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第11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
学习目标
1.通过解决实际问题，理解一元一次不等式的概念，培养抽象概括能力，发展数学模型思想.
2.通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培养知识迁移能力，发展类比推理能力.
3.会利用数轴解一元一次不等式，并在数轴表示一元一次不等式的解集，渗透数形结合思想，发展几何直观.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
1.不等式有哪些性质？
2.已知一台升降机的最大载重量是1200kg,在一名重75kg的工人乘坐的情况下,它最多能装载多少件25 kg重的货物
思考 你能说出题目中的不等关系吗？
问题中涉及的不等关系是:
工人重十货物重≤最大载重量.
设能载x件 25kg重的货物,
因为升降机最大载重量是1200 kg,
所以有75+25x≤1 200.
你知道怎么解这个不等式吗
新知初探
贰
新知初探
任务一 探究一元一次不等式的概念
活动1 1.什么是一元一次方程？
如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程.
2.观察下面的不等式:
75+25x≤1 200 ,x-7>26，3x<2x+1， x>50，-4x>3.
它们有哪些共同特征
像 75 + 25x ≤ 1200 这样，
一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式.
它与一元一次方程的定义有什么共同点和不同点？
即时测评
解：(1)(4)是一元一次不等式；(2)(3)(5)不是.
下列不等式中,哪些是一元一次不等式 哪些不是
(1)2y-1<7;(2)x2+3x-1<0;(3)2x-5>3y-4;
(4) ;(5)7x-8< .
任务二 探究一元一次不等式的解法
活动2 我们已经认识了一元一次不等式,那么如何解一元一次不等式呢
问题 利用不等式的基本性质解一元一次不等式-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上.
不等式右边的项“2x”，变号为“-2x”后移到左边，这种变形叫作什么？
解: -x< 2x + 6
两边都减去2x,得
-x-2x<2x+6-2x， 即-x -2x <6
合并同类项,得 -3x<6，
两边都除以-3,得 x>-2.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
思考 解一元一次方程的步骤是什么
1.去分母;
2.去括号;
3.移项;
4.合并同类项;
5.系数化成1
小
结
解一元一次不等式的一般步骤
01
去分母
02
去括号
03
移项
04
合并
同类
项
05
系数化为1
你能归纳出解一元一次不等式的一般步骤吗？
例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)3(x-1)解：(1)去括号，得3x-3移项，得3x-x<-2+3.
合并同类项，得2x<1.
系数化为1，得x< .
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
计算结果
将同类项放在一起
(2)
解：(2)去分母，得3(x-5)+24≥2(5x+1).
去括号，得3x-15+24≥10x+2.
移项、得3x-10x≥2+15-24.
合并同类项，得-7x≥-7.
系数化为1，得x≤1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示
首先将分母去掉
去括号
将同类项放在一起
计算结果
根据不等式的性质3
解一元一次不等式与解一元一次方程的依据和步骤有什么异同点？
它们的依据不相同.解一元一次方程的依据是等式的性质，解一元一次不等式的依据是不等式的性质.
它们的步骤基本相同，都是去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1.
这些步骤中，要特别注意的是：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，必须改变不等号的方向. 这是与解一元一次方程不同的地方.
议一议
归纳总结
解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为x=m的形式;
而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为xm (x≥m)的形式.
即时测评
解：(1)移项，得9x﹣7x≤3+2，
合并同类项，得2x≤5，
系数化为1，得x≤2.5，
其解集在数轴上表示如下：
1.解下列不等式,并把解集表示在数轴上．
(1)9x﹣2≤7x+3． (2) 1 .
(2)去分母,得6﹣（x﹣3）＞2x，
去括号,得6﹣x+3＞2x，
移项合并同类项，得﹣3x＞﹣9，
系数化为1，得x＜3．
其解集在数轴上表示如下：
2.回顾情境中的问题：为了求出升降机能装载货物的件数,需要求出满足不等式75+25x≤1 200 的x的值,你会解答了吗 尝试一下.
解:移项,得 25x≤1 200-75，
即 25x≤1 125.
两边都除以 25,得x≤45.
因此,升降机最多装载45 件25kg重的货物.
当堂达标
叁
当堂达标
1. 下列为一元一次不等式的是( )
A.x+y>5 B.+3<2 C.-x=3 D. + ≥1
2.不等式1－x≤2的解集在数轴上表示正确的是( )
3.不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是 .
D
C
1,2,3
解:(1)去括号,得2x+2-2≥3x+1.
移项,得2x-3x≥1-2+2.
合并同类项,得-x≥1.
系数化为1,得x≤-1.
其解集在数轴上表示为
4.解不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)2(x+1)-2≥3x+1; (2) ≤1.
(2)去分母,得2(2x-1)-(9x+2)≤6.
去括号,得4x-2-9x-2≤6.
移项,得4x-9x≤6+2+2.
合并同类项,得-5x≤10.
系数化为1,得x≥-2.
把不等式的解集在数轴上表示为
5.当x满足什么条件时，下列关系成立
(1) 1的值是正数；
(2)2x与3的和不大于﹣5;
(3)5x与3的和不小于2（x+3）；
(4)2x与3的差小于 .
解：(1)因为 1的值是正数，
所以 1＞0,解得x＞4．
(2)因为2x与3的和不大于﹣5，
所以2x+3≤﹣5,解得x≤-4.
(3)因为5x与3的和不小于2（x+3），
所以5x+3≥2（x+3），解得x≥1．
(4)因为2x与3的差小于 ,
所以2x﹣3 ，解得x＜1．
课堂小结
肆
课堂小结
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解集
步骤
解一元一次不等式
→
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
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第1课时 一元一次不等式的解法
学习目标
1.通过解决实际问题，理解一元一次不等式的概念，培养抽象概括能力，发展数学模型思想.
2.通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培养知识迁移能力，发展类比推理能力.
3.会利用数轴解一元一次不等式，并在数轴表示一元一次不等式的解集，渗透数形结合思想，发展几何直观.
自主探索
1.不等式有哪些性质？
2.已知一台升降机的最大载重量是1200kg,在一名重75kg的工人乘坐的情况下,它最多能装载多少件25 kg重的货物
思考：你能说出题目中的不等关系吗？
任务一 探究一元一次不等式的概念
活动1 1.什么是一元一次方程？
2.观察下面的不等式:x-7>26，3x<2x+1，x>50，-4x>3.
它们有哪些共同特征
归纳总结：类似于一元一次方程，只含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数
是 的不等式，叫作一元一次不等式.
【即时测评】
下列不等式中,哪些是一元一次不等式 哪些不是
(1)2y-1<7;(2)x2+3x-1<0;(3)2x-5>3y-4;(4);(5)7x-8<.
任务二 探究一元一次不等式的解法
活动2 我们已经认识了一元一次不等式,那么如何解一元一次不等式呢
问题 利用不等式的基本性质解一元一次不等式-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上.
例1 解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)3(x-1)归纳总结：解一元一次方程，要依据 ，将方程逐步化为x=m的形式;
而解一元一次不等式，则要依据 ，将不等式逐步化为xm (x≥m)的形式.
【即时测评】
1.解下列不等式,并把解集表示在数轴上．
(1)9x﹣2≤7x+3；(2)1.
2.回顾情境中的问题：为了求出升降机能装载货物的件数,需要求出满足不等式75+25x≤1 200 的x的值,你会解答了吗 尝试一下.
当堂达标
1. 下列为一元一次不等式的是( )
(A)x+y>5 (B)+3<2 (C)-x=3 (D)+≥1
2.不等式1－x≤2的解集在数轴上表示正确的是( )
3.不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是 .
4.解不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)2(x+1)-2≥3x+1；(2)-≤1.
5.当x满足什么条件时，下列关系成立
(1)1的值是正数；
(2)2x与3的和不大于﹣5;
(3)5x与3的和不小于2（x+3）；
(4)2x与3的差小于.
参考答案
当堂达标
1.D 2.C 3.1、2、3
4.解:(1)去括号,得2x+2-2≥3x+1.
移项,得2x-3x≥1-2+2.
合并同类项,得-x≥1.
系数化为1,得x≤-1.
其解集在数轴上表示为
(2)去分母,得2(2x-1)-(9x+2)≤6.
去括号,得4x-2-9x-2≤6.
移项,得4x-9x≤6+2+2.
合并同类项,得-5x≤10.
系数化为1,得x≥-2.
把不等式的解集在数轴上表示为
5.解：(1)因为1的值是正数，
所以1＞0,解得x＞4．
(2)因为2x与3的和不大于﹣5，
所以2x+3≤﹣5,解得x≤-4.
(3)因为5x与3的和不小于2（x+3），
所以5x+3≥2（x+3），解得x≥1．
(4)因为2x与3的差小于,
所以2x﹣3，解得x＜1．
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第1课时 一元一次不等式的解法
课标摘录 能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集.
教学目标 1.通过解决实际问题,理解一元一次不等式的概念,培养抽象概括能力,发展数学模型思想. 2.通过类比一元一次方程的解法,掌握一元一次不等式的解法,培养知识迁移能力,发展类比推理能力. 3.会解一元一次不等式,并在数轴上表示出一元一次不等式的解集,渗透数形结合思想,发展几何直观.
教学重难点 重点:一元一次不等式的解法. 难点:会解一元一次不等式,并能把解集准确地表示在数轴上.
教学策略 本节课从生活实例引入,激发学生的学习兴趣,类比一元一次方程的定义与解法,通过组织学生参与“探究—讨论—交流—总结”的学习活动过程,让学生观察、归纳,独立发现解一元一次不等式的步骤,教师针对常见错误进行指导,使他们在以后的解题中能引起注意,自觉改正错误.学生在课堂上多活动、多观察,主动参与到整个教学活动中来,要让每个学生动手、动口、动眼、动脑,培养学生多方面的能力.
情境导入 1.不等式有哪些性质 2.已知一台升降机的最大载重量是1 200 kg,在一名重75 kg的工人乘坐的情况下,它最多能装载多少件25 kg重的货物 思考:(1)你能说出题目中的不等关系吗 (2)你知道怎么解这个不等式吗 设计意图:首先引领学生复习不等式的三条基本性质,不等式的性质是对不等式进行变形的依据,而本课的重点就是要掌握一元一次不等式的解法,所以复习旧知是为学习新知做准备.再以实际问题引入,引起学生对接下来不等式解法探索的欲望.
新知初探 探究一 一元一次不等式的概念 活动1 1.什么是一元一次方程 2.观察不等式:x-7>26,3x<2x+1,x>50,-4x>3. 它们有哪些共同特征 追问:通过上面的讨论我们知道,一元一次不等式必须具备三个条件,你能用语言描述一元一次不等式的定义吗 归纳总结:见课件. 探究一 意图说明 引导学生自主通过对上述不等式的观察、比较,发现其异同,结合一元一次方程的概念类比,学生不难得出一元一次不等式的概念.让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究,培养其化归、转换的意识.
【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:通过练习帮助学生进一步掌握一元一次不等式的概念. 探究二 一元一次不等式的解法 活动2 我们已经认识了一元一次不等式,那么如何解一元一次不等式呢 问题:利用不等式的基本性质解一元一次不等式-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上. 思考:观察上面的步骤,大家可以看出,两边都减去2x,就相当于把右边的2x改变符号后移到了左边,这种变形叫什么呢 由此可知,移项法则在解不等式中同样适用,因此直接说通过移项,得-x-2x<6. 两边都除以-3,就是把x的系数化为1. 追问1:在解不等式的过程中是否有与解一元一次方程类似的步骤 追问2:大家还知道解一元一次方程的步骤吗 追问3:能否归纳解一元一次不等式的基本步骤 师生活动:学生独立思考,选几名学生回答,其他同学分析正误,教师依次总结. 设计意图:学生自己探索用不等式的基本性质去求解并相互交流做法,通过观察、探讨、交流、归纳一元一次不等式的解法. 【例题】见教材P131例1或课件、导学案. 师生活动:学生交流解法,碰撞思维火花,学会从多种角度考虑问题.教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 思考:解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处 追问1:在解一元一次不等式的步骤中,应注意什么 追问2:用数轴表示一元一次不等式的解集时有哪些注意事项 归纳总结:见课件. 探究二 意图说明 把一元一次方程和一元一次不等式进行了对比,实现了知识的自然迁移,使学生在自主探索和合作交流的过程中不知不觉地学到了新知识,理解并掌握了一元一次不等式的解法,教学重点得以基本达成,教学难点也取得相应突破. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图(题1):通过训练,及时巩固所学知识,反馈学生的学习情况,使学生熟练掌握一元一次不等式的解法,进一步提升学习效果. 设计意图(题2):通过用刚学习的知识解决情境中的问题,既巩固了一元一次不等式的解法,又让学生感受到不等式的解法在实际生活中的应用.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.解一元一次不等式的步骤是什么 2.解一元一次不等式时有哪些需要注意的地方 3.在做题过程中你出现了哪些错误 错因是什么 4.本节课你还有哪些疑惑 设计意图:通过学生的归纳和总结,激发学生的主动性,为每位学生创造获得成功体验的机会.培养学生及时总结反思的学习习惯,提高表达和归纳的能力.
板书设计 11.2 一元一次不等式 第1课时 一元一次不等式的解法 1.一元一次不等式的定义 2.解一元一次不等式的步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1 3.例题
教学反思
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11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.定义:只含有 未知数,且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是 的不等式,叫作一元一次不等式.
2.解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母:在不等式两边都乘各分母的 .
(2)去括号:根据 .
(3)移项:把含有未知数的项都移到不等式的一边,其他项都移到不等式的另一边.
一个
1
最小公倍数
去括号法则和分配律
2或3
例1 有以下4个式子:(1)9>4;(2)6x≥2x+1;(3)x+y>1;(4)x2+3>2x.其中是一元一次不等式的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
课堂互动
知识点一 一元一次不等式的定义
A
知识点二 解一元一次不等式
解: ,得3(x-3)≤2(2x-1)-6.( )
,得3x-9≤4x-2-6.( )
,得3x-4x≤9-2-6.( )
,得-x≤1.( )
,得x≥-1.( )
去分母
不等式的性质2
去括号
去括号法则和分配律
移项
不等式的性质1
合并同类项
合并同类项法则
系数化为1
不等式的性质3
基础题
A
B
3.若x=-1是不等式2x+a≤0的解,则a的值不可能是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
4.老师设计了接力游戏,用合作的方式完成解一元一次不等式.规则如下:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简,过程如图所示.
接力中,自己负责的一步出现错误的是( )
A.只有甲 B.甲和乙
C.乙和丙 D.丙和丁
A
B
D
x<-2
中档题
B
A
11.运行程序如图所示,从“输入实数x”到“结果是否<18”为一次程序操作.
若输入x后,程序操作仅进行了一次就停止,则x的取值范围是 .
x<8
12.已知不等式3x<4(x+1)-1的最小整数解为方程4x-ax=-16的解,求a的值.
解:解不等式3x<4(x+1)-1,得x>-3,
∴不等式的最小整数解为x=-2.
把x=-2代入4x-ax=-16,
得-8+2a=-16,
解得a=-4,
即a的值为-4.
素养题
13.(阅读理解题)阅读下面的材料:
对于实数a,b,我们定义符号min{a,b}的意义:当a根据上面的材料回答下列问题:
(1)min{-1,3}= ;
解:(1)-1
