《2.1.1两条直线的位置关系》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对两条直线的位置关系的内容要求是：理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角（或等角）的补角相等的性质。
本节课的学业要求是探究并理解角度大小的度量，理解两条直线平行或垂直的关系， 形成和发展抽象能力；在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑, 形成几何直观和推理能力.因此，教学过程中，采用以问题串的方式激发和引导学生通过观察、思考、探究等活动归纳出图形的概念和性质，同时要求“说理”和“简单的推理”，并了解证明，把推理和证明作为探究得到结论的自然延续，逐步深入地让学生学会说理。同时加深对基本概念的图形性质、关系、变化规律的理解，培养学生初步的抽象能力，更加理性的几何直观和空间想象能力。两直线的位置关系包含的核心素养有符号意识、几何直观、空间观念、抽象能力等.在教学中，让学生经历画图和交流认识平面内两条直线的位置关系，引发学生思考两条直线位置关系的特征，以问题串的形式层层设疑，引起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和求知欲望；从而发展学生的数学逻辑。 同时在学生自主探索、经验归纳的基础上，通过学生独立思考、合作交流，让学生通过观察、猜想、探究、交流、展示等手段，引导学生自行归纳出两条直线相交所形成的角之间的位置关系和数量关系．以问题串的形式追问学生，让学生深入理解两直线相交所形成的对顶角、余角、补角的概念及性质，从而培养合情推理能力。这里留出充足的时间，让学生先充分思考，理清思路、找到办法，组织语言，为后续学习两直线平行的判定和性质打好基础．有效突出了重点，突破了难点．增强学生的抽象能力.
（二）教材解读
《两条直线的位置关系》是本章《相交线和平行线》的第1节课.是一个重要的几何基础知识。本节课聚焦于直线间的相交和平行两种情况。深入分析相交线形成的对顶角、补角、余角等概念，通过本节课的学习，学生将能够准确识别并绘制两条直线的位置关系图，运用相关性质进行逻辑推理。本节课主要包括相交线与平行线的概念，以及对顶角、余角、补角的定义和性质。这些内容都建立在学生已掌握的角、直角、平角等基础知识之上，也为本章后续要学习的“探索直线平行的条件”“探索平行线的性质”“三角形”起着承上启下的作用。通过对这些概念的学习，学生能够进一步发展空间观念和推理能力。教学时应注重从生活情境中引入，通过直观感知和动手操作，帮助学生直观理解，培养其几何直觉与逻辑推理能力。本节是《相交线和平行线》的单元起始课，承载着单元知识、推理方法和研究路径的引领作用。本节课的知识要点为：通过具体情境中，学生会说出在同一平面内两条直线的位置关系.通过对两条相交直线所形成的角的位置关系进行探索并归纳出对顶角的概念和性质。同时用概念判断两个角是否属于对顶角；类比对顶角的探索方法，学生能对两条相交直线所形成的角的数量关系进行探索，从而得到补角、余角的概念及性质。在探究阶段，通过大量的情景引入，让学生经历观察、猜想、操作、交流、推理等过程。激发学生从数学的角度认识现实世界，发展学生的空间观念及推理能力，为后续学习“空间与图形”做好铺垫。对顶角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的理由探索过程以及同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的应用是本节课的重点也是难点．尤其是学生对于两直线相交形成的对顶角、余角、补角等性质可能感到抽象并难以把握。因此本节课的教学过程中需采用多样化的教学手段，从生活中的情景中引入，通过直观感知和动手操作。强化学生的直观理解，促进学生几何直观、逻辑推理能力和应用能力的提升。
三、学情分析
1.基础知识
学生在小学阶段直观认识了平面内不重合的两条直线的位置关系，在七年级上学期学习了点、线、面、直线、射线、线段和角等基本几何图形概念。已初步具备研究两条直线的位置关系的几何直观，符号意识和空间观念。这些为本节课的学习提供了知识基础.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、大关胆质疑问、有效表达等方面还稍有欠缺.
3.关键能力
七年级学生对数学的学习热情较高，且初步具备了分析问题和探究问题的能力，这些都为本节课的学习奠定了基础.但由于七年级学生的抽象思维能力和知识迁移能力还处于发展中的水平，尤其是对于几何知识的空间想象和逻辑推理方面存在挑战；比如题目中的关键信息的提取、思维建模能力可视化程度、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我说出在同一平面内两条直线的位置关系. 2.我能通过探索对顶角的过程；归纳出对顶角概念及性质.
拓展性目标 1.我能通过探索补角、余角的过程；归纳出补角、余角的概念及性质. 2.我能运用对顶角、补角、余角的性质进行简单的推理和证明.
挑战性目标 1.我会模仿老师给出题目，改变角相关的题目，并能写出解答过程. 2.我能从经历探究角的过程，体会数形结合思想在解决问题中的应用.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发 逐渐分化 3分钟 通过生活中的具体情境和动手实践操作，感知两直线的位置关系 明确单元整体学习脉络
创设情境 基础过关 4分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 5分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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第二章 相交线与平行线
2.1.1 两条直线的位置关系
郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
1.我说出在同一平面内两条直线的位置关系.
2.我能通过探索对顶角的过程；归纳出对顶角概念及性质.
拓展性目标 1.我能通过探索补角、余角的过程；归纳出补角、余角的概念及性质.
2.我能运用对顶角、补角、余角的性质进行简单的推理和证明.
挑战性目标 1.我会模仿老师给出题目，改变角相关的题目，并能写出解答过程.
2.我能从经历探究角的过程，体会数形结合思想在解决问题中的应用.
二 复习回顾
预备性知识
观察下面的图片：你认为两条直线有哪些位置关系？
平行
相交
相交
二 复习回顾
预备性知识
问题1：在纸上画出两条直线，观察它们有怎样的位置关系？
问题2：研究两条直线的位置关系，有什么样的前提条件？前提条件能否去掉？
问题3：分享你搜集的生活中有关两条直线相交和平行的例子。
问题1：因为直线是可以无限延长的，所以两条直线的位置关系为相交和平行、
问题2：前提条件为：在同一平面内。
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1)
总结同一平面内，两条直线的位置关系分别是什么？
在同一平面内，两条相交直线的位置关系为相交和平行；
若两条直线只有一个公共点，我们就称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
三 新知讲解
活动2：（基础性目标2）
问题4：如图，直线AB,CD相交于点O.∠1和∠2的位置有什么关系？
∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线
总结：
在图中，直线AB与CD相较于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
问题5：图中还有其它的角也构成对顶角吗？
∠3与∠4
三 新知讲解
基础性练习2
下列图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A B C D
．
C
三 新知讲解
活动3：（基础性目标2）
问题6：如图，直线AB,CD相交于点O.∠1和∠2具有特殊的位置关系，它们的大小有什么关系？并说出理由与同伴交流.
∠1=∠2.
理由：∠AOB和∠COD都是平角，
∠2+ ∠3=180°，∠1+∠3=180°(平角的定义)
∠2=180- ∠3，∠1=180- ∠3，
∠2= ∠1. (等式的性质)
总结：
对顶角的性质：对顶角相等。
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标1）
问题7：如图，观察并思考∠1和∠3有什么数量关系？
∠1与∠3构成一个平角，∠1+∠3=180°
总结：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。
类似地，如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.
问题8：如图，观察并思考还有哪些角也构成互为补角的关系吗？
图中互为补角的角还有∠2与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4.
问题9：思考老师手中的大三角板的30°角与你手中小三角板60°角互余吗？你有什么结论尝试与同桌交流。
互余，因为互余、互补只有角度的数量有关，与角度的位置无关。
三 新知讲解
活动5：（拓展性目标1）
问题10：如图①,打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.将图①简化为图②,ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°,且∠1=∠2.
① ②
(1)请在图②中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由.
解:(1)互为补角的角有∠1与∠AOC,∠2与∠BOD,∠1与∠BOD,∠2与∠AOC,
∠DON与∠CON;
互为余角的角有∠1与∠3,∠2与∠3,∠2与∠4,∠1与∠4.
三 新知讲解
活动5：（拓展性目标1）
问题11：如图①,打台球时,选择适当的方向用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2.将图①简化为图②,ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°,且∠1=∠2.
②
(2) ∠3与∠4的大小有什么关系 ∠AOC与∠BOD呢 你能说
明你的理由吗？与同伴进行交流.
解:(2) ∠3=∠4.理由:∠1+∠3= 90°,∠2+∠4=90°,且∠1=∠2,∠3=∠4.
∠AOC=∠BOD.理由:∠AOC +∠1=180°,∠BOD +∠2=180°,且∠1=∠2,
∠AOC=∠BOD.
总结：
同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.
三 新知讲解
活动6：（拓展性目标2）
问题12：如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数.请指出所量角的度数，并说明理由.
解:扇形零件的圆心角为40°.
可以根据对顶角相等得出所量角的度数是40°，
也可以利用补角得出所量角的度数是180°-140°=40°.
三 新知讲解
活动7：（挑战性目标1）
问题13：如图，在长方形的台球桌面上， ∠1 =∠2 ，∠2+∠3= 90°
（1）如果∠1= 58°，那么∠3等于多少度？
（2）请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答。
解:
∠2+∠3= 90°
90°-58°=32°
3
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
1.我说出在同一平面内两条直线的位置关系.
2.我能通过探索对顶角的过程；归纳出对顶角概念及性质.
拓展性目标 1.我能通过探索补角、余角的过程；归纳出补角、余角的概念及性质.
2.我能运用对顶角、补角、余角的性质进行简单的推理和证明.
挑战性目标 3.我会模仿老师给出题目，改变角相关的题目，并能写出解答过程.
4.我能从经历探究角的过程，体会数形结合思想在解决问题中的应用.
五 当堂检测
1.（基础练习）如图所示，直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1+∠2+∠3等于( )
A.90° B.150° C.180° D.210°
2. （基础练习）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝（ ）
A．36° B．38° C．52° D．46°
C
A
五 当堂检测
3. （基础练习）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为__________°．
4.(拓展练习)因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2,其推理依据是( )
A.同角的余角相等 B.对顶角相等
C.等角的补角相等 D.同角的补角相等
D
32
五 当堂检测
5.（拓展性练习）如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠BOF， ∠AOC=90°，则∠COE= °.
6.（拓展性练习）一个角的补角是它的余角的度数的3倍，则这个角的度数是多少？
45
解：设这个角的度数是x，
则180°﹣x＝3（90°﹣x），
解得x＝45°．
答：这个角的度数是45°．
五 当堂检测
7.（挑战性练习）如图所示，直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OD平分∠BOF，∠BOE=50°.
(1)求∠AOC的度数; (2)求∠EOF的度数.
解:(1)因为∠BOE=50°,∠COE=90°,
且∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,
所以∠AOC=180°-50°-90°=40°.
(2)由题意知∠DOE=90°,
所以∠BOD=90°-50°=40°.
因为OD平分∠BOF,
所以∠BOD=∠DOF=40°,
所以∠EOF=50°+40°+40°=130°.
六 作业布置
基础性作业：
1.如图，直线a，b相交，∠1＝38°，求∠2，∠3，∠4的度数．
拓展性作业：
2.如图，一棵树生长在30°的山坡上，树干与山坡所成的锐角为_________．
解：∠2=142°， ∠3＝38° ∠4=142°
60°
六 作业布置
拓展性作业：
3.互补的两个角可以都是锐角吗？为什么？可以都是直角吗？可以都是钝角吗？
解：互为补角的两个角不可以都是锐角，因为两个锐角的和小于180°；
互为补角的两个角可以都是直角，因为两个直角的和就是180°；
互为补角的两个角不可以都是钝角，因为两个钝角的和大于180°．
六 作业布置
挑战性作业：
4. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线。
(1)若∠1＝41°，∠2＝18°，求出∠AFG的度数．
(2)请根据今天所学的知识，尝试编写一道角度运算的题目并解答。
解：∠AFG=121°
Thanks!
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