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第11章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第3课时 利用一元一次不等式做决策
学习目标
1.能运用一元一次不等式解决实际问题中的方案选择型问题.
2.会根据题意抓住关键词语列不等式.
3.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
在现实生活中我们天天都面临着各种选择，比如:同样一支钢笔,甲商店卖10元,乙商店卖12元,你会到哪家商店买这支钢笔呢 今天我们就来讨论生活中最常见的购物问题.
新知初探
贰
新知初探
任务一 利用一元一次不等式解决决策问题
活动1 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:
在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费;在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少
问题2 你是如何理解题意的呢
问题1“按九折收费”与”按九五折收费”是什么意思？
到哪家超市购物花费较少与顾客的购物款有关系吗？应该分几种情况进行讨论？
问题3 若已知购物款，你能求出在甲超市和乙超市分别花费多少元吗？请填写表格.
购物款 在甲超市实际花费 在乙超市实际花费 花费较少的超市
40
80
120
200
40
40
甲、乙一样多
80
50+0.95（80-50）
乙超市
100+0.9(120-100)
50+0.95（120-50）
甲超市
100+0.9(200-100)
50+0.95（200-50）
乙超市
问题4 如果购物款累计达到x元，你能用含x的
式子分别表示出顾客在两家超市花费的钱数吗 能看出
到哪家超市花费更少吗？
设购物款累计达到x元，
购物款 在甲超市实际花费 在乙超市实际花费 花费较少的超市
050x>100
x
x
甲、乙一样多
x
50+0.95（x-50）
乙超市
100+0.9(x-100)
50+0.95（x-50）
当累计购物不超过 50 元时，在甲、乙两超市购物都不享受优惠，因此到两超市购物花费一样.
当累计购物超过 50 元而不超过 100 元时，享受乙超市的购物优惠，不享受甲超市的购物优惠，因此到乙超市购物花费少.
问题5 如果累计购物超过100元,在两家超市的
花费情况如何 顾客到哪家超市购物花费较少
(1)若在甲超市花费少,则100+0.9(x-100)<50+0.95(x-50)，
解得x>150.
(2)若在乙超市花费少,则100+0.9(x-100)>50+0.95(x-50)，
解得 x<150.
(3)若在两超市花费一样，则100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50)，
解得x=150.
购物款 在甲超市花费 在乙超市花费 比较
0＜x≤50 x x 一样
50＜x≤100 x 50+0.95（x-50） 在乙超市少
x＞100 100＜x＜150 100+0.9（x-100） 50+0.95（x-50） 在乙超市少
x=150 一样
x＞150 在甲超市少
购物不超过50元和刚好是150元时，在两家超市购物，花费没有区别.
问题6 你能综合上面分析，给出一个合理化的消费方案吗
购物超过50元而不到150元时，在乙超市购物花费少.
超过150元后，在甲超市购物花费少.
即时测评
某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为多少元；乙超市的购物金额为 多少元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
解：（1）∵10×30＝300（元），300＜400，
∴在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为300×0.8＝240（元）．
解：（2）设购买x件这种文化用品．
当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，
在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
∵10x＞8x，
∴选择乙超市支付的费用较少；
当x＞40时，
在甲超市的购物金额为400+0.6（10x﹣400）＝（6x+160）（元），
在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元），
若6x+160＞8x，则x＜80；若6x+160＝8x，则x＝80；
若6x+160＜8x，则x＞80．
综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少．
当堂达标
叁
当堂达标
解：设他需要跑步x分钟，由题意可得
200x+80（20-x）≥2200，
解得，x≥5．
答：小诚至少需要跑步5分钟．
1. 小诚响应“低碳环保，绿色出行”的号召，一直坚持跑步与步行相结合的上学方式．已知小诚家距离学校2200米，他步行的平均速度为80米/分，跑步的平均速度为200米/分．若他要在不超过20分钟的时间内从家到达学校，至少需要跑步多少分钟？
2.某企业向东南亚销售A,B两种外贸产品共6万吨.已知A种外贸产品每吨800元,B种外贸产品每吨400元.若A,B两种外贸产品销售额不低于3 200万元,则至少销售A产品多少万吨
解:设销售A种外贸产品x万吨,
由题意得,800x+400(6-x)≥3 200,
解之得x≥2,
答:至少销售A产品2万吨.
3.商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售.方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.
(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少 最少费用是多少元
(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.
解:(1)当x=8时,
方案一费用:0.9a 8=7.2a元,
方案二费用:5a+0.8a(8-5)=7.4a元,
因为a>0,所以7.2a<7.4a,
所以方案一费用最少,最少费用7.2a元.
(2)若x≤5,方案一每台按售价的九折销售,
方案二每台按售价销售,
所以采用方案一购买合算;
若x>5,方案一的费用:0.9ax;
方案二的费用:5a+0.8a(x-5)=0.8ax+a;
由题意,0.9ax>0.8ax+a,
解得x>10,
所以若该公司采用方案二购买更合算,x的取值范围是x>10且x为正整数.
课堂小结
肆
课堂小结
1.这节课你有何收获或感受
2.还有哪些需要老师和同学们帮你解决的问题吗
3.你还有什么新的见解
课后作业
基础题：1.课后习题 第1题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
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第3课时 利用一元一次不等式做决策
学习目标
1.能运用一元一次不等式解决实际问题中的方案选择型问题.
2.会根据题意抓住关键词语列不等式.
3.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想，体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用.
自主探索
任务一 利用一元一次不等式解决决策问题
活动1 甲、乙两超市以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案:在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费;在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费.顾客到哪家超市购物花费较少
问题1 “按九折收费”与”按九五折收费”是什么意思？
问题2 你是如何理解题意的呢
问题3 若已知购物款，你能求出在甲超市和乙超市分别花费多少元吗？请填写表格.
师生活动：教师设计出表格，给出一些具体的数据让学生计算.
购物款 在甲超市实际花费 在乙超市实际花费 花费较少的超市
40
80
120
200
问题4 如果购物款累计达到x元，你能用含x的式子分别表示出顾客在两家超市花费的钱数吗 能看出到哪家超市花费更少吗？
设购物款累计达到x元，
购物款 在甲超市实际花费 在乙超市实际花费 花费较少的超市
050x>100
问题5 如果累计购物超过100元,在两家超市的花费情况如何 顾客到哪家超市购物花费较少
问题6 你能综合上面分析，给出一个合理化的消费方案吗
【即时测评】
某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
（1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为多少元；乙超市的购物金额为 多少元；
（2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
当堂达标
1. 小诚响应“低碳环保，绿色出行”的号召，一直坚持跑步与步行相结合的上学方式．已知小诚家距离学校2200米，他步行的平均速度为80米/分，跑步的平均速度为200米/分．若他要在不超过20分钟的时间内从家到达学校，至少需要跑步多少分钟？
2.某企业向东南亚销售A,B两种外贸产品共6万吨.已知A种外贸产品每吨800元,B种外贸产品每吨400元.若A,B两种外贸产品销售额不低于3 200万元,则至少销售A产品多少万吨
3.商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台.最近,该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动,有两种优惠方案.方案一:每台按售价的九折销售.方案二:若购买不超过5台,每台按售价销售;若超过5台,超过的部分每台按售价的八折销售.某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台.
(1)当x=8时,应选择哪种方案,该公司购买费用最少 最少费用是多少元
(2)若该公司采用方案二购买更合算,求x的取值范围.
参考答案
当堂达标
1.解：设他需要跑步x分钟，由题意可得
200x+80（20-x）≥2200，
解得，x≥5．
答：小诚至少需要跑步5分钟．
2.解:设销售A种外贸产品x万吨,
由题意得,800x+400(6-x)≥3 200,
解之得x≥2,
答:至少销售A产品2万吨.
3.解:(1)当x=8时,
方案一费用:0.9a·8=7.2a元,
方案二费用:5a+0.8a(8-5)=7.4a元,
因为a>0,所以7.2a<7.4a,
所以方案一费用最少,最少费用7.2a元.
(2)若x≤5,方案一每台按售价的九折销售,
方案二每台按售价销售,
所以采用方案一购买合算;
若x>5,方案一的费用:0.9ax;
方案二的费用:5a+0.8a(x-5)=0.8ax+a;
由题意,0.9ax>0.8ax+a,
解得x>10,
所以若该公司采用方案二购买更合算,x的取值范围是x>10且x为正整数.
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第3课时 利用一元一次不等式做决策
课标摘录 能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的问题.建立模型观念.
教学目标 1.能运用一元一次不等式解决实际问题中的方案选择型问题. 2.会根据题意抓住关键词语列不等式. 3.体会解不等式过程中的化归思想与类比思想,体会分类讨论思想在用不等式解决实际问题中的应用.
教学重难点 重点:列出一元一次不等式解决实际问题. 难点:根据实际问题中的不等关系列出不等式.
教学策略 教学中要注重学生在小组内或小组间的合作交流,引导学生主动参与探究,通过设计恰当的问题情境,引导学生理解分类讨论的原因和必要性,使学生经历数学建模的过程,逐步引发学生深层思考.练习上注意练习设计的层次性,让学生在原有的基础上数学能力得到提高.
情境导入 前面我们结合实际问题,讨论了如何列不等式以及如何解不等式,在本节课上,我们将进一步探究如何用一元一次不等式解决生活中的一些实际问题. 在现实生活中我们天天都面临着各种选择,比如:同样一支钢笔,甲商店卖10元,乙商店卖12元,你会到哪家商店买这支钢笔呢 今天我们就来讨论生活中最常见的购物问题. 设计意图:先设计一个简单的购物问题,学生都理解,让学生感兴趣.
新知初探 探究 利用一元一次不等式解决决策问题 活动1 见教材P134例4或课件、导学案. 问题1:“按九折收费”与“按九五折收费”是什么意思 问题2:你是如何理解题意的呢 师生活动:先独立思考,理解题意,让学生自由发表自己的观点. 设计意图:设置此问题,为了学生能够主动思考问题,通过讨论来激发学生的兴趣,挖掘学生的创新潜能,使不同层次的学生都能得到发展. 问题3:若已知累计购物花费,你能求出在甲超市和乙超市分别花费多少元吗 请填写表格. 师生活动:教师设计出表格,给出一些具体的数据让学生计算.(表格见课件、导学案) 设计意图:通过具体的数据计算,让学生进一步体会两超市的收费计算方式,体会分类讨论的必要性,为下一步用代数式表示做好铺垫. 问题4:如果购物花费累计达到x元,你能用含x的式子分别表示出顾客在两家超市花费的钱数吗 能看出到哪家超市花费更少吗
师生活动:学生在回答的过程中,教师不断引导并完善. 引导学生用表格表示出来,并让学生完善表格.(表格见课件、导学案) 设购物花费累计达到x元. 师生共同分析讨论,发现: (1)如果累计购物不超过50元,那么在两家超市购物花费是一样的. (2)如果累计购物超过50元但不超过100元,那么在乙超市购物花费少. 问题5:如果累计购物超过100元,在两家超市的花费情况如何 顾客到哪家超市购物花费较少 师生活动:在学生充分发表意见的基础上,师生共同归纳出当购物超过100元时,需要分三种情况进行讨论: (1)什么情况下,到甲超市购物花费少 (2)什么情况下,到乙超市购物花费少 (3)什么情况下,到两家超市购物花费一样 学生分小组讨论、交流,教师指导,学生自己总结.(见课件) 教师在黑板上完善表格.(表格见课件) 问题6:你能综合上面分析,给出一个合理化的消费方案吗 师生活动:学生回答购物不超过50元和刚好消费150元时,在两家超市购物花费一样;超过50元而不到150元时,在乙超市购物花费少;超过150元后,在甲超市购物花费少. 探究 意图说明 学生从实际问题中抽象出数学问题,找出数量关系中的不等关系,用不等式来解决实际问题,让学生体会建立不等式模型的过程.教师及时予以指导、归纳和总结,展现完整的解答过程.培养学生有条理的思考和表达的习惯,渗透分类讨论的数学思想. 【即时测评】见课件、导学案. 设计意图:通过学习反馈,了解学习效果,让学生经历运用知识解决问题的过程,激发学习兴趣,建立学好数学的自信心,进一步达成学习目标.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.这节课你有何收获或感受 2.还有哪些需要老师和同学们帮你解决的问题吗 3.你还有什么新的见解 设计意图:课堂小结是知识沉淀的过程,学生由此对本节课所学内容进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识.
板书设计 第3课时 利用一元一次不等式做决策 1.利用一元一次不等式解决决策问题 2.分类讨论思想
教学反思
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第3课时
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤
例1 小明欲购买A,B两种型号的笔记本共 10本(不可只购买一种),要求其总价钱不超过60元,已知A型号的单价是5元,B型号的单价是7元,则购买方案有 种.
课堂互动
知识点 利用一元一次不等式解决方案问题
5
例2 (2024南通)某快递企业为提高工作效率,拟购买A,B两种型号的智能机器人进行快递分拣.相关信息如下:
信息一
A型机器 人台数 B型机器 人台数 总费用
(单位:万元)
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件;B型机器人每台每天可分拣快递18万件.
(1)求A,B两种型号智能机器人的单价;
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A,B两种型号智能机器人共10台,则该企业选择哪种购买方案,能使每天分拣快递的件数最多
解:(2)设购买A型智能机器人a台,则购买B型智能机器人(10-a)台.
由题意,得80a+60(10-a)≤700,
解得a≤5.
∵每天分拣快递的件数为22a+18(10-a)=4a+180,
∴当a=5时,每天分拣快递的件数最多,最多为200万件,此时,10-a=5.
答:选择购买A型智能机器人5台,购买B型智能机器人5台,能使每天分拣快递的件数最多.
1.某企业产品升级,决定购买10台新设备,现有A,B两种型号的设备,A型设备每台12万元,B型设备每台10万元,经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元,则该企业的购买方案有( )
A.4种 B.3种
C.2种 D.1种
基础题
B
2.为了促进消费,“五一”期间,甲、乙两家商场以同样的价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案.甲商场的优惠方案:购物累计超过300元,超过300元的部分打7.5折.乙商场的优惠方案:购物累计超过200元,超过200元但不超过1 000元的部分打8.5折,超过
1 000元的部分打6.5折.设顾客购物花费x元,当顾客选择甲商场购物花费较少时,x的取值范围是 .
4503.夏季到来,某度假村人气暴涨,景区内某商店借机大力促销山水豆腐花(单价:5元/杯),方案如下:若购买不超过10杯,则按原价付款;若一次性购买10杯以上,则超过部分打六折.小卉有60元,最多可以购买山水豆腐花 杯.
13
4.背景:亚运会期间,小明所在的班级开展知识竞赛,需要去商店购买A,B两种款式的亚运盲盒作为奖品.
素材1:某商店在无促销活动时,若买15个A款亚运盲盒、10个B款亚运盲盒,则共需230元;若买25个A款亚运盲盒、25个B款亚运盲盒,则共需450元.
素材2:该商店的促销活动:用35元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内任何商品,一律按商品价格的8折出售(已知小明在此之前不是该商店的会员);线上促销活动为购买商店内任何商品,一律按商品价格的9折出售且包邮.
问题解决:
任务1:该商店在无促销活动时,A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元
任务2:小明计划在促销期间购买A,B两款盲盒共40个,其中A款盲盒m个(0任务3:请你帮小明算一算,在任务2的条件下,购买A款盲盒的数量在什么范围内时,线下购买方式更合算
任务2:(1.6m+291) (1.8m+288)
任务3:根据题意,得1.6m+291<1.8m+288,解得m>15.
又∵0答:当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时,线下购买方式更
合算.
5.如图所示,一个容量为400 cm3的杯子中装有200 cm3的水,先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中,总体积变为320 cm3,接着依次放入
4个相同的小铁块,直到放入第4个后,发现有水溢出.若每颗小玻璃球的体积是a cm3,每个小铁块的体积是b cm3,则( )
A.320+4b<400
B.a+b<40
C.杯子中仅放入6个小铁块,水一定会溢出
D.杯子中仅放入8个小玻璃球,水一定不会溢出
中档题
D
小玻璃球
小铁块
6.某酱香白酒销售商准备向某酒厂购进一批中档酱香白酒进行销售,该酒厂有甲、乙两种品牌中档酱香白酒可供选择,据了解,购进10件甲种品牌中档酱香白酒和5件乙种品牌中档酱香白酒需要12 000元;购进3件甲种品牌中档酱香白酒和6件乙种品牌中档酱香白酒需要
6 300元.请根据以上信息解答下面的问题:
(1)甲种品牌中档酱香白酒每件的进价为 ;乙种品牌中档酱香白酒每件的进价为 .
解:(1)900 600
(2)若该酱香白酒销售商准备购进甲、乙两种品牌中档酱香白酒共100件,但准备的资金不超过84 000元,则该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒多少件
解:(2)设该酱香白酒销售商购进甲种品牌中档酱香白酒m件,则购进乙种品牌中档酱香白酒(100-m)件.
根据题意,得900m+600(100-m)≤84 000,
解得m≤80,∴m的最大值为80.
答:该酱香白酒销售商最多能购进甲种品牌中档酱香白酒80件.
(3)在(2)的条件下,若该酱香白酒销售商准备的资金不低于83 400元,则该酱香白酒销售商有几种购进方案 若该酱香白酒销售商将甲、乙两种品牌中档酱香白酒分别以每件1 200元和每件800元的售价全部卖出,该酱香白酒销售商选择哪一种方案获利最大 最大利润是多少
解:(3)设该酱香白酒销售商购进甲种品牌中档酱香白酒m件,则购进乙种品牌中档酱香白酒(100-m)件.
根据题意,得900m+600(100-m)≥83 400,
解得m≥78.
又∵m≤80,
∴78≤m≤80.
∵m为整数,
∴m可取78,79,80,
∴有3种购进方案:
①购进甲种品牌中档酱香白酒78件,乙种品牌中档酱香白酒22件,利润为78×(1 200-900)+22×(800-600)=27 800(元);
②购进甲种品牌中档酱香白酒79件,乙种品牌中档酱香白酒21件,利润为79×(1 200-900)+21×(800-600)=27 900(元);
③购进甲种品牌中档酱香白酒80件,乙种品牌中档酱香白酒20件,利润为80×(1 200-900)+20×(800-600)=28 000(元).
∵27 800<27 900<28 000,
∴选择方案③购进甲种品牌中档酱香白酒80件,乙种品牌中档酱香白酒20件,获利最大,最大利润为28 000元.
素养题
7.(应用意识)某单位准备购买文化用品,现有甲、乙两家超市进行促销活动,该文化用品两家超市的标价均为10元/件,甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠,超过400元的部分按标价的6折售卖;乙超市全部按标价的8折售卖.假如你是该单位的采购员,你认为选择哪家超市支付的费用较少
解:设购买x件这种文化用品.
当0在甲超市的购物金额为10x元;
在乙超市的购物金额为0.8×10x=8x(元).
∵10x>8x,
∴选择乙超市支付的费用较少.
当x>40时,
在甲超市的购物金额为 400+0.6(10x-400)=(6x+160)(元);
在乙超市的购物金额为0.8×10x=8x(元).
若6x+160>8x,则x<80;
若6x+160=8x,则x=80;
若6x+160<8x,则x>80.
综上所述,当购买数量不足80件时,选择乙超市支付的费用较少;当购买数量为80件时,选择两家超市支付的费用相同;当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用较少.
