(共28张PPT)
第1课时 平行线的性质
3 平行线的性质
【学习目标】
1. 通过观察、推理、交流等活动，经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的性质，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2．通过平行线的性质与的平行线的条件的对比，解决一些问题。
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
活动1 借助截线判定两条直线平行的方法有哪些？
两直线平行
1. 同位角相等
2. 内错角相等
3. 同旁内角互补
思考 反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么等量关系呢
新知初探
贰
讲授新知
探究一：平行线的性质
贰
活动2 画两条平行线 a∥b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
b
1
2
a
c
5
6
7
8
3
4
观察 同位角、内错角、同旁内角的度数之间有什么关系？说出你的猜想：
猜想 两条平行线被第三条直线所截，同位角＿＿＿，
内错角＿＿＿，同旁内角＿＿＿.
相等
相等
互补
a
b
d
再任意画一条截线 d，同样度量各个角的度数，你的猜想还成立吗？
如果两直线不平行，上述结论还成立吗？
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
所以∠1 =∠2
(两直线平行，同位角相等).
因为 a∥b (已知)，
应用格式：
总结归纳
如图，已知 a∥b，那么 2 与 3 相等吗？为什么
解：因为 a∥b (已知)，
所以∠1 =∠2 (两直线平行，同位角相等).
又因为∠1 =∠3 (对顶角相等)，
所以∠2 =∠3 (等量代换).
b
1
2
a
c
3
性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
所以∠2 =∠3
(两直线平行，内错角相等).
因为 a∥b (已知)，
应用格式：
总结归纳
b
1
2
a
c
3
b
1
2
a
c
4
解：因为 a∥b (已知)，
所以 1 = 2 (两直线平行，同位角相等).
因为 1 + 4 = 180° (平角的定义)，
所以 2 + 4 = 180° (等量代换).
如图，已知 a∥b，那么 2 与 4 有什么关系？为什么
性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
b
1
2
a
c
4
所以∠2 +∠4 = 180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
因为 a∥b（已知），
应用格式：
总结归纳
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
即时测评
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A 与∠D 互补，∠B 与∠C 互补.
所以梯形的另外两个角分别是 80°、65°.
于是∠D = 180°-∠A = 180°-100° = 80°，
∠C = 180°-∠B = 180°-115° = 65°.
1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
2.已知∠3 = 45°，∠1 与∠2 互余，试说明：AB∥CD.
解：因为∠1 与∠2 是对顶角，
所以∠1 =∠2.
又因为∠1 +∠2 = 90° (已知)，
所以∠1 =∠2 = 45°.
因为∠3 = 45° (已知)，
所以∠2 =∠3.
所以 AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
探究二：平行线性质与判定的综合应用
活动3 如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4 ．
（2）反射光线BC与EF也平行吗？为什么？
（1）∠1与∠3 的大小有什么关系？ ∠2与∠4呢？
小颖同学是这样思考的
你是如何思考的？与同伴进行交流。
即时测评
3.已知∠3 = 45°，∠1 与∠2 互余，试说明：AB∥CD.
解：因为∠1 与∠2 是对顶角，
所以∠1 =∠2.
又因为∠1 +∠2 = 90° (已知)，
所以∠1 =∠2 = 45°.
因为∠3 = 45° (已知)，
所以∠2 =∠3.
所以 AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有 ( )
A. 内错角相等 B. 同位角相等
C. 同旁内角互补 D. 以上都不对
D
2.∠1 和∠2 是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，要使这两条直线平行，必须满足 ( )
A.∠1 =∠2 B.∠1 +∠2 = 90°
C. 2(∠1 +∠2) = 360° D.∠1 是钝角，∠2 是锐角
C
3. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1) ∠2 = 110°.
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°.
两直线平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°.
两直线平行，同旁内角互补.
解：因为 AB∥DE ( )，
所以∠A =_______ ( ).
因为AC∥DF ( )，
所以∠D =______ ( ).
所以∠A =∠D ( ).
4. 如图，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
P
F
C
E
B
A
D
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
课堂小结
肆
课堂小结
肆
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
课后作业
基础题：1.习题2.3 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题2.3第7，8题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第1课时 平行线的性质
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1. 通过观察、推理、交流等活动，经历探索平行线性质的过程，掌握平行线的性质，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2．通过平行线的性质与的平行线的条件的对比，解决一些问题。
【学习过程】
任务一：平行线的性质
活动1 借助截线判定两条直线平行的方法有哪些？
1.
2. 两直线平行
3.
思考：反过来，如果已知两条平行线被第三条直线所截，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么等量关系呢
活动2 画两条平行线 a∥b，然后画一条截线 c 与 a、b 相交，标出如图所示的角. 度量所形成的 8 个角的度数，把结果填入下表：
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
活动3 根据测量所得的结果作出猜想：
同位角具有怎样的数量关系 内错角具有怎样的数量关系 同旁内角呢？
活动4 验证猜测.
1.另外画一组平行线被第三条直线所截，同样测量并计算各角的度数,检验刚才的猜想是否成立 如果直线a与b不平行，猜想还成立吗
【方法归纳】
2.你是否还有其他方法，使∠1 和∠5相等吗？
3.（1）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？
（2）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？
【即时测评】
1.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
2.已知∠3 = 45°，∠1 与∠2 互余，试说明：AB∥CD.
评价任务一
得分：
任务二：平行线的性质应用
活动6 如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4 ．
（1）∠1与∠3 的大小有什么关系？ ∠3与∠4呢？
（2）反射光线BC与EF也平行吗？为什么？
你是如何思考的？与同伴 进行交流。
【即时测评】
已知∠3 = 45°，∠1 与∠2 互余，试说明：AB∥CD.
评价任务二
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
1. 如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有 ( )
A. 内错角相等 B. 同位角相等
C. 同旁内角互补 D. 以上都不对
2.∠1 和∠2 是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角，要使这两条直线平行，必须满足 ( )
A.∠1 =∠2 B.∠1 +∠2 = 90°
C. 2(∠1 +∠2) = 360° D.∠1 是钝角，∠2 是锐角
3. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度吗？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度吗？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度吗？为什么？
4. 如图，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
解：因为 AB∥DE ( )，
所以∠A =_______ ( ).
因为 AC∥DF ( )，
所以∠D =______ ( ).
所以∠A =∠D ( ).
参考答案
即时测评：
解：因为梯形上、下底互相平行，所以∠A 与∠D 互补，∠B 与∠C 互补.
于是∠D = 180°-∠A = 180°-100° = 80°，∠C = 180°-∠B = 180°-115° = 65°.
所以梯形的另外两个角分别是 80°、65°.
2.解：因为∠1 与∠2 是对顶角，
所以∠1 =∠2.
又因为∠1 +∠2 = 90° (已知)，
所以∠1 =∠2 = 45°.
因为∠3 = 45° (已知)，
所以∠2 =∠3.
所以 AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
3.解：因为∠1 与∠2 是对顶角，
所以∠1 =∠2.
又因为∠1 +∠2 = 90° (已知)，
所以∠1 =∠2 = 45°.
因为∠3 = 45° (已知)，
所以∠2 =∠3.
所以 AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
当堂训练
1.D
2.C
3.(1)解：(1) ∠2 = 110°.
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°.
两直线平行，同位角相等.
（3）∠4 = 70°.
两直线平行，同旁内角互补.
4.已知,∠CPE,两直线平行，同位角相等,已知,两直线平行，同位角相等,等量代换.
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第1课时 平行线的性质
课标摘录 1.掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 2.探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)。
教学目标 1.探索并掌握平行线的三条性质。 2.能用平行线性质进行简单的推理和计算。
教学重难点 重点:探索并掌握平行线的性质。 难点:运用平行线的性质进行有条理的推导和表达。
教学策略 本节课教材通过给出“三线八角图”,测量同位角、内错角以及同旁内角的大小,由直线的位置关系探究角的数量关系。在探究活动中发展学生空间观念、推理能力和有条理表达能力,培养学生通过自主探究获取知识的能力与合作意识。
情境导入 (1)判定两直线平行的方法有哪些 怎么样用符号语言表示 教师提出问题,学生思考后举手回答,教师应关注学生的表达是否准确。 (2)如图所示,A,B两地之间有一条河流,为了不破坏河流的自然风光,同时方便两地的交通往来,现准备在河底沿AB方向修一条隧道,在A地测得隧道方向是北偏东50°,如果A,B两地同时开工,那么在B地朝什么方向施工才能使隧道准确接通
新知初探 探究一 平行线的性质 活动1: 如果两条直线平行,那么同位角、内错角、同旁内角有什么样的关系呢 请同学们探究以下问题: (1)测量同位角∠1和∠5的大小,它们有什么关系 图中还有其他同位角吗 它们的大小有什么关系 (2)图中有几对内错角 它们的大小有什么关系 为什么 (3)图中有几对同旁内角 它们的大小有什么关系 为什么 (4)换另一组平行线试试,你能得到相同的结论吗 活动2:先测量角的度数,把结果填入表内。 角∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8度数
活动3:根据测量所得的结果作出猜想。 同位角具有怎样的数量关系 内错角具有怎样的数量关系 同旁内角呢 活动4:验证猜想。 另外画一组平行线被第三条直线所截,同样测量并计算各角的度数,检验刚才的猜想是否成立 如果直线a与b不平行,猜想还成立吗
活动5:归纳平行线的性质。 性质1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 简述为两直线平行,同位角相等。 性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。 简述为两直线平行,内错角相等。 性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。 简述为两直线平行,同旁内角互补。 符号表达: 如图所示, (1)因为a∥b(已知),所以∠1 ∠2( )。 (2)因为a∥b(已知),所以∠2 ∠3( )。 (3)因为a∥b(已知),所以∠2+∠4= ( )。 归纳总结: 平行线的判定:由角之间相等或互补的数量关系得到两条直线平行,由数入形; 平行线的性质:由两条直线平行的位置关系得到角相等或互补的数量关系,以形助数。 意图说明 通过动手测量提高学生的动手操作能力,激发学生探究数学问题的兴趣,使学生获得较强的感性认识,便于探索两直线平行的性质定理,并培养学生从特殊到一般的推理能力,使其从感性认识上升到理性认识。通过同桌交流和上台介绍自己的作法和得出的结论,使学生能大胆参与数学探讨。 探究二 平行线性质的运用 活动6: 如图所示,一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射,此时∠1=∠2,∠3=∠4。 (1)∠1与∠3的大小有什么关系 ∠2与∠4呢 (2)反射光线BC与EF也平行吗 为什么 小明是这样思考的: (1)由AB∥DE,可以得到∠1=∠3; 由∠1=∠2,∠3=∠4,可以得到∠2=∠4。 (2)由∠2=∠4,可以得到BC∥EF。 你能说明每一步的理由吗 活动7:巩固练习 如图所示,AE∥CD,若∠1=37°,∠D=54°,求∠2和∠BAE的度数。 解:因为AE∥CD, 所以∠2=∠1=37°,∠BAE=∠D=54°。 意图说明 考查学生对平行线性质的掌握情况,通过具体问题,使学生进一步巩固平行线性质的运用与推理,培养学生的逻辑思维能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 平行线的性质 性质1:两直线平行,同位角相等 性质2:两直线平行,内错角相等 性质3:两直线平行,同旁内角互补
教学反思
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3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.性质1:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。简述为:两直线平行, 相等。如图所示,用符号表示为:因为 a∥b,所以∠1=∠2。
同位角
2.性质2:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等。简述为:两直线平行, 相等。如图所示,用符号表示为:因为a∥b,所以∠2=∠3。
内错角
3.性质3:两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补。简述为:两直线平行, 互补。如图所示,用符号表示为:因为a∥b,所以∠2+∠4=180°。
同旁内角
课堂互动
知识点1:平行线的性质
例1 (2024贵阳一模)如图所示,直线a,b被直线c所截,若a∥b,∠1=
70°,则∠2=( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
C
知识点2:平行线性质的应用
例2 如图所示,某县积极推进“乡村振兴计划”,要对一段水渠进行扩建。如图所示,已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地,又从B地沿北偏西20°的方向到C地。现要从C地出发修建一段新水渠CD,使CD∥AB,求∠BCD的度数。
解:因为B地在A地的北偏东50°方向,
C地在B地北偏西20°方向,
所以∠ABC=180°-50°-20°=110°。
因为CD∥AB,所以∠BCD=∠ABC=110°。
基础题
1.(2024包头)如图所示,直线AB∥CD,点E在直线AB上,射线EF交直线CD于点G,则图中与∠AEF互补的角有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
2.(2023贵州)如图所示,AB∥CD,AC与BD相交于点E。若∠C=40°,则∠A的度数是( )
A.39° B.40°
C.41° D.42°
B
3.如图所示,直线c与直线a,b都相交。若a∥b,∠1=35°,则∠2等于
( )
A.145° B.65° C.55° D.35°
D
4.如图所示,直线a,b,c被直线m所截,若a∥b∥c,∠2=65°,则∠1的度数为( )
A.65° B.85° C.115° D.125°
C
5.如图所示,把一个含有45°角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上,如果∠1=20°,那么∠2的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
B
6.一杆古秤在称物时的状态如图所示,已知∠1=102°,则∠2的度数为
。
78°
7.如图所示,一艘船从A点出发,沿东北方向航行至B点,再从B点出发沿南偏东15°方向航行至C点,则∠ABC的度数为 。
60°
8.如图所示,AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在AB,AC上。若∠2=50°,求∠1的度数。
解:因为AB∥EF,∠2=50°,
所以∠A=∠2=50°。
因为AC∥DF,所以∠1=∠A=50°。
中档题
9.(2024红花岗区三模)正安县被称为“中国吉他制造之乡”。吉他是一种弹拨乐器,通常有六条弦,弦与品柱相交,品柱与品柱互相平行(如图(1)所示),其部分截图如图(2)所示,AB∥CD,则下列结论正确的是
( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4
C.∠1+∠4=180° D.∠3+∠4=180°
D
图(1) 图(2)
10.(教材P48习题T9变式)学行线后,小强,小明和小玲三位同学分别想出了过一点画一条直线的平行线的新的方法,他们分别是这样做的:小强的方法如图(1)所示;小明的方法如图(2)所示;小玲的方法如图(3)所示。
图(1)
图(2)
图(3)
你认为这三位同学的方法,正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
D
11.(跨学科融合)光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射。由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的。如图所示,∠1=45°,∠2=60°,求∠ABC的度数。
解:如图所示。
因为在水中平行的光线,在空气中也是平行的,
∠1=45°,∠2=60°,所以∠3=∠1=45°。
因为水面与杯底面平行,所以∠4=180°-∠2=120°,
所以∠ABC=∠3+∠4=165°。
素养题
12.(抽象能力)如图所示,∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两条边,且∠ABC=45°。
(1)图(1)中:∠DEF= ,图(2)中:∠DEF= ;
(2)请观察图(1)、图(2)中∠DEF分别与∠ABC有怎样的关系,请你归纳出一个结论。
解:(1)45° 135°
图(1)
图(2)
(2)题图(1)中,∠DEF与∠ABC相等,题图(2)中,∠DEF与∠ABC互补。结论:如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。
