山东省2025届部分学校高三年级开年考试数学试题（含答案）

山东省2025届部分学校高三年级开年考试
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题仅有一个选项正确.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3.样本数据12,8,32,10,24,22,12,33的第60百分位数为（ ）
A. B. C. D.
4.函数的大致图象是（ ）
5.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
6.十一国庆期间，《749局》《志愿军：存亡之战》《浴火之路》《熊猫计划》引爆了电影市场，张三和他的同学宜兴市四人决定去看这四部电影.若张三要看《存亡之战》，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.若函数的图象全部在轴上方，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，的垂直平分线经过点.若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（ ）
A.堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管
B.堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10
C.若再增加8根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛
D.若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛
10.函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ）
A.对且，恒有
B.对，恒有
C.函数与的图象共有4个交点
D.若当时，的最大值为，则
11.如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，为底面的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.当为的中点时，
B.若在线段上运动，则三棱锥的体积为定值
C.存在点，使得平面截正方体所得的截面面积为
D.当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知，请写出的一个解析式： .
13.已知，，若，则在上的投影向量的坐标为 .
14.已知是椭圆的左、右焦点，点在第一象限内，且是椭圆上一动点.若是锐角，则椭圆在点处的切线的斜率的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在锐角中，内角的对边分别为，且.
（1）求证：；
（2）若的平分线交于，且，求面积的取值范围.
16.如图，在四棱锥中，平面，，为的中点.
（1）若，证明：平面；
（2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值.
17.过坐标原点作圆的两条切线，设两切点分别为，直线恰为抛物线的准线.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设点是圆上的动点，抛物线上四点满足：，，设的中点为.
①求直线的斜率；
②设的面积为，求的最大值.
18.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量.该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图.规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.
（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样的方法每次抽取1个口罩，抽取8次.记被抽取的8个口罩中一级口罩的个数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的均值及抽取概率最大时的一级口罩个数.
（2）现从样本口罩中利用按比例分成抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中随机抽取3个，记其中一级口罩的个数为，求的分布列及方差.
（3）甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络的购物平台上各参加一个订单的“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成.假定甲、乙两人的订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为，求当的数学期望取最大值时正整数的值.
19.若有穷数列（且）满足（），则称为数列.
（1）判断下列数列是否为数列，并说明理由.
①1,2,4,3；②4,2,8,1.
（2）已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列.
（3）已知数列是（且）个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C D B C B
二、选择题
题号 9 10 11
答案 BD BCD ACD
三、填空题
12.（答案不唯一） 13. 14.
四、解答题
15.解：（1）证明：∵，∴由正弦定理得.
又∵，
∴.
∵为锐角三角形，∴,,.
又在上单调递增，∴，即.
（2）由（1）可知，，∴在中，.
由正弦定理得，∴,
∴.
又∵为锐角三角形，∴，，
解得，∴，
即面积的取值范围为.
16.解：（1）∵平面，平面，∴，.
在中，为的中点，则.
∵，∴,则，.
在中，，
即，∴，即.
又∵，平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，
∴是斜线在平面内的射影，即为和平面所成的角.
在中，，∴.
又由，，可知，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则,，
，
∴,,
,.
设平面的法向量为，则，可取.
设平面的法向量为，则，可取
∵，
∴平面和平面的夹角的余弦值为.
17.解：（）1由题意知直线与轴交于点.
由圆及其切线的性质得，∴，∴.
即，解得，∴抛物线的标准方程为.
（2）设，，.
①由题意，的中点在抛物线上，即，
又，将代入，得.
同理，，
∴，此时点的纵坐标为，
∴直线的斜率为0.
②∵，∴，
此时，
∵，
，
∴.
又∵点在圆上，∴，即，
代入上式可得：，
∵，
∴时，取到最大值.
∴的最大值为48.
18.解：（1）由题知，抽到一级口罩的概率估计值为，
则，故.
，
令，∴，
当时，，
当时，.
∴抽取概率最大时的一级口罩个数为2.
（2）按比例分层抽样抽取8个口罩，
则其中一级、二级口罩个数分别为，，
故的可能取值为0,1,2，
且，，，
0 1 2
∴的分布列为：
，
.
（3）设甲、乙抢购成功的订单总数量为，由题知，可能的取值为0,1,2，
，
，
.
∴.
∵，∴.
令，设，则.
∵，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
故当，即时，取最大值，
∴，
∴取最大值时，正整数.
19.解：（1）①∵，∴数列1,2,4,3不是数列.
②∵，∴数列4,2,8,1是数列.
（2）证明：必要性：数列是等差数列，设其公差为，则.
∴数列是常数列.
充分性：若数列是常数列，则，
即，
∴或.
∵数列的各项互不相等，∴，∴数列是等差数列.
（3）当时，∵，∴，不符合题意；
当时，数列为3,2,4,1，此时，符合题意；
当时，数列为2,3,4,5,1，此时，
符合题意.
下证当时，不存在满足题意.
令，则，且，
∴有以下三种可能：
①，
②，
③，
当时，
∵，
由（2）知：是公差为1（或）的等差数列.
当公差为1时，由得或，
∴或，与已知矛盾.
当公差为时，同理得出与已知矛盾.
∴当时，不存在满足题意.
其他情况同理可得，不存在满足题意.
综上可知，的所有可能值为4或5.