沪教版七年级数学下册试题 18.2腰三角形的判定（含答案）

18.2等腰三角形的判定
一、单选题
1．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15或18 D．15
2．如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C．平分 D．
3．如图，中，，，则等于（　　　）
A． B． C． D．
4．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（ ）
A．或或 B．或
C．或 D．或
5．下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )
A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．∠A＝2∠B＝80° D．AB＝3，BC＝6，周长为13
6．已知是的两边，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
7．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（　　）
A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm
C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm
8．如图，是的中线，是上一点，交于，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt中，，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在中，，CD平分，，，求BC的长，解决办法：如图2，在BC边上取点E，使，连接DE，可得且是等腰三角形，所以BC的长为5，试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，中，，，BD平分，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（，，）（ ）
A．a和b B．b和c C．a和c D．a、b和c
二、填空题
11．等腰三角形中，角平分线、中线、高的条数一共最多有 条（重合的算一条）．
12．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是 三角形．
13．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为 ．
14．在中，，点D为斜边上的一点，，若为等腰三角形，那么的度数为 ．
15．如图，在△ABC中，∠A=58°，AB=AC，BD=CF，BE=CD，则∠EDF= 度．
16．如图,△ABC的两条角平分线相交于O，过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N，若BC=8cm,△AMN的周长是12cm,则△ABC的周长等于 cm.
17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE是 度．
18．在中，，点是外一点，连接、、，且交于点，在上取一点，使得，，若，则的度数为 ．
三、解答题
19．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
20．如图，中，，点D和E分别在边和上，，连接和．求证：．
21．如图，在四边形中，，，，垂足为点，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
22．如图，在中，，，求的度数．
23．如图，中，，D为上一点，E为延长线上一点，且交于G．求证：．
24．如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
25．如图，在中，AD平分，过点B作AD的垂线，垂足为点D，，交AB于点E，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：．
26．如图，点在线段上，点在线段上，，，，，分别是，的中点．
(1)求证AE=CD
(2)连接MN，判断△MBN的形状，并证明
27．在中，，，将一块足够大的直角三角尺PMN（，）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角，斜边PN交AC于点D．
(1)当时，______度．
(2)在点P滑动的过程中，当AP的长度为多少时，与全等？说明理由．
(3)在点P滑动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若不可以，请说明理由；若可以，请求出的大小．
28．如图，在中，，，，，三点共线，点在上，，，分别交于，两点．
(1)求证：；
(2)若．
①求证：；
②探究，与的数量关系，并证明．
答案
一、单选题
1．D
【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．
【解析】解：①若腰长为3，底边长为6，
∵3+3=6，
∴不能组成三角形，舍去；
②若腰长为6，底边长为3，
则它的周长是：6+6+3=15．
∴它的周长是15，
故选：D．
2．D
【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
3．A
【分析】利用AD=AC，求出∠ADC=∠C=，利用AD=AB，即可求得∠B=∠BAD．
【解析】∵AD=AC，
∴∠ADC=∠C，
∵，
∴∠ADC=∠C=，
∵AD=AB，
∴∠B=∠BAD，
故选：A．
4．A
【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．
【解析】设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，
①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝44°，
所以，顶角是44°；
②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，
解得x＝50°，
所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；
③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，
解得x＝20°，
所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；
综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．
故选：A．
5．B
【分析】判断三角形中是否有相等的角，以及根据定义，是否有相等的边即可判断．
【解析】A、∠C＝180° 30° 60°＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项错误；
B、∠C＝180° 50° 80°＝50°，有相等的角，则是等腰三角形，B选项正确；
C、∵∠A＝2∠B＝80°，
∴∠B＝40°，
∴∠C＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，C选项错误；
D、∵AB＝3，BC＝6，周长为13，
∴AC＝13 6 3＝4，没有相等的边，则不是等腰三角形，D选项错误；
故答案选：B．
6．A
【分析】把变形得到可得三角形形状．
【解析】解：因为：，所以：，
所以：，所以三角形ABC是等腰三角形，
故选A．
7．C
【分析】设AB=AC=x，则BC=16-2x,根据三角形的三边关系即可求出AB的取值范围.
【解析】在等腰△ABC中，AB=AC,其周长为16cm，
设设AB=AC=cm，则BC=16-2x,
依题意得,
解得4cm＜AB＜8cm,
选C.
8．B
【分析】延长AD到G使得，连接BG，证明，根据全等三角形的性质可得到，AC=BD，等量代换得到BE=BG，再由等腰三角形的性质得到，推出EF=AF，即可解决问题；
【解析】如图，延长AD到G使得，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
在△ACD与△GBD中，
，
∴，
∴，AC=BD，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴，
∵，
∴，
∴EF=AF，
∴，
即，
∴；
故选：B．
9．D
【分析】由旋转的性质可得CA=CA'，∠ACA'=α，由等腰三角形的性质可得∠A=∠CA'A=60°，由三角形内角和定理可求α的值．
【解析】解：，，
，
将绕点顺时针旋转角至△，
，，
，
，
，
故选：．
10．A
【分析】在边上取点，使，连接，得到，在边上取点，使，连接，得到，即可推出结论．
【解析】解：要想求的长，仅需知道和的长，理由是：
如图4，中，，，
，
∵BD平分，
，，
在边上取点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
在边上取点，使，连接，
则，
，，
，
，
，
，
．
故选：A．
二、填空题
11．7
【分析】根据等腰三角形底边上三线合一的性质进行分析即可.
【解析】解：等腰三角形的角平分线，中线、高彼此重合的只计一条，即底边上的高、中线、角平分线只计一条，因此总条数最多有7条，故答案为7
12．等腰
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠B，即可判断．
【解析】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝70°，
∴∠B=180°－∠A－∠C=70°
∴∠B=∠C
∴△ABC为等腰三角形
故答案为：等腰．
13．或
【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
【解析】解：根据题意得：AB=AC，BD⊥AC，
如图（1），∠ABD=60°，
则∠A=30°，
∴∠ABC=∠C=75°；
如图（2），∠ABD=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠C=∠BAD=15°．
故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．
故答案为：或.
14．55°或
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A＋∠B=90°，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据等边对等角和三角形的内角和定理即可分别求出结论．
【解析】解：∵在中，，
∴∠A＋∠B=90°
当DA=DC时，如下图所示
∴∠A=∠ACD=35°
∴∠B=90°－∠A=55°；
当CA=CD时，如下图所示
∴∠A=∠CDA=（180°－∠ACD）=
∴∠B=90°－∠A=；
当AC=AD时，
∴∠ADC=∠ACD=35°
∴∠A=180°－∠ADC－∠ACD=110°，不符合实际，舍去；
综上：的度数为55°或
故答案为：55°或．
15．61°
【分析】先由等腰三角形的性质求得∠B的大小，再证明△EBD≌△DFC,得到∠DEB=∠FDC;又由三角形内角和为∠BED+∠B+∠EDB=180°,即∠FDC+∠B+∠EDB=180°，可得∠FDC+∠EDB=180°-∠B由因为∠BDC是平角可得：∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB),即可完成作答．
【解析】解：∵等腰三角形ABC
∴
在△EBD和△DFC中
∴△EBD≌△DFC（AAS）
∴∠DEB=∠FDC
又∵在△EBD中，∠BED+∠B+∠EDB=180
∴∠FDC+∠EDB=180°-∠B=119°
又∵∠EDF+(∠FDC+∠EDB)=180°
∴∠EDF=180°-(∠FDC+∠EDB)= 180°-119°=61°
故答案为61°．
16．20
【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等角对等边可得MO＝MB，NO＝NC．从而根据△AMN的周长求出AB＋AC，问题得解．
【解析】解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC．
又∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC．
∴∠ABO＝∠MOB，
∴MO＝MB．
同理可得：NO＝NC．
∴△AMN的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC＝12cm，
∴△ABC的周长为：AB＋AC＋BC＝12＋8＝20cm.
故答案为20.
17．15
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理计算．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝75°，
∴∠ADE＝15°，
故答案为15．
18．
【分析】根据证明，再利用全等三角形的性质，然后由三角形的外角性质，，可说明，再利用等腰三角形的性质可求出，最后利用三角形的内角和解答即可．
【解析】解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是和的外角，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
19．证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20．证明：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21．（1）证明：∵， ，
∴，，
∵，
∴∠AED=∠ABC=90°
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴∠ADC=∠ACD，
∴，
∵，
∴∠ADE+∠DAC=90°，
∴，
∴．
22．解：设，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，解得，∴．
23．过点D作，交于F，
，
在与中
．
．
24．解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴为等腰三角形；
（2）∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
∴．
25．（1）证明：如图，∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵，CD∥AB，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1）得
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
26．（1）证明：（1）在和中，
，
∴．
∴AE=CD；
（2）是等腰直角三角形，理由如下：
连接MN，如图所示：
∵在（1）中已得，，
∴，，AE=DC，
∵M、N分别是AE、CD的中点，
∴，，
∴DN=AM，
又∵，，
∴，
∴BN=BM，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
27．（1）解：当PNBC时，∠α＝∠NPM＝30°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，
故答案为：90；
（2）解：当AP＝4时，△ADP≌△BPC，
理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC＝∠B+∠α＝30°+∠α，
∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，
∴∠α＝∠APD，
又∵AP＝BC＝4，
∴△ADP≌△BPC；
（3）解：的形状可以是等腰三角形．
由题意得，，
①当时，是等腰三角形，
∴，即，
∴．
②当时，是等腰三角形，
∴，
即，
∴．
③当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
此时点P与点B重合，点D和点A重合．
综上所述，当或90°或0°时，是等腰三角形．
28．（1）证明：，，
，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）①证明：由（1）知，为等腰直角三角形，
，
，
，即，
，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
；
②，证明如下：
在上，取，连接，过点作交于点，
在与中，
，
，，，
，，三点共线，
，
，
为等腰直角三角形，即有，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
．