(共26张PPT)
3 乘法公式
第1章 整式的乘除
第2课时 平方差公式的应用
【学习目标】
1.通过拼图，了解平方差公式的几何背景.
2.会用平方差公式进行简便计算.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“好厉害，怎么算得这么快？”
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
新知初探
贰
新知初探
探究一：平方差公式的验证
贰
活动1：将长为 (a + b)，宽为 (a－b) 的长方形，剪下宽为 b 的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a + b)(a b) = a2 b2
a
a
b
b
a + b
a - b
b
b
几何验证平方差公式
a
a
b
b
a2 - b2
a
b
b
b
(a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
a - b
a - b
a
a
a2
b
a
a2 - b2
a
b
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
b
a
a
b
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
活动2：想一想
(1) 计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8 = 48 14×16 = 224 69×71 = 4899
7×7 = 49 15×15 = 225 70×70 = 4900
(2) 从以上的过程中，你发现了什么规律？
请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a + b)(a b) = a2 b2
探究二：平方差公式的应用
情境导入
范例应用
例3 计算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：103×97
= (100＋3)(100－3)
= 1002－32
= 10000 － 9
= 9991.
解：118×122
= (120－2)(120＋2)
= 1202－22
= 14400－4
= 14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用.
例4 计算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2
= a4－ a2b2 + a2b2
= a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x)
= 4x2－25－4x2+6x
= 6x－25.
即时测评
解：(1) 原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(1) 51×49；
(2) 13.2×12.8；
1. 利用平方差公式计算：
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
2. 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
因为 a2＞a2－16，所以 李大妈吃亏了.
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
2. 97×103 = ( )×( ) = ( ).
3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______.
100－3
100 + 3
1002－32
x = 4
B
4. 计算：
(1) 20232 －2024×2022；
解：20232－2024×2022
= 20232－(2023＋1)(2023－1)
= 20232－(20232－1)
= 20232－20232＋1
= 1.
(2) (y + 2) (y－2) － (y－1) (y + 5) .
解：(y + 2)(y－2)－ (y－1)(y + 5)
= y2－22－(y2 + 4y－5)
= y2－4－y2－4y + 5
= －4y + 1.
（2） 若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是______．
解析：A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(22－1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(24－1)(24 + 1)
＝28－1＝255．
255
5.能力拓展：
（1） 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1. 符号表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
课后作业
基础题：1.习题1.3 第6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题1.3第5题（1）（2）题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 平方差公式的应用 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过拼图，了解平方差公式的几何背景.
2.会用平方差公式进行简便计算.
【学习过程】
任务一：验证平方差公式
活动1:观察图片，回答下列问题：
如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
（1）请表示图1中阴影部分的面积.
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗
小组讨论交流，回答问题.
评价任务一
得分：
任务二：平方差公式的应用
活动2 观察思考：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点:
7×9= 8×8=
11×13= 12×12=
79×81= 80×80=
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗
活动3 例题解析
例3用平方差公式进行计算：
(1)103×97； (2)118×122.
例4计算：
(1)a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3).
【即时测评】
1. 利用平方差公式计算：
(1) 51×49； (2) 13.2×12.8；
2.王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 已知 a = 7202，b = 721×719，则 ( )
A. a = b B. a＞b C. a＜b D. a≤b
2. 97×103 = ( )×( ) = ( ).
3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______.
4. 计算：
(1) 20232 －2024×2022； (2) (y + 2)(y－2) － (y－1)(y + 5) .
能力拓展：
（1） 计算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).（2） 若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，则 A 的值是______．
参考答案
即时测评：
1.（1）2499 （2）168.96
2.解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形面积为 a2 ，改变边长后面积为 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵ a2＞a2－16，∴ 李大妈吃亏了.
当堂训练
1.B 2.100-3，100+3，1002-32 3.x=4 4.(1)1 (2)－4y + 1 5.(1)x4-y4 (2)255
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第2课时 平方差公式的应用
课标摘录 知道平方差公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理。
教学目标 1.通过实例,了解平方差公式的几何背景,会运用平方差公式进行一些简便运算。 2.通过观察图形的拼接,验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,发展几何直观,从中体会数形结合的数学思想。
教学重难点 重点:对上一节课平方差公式的进一步巩固,并拓展到有关数的简便运算中去。 难点:通过拼图游戏,对平方差公式进行几何意义解释。
教学策略 本节课的设计理念是遵循“教学、学习、研究”同步协调的原则,让学生在探究合作交流的过程中,展示思维过程,让学生的思维全过程得到充分暴露,学生在再发现、再发明的过程中,思维火花发生强烈碰撞,从而促使数学结论的发现、生成。本节课可以按如下教学方式展开:放手做一做——引导想一想——鼓励说一说——特例验一验——设法证一证(多项式展开、几何图形解释)——规律用一用。
情境导入 王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克,售货员刚拿起计算器,王敏就说出应付99.96元,结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说:“你真厉害,怎么算得这么快 ” 王敏同学说:“过奖了,我利用了在数学上刚学过的一个公式.” 你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗
新知初探 探究一 验证平方差公式 活动1:操作、思考 上节课我们学方差公式,你能通过下面的正方形验证它吗 请表示图中阴影部分的面积。 沿着所画虚线将阴影部分剪开,拼成一个长方形,长方形的长和宽分别是多少 你能通过上述过程验证平方差公式吗
活动2:观察、思考 (1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特点: 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= (2)从以上的过程中,你发现了什么规律 (3)请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗 让我们一起验证一下。 (a+1)(a-1) =a2-12 =a2-1。 所以(a+1)(a-1)=a2-1是正确的。 平方差公式在用于简便运算时,关键是找到这两个数的平均数,再将原两个数与这个平均数进行比较变形为两数的和与这两数的差的积的形式,使之符合公式的特点,再用平方差公式可求解。 意图说明 引导学生建立模型,经历探索平方差公式的过程,会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识,进行简单的混合运算,积累解题经验,提高灵活地运用所学知识解决问题的能力。 探究二 平方差公式的应用 活动3:例题解析 例1 用平方差公式进行计算 (1)103×97; (2)118×122。 例2 计算: (1)a2(a+b)(a-b)+a2b2; (2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)。 上面两个小题,是整式的混合运算,平方差公式的应用,能使运算简便;还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简。 意图说明 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学,运用平方差公式,进行简单的混合运算,巩固平方差公式,体会平方差公式在解决计算类问题中的简便作用。从而更好地理解知识,让学生的认知结构得到不断的完善。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 平方差公式的应用 1.平方差公式的验证 2.观察、思考 3.例题解析
教学反思
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第2课时 平方差公式的应用
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,b既可以表示一个数,也可以表示一个 ,还可以表示一个 。
单项式
多项式
课堂互动
知识点1:平方差公式的几何背景
例1 将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形[如图(1)所示],将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分,将①和②两部分拼成一个长方形[如图(2)所示]。
图(1)
图(2)
解:(1)S1=a2-b2,S2=(a+b)(a-b)。
(1)设图(1)中阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1和S2(不必化简)。
(2)题(1)的结果验证了一个乘法公式,请写出来。
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2。
解:(3)①因为(x+2y)(x-2y)=x2-4y2,
x2-4y2=12,x+2y=4,所以x-2y=12÷4=3。
(3)应用你从(2)中得出的公式,完成下列各题:
①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值;
②化简(2x-y)(2x+y)(4x2+y2)。
②(2x-y)(2x+y)(4x2+y2)=(4x2-y2)(4x2+y2)=16x4-y4。
知识点2:运用平方差公式进行简便运算
例2 计算:(1)10.3×9.7;
(2)2 022×2 024-2 0232;
解:(1)10.3×9.7=(10+0.3)×(10-0.3)=102-0.32=100-0.09=99.91。
(2)2 022×2 024-2 0232
=(2 023-1)×(2 023+1)-2 0232
=2 0232-1-2 0232=-1。
基础题
1.如图(1)所示,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形
(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将两个长方形拼成如图(2)所示的长方形。能解释这两个图操作过程的等式是
( )
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
B
图(1) 图2
2.对任意整数n,(2n+1)2-25都能( )
A.被3整除 B.被4整除
C.被5整除 D.被6整除
3.用平方差公式计算199×201正确的是( )
A.(200-1)(200+1)
B.(200-1)(199+2)
C.(201-2)(200+1)
D.(198+1)(198+3)
B
A
4.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形[如图(1)所示],然后将剩余部分拼成一个长方形[如图(2)所示]。
图(1)
图(2)
(1)通过表示阴影部分的面积,可得数学等式为 。
解:(1)a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)已知x-2y=3,x+2y=4,则x2-4y2的值为 。
(3)应用(1)得到的数学等式进行简便运算:102-92+82-72+62-52+42-32+22-12。
解:(2)12
(3)102-92+82-72+62-52+42-32+22-12
=(102-92)+(82-72)+(62-52)+(42-32)+(22-12)
=(10+9)×(10-9)+(8+7)×(8-7)+(6+5)×(6-5)+(4+3)×(4-3)+
(2+1)×(2-1)
=19+15+11+7+3=55。
中档题
5.如图所示,从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后,将其裁成四个相同的等腰梯形,然后拼成一个平行四边形,那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的等式为( )
A.a2-b2=(a-b)2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2
D.a2-b2=(a+b)(a-b)
D
6.三个连续奇数,设中间一个数是n,则这三个整数的积是( )
A.3n B.n3 C.n3-4 D.n3-4n
D
8.已知a2-2a+1=0,求代数式a(a-4)+(a+1)(a-1)+1的值。
解:a(a-4)+(a+1)(a-1)+1
=a2-4a+a2-1+1
=2a2-4a
=2(a2-2a)。
因为a2-2a+1=0,
所以a2-2a=-1。
所以原式=2×(-1)=-2。
素养题
9.(运算能力)运用你所学到的公式,计算:
2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1。
解:2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1
=(3-1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1
=(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)+1
=(34-1)(34+1)(38+1)(316+1)+1
=(38-1)(38+1)(316+1)+1
=(316-1)(316+1)+1
=332-1+1=332。
