北京市昌平一中2024-2025学年初三下开学考数学试卷(PDF版，无答案)

2024-2025 学年初三年级数学学科入境挑战赛 2025.2.21
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一、选择题(本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若 = 2 是关于 的一元二次方程 2 + = 0 的一个解，则 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 2 D. 4
3.抛物线 = + 2 2 1 的对称轴是( )
A. = 2 B. = 2 C. = 1 D. = 1
4.如图， 是⊙ 的直径，点 在 的延长线上， 切⊙ 于点 ，如果∠ = 30 ， = 4，那么 的
长是( )
A. 6 B. 4 C. 2 3 D. 3
第 6 题图
第 4 题图
5.点 1, 1 ， 2, 2 在抛物线 =
1 22 1 上，则 1， 2的大小关系是( )
A. 1 < 2 B. 1 > 2 C. 1 = 2 D.无法判断
6.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯 可伸缩，也可
绕点 转动，其底部 离地面的距离 为 2 ，当云梯顶端 在建筑物 所在直线上时，底部 到 的距离
为 10 ，若∠ = ，则此时云梯顶端 离地面的高度 的长是( )
A. 10tan + 2 B. 10tan + 2 C.
10
cos + 2 D. 10sin + 2
7.我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布
的数据，2024 年 5 月新能源汽车销量约为 95.5 万辆，2024 年 7 月新能源汽车销量约为 99.1 万辆，设新
能源汽车销量的月平均增长率为 ，则 满足的方程是( )
A. 95.5 1 + 2 = 99.1 B. 95.5 1 + 2 2 = 99.1 C. 95.5 1 + 2 = 99.1 D. 95.5 1 + 2 = 99.1
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8.如图，已知⊙ 及⊙ 外一定点 ，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点 是 的中点；②直线 ， 都是⊙ 的切线；③点 到点 、点 的距离相等；
④连接 ， ， ， 1， ，则 △ = 8 四边形 ．对上述结论描述正确的是( )
A.只有①正确 B. 只有②正确 C.①②③正确 D.①②③④都正确
二、填空题(本题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分)
9.若 3在实数范围内有意义，则实数 的取值范围为 ．
10.分解因式： 2 4 = ______．
11.已知二次函数满足条件：①有最大值；②它的图象经过点 1,0 ，写出一个满足上述所有条件的二次函
数的解析式 ．
12.如图， 、 是 边 、 上的两点，且 // ， : = 1: 3，那么 : = ．
第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图
13.图 1 为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图 2，其液体水平宽度 为 16 ，竖
直高度 为 4 ，则⊙ 的半径为 ．
14.如图， 是⊙ 的直径， ， 是⊙ 的切线，切点分别为 ， .若 = 2，∠ = 60 ，则 的
长是 ．
15.小明看到公园地面上有一个心形封闭图形 ，为了研究图形 的面积，设计了一项试验：在图形 外部
绘制一个半径为 1 米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能
的(不考虑边界)，记录的试验数据如下：
掷石子的总次数 50100200500…
石子落在图形 内的次数 1543 80 201…
石子落在阴影部分的次数 3557 120299…
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随着投掷次数的不断增多，石子落在图形 内的频率逐渐稳定在 0.4 左右，因此估计石子落在图形 内的概
率为 ；由此估计图形 的面积为 平方米．
16.如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ,0 , , 0 ，其中 + = 2，抛物线 = 2 + +
> 0 经过点 和 ，以下四个结论：① > 0；②3 + > 0；③关于 的一
元二次方程 2 + + 2 = 0 无实根；④点 1, 1 ， 2, 2 在抛物线上且在对
称轴的同侧，当 1 2 = 2 ≥ 3 ≥
3
时，总有 1 2 时，则 4 .其中所有正确
结论的序号是 ．
三、解答题(本题共 12 小题，共 68 分.第 17-22 题各 5分；第 23-26 题各 6 分；
第 27-28 题各 7分.)
17.计算： 245 + cos30 tan60 + ( 2025)0．
+5
18 < 3 .解不等式组： 2 ．
3 4 > 2( + 1)
19.关于 的一元二次方程 2 + 3 + 2 = 0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的实数根均为非负数，求 的取值范围．
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20.如图，菱形 的对角线 和 交于点 ，分别过点 、 作 // ． // ． 和 交于点 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，当∠ = 60 ． = 2 3时，求 tan∠ 的值．
21.我国古代著作《管子 地员篇》中介绍了一种用数学运算获得“宫商角徽羽”五音的方法.研究发现，当
琴弦的长度比满足一定关系时，就可以弹奏出不同的乐音.例如，三根弦按长度从长到短排列分别奏出乐音
“ ， ， ”，需满足相邻弦长的倒数差相等.若最长弦为 15 个单位长，最短弦为 10 个单位长，求中
间弦的长度．
22.在平面直角坐标系 中，函数 = + ( ≠ 0)的图象经过点 ( 2, 2)和 (1,4)．
(1)求该函数的解析式；
(2)当 > 2 1时，对于 的每一个值，函数 = 2 + 的值小于函数 = + ( ≠ 0)的值，直接写出 的取
值范围．
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23.如图，在 中， = ．求作：射线 ，使得 / / ．
小靖同学的作法如下：
①以点 为圆心， 长为半径画圆，延长 交⊙ 于点 ；
②作∠ 的角平分线交⊙ 于点 ；
③作射线 ．所以射线 即为所求．
请你依据小靖同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明
证明：连接 ，∵ = ，∴点 在⊙ 上．
∵ 是⊙ 的直径，∴ ∠ =______(______)(填推理依据)

∵ 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ ．∴ = ，
∴ ∠ = ∠ (______)(填推理依据)．
∴ = ，∴ ⊥ . (______)(填推理依据)．∴ // ．

24.如图，⊙ 的直径 垂直弦 于点 ， 是圆上一点， 是 的中点，连结 交 于点 ，连结 ．
(1)求证： = ．
(2)若 = 6， = 4，求 的长．
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25.某兴趣小组通过实验研究发现：当音量 (单位： )满足 40 ≤ ≤ 70 时，听觉舒适度 与音量 之间满
足二次函数关系．当音量为 45 时，听觉舒适度为 6；当音量为 55 时，听觉舒适度达到最大值 10．
(1)求该二次函数的解析式，并在图 1 的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)在家听音乐时，小明听到的音量 与所坐位置到音箱的距离 (单位： )的关系如图 2 所示．若她希望听
觉舒适度不小于 9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离 的取值范围______(结果保
留小数点后一位)．
26.在平面直角坐标系 中，二次函数 = 2 + + > 0 的图象经过点 2, ．
(1)求此二次函数图象的对称轴；
(2)若二次函数 = 2 + + > 0 的图象上存在两点 1, 1 ， 2, 2 ，其中 1 < 1 < ， +
2 < 2 < + 4，且 1 = 2，求 的取值范围．
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27.在 中，∠ = ∠ = 0 < < 45 ， ⊥ 于点 ， 是线段 上的动点(不与点 ， ，
重合)，将线段 绕点 顺时针旋转 2 得到线段 ．
(1)如图 1，如果点 在线段 上，求证： ⊥ ；
(2)如图 2，如果 在线段 上，在射线 上存在点 满足 = ，连接 , , ,求证： ⊥ ．
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28.在平面直角坐标系 中，⊙ 的半径为 2，对于点 ， 和⊙ 的弦 ，给出如下定义：若弦 上存
在点 ，使得点 绕点 逆时针旋转 60 后与点 重合，则称点 是点 关于弦 的“等边旋转点”．
(1)如图，点 2,0 ，直线 = 1 与⊙ 交于点 ， ．
①点 的坐标为______，点 ______(填“是”或“不是”)点 关于弦 的“等边旋转点”；
②若点 关于弦 的“等边旋转点”为点 ，则 的最小值为______，当 与⊙ 相切时，点 的坐标为
______；
(2)已知点 , 0 ， 1,0 ，若对于线段 上的每一点 ，都存在⊙ 的长为 2 3的弦 ，使得点 是点
关于弦 的“等边旋转点”，直接写出 的取值范围．
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