(共31张PPT)
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
2 探索直线平行的条件
【学习目标】
1．掌握内错角、同旁内角的位置关系；
2．掌握利用内错角、同旁内角判定两条直线平行的判定方法；
3．会过直线外一点画已知直线的平行线
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
小明有一块小画板 (如图)，他想知道它的上、下边缘是否平行，但是现在无法用同位角的数量关系直接判断直线是否平行时，那怎样才能判断上、下边缘是否平行呢 于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB .
小明身边只有一个量角器，它通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
新知初探
贰
讲授新知
探究一：内错角、同旁内角的概念
贰
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动1 观察∠3 与∠5 的位置关系：
① 在直线 EF 的异侧
② 在直线 AB、CD 之间
3
5
∠4 和∠6
图中的内错角还有哪些？
内错角
变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是内错角关系.
图形特征：在形如字母“Z”的图形中有内错角.
1
2
1
1
1
2
2
2
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动2 观察∠4 与∠5 的位置关系
① 在直线 EF 的同旁
② 在直线 AB、CD 之间
4
5
图中还有哪些同旁内角？
同旁内角
∠3 和∠6
变式图形：下图中的∠1 与∠2 都是同旁内角的关系.
图形特征：在形如字母“U”的图形中有同旁内角.
1
1
1
1
2
2
2
2
角的名称 角的特征 基本 图形 形象记法 相同点 共同特征
同位角
同旁内角 内错角 F
Z
U
截线:同侧
被截线:同旁
截线:同侧
被截线:之间
截线:两侧
被截线:之间
1
2
1
2
1
2
都在截线同侧
都在被截线之间
1. 必有三条直线
2. 这三类角都没有公共顶点
3. 都表示角之间的位置关系
总结归纳
即时测评
1. 如图，直线 DE 截 AB，AC，构成 8 个角，指出其中所有的同位角，内错角，同旁内角.
解：两条直线 AB，AC 被直线 DE 所截，所以 8 个角中，同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，∠3 与∠6，∠4 与∠7；内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
2.∠A 与∠8 是哪两条直线被哪条直线所截的角 它们是什么关系的角 ∠A 与∠5 呢 ∠A 与∠4 呢
解：∠A 与∠8 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的内错角.
∠A 与∠5 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的同旁内角.
∠A 与∠4 是直线 AC，DE 被直线AB 所截形成的同位角.
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
探究二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
活动3 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
如图，由 3 = 2，能推得 a∥b 吗？试一试.
解：因为 1 = 3（对顶角相等），
3 = 2（已知），
所以 1 = 2.
所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）.
2
b
a
1
3
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
因为∠1 =∠2 (已知)，
所以 a∥b (内错角相等，两直线平行).
应用格式：
总结归纳
2
b
a
1
活动4 如图，如果 1 + 2 = 180°，能判定 a∥b 吗
解：能. 理由如下：
因为 1 + 2 = 180° (已知)，
1 + 3 = 180° (邻补角的性质)，
所以 2 = 3 (同角的补角相等).
所以 a∥b (同位角相等，两直线平行).
c
2
b
a
1
3
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
应用格式：
2
b
a
1
因为∠1 +∠2 = 180° (已知)，
所以 a∥b (同旁内角互补，两直线平行).
总结归纳
活动5如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的平行线，并说明你的理由.
探究三：过直线外一点作一直线与已知直线平行
活动6如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么？与同伴进行交流。
如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O, 为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路 CD上的点P，再修建一条直道MN,并且使MN与AB平行。你能在图中画出直道MN吗
(2)满足什么条件的直线才能与 AB平行
(1)过点P的直线有多少条
活动7 尝试思考
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN ，使MN经过点P，且MN∥AB。
A
B
P
活动8 操作交流
作法与示范
1.在直线AB上任取一点O，过点O、P作直线CD。
2.以点P为顶点，以PD为一边 在直线CD的右侧
作∠DPN=∠DOB。
PN边所在的直线MN就是要作的直线。
你能说出这样做的道理吗？
当堂达标
叁
当堂达标
叁
1. 如图，可以确定 AB∥CE 的条件是 ( )
A. ∠2 =∠B
B. ∠1 =∠A
C. ∠3 =∠B
D. ∠3 =∠A
C
1
2
3
A
E
B
C
D
2. 下列尺规作图的语句错误的是 ( )
A. 作∠AOB，使∠AOB = 3∠α
B. 以点 O 为圆心作弧
C. 以点 A 为圆心，线段 a 的长为半径作弧
D. 作∠ABC，使∠ABC =∠α + ∠β
【解析】作弧必须有圆心和半径，缺一不可.
B
3. 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件
____________________，则 a∥b.
2
1
3
a
b
c
∠2 = 150° 或∠3 = 30°
理由如下：
因为 AC 平分∠DAB（已知），
所以 ∠1 =∠2 (角平分线定义).
又因为 ∠1 = ∠3（已知），
所以 ∠2 =∠3（等量代换）.
所以 AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
4. 如图，已知∠1 =∠3，AC 平分∠DAB，你能判定
哪两条直线平行？请说明理由.
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
解：AB∥CD.
课堂小结
肆
课堂小结
肆
1. 同位角、内错角、同旁内角的结构特征：
三线八角
同位角 “F”型
内错角 “Z”型
同旁内角 “U”型
2. 在图形中判断三线八角的方法 (描图法)：
① 把两个角在图中描画出来；
② 找到两个角的公共直线；
③ 观察所描的角，判断所属“字母”类型.
3.作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧”.
判定两条直线平行的方法
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 因为 (已知)， 所以 a∥b.
_______相等， 两直线平行 因为 (已知)， 所以 a∥b. ________互补， 两直线平行 因为 (已知)， 所以 a∥b. a
b
c
1
2
4
3
∠1 =∠2
∠3 =∠2
∠2 +∠4 = 180°
同位角
内错角
同旁内角
课后作业
基础题：1.习题2.2 第 3,4题。
提高题：2.请学有余力的同学完成习题2.2第8,9题
谢
谢中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 学案
班级 姓名 组别 总分
【学习目标】
1．掌握内错角、同旁内角的位置关系；
2．掌握利用内错角、同旁内角判定两条直线平行的判定方法；
3．会过直线外一点画已知直线的平行线
【学习过程】
任务一：内错角、同旁内角的概念
活动1 李老师有一块小画板 (如图)，他想知道它的上、下边缘是否平行，但是现在无法用同位角的数量关系直接判断直线是否平行时，那怎样才能判断上、下边缘是否平行呢 于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB .
李老师身边只有一个量角器，它通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
活动2 合作探究 观察∠3 与∠5 的位置关系
① 在直线 EF 的
② 在直线 AB、CD
图中的内错角还有哪些？
活动3观察∠4 与∠5 的位置关系
① 在直线 EF 的
② 在直线 AB、CD
图中的内错角还有哪些？
【方法归纳】
【即时测评】
1. 如图，直线 DE 截 AB，AC，构成 8 个角，指出其中所有的同位角，内错角，同旁内角.
2.∠A 与∠8 是哪两条直线被哪条直线所截的角 它们是什么关系的角 ∠A 与∠5 呢 ∠A 与∠4 呢
评价任务一
得分：
任务二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
活动4 两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两直线平行，那么，能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
如图，由3 =2，能推得 a∥b 吗？试一试
如图，由1 +2=180°，能推得 a∥b 吗？试一试
【方法归纳】
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.
简称为： ，两直线平行.
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.
简称为： ，两直线平行.
活动5如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的平行线，并说明你的理由.
评价任务二
得分：
任务二：过直线外一点作一直线与已知直线平行
活动6如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么？与同伴进行交流。
活动7 尝试思考
如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O,为方便游客观赏，
公园管理部门决定过小路 CD上的点P，再修建一条直道MN,
并且使MN与AB平行。你能在图中画出直道MN吗
(1)过点P的直线有多少条
(2)满足什么条件的直线才能与 AB平行
活动8 操作交流
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN ，使MN经过点P，且MN∥AB。
P
A B
师生活动：作法与示范
1.在直线AB上任取一点O，过点O、P作直线CD。
2.以点P为顶点，以PD为一边 在直线CD的右侧
作∠DPN=∠DOB。
PN边所在的直线MN就是要作的直线。你能说出这样做的道理吗？
评价任务三
得分：
自我反思：
一节课的学习中，你收获了什么？
当堂训练：（要求：限时5分钟，独立完成后组内订正，成绩计入小组量化.）
2.下列尺规作图的语句错误的是 ( )
A.作∠AOB，使∠AOB = 3∠α B. 以点 O 为圆心作弧
C. 以点 A 为圆心，线段 a 的长为半径作弧 D. 作∠ABC，使∠ABC =∠α + ∠β
3. 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件____________________，则 a∥b.
4. 如图，已知∠1 =∠3，AC 平分∠DAB，你能判定
哪两条直线平行？请说明理由.
参考答案
即时测评：
解：两条直线 AB，AC 被直线 DE 所截，所以 8 个角中，同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，
∠3 与∠6，∠4 与∠7；内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6.
2.解：∠A 与∠8 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的内错角.
∠A 与∠5 是直线 AB，DE 被直线 AC 所截形成的同旁内角.
∠A 与∠4 是直线 AC，DE 被直线AB 所截形成的同位角.
当堂训练
1.C
2.B
3.∠2 = 150° 或∠3 = 30°
4.解：理由如下
因为 AC 平分∠DAB（已知），
所以 ∠1 =∠2 (角平分线定义).
又因为 ∠1 = ∠3（已知），
所以 ∠2 =∠3（等量代换）.
所以 AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
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第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
课标摘录 1.识别内错角、同旁内角。 2.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行。 3.能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线。
教学目标 1.掌握内错角、同旁内角的位置关系。 2.掌握利用内错角、同旁内角判定两条直线平行的判定方法。 3.灵活运用两直线平行的判定方法证明直线平行。
教学重难点 重点:掌握内错角、同旁内角的位置关系;掌握利用内错角、同旁内角判定两条直线平行的判定方法。 难点:灵活运用两直线平行的判定方法证明直线平行。
教学策略 抓住内错角和同旁内角的结构特征,借助Z型和U型辅助学生识别内错角和同旁内角,通过跟踪训练的及时巩固和典例精讲的一题多解,进一步突出重点,突破难点。
情境导入 小明有一块小画板(如图所示),他想知道它的上、下边缘是否平行,但是现在无法用同位角的数量关系直接判断直线是否平行时,那怎样才能判断上、下边缘是否平行呢 于是他在两个边缘之间画了一条线段AB。 小明身边只有一个量角器,它通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行,你知道他是怎样做的吗
新知初探 探究一 内错角、同旁内角的概念 活动1:小明身边只有一个量角器,他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行,你知道他是怎样做的吗 合作探究: 观察∠1与∠2的位置关系: 内错角 观察∠1与∠3的位置关系: 同旁内角 师生活动:学生积极思考并作答,教师总结说明有这两种位置关系的角分别为内错角、同旁内角。 教师在黑板上画出仅含∠1与∠2及∠1与∠3的图形,并让学生指出图中的内错角、同旁内角还有哪些;与同位角一样,对于内错角、同旁内角的识别也不要做过多练习,特别是一些人为编造的繁难练习要尽量避免。 动手实践: 自己动手画一画几组内错角和同旁内角。 师生活动:学生独立思考完成作图,选几名学生板书他们认为的内错角和同旁内角,教师从旁指点纠正,顺势引导学生观察这些内错角和同旁内角的共同点。 追问:你能联想一个字母,用它来形象地反映内错角、同旁内角的图形特征吗 特征:在形如字母“Z”的图形中有内错角。 在形如字母“U”的图形中有同旁内角。 活动2: 如图所示,直线DE截AB,AC,构成8个角,指出其中所有的同位角、内错角、同旁内角。 小结:在图中采用描画法描出各角,借助字母形状图可快速找出。 归纳总结:(具体内容见同步课件)。 意图说明 在教师的引导下,学生观察角的位置关系,并归纳整理内错角、同旁内角的特征,培养总结归纳能力。注意:对于同位角的识别不要做过多练习。 探究二 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 活动3:议一议 (1)内错角满足什么关系时,两直线平行 为什么 (2)同旁内角满足什么关系时,两直线平行 为什么
师生活动:教学中应该鼓励学生用自己的语言说出这一发现,并用自己的方式说明其正确性。 在上述过程中,学生可能表现出不同的思维习惯和水平。教师不必急于评判各种做法的优劣,而应鼓励学生之间进行充分交流,引导学生在与他人交流中获益,在与他人的交流中逐步学会用推导的方法得出结论。 活动4:证一证 (1)如图(1)所示,∠1和∠2互为内错角,由∠1=∠2,能推得a∥b吗 (2)如图(2)所示,∠1和∠2互为同旁内角,如果∠1+∠2=180°,能判定a∥b吗 图(1) 图(2) 师生活动:学生独立完成验证,选两名学生板书,教师巡视;学生完成验证后,师生共同完成总结。 活动5:观察交流 如图所示,三个相同的三角尺拼接成一个图形,请找出图中的一组平行线,并说明你的理由。 师生活动:教学时要注意让不同的学生都能得到发展,既要鼓励学习较好的学生增加思维深度,通过分析图中角与角之间的关系,尽可能找出所有的平行线;又要鼓励学习有困难的学生利用拼摆三角尺,在拼摆过程中发现某些角之间的位置关系和数量关系,至少找出一组平行线。 意图说明 设计这个操作活动的目的在于引导学生直接应用直线平行的条件来寻找平行线。教师要鼓励学生尽可能找出图中的平行线,并用自己的语言说明理由。 探究三 过直线外一点作一直线与已知直线平行 活动6:思考交流 如图所示,在探究两条直线是否平行时,常用第三条直线截这两条直线,那么这条截线的作用是什么 与同伴进行交流。 师生活动:引导学生回忆前面学习过的内容,鼓励学生想办法解决问题。 活动7:尝试思考 如图所示,某公园现有两条直道AB和CD交于点O,为方便游客观赏,公园管理部门决定过小路CD上的点P,再修建一条直道MN,并且使MN与AB平行。你能在图中画出直道MN吗 (1)过点P的直线有多少条 (2)满足什么条件的直线才能与AB平行 师生活动:这是一道作图题,涉及判断两条直线平行的知识点,鼓励学生积极思考。 意图说明 通过探究活动,引导学生应用判断两条直线平行的知识点,完成作图,教师要鼓励学生思考,给学生思考作图的时间,理解和掌握尺规作图的基本原理,增强学生动手能力,有利于发展学生的空间观念和空间想象力。
当堂达标 具体内容见同步课件
课堂小结 具体内容见同步课件
板书设计 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 1.内错角、同旁内角的定义 2.内错角、同旁内角的特征 3.利用内错角、同旁内角判定两直线平行 4.尺规作图:过直线外一点作一直线与已知直线平行
教学反思
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第2课时 利用内错角、
同旁内角判定两直线平行
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.如图所示,像∠4与∠6这样的一对角,在被截两条直线之间,在截线的两侧,具有这样位置关系的角称为 。像这样的角还有 。
像∠3与∠6这样的一对角,在被截两条直线之间,在截线的同一旁,具有这样位置关系的角称为 。像这样的角还有
。
内错角
∠3与∠5
同旁内角
∠4与∠5
2.两条直线被第三条直线所截,如果内错角 ,那么这两条直线平行。简述为:内错角 ,两直线平行。
3.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角 ,那么这两条直线平行。简述为:同旁内角 ,两直线平行。
相等
相等
互补
互补
课堂互动
知识点1:内错角、同旁内角的定义
例1 如图所示,∠1的内错角是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
D
例2 (2024遵义月考)爱动脑筋的朋朋在学习直线与直线相交所成的角的关系时,他将3根小棒拼成了如图所示的形状,则图中所成的角
中,同旁内角的对数有( )
A.0对 B.3对 C.5对 D.6对
C
知识点2:内错角相等,两直线平行
例3 下列图形中,由∠1=∠2一定能得到AB∥CD的是( )
B
知识点3:同旁内角互补,两直线平行
例4 (2024贵阳月考改编)如图所示,由∠B+ =180°可以判定AD∥BC,其理由是 。
∠A
同旁内角互补,两直线平行
例5 尺规作图(只保留作图痕迹,不要求写出作法)。如图所示,在三角形ABC中,E是AB延长线上一点。
(1)在∠CBE内作射线BD,使BD∥AC。
(2)在BD上作点F,使BF=AC。
解:(1)如图所示,利用尺规作∠DBC=∠ACB,射线BD即为所求。
(2)如图所示,在射线BD上截取BF,使得BF=AC,点F即为所求。
基础题
1.下列图形中,∠1与∠2是内错角的是( )
A
2.如图所示是一款教室护眼灯AB,用两根电线AC,BD吊在天花板EF上,已知∠ACD=90°,为保证护眼灯AB与天花板EF平行,添加下列条件中,正确的是( )
A.∠BDC=90° B.∠BDF=90°
C.∠BAC=90° D.∠ACE=90°
C
3.如图所示,下列条件不能判定l∥m的是( )
A.∠4=∠5 B.∠1+∠5=180°
C.∠2=∠3 D.∠1=∠2
D
4.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是
。
内错角相等,两直线平行
5.已知:如图所示,∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°。试说明:AB∥EF。
解:因为∠1+∠2=180°,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)。
因为∠3+∠4=180°,
所以EF∥CD(同旁内角互补,两直线平行),
所以AB∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)。
中档题
6.如图所示,下列说法错误的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若∠1=∠2,则a∥c
C.若∠3=∠2,则b∥c
D.若∠3+∠4=180°,则a∥c
C
7.如图所示,下列能判定 AB∥CD 的条件有( )
①∠1=∠2;②∠ABC=∠C;③∠3=∠DBC;④∠A+∠ADC=180°。
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
8.一辆汽车在笔直的公路上行驶,两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进,那么这两次拐弯的角度和方向可能是( )
A.第一次向左拐40°,第二次向右拐40°
B.第一次向右拐40°,第二次向左拐140°
C.第一次向左拐40°,第二次向左拐140°
D.第一次向右拐40°,第二次向右拐40°
A
9.如图所示,∠1=140°,∠2=40°,∠3=108°,则∠4= 时,
AB∥EF。
108°
素养题
10.(几何直观)小明设计的智力拼图玩具的一部分如图所示,现在小明遇到了两个问题,请你帮他解决。
(1)如图(1)所示,已知∠D=32°,∠ACD=60°,为了保证AB∥DE,∠A的度数应是多少
解:(1)∠A=28°。
图(1)
(2)如图(2)所示,当∠G,∠F,∠H之间有什么关系时,GP∥HQ
解:(2)当∠G+∠GFH+∠H=360°时,GP∥HQ。
如图所示,过点F作FN∥GP,
所以∠G+∠1=180°。
因为∠G+∠1+∠2+∠H=360°,
所以∠2+∠H=180°,所以FN∥HQ。
又因为FN∥GP,所以GP∥HQ,
即当∠G+∠GFH+∠H=360°时,GP∥HQ。
图(2)
