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第11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第2课时
学习目标
1.进一步经历运用不等式解决实际问题的过程，总结运用不等式解决实际问题的一般方法.
2.会用所学知识对实际问题进行分析,并加以解决,培养分析、解决问题的能力.体验知识生成、发展的过程.经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程,提高分析问题的能力.
3.培养敢于探索、勇于克服困难的意志品质,感受数学建模思想,体会数学的应用价值.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
问题： 你们还记得应用一元一次方程解实际问题的步骤吗？
一元一次方程解实际问题的步骤：
实际问题
找相等关系
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
交流：那么一元一次不等式如何解决实际问题呢？
新知初探
贰
新知初探
任务一 探究一元一次不等式的实际应用
活动1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级
问题1 此实际问题中的不等关系是什么？
初赛成绩超过90分
问题2 怎样设未知数？你能根据题目中的不等关系列出不等式吗？
解:设初赛答对了x道题.
根据“初赛成绩超过90分”晋级决赛，列得不等式
10x-5(20-x)>90.
去括号，得10x-100+5x>90.
移项，合并同类项，得15x>190.
系数化为1,得x>12 ,
由x应为正整数，可得x至少为13.
答:初赛至少要答对13道题才能成功晋级.
你能根据例题的解题过程归纳出列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤吗？
归纳总结：
列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤：
审：认真审题，分清已知量、未知量；
找：找出题目中的不等关系，抓住关键词，如“超过”“不大于” “最多”等；
设：设出适当的未知数；
答：检验答案是否符合实际意义，并作答.
列：根据题中不等关系，列出一元一次不等式；
解：求出一元一次不等式的解集；
即时测评
为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不超过200元,且买的球拍尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍
解:设购买球拍x个,依题意,得1.5×20+22x≤200,
解得x≤7 .
经检验,不等式的解符合题意.
由于x取整数,故x的最大值为7.
答:孔明应该买7个球拍.
活动2 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少
思考：(1)下降率如何计算？
下降率= ×100%.
活动2 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少
思考：(2)此实际问题中的不等关系是什么？怎样将其转化为不等式？
不等关系：今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%
即 ×100%≥5%.
怎样设未知数？你能根据题目中的不等关系列出不等式吗？
解:设这个市今年万元地区生产总值能耗为xt标准煤.
根据题意，列得不等式.
去分母，得0.320-x≥0.320×5%.
移项，合并同类项，得-x≥-0.304,
系数化为1，得x≤0.304.
答:这个市今年万元地区生产总值能耗至多为0.304t标准煤.
即时测评
某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价多少元？
解：设该护眼灯可降价x元，
根据题意，得 ，
解得x≤32，
答：该护眼灯最多可降价32元.
当堂达标
叁
当堂达标
D
1.小明借到一本有87页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完？设以后几天里平均每天要读x页，所列不等式为( )
A．2＋10x≥87 B．2＋10x≤87
C．10＋8x≤87 D．10＋8x≥87
2.篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队预计在某赛季全部32场比赛中最少得到48分,才有希望进入季后赛.假设这个队在将要举行的比赛中胜x场,要达到目标,x应满足的关系式是( )
A.2x+(32-x)≥48 B.2x-(32-x)≥48
C.2x+(32-x)≤48 D.2x≥48
3.一个工程队规定要在6天内完成施工300m3混凝土的工程，第一天完成了60m3，现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成多少立方米？设以后几天平均每天至少要完成xm3,则x满足的不等式为 ．
A
（6-1-2）x+60≥300
解：设该果农今年收获樱桃x千克．
根据题意，得400－x≤7x，
解得x≥50.
答：该果农今年收获樱桃至少50千克．
4. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模．今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅减产，而枇杷有所增产．该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
5.甲步行的速度为5km/h，先走30min后，乙从甲的出发地沿同路追赶甲，乙步行的速度最快为6km/h，问乙至少需要多少时间才能赶上甲？
解：设乙需要x h才能赶上甲，
依题意，得6x≥5（x+ ），
解得x≥ ．
答：乙至少需要 h才能赶上甲．
课堂小结
肆
课堂小结
一元一次不等式的应用
实际问题
根据题意列不等式
↓
解一元一次不等式
→
→
根据实际问题找出符合条件的解集或整数解
↑
得出解决问题的答案
课后作业
基础题：1.课后习题 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
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第2课时 一元一次不等式的应用
学习目标
1.进一步经历运用不等式解决实际问题的过程，总结运用不等式解决实际问题的一般方法.
2.会用所学知识对实际问题进行分析,并加以解决,培养分析、解决问题的能力.体验知识生成、发展的过程.经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程,提高分析问题的能力.
3.培养敢于探索、勇于克服困难的意志品质,感受数学建模思想,体会数学的应用价值.
自主探索
问题： 你们还记得应用一元一次方程解实际问题的步骤吗？
任务一 探究一元一次不等式的实际应用
活动1 七年级举办古诗词知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.如果规定初赛成绩超过90分级决赛，那么至少要答对多少道题才能成功晋级
问题1 此实际问题中的不等关系是什么？
问题2 怎样设未知数？你能根据题目中的不等关系列出不等式吗？
归纳总结：
列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤:
审：认真审题，分清已知量、未知量；
设：设出适当的未知数；
找：找出题目中的不等关系，抓住关键词，如“超过”“不大于” “最多”等；
列：根据题中不等关系，列出一元一次不等式；
解：求出一元一次不等式的解集；
答：检验答案是否符合实际意义，并作答.
【即时测评】
为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不超过200元,且买的球拍尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍
活动2 某市去年万元地区生产总值能耗为0.320t标准煤，如果计划使今年万元地区生产总值能耗比去年的下降率不小于5%，那么这个市今年万元地区生产总值能耗至多为多少
思考：(1)下降率如何计算？
(2)此实际问题中的不等关系是什么？怎样将其转化为不等式？
【即时测评】
某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价多少元？
当堂达标
1.小明借到一本有87页的图书，要在10天之内读完，开始两天每天只读5页，那么以后几天里平均每天至少要读多少页才能读完？设以后几天里平均每天要读x页，所列不等式为( )
A．2＋10x≥87 B．2＋10x≤87 C．10＋8x≤87 D．10＋8x≥87
2.篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队预计在某赛季全部32场比赛中最少得到48分,才有希望进入季后赛.假设这个队在将要举行的比赛中胜x场,要达到目标,x应满足的关系式是( )
A.2x+(32-x)≥48 B.2x-(32-x)≥48 C.2x+(32-x)≤48 D.2x≥48
3.一个工程队规定要在6天内完成施工300m3混凝土的工程，第一天完成了60m3，现在要比原计划至少提前两天完成任务，以后几天平均每天至少要完成多少立方米？设以后几天平均每天至少要完成xm3,则x满足的不等式为 ．
4. 某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模．今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅减产，而枇杷有所增产．该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
5.甲步行的速度为5km/h，先走30min后，乙从甲的出发地沿同路追赶甲，乙步行的速度最快为6km/h，问乙至少需要多少时间才能赶上甲？
参考答案
当堂达标
1.D 2.A 3.（6-1-2）x+60≥300
4.解：设该果农今年收获樱桃x千克．根据题意，得
400－x≤7x，解得x≥50.
答：该果农今年收获樱桃至少50千克．
5.解：设乙需要x h才能赶上甲，
依题意，得6x≥5（x+），
解得x≥．
答：乙至少需要h才能赶上甲．
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第2课时 一元一次不等式的应用
课标摘录 能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题,建立模型观念.
教学目标 1.进一步经历运用不等式解决实际问题的过程,总结运用不等式解决实际问题的一般方法. 2.会用所学知识对实际问题进行分析,并加以解决,培养分析、解决问题的能力.体验知识生成、发展的过程.经历由实际问题到建立一元一次不等式的数学模型的探索过程,提高分析问题的能力. 3.培养敢于探索、勇于克服困难的意志品质,感受数学建模思想,体会数学的应用价值.
教学重难点 重点:列出一元一次不等式解决实际问题. 难点:根据实际问题中的不等关系列出不等式.
教学策略 本节课在教法上力求体现教师的“启发引导”,在学法上突出学生的“探索发现”.结合实际情况,选择贴近学生生活且适合学生认知水平的问题,引导学生探索用一元一次不等式来分析解决它们.在教学过程中立足于让学生自己去观察、去思考、去动手,设计思考问题,将原问题细化、简单化以便学生能够理解并学会分析方法.
情境导入 问题:你们还记得应用一元一次方程解决实际问题的步骤吗 师生活动:学生独立思考,共同作答,教师总结.(总结内容见课件) 追问:那么如何运用一元一次不等式解决实际问题呢 设计意图:回顾应用一元一次方程解决实际问题的步骤,为学习一元一次不等式解决实际问题的方法做准备.培养学生掌握自主学习的方法,发展归纳能力和迁移思想.
新知初探 探究 一元一次不等式的实际应用 活动1 见教材P133例2或课件、导学案. 问题: 此实际问题中的不等关系是什么 追问:怎样设未知数 你能根据题目中的不等关系列出不等式吗 师生活动:学生独立思考,教师引导学生分析解题思路. 思考:依据列方程解应用题的过程,对照上面解不等式应用题的步骤,总结一下两者的不同,并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤,请互相交流. 归纳总结:见课件. 注意:(1)不等式应用题与方程应用题的设法完全一致,设未知数时千万不要用至少、至多等字眼; (2)用不等式解应用题时,要注意未知数的限制条件,否则很难得到符合题意的解. 【即时测评】见课件、导学案.
设计意图:展示分析过程,有利于学生进一步理解列一元一次不等式解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题之间的关系,同时初步感知实际问题对不等式解集的影响.让学生自己讨论总结,既可渗透类比思想,又能培养学生的归纳总结能力. 活动2 见教材P133例3或课件、导学案. 思考:(1)下降率如何计算 (2)此实际问题中的不等关系是什么 怎样将其转化为不等式 追问:怎样设未知数 你能根据题目中的不等关系列出不等式吗 师生活动:学生讨论、分析,教师加以引导,对学生给出的答案给予鼓励和指正. 设计意图:通过互相交流,在主动学习、探究学习的过程中获得知识,培养合作的意识,体会建模的数学思想方法. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:锻炼学生运用所学知识解决问题的能力,发展应用意识,渗透模型思想.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.列一元一次不等式解决实际问题的步骤是什么 2.通过本节课的学习,你有什么新的收获和体验 设计意图:通过学习自我反思、小组交流,引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的总结,让学生养成“反思”的好习惯,并培养学生语言表述能力.
板书设计 第2课时 一元一次不等式的应用 列一元一次不等式解决实际问题的步骤 实际问题列不等式解不等式结合实际问题确定答案
教学反思
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第2课时 一元一次不等式的简单应用
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
列不等式解决实际问题的一般步骤
(1)审题:弄清题意及题目中的 .
(2)设未知数,可 设,也可 设.
(3)列出 .
(4)解不等式,并验证解的 .
(5)写出 .
数量关系
直接
间接
不等式
正确性
答案
例1 乐乐借到一本80页的图书,要在10天之内读完,开始两天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页 设以后几天里每天要读x页,列出的不等式为 .
例2 甲、乙两队进行篮球对抗赛,规定每队胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.两队一共比赛了10场,在每场比赛中,甲队始终保持不败,得分不低于22分,甲队至少胜了 场.
课堂互动
知识点 利用一元一次不等式解决生活中的实际问题
2×5+(10-2)x≥80
6
例3 为了举行班级晚会,小明准备去商店购买20个乒乓球当作道具,并买一些乒乓球拍作为奖品.已知乒乓球每个1.5元,乒乓球拍每副
22元.如果购买金额不超过200元,那么小明最多可以买多少副乒乓
球拍
1.小霞原有存款52元,小明原有存款70元.从这个月开始,小霞每月存 15元零花钱,小明每月存12元零花钱,设经过n个月后小霞的存款超过小明,可列不等式为( )
A.52+15n>70+12n
B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n
D.52+12n<70+15n
基础题
A
2.某校举行知识竞赛,共有30道抢答题,答对一题得5分,答错或不答扣3分,要使总得分不少于80分,至少应该答对几道题 若设答对x道题,可列不等式为( )
A.5x-3(30-x)>80
B.5x-3(30-x)≤80
C.5x-3x≥80
D.5x-3(30-x)≥80
D
3.某服装店购进男装、女装共100件,其进价和售价如表所示:
类型 进价(元/件) 售价(元/件)
男装 260 320
女装 240 290
该服装店预计获得的利润不少于5 200元,设购进x件男装,根据题意可列不等式为( )
A.(320-260)(100-x)+(290-240)x>5 200
B.(320-260)x+(290-240)(100-x)>5 200
C.(320-260)(100-x)+(290-240)x≥5 200
D.(320-260)x+(290-240)(100-x)≥5 200
D
4.在一次射击比赛(最高为10环)中,某运动员前6次的射击共中
53环.如果他要打破89环(10次射击)的记录,那么第7次射击他至少要打出 环的成绩.
7
5.(2024 山西)为加强校园消防安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个,其中水基灭火器的价格为540元/个,干粉灭火器的价格为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭火器(50-x)个.
根据题意,得540x+380(50-x)≤21 000,
解得x≤12.5.
∵x为整数,
∴x的最大值为12.
答:最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
6.一艘船从某江上游的甲地匀速行驶到下游的乙地用了4 h,又从乙地匀速返回甲地用了不超过8 h(假设江水流速保持不变),船在静水里的平均速度为 9 km/h,江水最大流速为( )
A.1 km/h B.2 km/h
C.3 km/h D.4 km/h
7.(2023广东)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能少于10%,则最多可打 折.
中档题
C
8.8
8.(2024 贵州改编)为增强学生的劳动意识,养成劳动的习惯和品质,某校组织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地联系,计划组织学生种植甲、乙两种作物.已知种植3亩(1亩≈666.67 m2)甲作物和2亩乙作物需要27名学生,种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生
(2)若种植甲、乙两种作物共10亩,所需学生不超过55名,则至少种植甲作物多少亩
解:(2)设种植甲作物m亩,则种植乙作物(10-m)亩.
根据题意,得5m+6(10-m)≤55,
解得m≥5,
∴m的最小值为5.
答:至少种植甲作物5亩.
素养题
9.(运算能力)某校为组织八年级的234名同学去看电影,租用了某公交公司的几辆公共汽车.如果每辆车坐30人,最后一辆车不空也不满,那么他们共租了 辆公共汽车.
8
