因为a＜b，所以-4a＞-4b，（不等式的性质3）
所以-4a+2＞-4b+2，（不等式的性质1）
所以不等式成立．
5.解：(1)因为x<2，所以x+7<2+7,即x+7<9.
(2)因为x<2，所以<,即<.
(3)因为x<2，所以-3x>2×(-3),即-3x>-6.
(4)因为x<2，所以6x<12,
所以6x-1<12-1，即6x-1<11.
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第1课时 不等式的性质
课标摘录 1.探索不等式的基本性质. 2.能用不等式的基本性质对不等式进行变形.
教学目标 1.掌握不等式的三个性质,并能熟练地应用不等式的性质进行不等式的变形. 2.通过经历类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 3.通过创设问题情境和实践研究活动,增加学习数学的兴趣和信心,体会在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.
教学重难点 重点:理解并掌握不等式的性质. 难点:探索不等式的三条性质.
教学策略 本节课让学生将不等式性质与等式性质进行类比,所以处处蕴含着类比的思想,在探索新知的过程中又引导学生经历猜想—验证—归纳的完整的数学思维过程,帮助学生积累了数学的探究方法和获得新知的经验.在探索不等式性质2、3时,采取自主探索与合作交流的形式化解学生学习的难度,使学生感受到当不等式两边同时乘或除以一个数时分类的必要性,明确把不等式的两边都乘或除以同一个数(不为零)时,必须认清这个数的符号.借用类比的学习方法,让学生在感知、归纳、纠错、完善的过程中,经历充分的思考过程,自发生成新知.
情境导入 1.直接说出下列不等式的解集: (1)x+4>10;(2)2x<6. 追问:你能直接说出不等式-2>的解集吗 师:对于比较复杂的不等式,不能直接得到解集,还需要讨论不等式的解法. 2.解方程2x-1=0,并说明每一步的依据. 追问:你能说出等式的性质吗 教师边提问学生,边填写表格.(表格见课件) 解方程的依据是等式的性质,今天我们来学习解不等式的依据——不等式的性质,板书这堂课所要学习的内容. 设计意图:通过回顾再现旧知识,为下一步类比学习不等式的性质作好铺垫和准备,并渗透类比思想.点出课题,引导学生把不等式的性质与等式的性质进行类比.
新知初探 探究 不等式的性质 师:因为不等式与等式一样,都是对大小关系的刻画,所以可以类比等式的性质研究不等式的性质. 活动1 不等式的基本事实 问题:(1)如果a>b,那么b a; (2)如果a>b,b>c,那么a与c的大小关系是怎样的 (3)类比等式的基本事实,你能说出不等式的基本事实吗 尝试一下. 师生活动:思考完以后,同桌相互交流自己的想法.教师归纳总结. 归纳总结:见课件. 追问:你能借助数轴来说明一下不等式的基本事实为什么成立吗 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:类比等式的基本事实,归纳出不等式的基本事实,培养了学生的类比思想.通过用数轴描述基本事实,渗透数形结合思想. 活动2 1.我们知道,等式两边加或减同一个数(或式子),等式仍然成立. 不等式是不是具有类似的性质呢 猜想一下. 设计意图:由学生猜想性质内容,从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系,有利于探索发现不等式的性质. 2.用“<”或“>”完成下列两组填空.(具体内容见课件、导学案) 追问1:不等号的方向有没有发生改变 你发现了什么规律 追问2:当不等式的两边减去同一个数时,这个规律仍然成立吗 为什么 师生活动:学生独立思考共同完成填空,随后小组讨论,选代表回答自己的猜想,教师总结讨论结果. 设计意图:启发学生由上面第1,2小题猜想出与等式的基本性质类似的不等式的性质,并请学生叙述不等式的基本性质1.此时,教师应抓住学生叙述中的问题予以纠正,即不能笼统地说“仍是不等式”,要改为书中所说的“不等号的方向不变”. 归纳总结:见课件. 追问:你能借助数轴说一下不等式的性质1为什么成立吗 设计意图:引导学生运用类比、归纳的数学思想去探究问题.通过动手、动口、动脑,比较具体数字之间的加法运算结果,观察不等号的变化,发现并归纳其中的规律.在品尝成功的喜悦中激发出学数学的兴趣,渗透类比思想.通过用数轴验证不等式的性质1,渗透数形结合的数学思想. 【即时测评】见课件、导学案. 活动3 1.见课件、导学案. 设计意图:由学生猜想性质内容,从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系,有利于探索发现不等式的性质. 2.见课件、导学案. 师生活动:学生独立思考共同完成填空,随后小组讨论,选代表回答自己的猜想,教师总结讨论结果. 追问1:不等号的方向有没有发生改变 你发现了什么规律 追问2:当不等式的两边除以同一个不为0的数时,这个规律仍然成立吗 为什么 归纳总结:见课件. 追问1:比较不等式的性质2和性质3,它们有什么区别 追问2:不等式的两边能同时乘0吗 注意:在不等式的两边不能乘0,乘0后不等式变为等式.
追问3:在不等式-2<6两边都乘m后,结论将会怎样 追问4:比较不等式的性质与等式的性质,它们有什么异同 设计意图:设计这4个问题的目的在于强化学生对不等式基本性质的理解,特别是对不等式基本性质3的理解. 【即时测评】见课件、导学案. 活动3 设计意图:由学生类比等式的基本性质,发现不等式性质2和性质3,得出结论,更有利于学生理解和掌握不等式性质2与性质3的区别,突破本节课的难点,而让学生用自己的语言概括结论,有利于提高语言表达能力及抽象概括能力. 【例题】见课件、导学案. 师生活动:学生独立思考,选几名学生作答,其他同学补充分析. 设计意图:通过应用不等式的性质对不等式进行变形,梳理所学的三条性质,加深对不等式性质的理解与掌握,培养应用能力. 【即时测评】见课件、导学案.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.不等式的基本性质是什么 2.不等式的性质与等式的基本性质异同点是什么 3.运用什么思想方法来学习不等式的基本性质 在学生回答上述问题的基础上,教师指出以下两点: (1)在运用不等式的基本性质时,要特别注意不等式的基本性质3,也就是注意在不等式两边同乘(或除以)同一个数时,一定要分清是正数还是负数,对于代表任意数的字母要分情况加以讨论; (2)在学习不等式的基本性质时,我们运用了类比的方法,它是学习不等式这章所采用的一种重要的思想方法. 设计意图:引导学生归纳总结本节课的主要内容,交流在探索不等式性质的过程中的心得和体会,不断积累数学活动经验.
板书设计 11.1.2 不等式的性质 第1课时 不等式的性质 1.不等式的基本事实 2.不等式的性质1 3.不等式的性质2 4.不等式的性质3
教学反思
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11.1.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.基本事实
(1)交换不等式两边,不等号的方向 ,即如果a>b,那么b(2)不等关系可以传递,即如果a>b,b>c,那么a>c.
2.不等式的性质
(1)不等式的性质1
文字叙述:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向
.
式子表示:如果a>b,那么a±c b±c.
改变
不变
>
不变
>
>
改变
<
<
课堂互动
知识点一 不等式的性质
>
<
>
知识点二 根据不等式的性质对不等式进行变形
B
例3 若不等式(m+2)x>m+2的解集是 x<1,则m的取值范围是( )
A.m>2
B.m<-2
C.m>-2
D.m<2
B
知识点三 逆向应用不等式的性质求解
1.若m>n,则m-n>0,其根据是( )
A.不等式的性质1 B.不等式的性质2
C.不等式的性质3 D.以上都不对
2.已知a>b,则一定有-4a□-4b,“□”中应填的符号是( )
A.> B.<
C.≠ D.=
基础题
A
B
3.(2024 长春)不等关系在生活中广泛存在.如图所示,a,b分别表示两名同学的身高,c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是
( )
A.若a>b,则a+c>b+c
B.若a>b,b>c,则a>c
C.若a>b,c>0,则ac>bc
A
D
4.(2024 苏州)若a>b-1,则下列结论一定正确的是( )
A.a+1C.a>b D.a+1>b
5.若点P(x,y)在第四象限,则点Q(-x,y-1)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
解:(1)不等式的性质1.
(2)不等式的性质2.
(3)不等式的性质3.
中档题
D
>
(2)由amb,不等号方向改变,
∴m<0.
(3)由a>-5,得a2<-5a;
(4)由3x>4y,得3x-m>4y-m.
解:(3)由a>-5得a2<-5a,
不等号方向改变,
∴-5(4)由3x>4y,得3x-m>4y-m,
两边同加或同减任意实数,不等号方向都不变,
∴m为任意实数.
10.先阅读下面解题过程,再解题.
已知a>b,试比较-2 024a+1与-2 024b+1的大小.
解:∵a>b,①
∴-2 024a>-2 024b,②
故-2 024a+1>-2 024b+1.③
问:(1)上述解题过程中,从第 步开始出现错误.
(2)错误的原因是什么
(3)请写出正确的解题过程.
解:(1)②
(2)错误地运用了不等式的性质3,即不等式两边都乘同一个负数,不等号的方向却没有改变.
(3)∵a>b,
∴-2 024a<-2 024b,
∴-2 024a+1<-2 024b+1.
素养题
11.(应用意识)根据等式和不等式的性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
若a-b>0,则a>b;
若a-b=0,则a=b;
若a-b<0,则a这种比较大小的方法称为作差比较法.
请运用这种方法解决下面的问题:
比较3a2-2b-b2-4与3a2-2b+2的大小.
解:(3a2-2b-b2-4)-(3a2-2b+2)
=3a2-2b-b2-4-3a2+2b-2
=-b2-6.
∵-b2-6<0,
∴3a2-2b-b2-4<3a2-2b+2.