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3 乘法公式
第1章 整式的乘除
第3课时 完全平方公式的认识
【学习目标】
1.经历探索完全平方公式的过程,会推导完全平方公式.
2.通过例讲示范，能运用完全平方公式进行简单的计算.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？
a
a
b
b
直接求：总面积 = (a + b)(a + b)
间接求：总面积 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
新知初探
贰
新知初探
探究一：完全平方公式
贰
活动1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( m + 3 )2 = ( m + 3 )( m +3) = .
m2 + 6m + 9
(2) ( 2 + 3x )2 = ( 2 +3x )( 2 + 3x ) = .
22 + 12x + 9x2
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
活动2 思考·交流
（1）你能根据图中的面积解释(a +b)2 =a2+2ab + b2吗
（2）你能设计一个图形解释(a -b)2 =a2－2ab + b2吗
知识要点
完全平方公式
(a + b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = .
a2 - 2ab + b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫做完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中间”
公式特征：
1. 积为二次三项式；
2. 积中的两项为两数的平方；
3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式.
情境导入
范例应用
例5 运用完全平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
=4x2
(1) (2x－3)2；
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2 (2x) 3
+ 32
－12x
+ 9；
（2）(4x＋5y)2；
解：
(3) (mn－a)2
(3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 mn a＋a2
= m2n2－2amn＋a2.
解：
思考
(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗
(a - b)2 与 (b - a)2 相等吗
(a - b)2 与 a2 - b2 相等吗
为什么
(-a - b)2 = (-a)2 - 2·(-a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.
(b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2.
(a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，
只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2.
即时测评
1 计算：
2. 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：因为 36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
所以 (m＋1)xy＝±2 · 6x · 5y.
所以 m＋1＝±60.
所以 m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当
怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2；
(2) (x－y)2 = x2－y2；
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2；
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.
×
×
×
×
x2 + 2xy + y2
x2－2xy + y2
x2 －2xy + y2
4x2 + 4xy + y2
(1) (6a + 5b)2；
= 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x－3y)2；
= 16x2－24xy + 9y2.
(3) (2m－1)2；
= 4m2－4m + 1.
(4) (－2m－1)2.
= 4m2 + 4m + 1.
2. 运用完全平方公式计算：
3.计算：（a+b+c）2
（a+b+c）2
解：
＝（a+b）2+2c（a+b）+c2
＝a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
4.已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求：
（1）a2+b2的值；
（2）ab的值．
解：（1）因为（a+b）2＝a2+2ab+b2＝17①，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13②，
所以①+②得：2（a2+b2）＝30，
即a2+b2＝15；
（2）①﹣②得：4ab＝4，即ab＝1．
课堂小结
肆
课堂小结
肆
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构
特点及结果两方面）
课后作业
基础题：1.习题1.1 第3题、5题（3）（4）。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题1.1第4、13题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第3课时 完全平方公式 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.经历探索完全平方公式的过程,会推导完全平方公式.
2.通过例讲示范，能运用完全平方公式进行简单的计算.
【学习过程】
任务一：完全平方公式
活动1:一块边长为 a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较. 你发现了什么？
活动2 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) ( m + 3 )2 = ( m + 3 )( m +3) = 。
(2) ( 2 + 3x )2 = ( 2 +3x )( 2 + 3x )= 。
根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？
(a＋b)2 = 。
活动3 思考交流
（1）你能根据右图中的面积解释(a +b)2 =a2+2ab + b2吗
（2）你能设计一个图形解释(a -b)2 =a2－2ab + b2吗
【方法归纳】
(a + b)2 = (a - b)2 =
两个数的和（或差）的平方，等于它们的 ，加上（或减去）它们的 .这两个公式叫做完全平方公式.
公式特征：1. 积为 次 项式；
2. 积中的两项为两数的 ；
3. 另一项是两数积的2倍，且与 相同；
4. 公式中的字母 a，b 可以表示 、 和 .
活动4例题解析
例5 利用完全平方公式计算：
(1) (2x－3)2； （2）(4x＋5y)2； (3) (mn－a)2.
【即时测评】
1 计算：
2. 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2；
(2) (x－y)2 = x2－y2；
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2.
2. 运用完全平方公式计算：
(1) (6a + 5b)2； (2) (4x－3y)2； (3) (2m－1)2； (4) (－2m－1)2.
3.计算：（a+b+c）2
4.已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求：（1）a2+b2的值；（2）ab的值．
参考答案
即时测评：
1.（1） （2） （3）
2.m＝59或－61
当堂训练
1.（1）×，x2 + 2xy + y2 （2）×，x2 - 2xy + y2 （3）×，x2 - 2xy + y2 （4）×，4x2 + 4xy + y2
2.（1）36a2 + 60ab + 25b2 （2）16x2－24xy + 9y2 （3）4m2－4m + 1 （4）4m2 + 4m + 1
3.a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
4.15，1
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第3课时 完全平方公式的认识
课标摘录 知道完全平方公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理。
教学目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。 2.会运用公式进行简单的运算。
教学重难点 重点:理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。 难点:会运用公式进行简单的运算。
教学策略 本节课的教学方向是引导、鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式分别从几何直观和代数运算的角度分别推导并验证出本课新知,发展学生的符号感和推理能力。从而学生经历了从几何解释到代数运算,再到几何解释的过程,学生的数形结合意识得以培养,并且从不同的角度推导出了公式,并且加以巩固。
情境导入 一位老人非常喜欢孩子。每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个孩子,老人就给每个孩子三块糖……(依此类推)。 (1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖 (2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖 (3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖 (4)这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多 多多少 为什么 思考回答:(1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖; (2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖; (3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖; (4)孩子们第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数比较,应用减法,即(a+b)2-(a2+b2). (5)我们上一节学了平方差公式,即(a+b)(a-b)=a2-b2,现在遇到了两个数的和的平方,该怎样处理呢
新知初探 探究一 完全平方公式 活动1:观察下列算式及其运算结果,你有什么发现 (1)(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2×3m+9=m2+6m+9。 (2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=22+2×3x+2×3x+9x2=4+2×2×3x+9x2=4+12x+9x2。 发现:(a+b)2=a2+2ab+b2。
新知初探 想一想:你能根据图中的面积解释完全平方公式吗 和的完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 活动2:议一议 (a-b)2= 你是怎样做的 方法1 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2。 方法2 (a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2。 发现:(a-b)2=a2-2ab+b2。 师生活动:教学中可以先让学生自己计算并比较结果与方法,方法1与方法2依教学需要而呈现,如教学中已出现这两种方法,则不必重复。 活动3:做一做 (a-b)2=a2-2ab+b2, 请你设计一个图形解释这一公式。 (a-b)2=a2-ab-b(a-b)=a2-2ab+b2。 活动4:归纳总结 完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2。 (a-b)2=a2-2ab+b2。 两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。这两个公式叫作完全平方公式。 简记为:“首平方,尾平方,积的2倍放中间” 公式特征: 1.积为二次三项式。2.积中的两项为两数的平方。3.另一项是两数积的2倍,且与原式中间的符号相同。4.公式中的字母a,b可以表示数、单项式和多项式。 意图说明 完全平方公式是多项式乘多项式运算的直接结果,是多项式乘多项式运算的一种特殊情况。让学生先通过计算、观察、对比等式两边代数式的结构,得到一般性的结论。再让学生从几何和代数的角度推导并验证公式的成立,加深对公式的体会。 探究二 完全平方公式的应用 活动5:例题解析 例题 利用完全平方公式计算: (1)(2x-3)2; 解: (2)(4x+5y)2; 解:
(3)(mn-a)2。 解: 师生活动:学生先独立完成,再小组合作探究学习。 想一想 思考:(1)(a+b)2与(-a-b)2相等吗 (2)(a-b)2与(b-a)2相等吗 (3)(a-b)2与a2-b2相等吗 为什么 解:(1)(-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2。 (2)(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2。 (3)(a-b)2与a2-b2不一定相等, 只有当b=0或a=b时,(a-b)2=a2-b2。 活动6:拓展应用 如果36x2+(m+1)xy+25y2是一个完全平方式,求m的值。 师生活动:学生独立思考,学生代表讲述思路,教师整理板书,并引导学生总结。 方法总结:两数的平方和加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式。注意积的2倍的符号,避免漏解。 意图说明 让学生理解公式的结构特征,知道a和b可以表示什么 经过思考和讨论让学生探究并建构自己的知识结构和能力结构,老师再适当引导和精讲,使全体学生真正理解和的完全平方公式的结构特征。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 完全平方公式的认识 1.完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2。
(a-b)2=a2-2ab+b2。
简记为:“首平方,尾平方,积的2倍放中间” 2.例题解析 3.拓展应用
教学反思
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第3课时 完全平方公式的认识
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.完全平方公式:(a+b)2= ;(a-b)2= ,即两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的
。
2.完全平方公式的推导(代数方法):
(1)(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;
(2)(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
积的2倍
课堂互动
知识点1:完全平方公式
例1 (2x-y2)2等于( )
A.2x2-4xy2+y4 B.4x2-2xy2+y4
C.4x2-4xy2+y4 D.4x2-xy2+y4
C
[规律总结] 完全平方公式的特点:等式左边为两数和(差)的平方,右边为这两数的平方和加上(减去)两数积的2倍,即首平方,尾平方,积的2倍在中央。
知识点2:完全平方公式的验证
例2 小明和小莉学习了乘法公式后,决定利用如图所示的三个图形(一个正方形和两个一样的梯形)拼图来验证一下完全平方公式。请画出你所拼的图形,并写出验证过程。
基础题
1.计算(x+3)2的结果为x2+□x+9,则“□”中的数为( )
A.-3 B.3 C.-6 D.6
2.(2024深圳)下列运算正确的是( )
A.(-m3)2=-m5 B.m2n·m=m3n
C.3mn-m=3n D.(m-1)2=m2-1
D
B
3.如图所示,利用图中所给的数据可以解释的图形面积关系的公式是
( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.2(a+b)=2a+2b
A
4.根据完全平方公式填空:
(1)(x+y)2=x2+2xy+ ;
(2)(a-5)2=a2-10a+( );
(3)(-x-4)2=x2 x+16;
(4)(ay+1)2=( )+2ay+1;
y2
25
+8
a2y2
rs
5.计算:
解:(1)(4x-3y)2=(4x)2-2×4x×3y+(3y)2=16x2-24xy+9y2。
6.(2024陕西)先化简,再求值:(x+y)2+x(x-2y),其中x=1,y=-2。
解:(x+y)2+x(x-2y)
=x2+2xy+y2+x2-2xy
=2x2+y2。
当x=1,y=-2时,
原式=2×12+(-2)2=6。
中档题
7.若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于( )
A.2 B.1 C.-2 D.-1
8.如图所示,现有正方形卡片甲类、乙类和长方形卡片丙类各若干张。如果要用它们拼成一个边长为3a+2b的大正方形,那么需要甲、乙、丙三类卡片共 张。
B
25
9.下面是小彬同学做题时的化简过程,请认真阅读并完成相应的任务。
任务一:①以上求解步骤中,第一步运算用到的数学公式是 ,
;
②以上求解步骤中,第 步开始出现错误,错误的原因是 ;
③化简的正确结果为 。
解:任务一:①平方差公式 完全平方公式
②二 去括号时,括号前是负号,括号里的后两项的符号都没有改变
③-24xy2+20y3
任务二:请你根据平时的学习经验,就整式运算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议。
解:任务二:公式、法则要运用正确、要注意运算顺序等。(答案不唯一)
素养题
10.(运算能力)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2经过适当的变形,可以解决很多的数学问题。例如:若a-b=5,ab=2,求a2+b2的值。
解:因为a-b=5,
所以(a-b)2=25,即a2-2ab+b2=25。
又因为ab=2,所以a2+b2=25+4=29。
根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:
(1)若x+y=6,x2+y2=26,求xy的值;
解:(1)因为x+y=6,所以(x+y)2=36,
即x2+2xy+y2=36。
又因为x2+y2=26,
所以2xy=36-26,
所以xy=5。
(2)若(7-x)(x-3)=4,求(7-x)2+(x-3)2的值;
解:(2)设m=7-x,n=x-3,则m+n=4,mn=(7-x)(x-3)=4,
所以(7-x)2+(x-3)2
=m2+n2
=(m+n)2-2mn
=42-2×4
=16-8
=8。
(3)如图所示,点C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,设AB=8,两正方形的面积和S1+S2=34,则图中阴影部分的面积为 。
解:(3)7.5
