(共21张PPT)
2 整式的乘法
第1章 整式的乘除
第3课时 多项式乘多项式
【学习目标】
1.通过观察长方形图形面积的几种表示方法，会说出多项式乘以多项式的法则，并运用其法则进行多项式乘法的运算，培养学生逻辑推理能力和计算能力
2.通过丰富的实例练习，体会乘法分配律的作用和转化的思想及其实际运用，发展学生的应用意识和语言表达能力
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
为了把校园建设成为花园式的学校，经研究决定将原有的长为m米，宽为n米的足球场向宿舍楼方向加长a米，向厕所方向加宽b米，扩建成为美化校园绿草地.你是学校的小主人，你能帮助学校计算出扩建后绿地的面积吗？
新知初探
贰
新知初探
探究一：多项式乘多项式
贰
活动1 某地区在退耕还林期间，有一块原长 m 米，宽为 a 米的长方形林区增长了 n 米，加宽了 b 米，请你表示这块林区现在的面积.
a
m
b
n
ma
na
mb
nb
a
m
b
n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
这块林区现在长为 (m + n) 米，宽为 (a + b) 米.
由于 (m + n)(a + b) 和 (ma + mb + na + nb) 表示同一块地的面积，故有：
(m + n)(a + b) =
ma
+ mb
+ na
+ nb.
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
实际上，把 (m + n) 看成一个整体，有：
= ma + mb + na + nb.
(m + n)(a + b)
= (m + n)a + (m + n)b
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
归纳总结
多项式乘多项式
1
2
3
4
(a + b)(m + n)
=
am
1
2
3
4
+ an
+ bm
+ bn
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
情境导入
范例应用
例3 计算：(1 )(1－x)(0.6－x)；
(2) (2x+y)(x－y)；
解： (1) 原式= 1×0.6－1×x－x · 0.6 + x · x
= 0.6－x－0.6x + x2
= 0.6－1.6x + x2；
(2) 原式= 2x·x－2x · y + y · x－ y · y
= 2x2－2xy + xy－y2
= 2x2－xy－y2；
注意：(1)漏乘；(2)符号问题；(3)最后结果应化成
最简形式(是同类项的要合并).
即时测评
1.(x + y)(x2－xy + y2).
解：原式= x · x2－x · xy + xy2 + x2y－xy2 + y · y2
= x3－x2y + xy2 + x2y－xy2 + y3
= x3 + y3.
2.先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中 a＝－1，b＝1.
解：原式＝ a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝ a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝ －8b3＋2a2b＋15ab2.
当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：化简求值的题型，一定要注意先化简，
再求值，不能先代值，再计算．
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.计算：(1) (x 3y)(x + 7y)； (2) (2x + 5y)(3x 2y).
= x2 + 4xy 21y2.
解：(1) 原式 = x2 + 7xy 3yx 21y2
(2) 原式 = 2x 3x 2x 2y + 5 y 3x 5y 2y
= 6x2 4xy + 15xy 10y2
= 6x2 + 11xy 10y2.
2. 计算求值：(4x + 3y)(4x－3y) + (2x + y)(3x－5y)，其中 x = 1，y =－2.
解：原式=
当 x = 1，y = －2 时，原式= 22×12－7×1×(－2)
－14×(－2)2 = 22 + 14－56 = －20.
3. 小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长 a 厘米，宽 b 厘米，厚 c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？
七年级(下)
姓名：__________
数学
c
b
a
解：(2m + 2b + c)(2m + a)
= 4m2 + 2ma + 4bm + 2ab + 2cm + ca.
答：小东应在挂历画上裁下一块 (4m2 + 2ma + 4bm
+ 2ab + 2cm + ca) 平方厘米的长方形.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式乘多项式，再进一步转化为单项式乘单项式
(x－1)2=(x－1)(x－1)，而不是 x2－12
课后作业
基础题：1.习题1.2 第 2题（5）（6）、5题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题1.2第8题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 多项式乘多项式 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过观察长方形图形面积的几种表示方法，会说出多项式乘以多项式的法则，并运用其法则进行多项式乘法的运算，培养学生逻辑推理能力和计算能力
2.通过丰富的实例练习，体会乘法分配律的作用和转化的思想及其实际运用，发展学生的应用意识和语言表达能力
【学习过程】
任务一：多项式乘多项式
活动1:为了把校园建设成为花园式的学校，经研究决定将原有的长为m米，宽为n米的足球场向宿舍楼方向加长a米，向厕所方向加宽b米，扩建成为美化校园绿草地.你是学校的小主人，你能帮助学校计算出扩建后绿地的面积吗？
活动2 某地区在退耕还林期间，有一块原长 m 米，宽为 a 米的长方形林区增长了 n 米，加宽了 b 米，请你表示这块林区现在的面积.
( m + a ) ( n + b )；n ( m + a ) + b ( m + a )；m ( n + b ) + a ( n + b ) 和 mn + mb +na + ba
由于都表示图 1-2中长方形的面积，从而有
( m + a ) ( n + b ) = n ( ) + b ( ) =m ( ) + a ( ) = mn + mb + na + ba．
【方法归纳】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
活动3 例题解析
例3、计算：（1）( 1 - x ) ( 0.6 - x )； （2）( 2 x + y ) ( x - y )．
【即时测评】
1.(x + y)(x2－xy + y2).
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
3.小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长 a 厘米，宽 b 厘米，厚 c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去 m 厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？
参考答案
即时测评：
1.x3 + y3
2.－8b3＋2a2b＋15ab2 ，-21
当堂训练
1.（1）x2 + 4xy 21y2 （2）6x2 + 11xy 10y2
2.22x2-7xy-14y2 ;-20
3.
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第3课时 多项式乘多项式
课标摘录 能进行简单的整式乘法运算。
教学目标 1.理解多项式与多项式相乘法则,会运用法则进行计算。 2.能用多项式乘多项式法则进行简单的化简求值。
教学重难点 重点:多项式乘法法则的导出及其运用。 难点:法则的推导及综合应用。
教学策略 本节课通过带领学生进行拼图活动,在活动中发现、探索、验证多项式乘多项式的法则,正确理解法则,并能应用法则进行计算。在此过程中要关注学生理解算理,体会转化的思想。
情境导入 为了把校园建设成为花园式的学校,经研究决定将原有的长为m米,宽为n米的足球场向宿舍楼方向加长a米,向厕所方向加宽b米,扩建成为美化校园绿草地。你是学校的小主人,你能帮助学校计算出扩建后绿地的面积吗
新知初探 探究一 多项式乘多项式 活动1:尝试思考 如图所示是一个长和宽分别为m,n的长方形纸片,如果它的长和宽分别增加a,b,所得长方形的面积可以怎样表示 (m+a)(n+b);n(m+a)+b(m+a);m(n+b)+a(n+b)和mn+mb+na+ba。 由于都表示图中长方形的面积,从而有 (m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(n+b)+a(n+b)=mn+mb+na+ba。 活动2:从代数运算的角度探索法则 引导学生把(m+a)或(n+b)看成一个整体,利用乘法分配律进行探索。此过程要求学生理解算理。 归纳总结:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。 意图说明 引导学生建立模型,让学生通过不同形式的多项式相乘,灵活应用法则,针对解决不同的问题,积累解题经验,提高灵活运用所学知识解决问题的能力。
新知初探 探究二 多项式乘多项式法则应用 活动3:例题解析 例题 计算: (1)(1-x)(0.6-x);(2)(2x+y)(x-y)。 解:(1)(1-x)(0.6-x) =1×0.6-1·x-x·0.6+x·x =0.6-x-0.6x+x2 =0.6-1.6x+x2。 (2)(2x+y)(x-y) =2x·x-2x·y+y·x-y·y =2x2-2xy+xy-y2 =2x2-xy-y2。 归纳总结:多项式乘多项式时,应注意以下几点: (1)相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏; (2)多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积; (3)相乘后,若有同类项应该合并。 活动4:拓展应用 1.若(mx+y)(x-y)=2x2+nxy-y2,求m,n的值。 2.已知(x2+mx+n)(x+1)的结果中不含x2项和x项,求m,n的值。 3.计算(a+b+c)(c+d+e),你有什么发现 意图说明 让学生在数学活动中去体验、感受数学,能灵活地进行整式的乘法运算。从而更好地理解知识,让学生的认知结构得到不断的完善。拓展应用促使学生运用所学知识解决不同的问题,体现数学知识间的联系与转化,提高学生解决问题的能力。教学时要让学生说出道理,有意识地培养他们有条理的思考和语言表达能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 多项式乘多项式 1.探索多项式乘多项式的法则 2.例题解析 3.拓展应用
教学反思
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第3课时 多项式乘多项式
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的 乘另一个多项式的 ,再把所得的积 ,在多项式与多项式相乘后所得的积中,如果有同类项,要合并同类项。
每一项
每一项
相加
课堂互动
知识点1:多项式与多项式相乘
例1 下列各式计算正确的是( )
A.2x(3x-2)=5x2-4x
B.(2y+3x)(3x-2y)=9x2-4y2
C.(x+2)2=x2+2x+4
D.(x+2)(2x-1)=2x2+5x-2
B
知识点2:多项式与多项式相乘的应用
例2 如图所示,有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为 (a+2b),宽为(a+b)的大长方形,则需要A类、B类、C类卡片各多少张
[思路点拨] 由题意可得,一张A类卡片的面积为a2,一张B类卡片的面积为b2,一张C类卡片的面积为ab。通过计算拼成大长方形的面积即可求出需要A,B,C三类卡片的数量。
解:因为(a+2b)(a+b)
=a2+ab+2ab+2b2
=a2+3ab+2b2,
即需要一张A类正方形卡片,两张B类正方形卡片和三张C类长方形卡片。
基础题
1.计算(x+2)(x+3)的结果为( )
A.x2+6 B.x2+5x+6
C.x2+5x+5 D.x2+6x+6
2.计算(a+b)(2a-3b)的结果是( )
A.2a2-3b2 B.2a+ab-3b2
C.2a2-ab-3b2 D.2a2-ab+3b2
B
C
3.若长方形的长为(a2-a+1),宽为(a+1),则这个长方形的面积为( )
A.a3-2a2+a-1 B.a3+2a2-a-1
C.a3+1 D.a3-1
4.若关于x的多项式(x-1)·(x+1)=xm-1,则m的值是( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
C
A
5.计算:
(1)(x-8y)(x-y);
解:(1)(x-8y)(x-y)
=x·x-x·y-8y·x+8y·y
=x2-xy-8xy+8y2
=x2-9xy+8y2。
(2)(-3x-1)(3x-1);
解:(2)(-3x-1)(3x-1)
=(-3x)·3x-(-3x)·1-3x+1
=-9x2+3x-3x+1
=-9x2+1。
(3)(a+b)(a2-ab+b2);
(4)(3x-2)2。
解:(3)(a+b)(a2-ab+b2)
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3+b3。
(4)(3x-2)2=(3x-2)(3x-2)=9x2-6x-6x+4=9x2-12x+4。
6.先化简,再求值:5a(a2+2a+1)-a(a-4)·(5a-3),其中a=1。
解:5a(a2+2a+1)-a(a-4)(5a-3)
=5a3+10a2+5a-a(5a2-3a-20a+12)
=5a3+10a2+5a-a(5a2-23a+12)
=5a3+10a2+5a-5a3+23a2-12a
=33a2-7a。
当a=1时,原式=33×12-7×1=33-7=26。
中档题
7.如图所示的长方形,小明用了下列四种方法表示其面积:
①(m+n)(a+b);
②m(a+b)+n(a+b);
③a(m+n)+b(m+n);
④ma+mb+na+nb。
其中正确的是( )
A.① B.④
C.①④ D.①②③④
D
8.如果(x+1)(2x+m)=2x2-2n,那么m+n的值为( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
9.对任意整数x,(2x-3)(x-3)+(x+3)(x-6)都能( )
A.被3整除 B.被4整除
C.被5整除 D.被6整除
10.已知m+n=2,mn=-2,则(1-m)(1-n)的值为 。
D
A
-3
11.如图所示,在一块长为(3a+b)m,宽为(3a-b)m的长方形空地四周修建宽均为(a-b)m的小路,剩余部分种植草坪(图中阴影部分)。
(1)列式计算出种植草坪的面积并化简。
解:(1)S草坪=[(3a+b)-(2a-2b)][(3a-b)-(2a-2b)]
=(3a+b-2a+2b)·(3a-b-2a+2b)
=(a+3b)(a+b)
=a2+ab+3ab+3b2
=(a2+4ab+3b2)(m2)。
(2)当a=5,b=2时,小路的面积是多少平方米
解:(2)当a=5,b=2时,
S草坪=25+4×5×2+3×4=77(m2),
所以小路的面积=(3a+b)(3a-b)-77
=9a2-3ab+3ab-b2-77=9a2-b2-77
=9×25-4-77=144(m2)。
素养题
12.观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x2-1;
(x-1)(x2+x+1)=x3-1;
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1……
(1)根据以上规律,则(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= ;
解:(1)x7-1
(2)由此归纳出一般性规律:
(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)= ;
(3)根据(2)求出1+2+22+…+234+235的结果。
解:(2)xn+1-1
(3)原式=(2-1)×(1+2+22+…+234+235)=236-1。
