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第1课时 平方差公式的认识
第1章 整式的乘除
3 乘法公式
【学习目标】
1.通过探索平方差公式的过程，能知道平方差公式的意义，进一步发展符号感和推理能力.
2.能推导平方差公式，能运用公式进行简单的计算和推理.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
绘画课上，灵灵向新新借了一张边长为 a cm 的正方形彩纸.几天后还了一张宽为 (a - 4) cm，长为 (a + 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？
解：原正方形彩纸面积 a2
还的彩纸面积：
(a + 4)(a 4)
= a2 4a + 4a 42= a2 42＜a2
新知初探
贰
新知初探
探究一：平方差公式的认识
贰
活动1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？
对于任意数字 a、b 都有
(a + b)(a b) = a2 ab + ab b2= a2 b2.
猜想：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a + b)(a b) = a2 b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
(a – b)(a + b) = a2 b2
(b + a)( b + a) = a2 b2
知识要点
平方差公式：
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个
多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
适当交换
合理加括号
填一填：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a - b)(a + b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
情境导入
范例应用
例1 利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) 原式＝52－(6x)2 ＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2.
(3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
注意：1. 先把要计算的式子与公式对照；
2. 哪个是 a 哪个是 b
例2 利用平方差公式计算：
(1) ； (2) (ab + 8)(ab－8).
解：(1) 原式 =
(2) 原式 = (ab)2－82
= a2b2－64.
即时测评
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)
＝x4－16.
1.利用平方差公式计算：
2.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，
其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.下列式子能用平方差公式计算吗 为什么 如果能
够，怎样计算
(1) (a + b)( a b) ；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b) ；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
(不能)
(不能)
(不能)
(能)
(不能)
(a2 b2) =
a2 + b2.
2. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
不对
改正：x2－4
不对
改正方法1：
原式 =－[(3a + 2)(3a－2)]
=－(9a2－4)
=－9a2 + 4.
改正方法2：
原式 = (－2－3a)(－2 + 3a)
= (－2)2－(3a)2
= 4－9a2.
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
解：原式 = (2a + 3)(2a－3)
= (2a)2－32
= 4a2－9.
= a2－9b2.
解：原式 = a2－(3b)2
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
3. 利用平方差公式计算：
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
解：原式 = (－2x2 )2－y2
= 4x4－y2.
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
解：原式 = (－5 + 6x)(－5－6x)
= (－5)2－(6x)2
= 25－36x2.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 符号表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
课后作业
基础题：1.习题1.3 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题1.3第10题
谢
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第1课时 平方差公式的认识 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过探索平方差公式的过程，能知道平方差公式的意义，进一步发展符号感和推理能力.
2.能推导平方差公式，能运用公式进行简单的计算和推理.
【学习过程】
任务一：平方差公式
活动1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(x＋ 2)( x－2)； (1＋3a)(1－3a)； ③ (x＋5y)(x－5y)； ④ (2y＋z)(2y－z).
活动2归纳总结平方差公式：
（1）两数和与这两数差的 ，等于它们的 .
（2）用字母表示为： .
活动3 填一填
活动4 例题解析
例1 利用平方差公式计算：
（1）(5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)； (3) (－m＋n)(－m－n).
例2 利用平方差公式计算：
【方法归纳】注意：1. 先把要计算的式子与公式对照；
2. 哪个是 a 哪个是 b
【即时测评】
1.利用平方差公式计算：
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
2.先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1.下列式子能用平方差公式计算吗 为什么 如果能够，怎样计算
(1) (a + b)(-a - b) ；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) -(a b)(a + b) ；
(5) (-2x + y)(y 2x).
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2； (2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
利用平方差公式计算：
(a + 3b)(a - 3b)； (2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)； (4) (－5 + 6x)(－6x－5).
参考答案
即时测评：
1.（1）49m2－64n2 （2）x4－16
2.5x2－5y2 ，-15
当堂训练
1.（1）不能（2）不能（3）不能（4）能，-（a2-b2）=-a2+b2（5）不能
2.(1)不对，x2－4 (2)不对，4-9a2
3.(1) a2－9b2 (2) 4a2－9 (3) 4x4－y2 (4)25－36x2
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第1课时 平方差公式的认识
课标摘录 知道平方差公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理。
教学目标 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用。 2.理解平方差公式的结构特征,并能运用公式进行简单的运算。
教学重难点 重点:理解平方差公式的结构特征及几何意义,并能灵活运用平方差公式。 难点:准确理解和掌握公式的结构特征及平方差公式的应用。
教学策略 本节课的设计理念是遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则,重组教材,恰当地创设情境、激发学生对数学的好奇心和求知欲,通过独立思考,不断发现和提出问题,分析并创造性地解决问题。
情境导入 绘画课上,灵灵向新新借了一张边长为a cm的正方形彩纸。几天后还了一张宽为(a-4)cm,长为(a+4)cm的长方形彩纸。两张彩纸面积相等吗 解:原正方形彩纸面积为a2, 还的彩纸面积:(a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42=a2-42
新知初探 探究一 平方差公式 活动1:计算下列多项式,你能发现什么规律 ①(x+2)(x-2); ②(1+3a)(1-3a); ③(x+5y)(x-5y); ④(2y+z)(2y-z)。 师生活动:学生独立思考,根据教师引导完成填空,得出猜想:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。 猜想:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。 验证:对于任意数字,探究上述结果是否仍成立 对于任意数字a,b都有(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2。 知识要点 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。 公式变形:(a-b)(a+b)=a2-b2; (b+a)(-b+a)=a2-b2。
新知初探 活动2:填一填 (a-b)(a+b)ab a2-b2 (1+x)(1-x)1 x 12-x2(-3+a)(-3-a)-3a (-3)2-a2 (1+a)(-1+a) a 1a2-12(0.3x-1)(1+0.3x)0.3x1 (0.3x)2-12
师生活动:学生独立完成计算,学生代表发言,教师予以适当的评价。 意图说明 学生的活动不能停留在简单的、机械的操作活动上,而是要立足于复杂的思维活动上,学生根据公式特点,自己去寻找对象,发散性大,这样学生创造的自由度大。 探究二 平方差公式的应用 活动3:例题解析 例题 利用平方差公式计算: (1)(5+6x)(5-6x); (2)(x-2y)(x+2y); (3)(-m+n)(-m-n)。 解:(1) (2)原式=x2-(2y)2=x2-4y2。 (3)原式=(-m)2-n2=m2-n2。 师生活动:学生独立思考,教师解析例题(1),学生独立完成例题(2)(3)的计算。 教师引导学生归纳总结: 应用平方差公式计算时,应注意: (1)观察该运算是否符合平方差公式(两个多项式中的各项,除符号外是否完全相同); (2)符号相同看作a,符号相反看作b,套用公式。 例2 利用平方差公式计算 (1)-x-y-x+y; (2)(ab+8)(ab-8)。 师生活动:教师引导学生规范解题步骤,学生独立完成作答。 活动4:巩固练习 1.利用平方差公式计算: (1)(-7m+8n)(-8n-7m); (2)(x-2)(x+2)(x2+4)。 师生活动:学生独立完成计算,小组互相批改。 2.先化简,再求值:(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x),其中x=1,y=2。 师生活动:教师引导学生梳理解题步骤,学生独立完成作答。 意图说明 让学生在做题的过程中,强化学生分辨平方差公式中的“a”和“b”的能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 平方差公式的认识 1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差 2.知识要点
3.例题解析 4.例题解析 巩固练习
教学反思
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3 乘法公式
第1课时 平方差公式的认识
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
平方差公式:(a+b)(a-b)= ,即两数和与这两数差的积,等于它们的 。
a2-b2
平方差
课堂互动
知识点1:平方差公式
例1 计算(2b+3)(2b-3)的值为( )
A.4b2-9 B.4b2-3
C.2b2-9 D.2b2-3
例2 下列各式能用平方差公式计算的是( )
A.(a+b)(a-c) B.(x+y)(-y+x)
C.(ab-3x)(3x-ab) D.(-m-n)(m+n)
A
B
[规律总结] 平方差公式的特点:等式左边两因式中,必须有相同的项和相反的项,右边是相同项的平方减去相反项的平方。
知识点2:平方差公式的简单应用
例3 李叔叔把一块边长为a m(a>6)的正方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的一边增加6 m,相邻的另一边减少6 m,变成长方形土地继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何 ”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会( )
A.没有变化 B.变大了
C.变小了 D.无法确定
例4 已知x2-y2=4 042,y-x=2 021,则 x+y= 。
C
-2
基础题
1.计算(x+4)(x-4)的结果是( )
A.x2-16 B.x2+16
C.16-x2 D.-x2-16
2.(2024贵阳期中)下列各式可以运用平方差公式计算的是( )
A.(3x-y)(3x-y) B.(3x-y)(y-3x)
C.(3x-y)(3x+y) D.(3x+y)(x-3y)
A
C
3.下列计算正确的是( )
A.(1-x)(1-x)=x2-1
B.(x+3y)(x-3y)=x2-9y2
C.(2x-y)(-2x-y)=4x2-y2
D.(2b+3a)(2b-3a)=4b2-3a2
4.如果长方形的长为2x+5,宽为2x-5,那么这个长方形的面积为( )
A.2x2-5 B.4x2-5
C.4x2+25 D.4x2-25
B
D
5.如果多项式A满足A(a+1)=a2-1,那么A= 。
a-1
7.用平方差公式计算:
(1)(3+2a)(3-2a);
解:(1)(3+2a)(3-2a)
=32-(2a)2
=9-4a2。
中档题
8.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“创新数”,如8=32-12,16=52-32,所以8,16都是“创新数”,下列整数是“创新数”的是( )
A.20 B.22 C.30 D.32
9.定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为 。
D
x2-1
10.计算:
(1)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y);
解:(1)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y)
=x2-4y2-(3y-4y2)
=x2-4y2-3y+4y2
=x2-3y。
(2)x(x+2)+(1+x)(1-x);
(3)b(a+b)-(b-a)(a+b);
解:(2)x(x+2)+(1+x)(1-x)=x2+2x+1-x2=2x+1。
(3)b(a+b)-(b-a)(a+b)
=ab+b2-(b2-a2)
=ab+b2-b2+a2
=ab+a2。
(4)(x+y)(x2+y2)(x-y)。
解:(4)(x+y)(x2+y2)(x-y)
=(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)
=x4-y4。
11.如图(1)(2)所示,约定:上方相邻两代数式之和等于这两代数式下方箭头共同指向的代数式。
图(1)
图(2)
(1)求代数式M。
(2)嘉嘉说:“无论x取什么值,M的值一定大于N的值。”嘉嘉的说法是否正确 请通过计算说明理由。
素养题
12.(推理能力)观察下面的等式:
42-22=4×3,
62-42=4×5,
82-62=4×7,
102-82=4×9……
(1)根据你发现的规律,写出202-182的结果;
解:(1)202-182=4×19。
(2)根据上面的规律归纳出一个一般性的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
解:(2)第n个等式为(2n+2)2-(2n)2=4(2n+1)。
(3)请运用有关知识,说明这个结论是正确的。
解:(3)等式左边=(2n+2)2-(2n)2
=4n2+8n+4-4n2
=8n+4
=4(2n+1)
=等式右边,
故等式成立。
