北京市师达中学2024-2025学年初三（下）开学考数学试卷（含答案）

2025北京师达中学初三（下）开学考
数 学
一、选择题（共 16分，每题 2分）
1. 图 1 是数学家皮亚特 海恩（Piet Hein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相同的立方体以面
相连接构成的不规则形状组件组成．图 2 不可能是下面哪个组件的视图（ ）
A. B. C. D.
2. 我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖 1040000000 人左右，
将 1040000000 用科学记数法表示应为（ ）
A. 1.04×1010 B. 1.04×109 C. 10.4×109 D. 0.104×1011
3. 如图， AB∥CD ， BC∥EF ， ED平分 AEF ，若 C = 50 ，则 D 的度数为（ ）
A. 40 B. 50 C. 55 D. 65
4. 实数 a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. a 2 B. a 3 C. a 2 D. a 3
5. 若关于 x的一元二次方程 x2 4x + 2a = 0 有两个相等的实数根、则实数a的值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
6. 每一个外角都是 40 的正多边形是（ ）
A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形
7. 某地新高考有一项“6 选 3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从
“物理、化学、政治、历史”四科中选一科参加考试．若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物
理，另一人选化学的概率为（ ）
1 1 3 1
A. B. C. D.
8 4 8 2
8. 如图，在正方形 ABCD中，点 P 是对角线 BD上一点（点 P 不与 B 、 D 重合），连接 AP 并延长交CD于
点 E ，过点 P 作 PF ⊥ AP 交 BC 于点 F ，连接 AF 、 EF ， AF 交 BD 于点 G ，给出四个结论：①
AB2 + BF 2 = AP2 ；② BF + DE = EF ；③ PB PD = 2BF ；④ FC + EC = 2PG ；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②④
二、填空题（共 16题，每题 2分）
9. 若代数式 x 1有意义，则实数 x的取值范围是______．
10. 分解因式： x3 9x = _____________．
3 2
11. 方程 = 的解为___________．
x x 3
12. 某地区青少年、成年人和老年人的人数比约为 3∶5∶2，现从中抽取一个样本容量为 1000 的样本，调
查了解他们对新闻、体育、动画三类节目的喜爱情况．老年人应抽取________人．
13. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点 E，则∠BDE为_____°．
14. 如图，在矩形 ABCD中，点 E在 AD 边上，连接 BE 并延长，交CD的延长线于点 F．若 AB = 2 ，
AE
BC = 4， = 2，则 BF 的长为______．
DE
2 k 5
15. 如图，在矩形 AOBC 中，点O是坐标原点 y = 的图象上，点B在反比例函数 y = ， sin CAB = ，
x x 5
则 k = ________．
16. 对于题目：“如图 1，平面上，正方形内有一长为 12 、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界
通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙
作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长 x，再取最小整数 n．
甲：如图 2，思路是当 x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n=14．
乙：如图 3，思路是当 x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n=14．
2
丙：如图 4，思路是当 x为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去；结果取 n=13．
2
甲、乙、丙的思路和结果均正确的是___________ ．
三、解答题（共 68分，第 17-20题每题 5分，第 21题 6分，第 22题 5分，第 23-24题每题
分 6分，第 25题 5分，第 26题 6分，第 27-28题每题 7分）
0
17. 计算： 48 2cos30 + (π 1) 2 ．
3(x 1) 4+ 2x,

18. 解不等式组： x 9
2x.
5
4y2 2x
19. 已知 x + 2y + 2 = 0，求代数式 x 的值．
x x 2y
20. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y = kx + b 经过点 (0,2) ， (4, 2) ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 x 4 时，对于 x的每一个值，函数 y = kx + b 的值大于一次函数 y = mx +m的值，直接写出 m的
取值范围．
21. 在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学
生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如
图所示，已知空地长10米，宽 4.5 米，矩形菜园的长与宽的比为 6 :1，并且预留的上、中、下、左、右通
道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？
22. 某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的 A，B两个品种的花生仁中各随机抽取 30粒，测量其
长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息．
a．两种花生仁的长轴长度统计表：
花生仁长轴长度（mm） 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
A品种花生仁粒数 5 10 6 7 2 0 0 0 0 0
B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2
b.两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下：
平均数 中位数 众数 方差
A品种花生仁 a 13.5 c 1.4
B品种花生仁 17.5 b 16 3.9
根据以上信息，回答下列问题：
（1）兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是_________（填序号）；
①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各 30 粒；
②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出 30 粒；
（2）写出 a，b，c的值；
（3）学校食堂准备从 A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要
均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购_____（填“A”或“B”）品种花生仁，理由是
_______________________
23. 如图，在平行四边形 ABCD中，CE⊥AD于点 E，延长 DA至点 F，使得 EF＝DA，连接 BF，CF．
（1）求证：四边形 BCEF是矩形；
（2）若 AB＝3，CF＝4，DF＝5，求 EF的长．
24. 如图，在Rt△ABC 中， ACB = 90 ， D 为边 AC 上的点，以 AD 为直径作 O 交 AB 于点 F ，连
接 BD并延长交 O 于点 E ，连接CE ，CE = BC ．
（1）求证：CE 是 O 的切线；
（2）若CD = 2 ， BC = 4，求 AF 的长．
25. 如图 1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图 2 是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、
下边缘线近似地看作平面直角坐标系 xOy 中两条抛物线的部分图象．已知喷水口 H离地竖直高度OH 为
1.2m ，草坪水平宽度DE = 3m ，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点 A离喷水口的水平距离为2m，
高出喷水口0.4m ，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4m 得到的，设灌溉车到草坪的距离OD 为 d
（单位：m）．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC 的长；
（2）下边缘抛物线落地点 B的坐标为______；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
A( x , y ) B (x , y ) y = x226. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 1 1 ， 2 2 在抛物线 + (2a 2) x a
2 + 2a 上，其中
x1 x2 ．
（1）求抛物线的对称轴（用含 a的式子表示）；
（2）①当 x = a时，求 y 的值；
②若 y1 = y2 = 0 ，求x1的值（用含 a的式子表示）；
（3）若对于 x1 + x2 5 ，都有 y1 y2 ，求 a的取值范围．
27. 如图，等边 ABC 中，D是 AB 边上一点，且 AD BD，点 D关于直线 AC 的对称点为 E，连接
CD， DE ，在直线CD上取一点 F，使得 EFD = 60 ，直线 EF 与直线 BC 交于点 G．
（1）若 ACD = ，求 CGE 的度数（用含 的代数式表示）；
（2）用等式表示线段 AD 与 BG 的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为1．对于 O 的弦 AB 和点C ，给出如下定义：若在 O 上
或其内部存在一点C 使得四边形CAC B 是菱形且 AB 是该菱形的对角线，则称点C 是弦 AB 的“伴随
点”．
（1）如图，点 A(0,1), B(1,0) ．
1 1
①在点C1(2,0),C2 (1,1),C3 , 中，弦 AB 的“伴随点”是点 ；
2 2
②若点 D 是弦 AB 的“伴随点”且 ADB =120 ，则OD 长为 ；
（2）已知 P 是直线 y = x 上一点，且存在 O 的弦MN = 2 ，使得点 P 是弦MN 的 “ 伴随点 ” ．记点 P
的横坐标为 t ，当 t 0时，直接写出 t 的取值范围．