(共18张PPT)
3 乘法公式
第1章 整式的乘除
第4课时 完全平方公式的应用
【学习目标】
1.通过例讲示范, 能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算.
2.通过生活实例，能运用完全平方公式解决实际问题.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
我们先来计算(a＋b)2：
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.
当a>0，b>0时，(a＋b)2－(a2＋b2)＝2ab>0.
(聪明的你现在知道答案了吧，阿凡提肯定是不会吃亏的啊)
解决问题
比较a2＋b2与(a＋b)2的大小？
新知初探
贰
新知初探
探究一：完全平方公式的应用
贰
活动1 观察思考 怎样计算 1022，992 更简便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：原式 = (100 + 2)2
= 10000 + 400 + 4
= 10404.
解：原式 = (200－3)2
= 40000 － 1200 + 9
= 38809.
例6 计算：
(1)(x+3)2－x2 ；
(2) (a+b+3)(a+b－3)；
(3)(x+5)2－(x－2) (x－3) ；
解：(1) (x+3)2－x2
= x2+6x+9－x2
=6x+9
(2) (a+b+3)(a+b－3)
= [(a+b) +3] [(a+b)－3]
= (a+b)2－32
=a2+2ab+b2－9；
范例应用
(3) (x+5)2－(x－2) (x－3)
= x2+10x+25－(x2－5x+6)
= x2+10x+25－x2+5x－6
= 15x+19 .
活动2 观察思考
观察下图，你认为（m+n）×（m+n）点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。
·
1×1
· ·
· ·
2×2
· · ·
· · ·
· · ·
3×3
即时测评
1. 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).
解：原式 = (x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
= (x2－4y2)2
= x4－8x2y2＋16y4.
方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.
2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因为 a＋b＝7，
所以 (a＋b)2＝49.
所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1.运用完全平方公式计算：
(1) 962 ； (2) 2032 .
解：原式= (100－4)2
= 1002－2×100×4 + 42
= 10000 －800 + 16
= 9216.
解：原式= (200 + 3)2
= 2002 + 2×200×3 + 32
= 40000 + 1200 + 9
= 41209.
2. 若 a + b = 5，ab = －6，求 a2 + b2，a2－ab + b2.
3. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x－y.
解：a2 + b2 = (a+b)2－2ab = 52－2×(－6) = 37，
a2－ab + b2 = a2 + b2－ab = 37－(－6) = 43.
解：因为x + y = 4，所以(x + y)2 = 16，即 x2 + y2 + 2xy = 16 ①.
又 x2 + y2 = 8 ②，
由 ①－② 得 2xy = 8 ③.
②－③ 得 x2 + y2－2xy = 0，即 (x－y)2 = 0. 故 x－y = 0.
解题常用结论：a2＋b2 = (a＋b)2－2ab=(a－b)2＋2ab，
4ab = (a＋b)2－(a－b)2.
4. 有这样一道题，计算：2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－xy]＋[(x－y)2 ＋xy]的值，其中 x = 2022，y = 2023；某同学把“y = 2023”错抄成“y = 2032”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由.
解：原式＝2x2－2y2＋(x2＋y2＋xy)＋(x2＋y2－xy)
＝2x2－2y2＋x2＋y2＋xy＋x2＋y2－xy
＝2x2－2y2＋2x2＋2y2
＝4x2.
故算式的结果与 y 的值无关.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab＋b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的式
子，可能需要先添括号，变形成
符合公式的形式才行
常用
结论
3. 弄清完全平方公式和平方差公式
的区别（公式结构特点及结果）
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = (a - b)2 + 2ab，
4ab = (a + b)2 - (a - b)2.
课后作业
基础题：1.习题1.3 第 7、8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题1.3第11、12题中小学教育资源及组卷应用平台
1.3.4 完全平方公式的应用 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.通过例讲示范, 能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算.
2.通过生活实例，能运用完全平方公式解决实际问题.
【学习过程】
任务一：完全平方公式的应用
活动1:故事情境
解决问题
比较a2＋b2与(a＋b)2的大小？
我们先来计算(a＋b)2：
(a＋b)2＝ .
当a>0，b>0时，(a＋b)2－(a2＋b2)＝ >0.
(聪明的你现在知道答案了吧，阿凡提肯定是不会吃亏的啊)
活动2思考交流
怎样计算1022，1972更简单呢？
活动3 例题解析
例6 计算：
(1) (x+3)2－x2 ； (2) (a+b+3)(a+b－3)；(3) (x+5)2－(x－2) (x－3) ； （4） 2
活动4 观察思考
观察下图，你认为（m+n）×（m+n）点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。
【即时测评】
1. 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).
2.已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1.运用完全平方公式计算：
(1) 962 ； (2) 2032 .
若 a + b = 5，ab = －6，求 a2 + b2，a2－ab + b2.
3. 已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x－y.
4. 有这样一道题，计算：2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－xy]＋[(x－y)2 ＋xy]的值，其中 x = 2022，y = 2023；某同学把“y = 2023”错抄成“y = 2032”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由.
参考答案
即时测评：
1.x4－8x2y2＋16y4
2.29，9
当堂训练
1.9216，41209
2.37，43
3.0
4.解：原式＝2x2－2y2＋(x2＋y2＋xy)＋(x2＋y2－xy)
＝2x2－2y2＋x2＋y2＋xy＋x2＋y2－xy
＝2x2－2y2＋2x2＋2y2
＝4x2.
故算式的结果与 y 的值无关.
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第4课时 完全平方公式的应用
课标摘录 知道完全平方公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理。
教学目标 1.熟记完全平方公式,能说出公式的结构特征,进一步发展学生的符号感。 2.能够运用完全平方公式进行简便运算,体会符号运算对解决问题的作用。
教学重难点 重点:会用完全平方公式进行简便运算。 难点:灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。
教学策略 本节课采用计算机辅助教学。在整个新课的教学中,主要是给学生“动脑想,动手写,会观察,齐讨论,得结论”的学习方法。这样做,增加了学生的参与机会,增强了参与意识,教给了学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体;这样做,使学生“学”有所“思”,“思”有所“得”,这样做,体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势。最后,结合本节课教学内容,选择具有典型性,由浅入深的例题,让学生认知内化,形成能力。通过发展提高,培养学生迁移创新精神,有助于智力的发展。
情境导入 故事引入(ppt展示故事问题) 解决问题 比较a2+b2与(a+b)2的大小 我们先来计算(a+b)2: (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。 当a>0,b>0时,(a+b)2-(a2+b2)=2ab>0。 (聪明的你现在知道答案了吧,阿凡提肯定是不会吃亏的啊)
新知初探 探究一 完全平方公式的综合应用 活动1:思考交流 怎样计算1022,1972更简单呢 师生活动:采用先独立完成,再小组合作探究学习。然后师生交流讨论能不能用完全平方公式进行简便计算 把1022改写成(a+b)2还是(a-b)2的形式 解:1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10 000+400+4 =10 404。 把1972改写成(a+b)2还是(a-b)2的形式
学生黑板板演出示正确答案。 解:1972=(200-3)2 =2002-2×200×3+32 =40 000-1 200+9 =38 809。 活动2:归纳总结 完全平方公式在用于简便运算时,关键是找到与原数接近更好计算的整数,再将原数与该整数进行比较,变形成(a+b)2或者(a-b)2的形式,使之符合公式的特点,再用完全平方公式进行求解。 意图说明 引导学生建立模型,能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算,积累解题经验,提高灵活地运用所学知识解决问题的能力。 探究二 完全平方公式的应用 活动3:例题解析 例题 计算: (1)(x+3)2-x2; (2)(a+b+3)(a+b-3); (3)(x+5)2-(x-2)(x-3); (4)[(a+b)(a-b)]2。 活动4:拓展应用 若(x+y)2=9,且(x-y)2=1。 (1)求+的值; (2)求(x2+1)(y2+1)的值。 方法指导:(1)先去括号,再整体代入即可求出答案。 (2)先变形,再整体代入,即可求出答案。 意图说明 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学,会在多项式、单项式的混合运算中,正确运用完全平方公式进行计算。体会公式在解题中的应用。从而更好地理解知识,让学生的认知结构得到不断的完善。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 完全平方公式的应用 1.怎样计算1022,1972更简单呢 2.归纳总结 3.例题解析 4.归纳总结 5.拓展应用
教学反思
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第4课时 完全平方公式的应用
预习导学
课堂互动
中档题
基础题
素养题
预习导学
平方差公式:(a+b)(a-b)= 。
完全平方公式:(a+b)2= ;
(a-b)2= 。
a2-b2
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
课堂互动
知识点1:运用完全平方公式进行简便运算
例1 用简便方法计算1052。
解:1052=(100+5)2
=1002+2×100×5+52
=10 000+1 000+25
=11 025。
知识点2:完全平方公式的综合运用
例2 若(2x-5y)2=(2x+5y)2+m,则代数式m为( )
A.-20xy B.20xy
C.40xy D.-40xy
D
基础题
1.计算(m+1)(-m-1)的结果是( )
A.-m2-2m-1 B.-m2-1
C.-m2+2m-1 D.m2-1
2.计算(a+2b)2-(a-2b)2的结果是( )
A.0 B.4b2
C.8ab D.2a2+8b2
A
C
A.3y B.9y2
C.9y D.36y2
4.计算(a-b+c)(-a+b-c)等于( )
A.-(a-b+c)2 B.c2-(a-b)2
C.(a-b)2-c2 D.(c-a+b)2
B
A
23
6.运用乘法公式计算:
(1)2022; (2)5.12; (3)97×103-992。
解:(1)2022=(200+2)2=2002+2×200×2+22=40 000+800+4=40 804。
(2)5.12=(5+0.1)2=52+2×5×0.1+0.12=25+1+0.01=26.01。
(3)97×103-992
=(100-3)(100+3)-(100-1)2
=1002-9-1002+200-1
=200-10
=190。
中档题
7.如图所示,该图形能验证下列哪个选项中的等式成立( )
A.(a+b+c)2=a2+b2+c2
B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2abc
C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+bc+ac
D.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
D
8.(2024乐山)已知a-b=3,ab=10,则a2+b2= 。
9.已知x,y满足(x-y)2=9,(x+y)2=25,则xy= 。
29
4
10.计算:
(1)(3x-5)2-(2x+7)2;
解:(1)(3x-5)2-(2x+7)2
=(9x2-30x+25)-(4x2+28x+49)
=9x2-30x+25-4x2-28x-49
=5x2-58x-24。
(2)(x-2y)2-(x+2y)(x-2y);
(3)(2x-y)2·(2x+y)2;
解:(2)(x-2y)2-(x+2y)(x-2y)
=x2-4xy+4y2-x2+4y2
=-4xy+8y2。
(3)(2x-y)2·(2x+y)2
=[(2x-y)·(2x+y)]2
=(4x2-y2)2
=16x4-8x2y2+y4。
(4)1 9992。
解:(4)1 9992
=(2 000-1)2
=2 0002-2×2 000×1+12
=4 000 000-4 000+1
=3 996 001。
11.【发现】已知两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。
【验证】(1)例如:(2+1)2+(2-1)2 =10,10为偶数。请把10的一半表示为两个正整数的平方和: 。
解:(1)5=12+22
【探究】(2)设【发现】中的两个已知正整数分别为m,n,请说明【发现】中的结论正确。
解:(2)因为(m+n)2+(m-n)2
=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2
=2m2+2n2
=2(m2+n2),
所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和。
素养题
12.(几何直观、应用意识)诚诚同学在课外实践活动中,利用大小不等的两个正方形纸板A,B进行拼接(重组)探究,已知纸板A与B的面积之和为52。如图所示,现将纸板B按甲方式放在纸板A的内部,阴影部分的面积为9。若将纸板A,B按乙方式并列放置后,构造成新的正方形,求阴影部分的面积。
解:设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,
由题意,得a2+b2=52,(a-b)2=9,
所以a2-2ab+b2=9。
所以2ab=43。
乙种拼图中阴影部分的面积为(a+b)2-a2-b2=2ab=43。
