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第2课时 垂直
1 两条直线的位置关系
第2章 相交线与平行线
【学习目标】
1.会用符号表示两条直线互相垂直。
2．会画垂线，并在画、折等操作活动中探索、掌握垂线的性质。
3．从生活实际中感知点到直线的距离概念及“垂线段最短”的性质，并能运用到生活中解决实际问题。
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
观察图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
新知初探
贰
新知初探
探究一：垂线
贰
在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当b 的位置变化时，a、b 所成的角 α 也会发生变化.
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
）
α
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.
垂直定义：
知识要点
如果直线 AB 与直线 CD 垂直，那么可记作：AB⊥CD（或 CD⊥AB ）.
如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，
可记作：l⊥m（或 m⊥l ）.
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的 O 点）.
A
B
C
D
O
l
m
垂直的表示法：
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法
正确吗 你知道她每一步的依据吗 与
同伴进行交流。
活动2：
(1)如图，0为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC,那么 OC与 AB 垂直吗 为什么
思考交流
A
B
C
O
小颖思考过程如下:由∠AOC=∠BOC,且∠AOC+∠BOC=180,可得∠AOC=∠BOC=90°,所以OC⊥AB。
(3)如果OC⊥AB，那么 ∠AOC=∠BOC吗 为什么 与同伴进行交流。
1. 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数.
解：因为∠BOE＝∠NOE，
所以∠BON＝2∠EON＝40°.
所以∠NOC＝180°－∠BON
＝180°－40°＝140°，
∠MOC＝∠BON＝40°.
因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°.
所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°.
所以∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.
即时测评
你能借助直角三角板在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动3：
如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
活动4：
活动5 折一折，试一试
你能用纸折出两条互相垂直的直线吗
探究二：垂线的性质
问题：
(1) 画已知直线 l 的垂线能画几条
(2) 过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
(3) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条
A
.B
l
.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
1.放
l
O
如图，已知直线 l，作 l 的垂线.
A
无数条
2.靠
3.画
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.
问题：这样画 l 的垂线可以画几条？
一条
垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意：
1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”强调唯一性.
要点归纳
C
D
E
1. 线段 AB, AC, AD , AE 中谁最短？
2. 你能用一句话表示这个结论吗？
说一说：
如图，从 A 点向已知直线 l 引一条垂直的线段 AD（即点 A 到直线 l 的垂线段）和几条不垂直的线段 AB，AC，AE.
B
l
A
点到直线的距离
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.
总结归纳
特别规定：
B
l
A
如图，点 A 到直线 l 的距离是什么？
是垂线段 AB 的长
即时测评
2.在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定
两条直线垂直的是 ( )
A. 有两个角相等
B. 有两对角相等
C. 有三个角相等
D. 有四对补角
C
2. 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
C
3. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC、BC、CD 中最短的是 ( )
A. AC B. BC
C. CD D. 不能确定
D
A
B
C
C
4.找出图中互相垂直的线段：
AO⊥CO
BO⊥DO
A
B
C
D
O
5. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是 .
C
A
B
O
E
1
2
D
垂直
课堂小结
肆
课堂小结
肆
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
1. 垂线的定义
2. 垂线的画法
3. 垂线的性质和基本事实
(1) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2) 垂线段最短.
4. 点到直线的距离
课后作业
基础题：1.习题2.1 第 2,3,8题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题2.1第6，7题
谢
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第2课时 垂直
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1.会用符号表示两条直线互相垂直。
2．会画垂线，并在画、折等操作活动中探索、掌握垂线的性质。
3．从生活实际中感知点到直线的距离概念及“垂线段最短”的性质，并能运用到生活中解决实际问题。
【学习过程】
任务一：垂线
活动1:观察图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
活动2 观察交流
两条直线相交成四个角，如果有一个角是 ，那么称这两条直线 .其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作 .
垂直的表示方法：
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如上图，直线AB与直线CD垂直.
记作：
读作： ，垂足为 .
活动3 思考交流
(1)如图2-8，O为直线AB上一点，∠AOC=BOC,那么 OC与 AB 垂直吗 为什么
(2)以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗 与同伴进行交流。
小颖思考过程如下:
由∠AOC=∠BOC,且∠AOC+∠BOC=180,（ ）
可得∠AOC=∠BOC=90°,
所以OC⊥AB。（ ）
(3)如果OC⊥AB，那么 ∠AOC=∠BOC吗 为什么 与同伴进行交流。
【即时测评】
1. 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数.
活动3 做一做
问题1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
问题2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
问题3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
评价任务一
得分：
任务二：垂线的性质
活动4 1.如图，已知直线 ，用三角尺或量角器画直线 的垂线，你能画出多少条？
2.如图，点 A 在直线 上，过点 A 画直线 的垂线，你能画出多少条？
A·
3.如果点 A 在直线 外呢？过点A你能画多少条直线 的垂线？
·A
【方法归纳】垂线的性质：
平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直.
4.点P是直线外一点，PO⊥，点O是垂足，点A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
总结：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中 .
5.如图，点 P 到直线 的距离是什么？
【即时测评】
2.在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是 ( )
A. 有两个角相等 B. 有两对角相等 C. 有三个角相等 D. 有四对补角
2. 过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B C D
3. 如图，AC⊥BC，∠CDB = 90°，线段 AC、BC、CD 中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
4.找出图中互相垂直的线段：
5. 如图，已知直线 AB、CD 都经过 O 点，OE 为射线，若∠1＝35°，∠2＝55°，则 OE 与 AB 的位置关系是 。
参考答案
即时测评：
1.∠NOC＝140°，∠AOM＝50°
2.画图略，垂线段最短
当堂训练
1.C
2.C
3.C
4.AO⊥CO BO⊥DO
5.垂直
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第2课时 垂 直
课标摘录 1.理解垂线、垂线段等概念,能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。 2.掌握基本事实:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3.理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离。
教学目标 1.在具体情境中丰富对两条直线互相垂直的认识,并会用符号表示两条直线互相垂直。 2.会画垂线,并在画、折等操作活动中探索、掌握垂线的性质。 3.从生活实际中感知点到直线的距离概念及“垂线段最短”的性质,并能运用到生活中解决实际问题。
教学重难点 重点:理解两直线垂直的概念,会使用工具按要求画垂线,掌握垂线(段)的性质。 难点:理解点到直线的距离,在生活实际中感知“垂线段最短”。
教学策略 根据七年级学生好奇的心理,首先应引导学生走进现实世界,用一双慧眼去发现有关垂直的情境,借助视觉思维的直观性,复习旧知识,提炼新知识,让学生在主动“探索发现”的过程中增进对数学知识的理解,激发他们的创造力,在无形中培养学生的推理能力!
情境导入 观察图片,你能找出其中相交的线吗 它们有什么特殊的位置关系 追问:你还能举出哪些例子呢
新知初探 探究一 垂线 活动1:观察交流 两条直线相交成四个角,如果有一个角是直角,那么称这两条直线互相垂直(如图所示)。其中的一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足。 注意:两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直(如图所示)。 垂直的表示方法: 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图(3)所示,直线AB与直线CD垂直。 记作:AB⊥CD, 读作:AB垂直于CD,垂足为O。 直线l与直线m垂直,记作:l⊥m,垂足为O(如图(4)所示)。 注意:“⊥”是“垂直”的记号,而“┐”是图形中“垂直(直角)”的标记。 垂直的性质、定义判定的应用格式如图(5)所示: 因为AB⊥CD,所以∠1=90°。 归纳:线垂直,直角(90°)。 因为∠1=90°(已知),所以AB⊥CD(垂直的定义)。 归纳:直角(90°),线垂直。 活动2:思考交流 (1)如图(6)所示,O为直线AB上一点,∠AOC=∠BOC,那么 OC与 AB 垂直吗 为什么 (2)以下是小颖的思考过程,她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗 与同伴进行交流。 小颖思考过程如下: 由∠AOC=∠BOC,且∠AOC+∠BOC=180°, 可得∠AOC=∠BOC=90°。 所以OC⊥AB。 (3)如果OC⊥AB,那么 ∠AOC=∠BOC吗 为什么 与同伴进行交流。 教师总结:由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角,反过来,由两条直线相交构成的角为直角,可得这两条直线互相垂直。判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°。
活动3:做一做 教师活动:鼓励学生探索画垂线的方法,积累数学活动经验。方法不唯一,只要正确、可操作即可。 问题1:你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗 问题2:如果只有直尺,你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗 教师提示:方格纸是由小正方形构成的! 问题3:你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗 试试看! 1.折叠长方形纸片的一个角; 2.沿图(1)中的折痕对折如图(2)所示; 3.展开长方形纸片[如图(3)所示],则两次折叠所形成的折痕互相垂直。 教师活动:指导学生独立完成,然后请学生上台展示自己所做的题目。教师鼓励学生运用自己的语言描述所得到的结论。 意图说明 通过观察、画、折等活动,进一步丰富对两条直线互相垂直的认识,掌握有关的符号表示。让学生经历思考、实践猜想、动手验证等过程,不仅加深对“垂直”的理解,而且感受到“做数学”的乐趣,从而享受到成功的喜悦,形成探索新知的内驱力! 探究二 垂线的性质 活动4:如图(7)所示,已知直线l,用三角尺或量角器画直线l的垂线,你能画出多少条 总结:这样画l的垂线可以画无数条。 如图(8)所示,点A在直线l上,过点A画直线l的垂线,你能画出多少条 总结:这样画l的垂线可以画一条。 如果点A在直线l外呢 过点A你能画多少条直线l的垂线 总结:这样画l的垂线可以画一条。 垂线的性质:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意:1.“过一点”中的点,可以在已知直线上,也可以在已知直线外; 2.“有且只有”中,前面的“有”指存在,“只有”指唯一性。 教师活动:引导学生归纳结论,在学习垂线性质的基础上引出点到直线的距离的概念。 点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足,线段PO叫作点P到直线l的垂线段。
垂线段PO的长度叫作点P到直线l的距离。 过直线外一点向已知直线作垂线时,这一点与垂足之间的线段叫作垂线段。 点P是直线l外一点,PO⊥l,点O是垂足,点A,B,C在直线l上,比较线段PO,PA,PB,PC的长短,你发现了什么 总结:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。 活动5:议一议 问题:体育课上老师是怎样测量跳远成绩的 你能说说其中的道理吗 教师活动:学生先独立思考,然后小组展开交流,最后派两位同学上台讲解,并及时对学生肯定和鼓励。然后课件展示答案, 根据:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。 意图说明 通过作已知直线的垂线,一方面锻炼了学生的画图能力,另一方面通过画图得出“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一结论,培养学生的动手能力及表达能力,清楚新知识的引出是由于实际生活的需要。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 垂 直 1.垂线 2.垂线的性质 3.点到直线的距离
教学反思
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第2课时 垂 直
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.垂直的概念:两条直线相交成四个角,如果有一个角是 ,那么称这两条直线互相 ,其中的一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作 。通常用符号“ ”表示两条直线互相垂直。
2.垂线的性质
(1)同一平面内,过一点 一条直线与已知直线垂直。
(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中, 最短。
直角
垂直
垂足
⊥
有且只有
垂线段
3.点到直线的距离:如图所示,过点A作直线l的垂线,垂足为B,
的长度叫作点A 到直线l的距离。
线段AB
课堂互动
知识点1:垂直的概念
例1 如图所示,OA⊥OB,若∠1=50°,则∠2的度数是( )
A.20° B.40° C.45° D.60°
B
知识点2:垂线的画法
例2 下列选项中,过点P画AB的垂线CD,三角尺摆放的方式正确的是
( )
C
知识点3:垂线的性质
例3 如图所示,某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处。过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处。这样做最节省水管长度,其数学道理是 。
垂线段最短
知识点4:点到直线的距离
例4 下列图形中,线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )
D
基础题
1.如图所示,已知AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O。若∠1=30°,则∠2等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
2.如图所示,在线段PA,PB,PC,PD中,长度最小的是( )
A.线段PA B.线段PB
C.线段PC D.线段PD
B
3.如图所示,在经过点O的直线a,b,c,d中,有一条直线与直线l垂直,请借助三角尺判断,与直线l垂直的直线是( )
A.a B.b
C.c D.d
D
4.如图所示,点O在直线AB上,OC⊥OD,若∠BOD=32°,则∠AOC的度数是
( )
A.120° B.122°
C.132° D.112°
B
5.如图所示,体育课上,老师测量学生跳远成绩选取的是 的长度,其依据是 。
AB
垂线段最短
6.如图所示,直线AB,CD相交于O点,OM⊥AB。
(1)若∠1=∠2,试判断ON与CD的位置关系,
并说明理由;
解:(1)ON⊥CD。
理由如下:因为OM⊥AB,
所以∠AOM=90°,即∠1+∠AOC=90°。
因为∠1=∠2,所以∠AOC+∠2=90°。
所以∠CON=90°。
所以ON⊥CD。
中档题
7.(原创题)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点,连接PC,则线段PC的长不可能是( )
A.2 B.2.4 C.4 D.5
A
50°或130°
8.已知直线AB,CD相交于点O,且A,B和C,D分别位于点O两侧,若OE⊥AB,
∠DOE=40°,则∠AOC= 。
9.画图并回答:
(1)如图所示,点P在∠AOB的边OA上。
①过点P画OA的垂线交OB于点C;
②画点P到OC的垂线段PM。
(2)指出上述作图中哪一条线段的长度表示点P到OC边的距离。
(3)比较PM,PC与OC的大小,并说明理由。
解:(1)①②如图所示。
(2)点P到OC边的距离是线段PM的长度。
(3)PM
所以PM素养题
10.(跨学科融合)如图(1)所示,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献,书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就。其中所记载的“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣”,是古人利用光的反射定律改变光路的方法,即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上;反射光线和入射光线位于法线的两侧;反射角等于入射角”。
为了探清一口深井的底部情况,运用此原理,如图(2)所示在井口放置一面平面镜可改变光路,当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时,要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部,需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC的度数为 。
70°