2025年福建厦门中考数学九年级下学期综合训练（二）（含答案）

2025年中考九年级下学期春季综合训练（二）
基础综合题目+几何综合+二次函数综合+动点+反比例基础
（建议练习时间：120分钟 满分150分）
综合难度系数：☆☆☆☆
一、选择题：（每题4分，共48分）
1．☆下列各式中是分式方程的是
A． B．
C． D．
（解题要点：分式方程定义）
2.☆下列不是正方体表面展开图的是（ ）
（解题要点：展开图立体几何逆向思维）
3.☆下列说法错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等且垂直的四边形是正方形
（解题要点：举出反例）
4.☆如图，=，与互补，则下列结论中错误的是（ ）
= =
= =
（解题要点：平行和相似的关系）
5.☆下列说法正确的是（ ）
五名学生在某次测体温时得到：36.2，36.3，36.3，36.5，36.5，这组数据的众数是36.5.
方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.
确定性事件一定发生.
为了解一批灯泡的寿命，应采用全面调查方式.
6.☆如图，△ABC是锐角三角形，AD、AE、AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，则下列点一定在AE上的是（ ）
重心 内心 外心 垂心
（解题要点：各种“心”的定义）
7.☆☆如图，点是双曲线=（x>0）上的一点，=与=的图像关于y轴对称，过点A作AB//X轴交=的图像于点B，点C是x轴上一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
16 8 4 2
（解题要点：反比例还是K的几何意义）
8.☆若用科学记数法表示为1.8×10﹣12，则n的值是（　　）
10 11 12 13
☆☆如图，以扇形ACB上一点O为圆心作圆，使圆经过A、B、C三点，已知⊙O的半径是4，连接OB,∠OCB=60，若将扇形ABC剪下，围成一个圆锥，则此圆锥的底面积是（ ）
（解题要点：扇形面积的计算原始逻辑和圆锥的关系）
10.☆☆如图，在平行四边形ABCD中，AB=2.ABC=60,按以下步骤作图：①以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E;②分别以A、E为圆心，大于AE长为半径画弧，两弧交于点M; ③连接BM交AD于点F，过点A作AH⊥BF于点H，则BF的长是（ ）
4 3 2
11.☆☆如图，直线y=-2x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是直线AB上一点，且横坐标为-1，过点C的直线交x轴于点D,则三角形ADC的面积为（ ）
45 42 43 44
12.☆☆☆在平面直角坐标系中，图①是抛物线y=x（-1≤x≤4）的图象，现将图①绕原点O旋转180得到图②,若直线y=-x+m与图①、②有三个交点，则m的取值范围是（）
-5≤m≤-1或1≤m≤5 -4≤m≤-1或1≤m≤4
-5≤m≤-2或2≤m≤5 -2≤m≤-4或2≤m≤4
（解题要点：二次函数画图的数形结合）
二、填空题（每题4分,共16分）
13.☆：_______
14.☆若一组数据5、6、x、9、10的平均数是8，则这组数据的中位数是_________
15.☆☆如图，在⊙O中，弦AB=2，于点，且OC=1，经过点C的直线交⊙O于点E、F且=60，OH⊥EF于点H，则EF弦的长是___________
（解题要点：垂径定理辅助线构造）
☆☆☆如图，在梯形ABCD中，BC//AD，=60，ADC=90，ACB=45，AB=4，点P是AC上一动点（不与A、C重合），连接DP，当AP+BC最小时，S=
（解题要点：胡不归模型）
解答题
☆☆☆（本题满分8分）
如图，在中，，延长到点D，，点E是的中点，交于点F，则的面积为 ．

（解题要点：直角三角形的辅助线构造）
18.☆☆☆☆（本题满分8分）
学习三角函数后，爱探究的小吴在锐角△ABC中作如下图推导：
解：过A作AD⊥BC于D，
∴ ,
∴ ，
∵
∴
∴
易证
∴
根据上述推导，
若AC＝5，AB＝7，BC＝，根据（1）的结论求∠A的度数。
（解题要点：已知条件分析和阅读理解能力）
19.☆☆☆（本题满分8分）
如图，已知平行四边形ABCD，BC=2AB，过点C作CE⊥DC交AB于点E，点M是AD的中点，延长EM交CD的延长线于点G，连接EM,CM.
求证：EM=CM（5分）
当∠AEM=时，求∠EMD的度数.（5分）
（解题要点：几何基本解题思路的步骤）
20.☆☆（本题满分10分）
如图，在反比例函数y=图像上有两个动点A、B，过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交于点M.
（1）若直线y=x+1与y=（x＞0）交于一点，求该点的坐标.（5分）
（2）试判断SBOM与SAOM的关系并证明.（5分）
（解题要点：反比例函数点到坐标轴的几何意义）
21.☆☆☆（本题满分10分）
在脱贫攻坚中，某县对城西学府家园某栋楼的100平方米和120平方米的两种规格套房进行装修。经预算，共需资金350万元。已知装修两套100平方米和三套120平方米的套房共用资金61万元，装修三套100平方米和五套120平方米的套房共用资金98万元.
（1）若已知该栋楼120平方米的套房不多于10套，则100平方米的套房至少有多少套？（5分）
（2）有一位爱心人士愿意捐款与政府一道对该栋楼的两种套房装修20套，若爱心捐款投入装修不多于150万元，政府投入装修不低于85万元，其中爱心捐款用于100平方米和120平方米的每套装修分别为7万元和8万元，试计算有多少种装修方案？写出计算过程.（5分）
（解题要点：根据已知条件构建等式关系和不等式关系）
22.☆☆某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；
（2）求小明原来的速度．
（解题要点：寻找相似关系，发现相同比例构建等式关系）
23.☆☆☆☆（本题满分10分）
如图：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，OB:OA=1:3,与y轴交于点C,OA=OC=3,点G为抛物线的顶点.
（1）求这条抛物线的函数表达式；（4分）
（2）求△ADC的周长（4分）
（3）点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥X轴于点E，在抛物线上是否存在点P，使得△PAE与△OBC相似？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由.（4分）
（解题要点：构建相似三角形，分多种情况讨论）
24.☆☆☆☆（本题满分10分）（解题要点：构建全等三角形）
（1）知识积累：如图①，∠ACB=∠AOB=，CA交OA于点A，CB交OB于点B，OC平分∠AOB，求证：AC=BC；（4分）
（2）知识迁移：如图②，∠AOB=120，∠ACB=60，CA交OA于点A，CB交OB于点B，OC平分∠AOB，判断线段OA、OB、OC三者之间的关系并证明；（4分）
（3）知识探索：如图③，∠AOB=2α，∠ACB=180-2α，CA交OA于点A，CB交OB于点B，AC=BC.
探索线段OA、OB、OC与α的关系并证明.当OA=（4分）
25．☆☆☆☆☆（12分）如图，抛物线与直线y=mx+n交于B（0，4），C（3，1）两点．直线与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标；
（3）如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MNPA时，直接写出点P的坐标．
（解题要点：利用辅助线转换比例关系）
答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D D B B B C B D C A B
13.±√5 14.9 15.√15 16.2√3
17.答案：
解：∵，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
取的中点，连接，则：，

∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
答案
据上述推导，（4分）
AC＝5，AB＝7，BC＝，根据（1）的结论求∠A的度数。
由推导易得（6分）
∵ AC＝5，AB＝7，BC＝
∴（8分）
答案
.证明：（1）如图
∵四边形ABCD是平行四边形，点M是线段AD中点
∴AM=DM，AB∥CD
延长EM与CD的延长线交于点G (1分)
∴AB∥CG，∴∠1=∠AEM
∵∠5=∠6
∴△AEM≌△DGM（AAS）（3分）
∴EM=GM
又∵EC⊥CD
∴△EGC是直角三角形
∴EM=CM
∴∠4=∠8
∴EM=CM （5分）
（2）由（1）可知△AEM≌△DGM，△EGC是直角三角形，且点M是斜边中点
∴∠1=∠AEM=∠3 （6分）
在平行四边形ABCD中
∵BC=2AB
∴CD=MD
∴∠2=∠3
在△MGC中，∠EMC=∠1+∠3
∴∠EMD=3∠AEM（8分）
当∠AEM=45时，∠EMD=3∠AEM=3×45=135（10分）
答案
（1）由题可知，直线y=x+1与y=（x＞0）交于一点
∴x+1=（1分）
解得x=2,x=-3(舍去)（3分）
∴当x=2时，y=x+1=2+1=3
∴该点坐标为（2,3）（5分）
（2）根据题意可知：AM∥y轴，BM∥x轴，A、B两动点在y=（x＞0）的图像上
设点M坐标为（a,b）（6分）
∴点A坐标为（a,），点B坐标为（）（7分）
∴SAOM=（8分）
∴SBOM=（9分）
∴SAOM=SBOM（10分）
答案
解：（1）设装修一套100平方米的套房用资金万元，装修一套120平方米的套房用资金万元，由题意得：
2x+3y＝61
3x+5y＝98 （2分）
解得 x＝11
y＝13 （3分）
设100平方米的套房至少有套，由题意得
11+1310≥350
解得≥20
答：100平方米的套房至少有20套。（6分）
（2）设装修100平方米的套房共套，则装修120平方米的套房共套，由题意得
7b＋8(20﹣b）≤150
（11-7）b＋（13-8）（20 - b）≥85 （9分）
解得10≤b≤15
∴共有6种装修方案。（12分）
22.答案:
（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s．
（1）如图，
（2）设小明原来的速度为xm/s，
则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，
EG=2×1.5x=3xm，
BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，
∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，
∴，，
∴，
即，
解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，
∴小明原来的速度为1.5m/s．
23.答案
（本题满分10分）
解：（1）由题可得：OA=OC=3
∴点A的坐标为（-3,0），点C的坐标为（0,-3）
∵OB:OA=1:3
∴点B的坐标为（1,0） （2分）
设抛物线解析式为：
把A、B、C三点坐标代入得：
解得：a=1,b=2,c=-3
∴抛物线解析式为： （4分）
（2）∵OA=OC=3
∴AC=
由
∴点D坐标为（-1,-4） （6分）
∴AD=
CD=
∴三角形ADC周长= （8分）
存在，理由如下： （9分）
设点P坐标为
如图：当△AEP∽△BOC时：
∴
解得：
如图：当△AEP∽△COB时：
∴
解得：
综上可得P的坐标为或或 （12分）
答案
解：
（1）如图①，过点C作CE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OA的延长线于点F.
∴∠CFA=∠CEB=90 （1分）
∵OC平分∠AOB，∴CF=CE
在四边形AOBC中，∠AOB=∠ACB=90,∴∠CAO+∠CBO=180 （2分）
又∵∠CAO+∠CAF=180，∴∠CAF=∠CBO
∴△CAF≌△CBE（AAS）
∴AC=BC （4分）
(2).如图②，过点C作CG⊥OB的延长线于点G，过点C作CH⊥OA的于点H.
∴∠CHA=∠CGB=90
∵OC平分∠AOB，∴CH=CG （5分）
在四边形AOBC中，∵∠AOB=120，∠ACB=60
∴∠AOB+∠ACB=180,∴∠CAO+∠CBO=180
又∵∠CBG+∠CBO=180，∴∠CBG=∠CAH
∴△CAH≌△CBG（AAS）
∴AH=BG
又∵OC平分∠AOB，CG⊥OB的延长线于点G，CH⊥OA的于点H.
∴△HCO≌△GCO（AAS）（6分）
∴HO=GO
∴HO=OB+BG
∴AO+BO=2GO
在RtOGC中，∠COG=60
∴∠OCG=30，∴OC=2GO,∴AO+BO=OC.（8分）
（3）如图③，过点C作CN⊥OA的延长线于点N，过点C作CM⊥OA的于点M.
∴∠CNA=∠CMB=90
在四边形AOBC中，∵∠AOB=2α，∠ACB=180-2α
∴∠AOB+∠ACB=180,
∴∠CAO+∠CBO=180
又∵∠CAN+∠CAO=180，
∴∠CBO=∠CAN
∵CA=CB
∴△CAN≌△CBM（AAS）（10分）
∴MB=AN,CN=CM
∴OC平分∠AOB
∴∠COM=∠COA=α
易得：△CON≌△COM
∴OM=ON
∴AO+OB=2OM
在三角形OCM中，COSα .2OC=.2OC=2OM
∴OA+OB=2OC·COSα
∴COSα=
当OA=
COSα=
25.答案：
（1）抛物线的解析式为：；（2）点P的坐标为：(，)；（3）点P的坐标为：(，)
【分析】（1）直接将B（0，4），C（3，1）代入，解方程组即可；
（2）待定系数法求BC的解析式为，OC解析式为，设P(，)，由△OPC和△OPB面积之比为1：2，可得关于m的方程，求解即可得点P的坐标；
（3）过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，设点P(，)，根据相似三角形性质可得方程求解即可．
【详解】（1）B（0，4），C（3，1）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）B（0，4），C（3，1）代入，
得：，
解得：，
可得m=-1，n=4，
∴直线BC的解析式为：，
同理可求直线OC解析式为：，
∵P为直线AB上方的抛物线上一点，
设P(，)，则，
过点P作PD⊥y轴于D，作PF⊥x轴于F，交OC于G，过C作CE⊥x轴于E，
∴G(，)，E(3，0)，
∴PD=m，PG=()，OE=3，
S△OBP=OB PD=2m，
S△OPC=OE PG，
∵△OPC和△OPB面积之比为1：2，
∴，
整理得：，
解得：(舍去)，
，
∴点P的坐标为：(，)；
（3）∵，
∴抛物线对称轴为直线，
如图2，过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，
设点P(，)，则DP=， DE=1，PE，
同理可得直线OP解析式为：，
联立方程组，
解得：，
∴FN=，
∵MN∥PA，
∴，
∵ME∥y轴，
∴，
∵FN∥x轴，
∴，
∴，即：DE OA=FN DP，
∴，
解得：(舍去)，
，
∴点P的坐标为：(，)．