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第2课时 平行线的性质与判定的综合应用
3 平行线的性质
【学习目标】
通过推理，交流等活动方式，能灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决简单的问题，发展合情推理能力．
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
著名的比萨斜塔建成于12世纪，从建成之日起就一直在倾斜。目前，它与地面所成的较小的角为85°（如图所示），它与地面所成的较大的角是多少度？你的依据是什么？
新知初探
贰
新知初探
探究：平行线性质与判定的综合运用
贰
例1 根据如图所示回答下列问题：
（1）若∠1 =∠2，可以判定哪两条直线平行？根据
是什么？
解：∠1 与∠2 是内错角，
若∠1 =∠2，则根据“内错角相等，
两直线平行”，可得 EF∥CE.
解：∠2 与∠3 是同旁内角，若∠2 +∠3 = 180°，则可以判定 AC∥MD，根据是“同旁内角互补，两直线平行”.
(2) 若∠2 = ∠M，可以判定哪两条直线平行？根据是
什么？
(3) 若 ∠2 +∠3 = 180°，可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
解：∠2 与∠M 是同位角，若∠2 =∠M，则可以判定 AM∥BF，根据是“同位角相等，两直线平行”.
例2 如图，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么 EF 与 AB
平行吗？说说你的理由．
解：平行，理由：因为∠1 =∠2，
根据“内错角相等，两直线平行”，
所以 EF∥CD.
又因为 AB∥CD，
根据“平行于同一条直线的两条直线平行”，
所以 EF∥AB.
即时测评
1. 已知 AB⊥BF，CD⊥BF，∠1 =∠2，试说明∠3 =∠E.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
解：
因为∠1 =∠2
所以 AB∥EF
(内错角相等，两直线平行).
(已知)，
因为 AB⊥BF，CD⊥BF，
所以 ∠ABF=∠CDF=90°
所以 EF∥CD
所以∠3 =∠E
(同位角相等，两直线平行).
(平行于同一条直线的两条直线平行).
(两直线平行，同位角相等).
所以 AB∥CD
例3 如图，已知直线 a∥b，直线 c∥d，∠1 = 107°，求
∠2，∠3 的度数.
解：因为 a∥b，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠2 = ∠1 = 107°.
因为 c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以∠1 + ∠3=180°.
所以∠3 = 180° - ∠1 = 180°- 107° = 73°.
解：过点 E 向右作 EF∥AB.
因为 AB∥CD（已知），
所以 ∥ （平行于同一直线的两直线平行）.
所以∠A +∠ = 180°，∠C +∠ = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠A = 100°，∠C = 110° (已知)，
所以∠ = °，∠ = °.
所以∠AEC =∠1 +∠2 = °+ ° = °.
2. 如图，AB∥CD，∠A = 100°，∠C = 110°，求∠AEC 的度数.请补全下列解答过程.
E
A
B
C
D
2
1
CD
EF
1
2
1
2
80
80
70
F
70
150
即时测评
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，∠A =∠D，如果∠B = 20°，那么∠C 为 ( )
A．40° B．20°
C．60° D．70°
解析：因为∠A =∠D，
所以 AB∥CD.
因为 AB∥CD，∠B = 20°，
所以∠C =∠B = 20°.
B
解析：由∠1 =∠2，可根据“同位角相等，两直线平行”
判断出 a∥b，可得∠3 =∠5.
再根据邻补角互补可以计算出∠4 的度数．
因为∠1 =∠2，所以 a∥b.
所以∠3 =∠5. 因为∠3 = 70°，所以∠5 = 70°.
所以∠4 = 180°－70° = 110°.
2. 如图，直线 a，b 与直线 c，d 相交，若∠1 =∠2，∠3 = 70°，则∠4 的度数是 ( )
D
A．35° B．70° C．90° D．110°
3. 如图，AE∥CD，若∠1 = 37°，∠D = 54°，求∠2 和∠BAE 的度数.
解：因为 AE∥CD，根据
“两直线平行，内错角相等”，
所以∠2 = ∠1 = 37°.
根据“两直线平行，同位角相等”，
所以∠BAE = ∠D = 54°.
4. 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面 AE 于 A， CD 平行于地面 AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____度．
解析：过 B 作 BF∥AE，则 CD∥BF∥AE.
根据平行线的性质即可求解．
过 B 作 BF∥AE，则 CD∥BF∥AE，
所以∠BCD＋∠1＝180°.
又因为AB⊥AE，所以AB⊥BF. 所以∠ABF ＝90°.
所以∠ABC＋∠BCD＝90°＋180°＝270°.
270
5. 如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°，求∠AGD
的度数.
解：
因为 EF∥AD，
(已知）
所以∠2 =∠3.
又因为∠1 =∠2，
所以∠1 =∠3.
所以 DG∥AB.
所以∠BAC +∠AGD = 180°.
所以∠AGD = 180° -∠BAC = 180° - 70° = 110°.
（两直线平行，同位角相等）
(已知)
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
E
D
A
G
C
B
F
1
3
2
课堂小结
肆
课堂小结
肆
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行线的判定
平行线的性质
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
课后作业
基础题：1.习题2.3 第 4,5,6题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题2.3第9题
谢
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第2课时 平行线的性质与判定的综合应用
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
通过推理，交流等活动方式，能灵活运用平行线的判定定理和性质定理解决简单的问题，发展合情推理能力．
【学习过程】
任务一：判定和性质的综合应用
例１ 根据图形，回答下列问题：
（1）若∠１＝∠２，则可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（2）若∠２＝∠M，则可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
（3）若∠２＋∠３＝180°，可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
例2.如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．
【即时测评】
1. 已知 AB⊥BF，CD⊥BF，∠1 =∠2，试说明∠3 =∠E.
例3.如图，已知直线∥,直线ｃ∥ｄ，∠1=107°，求∠2，∠3的度数．
【即时测评】
2. 如图，AB∥CD，∠A = 100°，∠C = 110°，求∠AEC 的度数.请补全下列解答过程.
解：过点 E 向右作 EF∥AB.
因为 AB∥CD（已知），
所以 ∥ （平行于同一直线的两直线平行）.
所以∠A +∠ = 180°，∠C +∠ = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
又因为∠A = 100°，∠C = 110° (已知)，
所以∠ = °，∠ = °.
所以∠AEC =∠1 +∠2 = °+ ° = .
评价任务一
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
如图，∠A =∠D，如果∠B = 20°，那么∠C 为 ( )
A．40° B．20° C．60° D．70°
如图，直线 a，b 与直线 c，d 相交，若∠1 =∠2，∠3 = 70°，则∠4 的度数是 ( )
A．35° B．70° C．90° D．110°
3. 如图，AE∥CD，若∠1 = 37°，∠D = 54°，求∠2 和
∠BAE 的度数.
4. 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面 AE 于 A， CD 平行于地面 AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____度．
5. 如图，EF∥AD，∠1 =∠2，∠BAC = 70°，求∠AGD的度数.
参考答案
即时测评：
1.解：因为∠1 =∠2(已知)，
所以 AB∥EF(内错角相等，两直线平行).
所以 AB∥EF(内错角相等，两直线平行).
因为 AB⊥BF，CD⊥BF，
所以 AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
所以 EF∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行).
所以∠3 =∠E(两直线平行，同位角相等).
2.解：因为 a∥b，
根据“两直线平行，内错角相等”，
所以∠2 = ∠1 = 107°.
因为 c∥d，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，
所以∠1 + ∠3=180°.
所以∠3 = 180°- ∠1 = 180°- 107° = 73°.
当堂训练
1.B
2.D
3.∠2 = 37°
4.∠BAE = 54°
5.270°
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第2课时 平行线的性质与判定的综合应用
课标摘录 1.掌握平行线基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 2.掌握平行线基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行。 3.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行 。 4.掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等。 5.探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)。
教学目标 1.掌握平行线的性质与判定的综合应用。 2.体会平行线的性质与判定的区别与联系。
教学重难点 重点:掌握平行线的性质与判定的综合应用。 难点:体会平行线的性质与判定的区别与联系。
教学策略 平行线是最简单、最基本的几何图形,在生活中随处可见,它不仅是研究其他图形的基础,而且在实际中也有着广泛的应用。因此,探索和掌握好它的有关知识,对学生更好地认识世界、发展空间观念和推理能力都是非常重要的。因此,教学中要鼓励学生运用多种方法进行探索,充分交流。尽可能地发现有关事实,并能应用平行线性质和判定解决一些问题,运用自己的语言说明理由,使学生的推理能力和语言表达能力得到提高。
情境导入 著名的比萨斜塔建造于12世纪,从建成之日起就一直在倾斜。目前,它与地面所成的较小的角为85°(如图所示),它与地面所成的较大的角是多少度 你的依据是什么
新知初探 探究 平行线的性质与判定的综合应用 活动1:例题解析 例1 根据图中信息回答下列问题: (1)若∠1=∠2,可以判定哪两条直线平行 根据是什么 (2)若∠2=∠M,可以判定哪两条直线平行 根据是什么 (3)若∠2+∠3=180°,可以判定哪两条直线平行 根据是什么 师生活动:教学时首先应引导学生分析已知角的位置关系,然后对照两直线平行的条件作出判断。重要的是分析问题的思路与方法。 例2 如图所示,AB∥CD,如果∠1=∠2,那么EF与AB平行吗 说说你的理由。
例3 如图所示,已知直线a∥b,直线c∥d,∠1=107°,求∠2,∠3的度数。 师生活动:教科书给出的解答过程,提供了说理的一种方式,供学生阅读理解,也为今后培养推理能力作铺垫,但是,不要求学生现在就按照例题解答的格式书写。希望在教学中要注意把握尺度,不可操之过急。 活动2:巩固练习 如图所示,若AB∥DE,AC∥DF,试说明∠A+∠D=180°。请补全下面的解答过程,括号内填写依据。 解:因为AB∥DE( ), 所以∠A= ( )。 因为AC∥DF( ), 所以∠D+ =180°( )。 所以∠A+∠D=180°( )。 师生活动:学生独立思考完成推理过程,选几名学生作答,其他同学判断正误。 活动3:拓展提升 1. 如图所示,AB∥CD,试解决下列问题: (1)如图(1)所示,∠1+∠2= ; (2)如图(2)所示,∠1+∠2+∠3= 。 2.如图所示,如果AB∥CD,请探索∠A,∠C,∠E的关系,并说明理由。 师生活动:本组练习属于平行线间的拐点问题,需要学生独立思考并尝试完成推理过程,教师安排学生板演推理过程,小组讨论此类型的解题思路,选派代表回答小组的发现。 意图说明 例1 由于有了引入的铺垫,学生的探究方向就会比较明确。例2比例1多了一步推理,例3,两组平行线的选择应用三个问题层层递进,拓展提升属于本章节的重点考查题型,目的均是培养学生利用平行线的性质和判定进行推理的能力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 平行线的性质与判定的综合应用 例题解析 巩固练习 拓展提升
教学反思
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第2课时 平行线的性质与判定的综合应用
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.平行线的性质
相等
相等
互补
相等
相等
互补
课堂互动
知识点1:平行线的性质与判定的综合应用
例1 如图所示,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°。试说明:
BF⊥AC。
解:因为∠AGF=∠ABC,所以BC∥GF,所以∠1=∠CBF。
又因为∠1+∠2=180°,
所以∠2+∠CBF=180°,所以BF∥DE,所以∠CED=∠CFB。
因为DE⊥AC,所以∠CED=90°,所以∠CFB=90°,所以BF⊥AC。
知识点2:平行线的性质与判定的实际应用
例2 (教材P54习题T9变式)如图所示,要修建一条公路,从A村沿北偏东75°方向到B村,从B村沿北偏西25°方向到C村。从C村到D村的公路平行于从A村到B村的公路,则C,D两村与B,C两村公路之间夹角的度数为 。
80°
基础题
1.如图所示,∠1+∠B=180°,∠2=45°,则∠D的度数是( )
A.25° B.45° C.50° D.65°
B
2.如图所示,AB与CD相交于点O,如果 ∠D=∠C=40°,∠A=80°,那么∠B的度数是( )
A.40° B.80°
C.60° D.无法确定
B
3.如图所示,若∠A+∠ABC=180°,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4
C.∠2=∠3 D.∠1=∠4
C
4.如图所示,l1,l2被l3,l4所截,∠1=55°,∠3=32°,∠4=148°,则∠2的度数为 。
55°
5.如图所示,直线AB,CD分别被直线AC,BD所截,∠3=∠4。
(1)直线AB与CD平行吗 请说明理由。
(2)若∠1=65°,求∠2的度数。
解:(1)直线AB与CD平行。理由如下:
因为∠3=∠4,
所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行)。
(2)因为AB∥CD,
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。
因为∠1=65°,所以∠2=65°。
6.(2024清镇期中)如图所示,点A,B,C,D在一条直线上,CE与BF相交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,试说明:∠E=∠F。
解:因为∠1=∠A,
所以AE∥BF,
所以∠2=∠E。
因为CE∥DF,
所以∠2=∠F,
所以∠E=∠F。
中档题
7.如图所示,把长方形纸片ABCD沿EF折叠。若∠1=50°,则∠AEF的度数是( )
D
A.50° B.80° C.65° D.115°
8.如图(1)所示是我们常用的折叠式小刀,刀柄的外形是一个梯形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可以看成是两条平行的线段,转动刀片时会形成如图(2)所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是
。
图(1)
图(2)
90°
9.如图所示,点E在直线DF上,点B在直线AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=
∠D,请问∠A与∠F相等吗 为什么
解:∠A=∠F。理由如下:
因为∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,
所以∠DGF=∠EHF,
所以BD∥CE,所以∠C=∠ABD。
又因为∠C=∠D,所以∠D=∠ABD,
所以DF∥AC,所以∠A=∠F。
素养题
10.(推理能力)综合与探究:如图(1)所示,E是直线AB,CD内部的一点,
AB∥CD,连接EA,ED。
(1)探究猜想:
①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED的度数是多少
②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED的度数是多少
③猜想图(1)中∠AED,∠A,∠D的关系,并试说明你的结论。
解:(1)①∠AED=70°。②∠AED=80°。③∠AED=∠A+∠D。
如图所示,延长AE交CD于点F。
因为AB∥CD,所以∠A=∠EFD。
因为∠AED是△EFD的外角,所以∠AED=∠EFD+∠D=∠A+∠D。
图(1)
(2)拓展应用:
如图(2)所示,点F在CD上,射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E,①、②、③、④是被射线FE隔开的四个区域(不含边界,其中区域③④位于直线AB上方),P是位于以上四个区域内的一个点,猜想∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系(不要求证明)。
图(2)
解:(2)若点P在区域①内,则∠EPF=360°-(∠PEB+∠PFC);
若点P在区域②内,则∠EPF=∠PEB+∠PFC;
若点P在区域③内,则∠EPF=∠PEB-∠PFC;
若点P在区域④内,则∠EPF=∠PFC-∠PEB。
