(共29张PPT)
第11章 不等式与不等式组
11.1.2 不等式的性质
第2课时 利用不等式的性质解简单不等式
学习目标
1.熟练掌握简单不等式的解法,初步认识不等式的应用价值.
2.掌握“≤”“≥”与“＞”“＜”的区别，感悟等式与不等式的关系，养成从数学角度理解问题的习惯，发展创新意识.
3.对比简单不等式的解法与方程的解法,感知其内在联系,体会其中渗透的类比思想.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
不等式有哪些性质
活动1 小明就读的学校上午8点开始上第一节课.小明家距学校2千米,而他的步行速度为每小时6千米.那么小明最晚上午几点从家里出发才能8点前到校
(1)设小明上午x点从家里出发，那么x应满足怎样的不等式
(2)怎样解(1)中的不等式
(3)(2)中的解集在数轴上怎样表示
这个不等式的解集在数轴上表示如图:
x+ <8
根据“不等式的性质1”,在不等式的两边减去 ,得x+ - <8- ,即x<7 .
新知初探
贰
新知初探
任务一 应用不等式的性质解不等式
例1 已知下列不等式：
(1) x - 7＞26； (2) 3x＜2x + 1；
(3) ＞50； (4) -4x＞3.
解未知数为 x 的不等式
化为 x＞a 或 x＜a (a 为常数)的形式
目标
方法：不等式的性质1~3
思路：
问题1 利用不等式的性质解不等式.
解：为了使不等式 x - 7＞26 中不等号的一边变为 x，
根据不等式的性质 1，不等式两边都加 7，不
等号的方向不变，得 x - 7 + 7＞26 + 7，即 x＞33.
(1) x - 7＞26；
解：为了使不等式 3x＜2x + 1 中不等号的一边变为 x，
根据_____________，不等式两边都减去____，不等
号的方向_____，得 .
3x-2x＜2x+1-2x，即 x＜1
不等式性质1
2x
不变
(2) 3x＜2x + 1；
解：为了使不等式 ＞50 中不等号的一边变为 x，根
据不等式的性质2，不等式的两边都除以 ，不等
号的方向不变，得
x＞75.
(3) ＞50；
解：为了使不等式 -4x＞3 中的不等号的一边变为 x，
根据______________，不等式两边都除以____，
不等号的方向______，得 .
x＜-
不等式的性质3
-4
改变
(4) -4x＞3.
问题2 分别在数轴上表示这四个不等式的解集.
解：(1)x>33在数轴上表示如图所示.
0
1
0
33
(2)x<1在数轴上表示如图所示.
(3)x>75在数轴上表示如图所示.
0
75
(4)x<- 在数轴上表示如图所示.
－
0
即时测评
用不等式的性质解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）x+8＞6； （2）-2x<-4.
（2）两边同时除以-2，得x＞2，
将不等式的解集表示在数轴上如下.
解：（1）两边同时减去2，得x＞-2.
将不等式的解集表示在数轴上如下.
任务二 通过类比，认识“≤”和“≥”
活动2 设小明上午x点从家里出发，若小明希望不迟到，那么x应满足怎样的不等式
解：根据题意，x+ ≤8.
问题1 符号“≤”与“<”的含义有什么区别？“≥”与“>”呢？
“≤”表示包含某个数值， “<” 表示不包含该数值.
归纳总结
除了含有<，>、≠的不等式，像a≥b或α≤b 这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.例如，x≥3 表示x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等于"，也可以说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.
问题2 用不等符号“≥”或“≤”表示的不等式能应用不等式的基本性质吗 请用符号语言表示出来
它们也具有和“>”或“<”表示的不等式相同的性质.
01
02
03
如果a≥b，那么a±c≥b±c；
如果a≥b，那么 ac≥bc 或 ≥ （其中c>0）；
如果a≥b，那么ac≤bc或 ≤ （其中c<0）.
即时测评
(2)80≤v≤100.
1.(1)某市最高气温是8 ℃,最低气温是-2 ℃,请写出当天该市气温t(℃)的变化范围.
(2)如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h,最高车速应为100km/h，如果用v(单位：km/h)表示汽车的速度，写出v的变化范围.
解：(1)-2≤t≤8.
(2)两边同除以-2,得x≤-1.
表示在数轴上,如图所示.
2.利用不等式的性质解不等式，并将结果表示在数轴上.
(1)x- ≥0; (2)-2x≥2.
解：(1)两边同加上 ，得x≥ ,
表示在数轴上,如图所示.
思考 用数轴表示不等式的解集时，符号“≥”“≤”与“>”“<”有什么区别？
(1)“≥”“>”范围是从界点往右,“≥”的界点是实心圆点,“>”的界点是空心圆圈.
(2)“≤”“<”范围是从界点往左,“≤”的界点是实心圆点,“<”的界点是空心圆圈.
常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号
关 键 词 语 第一类：明确表明数量 的不等关系 第二类：明确表明数量 的范围特征 ①大 于 ②比…大 ③超 过 ①小 于 ②比…小 ③低 于 ①不小于 ②不低于 ③至 少 ①不大于 ②不超过 ③至 多 正 数 负 数 非 负 数 非
正
数
不 等 号
＜
＞
≥
≤
＞0
＜0
≥0
≤0
例2 如图.一个长方体形状的鱼缸长10 dm.宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水，用V(单位:dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示.
10dm
3.5dm
7dm
思考：(1)你能表示水的体积与鱼缸的容积之间的关系吗
(2)新注入的水的体积能为负数吗
(3)你能独立求出V的取值范围吗？
(4)怎样把解集表示在数轴上 你认为在数轴上表示需要注意什么？
解:因为“已有水的体积+新注入水的体积V<鱼缸的容积”，所以10×3.5×1+V≤10×3.5×7,
解得V≤210.
又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是0≤V≤210.
在数轴上表示V的取值范围如图所示.
在表示 0 和 210 的点上画实心圆点，表示取值范围包含这两个数.
当堂达标
叁
当堂达标
1. 如图所示,数轴上关于x的不等式的解集是( )
A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1
2.在下列所表示的不等式的解集中,不包括-5的是( )
A.x≤-4 B.x≥-5 C.x≤-6 D.x≥-7
3.某品牌的食品外包装标明:净含量为340±10 g,表明该包装的食品净含量x的范围用不等式表示为 .
330≤x≤350
D
C
4.利用不等式的性质,解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1)x+2>6; (2)2x-1≥0;
解:(1)x+2>6,
x+2-2>6-2,
即x>4,如图所示.
(2)2x-1≥0,
2x-1+1≥0+1,2x≥1,
x≥ ,如图所示.
4.利用不等式的性质,解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(3)-3x+1>4; (4)2x≥3-x.
解：(3)-3x+1>4,
-3x+1-1>4-1,-3x>3,
x<-1.如图所示.
(4)2x≥3-x,
2x+x≥3-x+x,3x≥3,
x≥1,如图所示.
课堂小结
肆
课堂小结
不等式性质的应用
1.利用不等式的性质解不等式.
2.不等式的实际应用：在利用不等式的性质解决实际问题时一定要注意未知数的实际意义.
课后作业
基础题：1.课后习题 第1题.
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2,3题.
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 利用不等式的性质解简单不等式
学习目标
1.熟练掌握简单不等式的解法,初步认识不等式的应用价值.
2.掌握“≤”“≥”与“＞”“＜”的区别，感悟等式与不等式的关系，养成从数学角度理解问题的习惯，发展创新意识.
3.对比简单不等式的解法与方程的解法,感知其内在联系,体会其中渗透的类比思想.
自主探索
1.不等式有哪些性质
2.我们知道数学来源于生活，又服务于生活,在日常生活中就有这样的例子.
小明就读的学校上午8点开始上第一节课.小明家距学校2千米,而他的步行速度为每小时6千米.那么小明最晚上午几点从家里出发才能8点前到校
(1)设小明上午x点从家里出发，那么x应满足怎样的不等式
(2)怎样解(1)中的不等式
(3)(2)中的解集在数轴上怎样表示
任务一 应用不等式的性质解不等式
活动1 分组探讨:对上述三个问题,你是如何考虑的 先独立思考，然后组内交流.
例1 已知下列不等式：
(1)x-7>26;(2) 3x<2x+1;(3)x>50;(4)-4x>3.
问题1 利用不等式的性质解不等式.
问题2 分别在数轴上表示这四个不等式的解集.
【即时测评】
用不等式的性质解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）x+8＞6；（2）-2x<-4.
任务二 通过类比，认识“≤”和“≥”
活动2 设小明上午x点从家里出发，若小明希望不迟到，那么x应满足怎样的不等式
问题1 符号“≤”与“<”的含义有什么区别？“≥”与“>”呢？
归纳总结：
除了含有<，>、≠的不等式，像a≥b或a≤b 这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式.例如，x≥3 表示x>3或x=3，即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“ "，也可以说是“ ”;符号“≤”读作“ ”，也可以说是“ ”.
问题2 用不等符号“≥”或“≤”表示的不等式能应用不等式的基本性质吗 请用符号语言表示出来.
【即时测评】
1.(1)某市最高气温是8 ℃,最低气温是-2 ℃,请写出当天该市气温t(℃)的变化范围.
(2)如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80km/h,最高车速应为100km/h，如果用v(单位：km/h)表示汽车的速度，写出v的变化范围.
2.利用不等式的性质解不等式，并将结果表示在数轴上.
(1)x-≥0;(2)-2x≥2.
思考 用数轴表示不等式的解集时，符号“≥”“≤”与“>”“<”有什么区别？
例2 如图.一个长方体形状的鱼缸长10 dm.宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1dm，现准备向鱼缸内继续注水，用V(单位:dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示.
思考：(1)你能表示水的体积与鱼缸的容积之间的关系吗
(2)新注入的水的体积能为负数吗
(3)你能独立求出V的取值范围吗？
(4)怎样把解集表示在数轴上 你认为在数轴上表示需要注意什么？
当堂达标
1. 如图所示,数轴上关于x的不等式的解集是( )
A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1
2.在下列所表示的不等式的解集中,不包括-5的是( )
A.x≤-4 B.x≥-5 C.x≤-6 D.x≥-7
3.某品牌的食品外包装标明:净含量为340±10 g,表明该包装的食品净含量x的范围用不等式表示为 .
4.利用不等式的性质,解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1)x+2>6;(2)2x-1≥0;(3)-3x+1>4;(4)2x≥3-x.
参考答案
当堂达标
1.D 2.C 3.330≤x≤350
4.解:(1)x+2>6,x+2-2>6-2,即x>4,如图.
(2)2x-1≥0,2x-1+1≥0+1,2x≥1,≥,x≥,如图所示.
(3)-3x+1>4,-3x+1-1>4-1,-3x>3,<,x<-1.如图所示.
(4)2x≥3-x,2x+x≥3-x+x,3x≥3,≥,x≥1,如图所示.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 利用不等式的性质解简单不等式
课标摘录 1.探索不等式的基本性质. 2.能用不等式的基本性质对不等式进行变形.
教学目标 1.熟练掌握简单不等式的解法,初步认识不等式的应用价值. 2.掌握“≤”“≥”与“>”“<”的区别,感悟等式与不等式的关系,养成从数学角度理解问题的习惯,发展创新意识. 3.对比简单不等式的解法与方程的解法,感知其内在联系,体会其中渗透的类比思想.
教学重难点 重点:熟练并准确地解简单不等式. 难点:应用不等式的性质对不等式进行变形.
教学策略 教学中从实际问题引入,让学生亲历不等式模型的建立过程,自然过渡到不等式的解法.通过类比解一元一次方程的解法,探究归纳出用不等式的性质解不等式的方法,通过解决实际问题,让学生体会到生活中蕴含着数学知识.教师要引导学生分析问题、解决问题,培养他们积极的参与意识,敢于发表自己的观点,学会借鉴别人的想法和结果,并重新审视自己的想法,从交流中获益.
情境导入 1.不等式有哪些性质 2.我们知道数学来源于生活,又服务于生活,在日常生活中就有这样的例子. 小明就读的学校上午8点开始上第一节课.小明家距学校2千米,而他的步行速度为每小时6千米.那么小明最晚上午几点从家里出发才能8点前到校 (1)设小明上午x点从家里出发,那么x应满足怎样的不等式 (2)怎样解(1)中的不等式 (3)以上问题的解集在数轴上怎样表示 设计意图:从实际问题引入不等式能增强亲和力.经历由具体的实例建立不等式模型的过程,既可以让学生感受不等式在实际生活中的应用,又可以非常自然地引入新课.
新知初探 探究一 应用不等式的性质解不等式 活动1 分组探讨:对上述三个问题,你是如何考虑的 先独立思考,然后组内交流. 在学生充分讨论的基础上,师生共同归纳得出: (1)x应满足的关系式是:x+<8. (2)根据“不等式的性质1”,在不等式的两边减去,得x+-<8-,即x<7. (3)这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.(图示见课件)
设计意图:培养学生主动参与、合作交流的意识,提高学生的观察、分析、概括和抽象能力. 【例1】见教材P126例3或课件、导学案. 问题1:利用不等式的性质解不等式. 师生活动:学生讨论、分析,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 追问:比较不等式的解法,你能说出解不等式与解一元一次方程有什么区别吗 问题2:分别在数轴上表示这四个不等式的解集. 设计意图:类比解一元一次方程的方法,让学生初步感受不等式与方程的关系,为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫. 【即时测评】见课件、导学案. 探究二 通过类比,认识“≤”和“≥” 活动2 设小明上午x点从家里出发,若小明希望不迟到,那么x应满足怎样的不等式 师生活动:学生独立思考,选一名学生作答,其他同学判断正误. 问题1:符号“≤”与“<”的含义有什么区别 “≥”与“>”呢 归纳总结:见课件. 问题2:用不等符号“≥”或“≤”表示的不等式能应用不等式的基本性质吗 请用符号语言表示出来. 【即时测评】见课件、导学案. 思考 用数轴表示不等式的解集时,符号“≥”“≤”与“>”“<”有什么区别 探究二 意图说明 首先实现对情境导入问题的再次利用,引入符号“≥”和“≤”,通过分析、讨论,理解“≥”“≤”与“>”“<”的联系与区别,并且将不等式的性质推广到符号“≥”或“≤”,进一步加深学生对不等式性质的认识.通过一组练习,进一步明确了符号“≥”或“≤”的意义及用法,体会类比和化归的数学思想,培养学生善于思考和总结的好习惯. 【例2】见课件、导学案. 思考:(1)你能表示水的体积与鱼缸的容积之间的关系吗 (2)新注入的水的体积能为负数吗 (3)你能独立求出V的取值范围吗 (4)怎样把解集表示在数轴上 你认为在数轴上表示需要注意什么 师生活动:思考完以后,同桌相互交流自己的想法,培养学生的合作能力.教师进行指导. 设计意图:通过4个层层设问的问题,引导学生进行思考.解决此类实际问题,容易引起学生关注,激发他们参与学习的热情.同时学生能体会到生活中蕴含着数学知识,反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题,从而感受到知识的应用价值.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法 2.本节课还有哪些疑惑 请同学们说一说. 设计意图:通过自我反思,小组交流,引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的总结,让学生养成“反思”的好习惯,并培养学生语言表述能力.
板书设计 第2课时 利用不等式的性质解简单不等式 1.利用不等式的性质解简单不等式 2.认识“≤”和“≥”
教学反思
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
第2课时 利用不等式的性质解不等式
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
“≥”与“≤”的符号含义:符号“≥”读作“大于或等于”,也可以说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”,也可以说是“不
大于”.
基本应用:若a≥b,则
(1)a±c b±c;
(2)ac bc(c≥0);
(3)ac bc(c≤0).
≥
≥
≤
例1 直接写出不等式的解集:
(1)x+2>7的解集是 .
(2)3x<9的解集是 .
(3)-2x<4的解集是 .
课堂互动
知识点一 利用不等式的性质解不等式
x>5
x<3
x>-2
知识点二 不等式在实际生活中的应用
例2 小林家距离学校2.4 km,某一天小林从家去上学恰好行走到一半的路程时,发现离上课时间只有15 min了.如果小林能按时赶到学校,那么他行走剩下的一半路程的平均速度至少要达到多少
1.不等式3x-1>5的解集是( )
基础题
A
2.下列变形不正确的是( )
A.由3x>6得x>2
B.由-2x<8得x>-4
C.由x-5<-6得x<-1
D.由ax>3a得x>3
D
3.(2024 湖北)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )
A
4.若关于x的不等式(k+2)x>k+2的解集为x<1,则k的值可以是( )
A.1 B.0
C.-2 D.-3
D
A B
C D
5.小明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板.爸爸的体重为75 kg,爸爸坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸那端仍然着地,那么小明的体重应小于( )
A.49 kg B.50 kg
C.24 kg D.25 kg
6.若2-a的值大于1,则a的取值范围为 .
D
a<1
解:(1)两边同时减4x,
得5x-4x>4x-1-4x,即x>-1.
(2)两边同时加2,
得-x<9,两边同时乘-1,
得x>-9.
7.将下列不等式化成“x>a”或“x
(1)5x>4x-1;
(2)-x-2<7.
中档题
A
ab>b2
-1
12.用不等式表示下列语句,求出不等式的解集,并在数轴上表示出来.
(1)x的8倍不大于x的7倍减7的差;
解:(1)8x≤7x-7,
8x-7x≤7x-7-7x,
即x≤-7.
不等式8x≤7x-7的解集在数轴上的表示如图所示.
素养题
B