《2.1.2两条直线的位置关系》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对两条直线的位置关系的内容要求是：理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线。掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
本节课的学业要求是探究并理解角度大小的度量，理解两条直线平行或垂直的关系， 形成和发展抽象能力；在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑, 形成几何直观和推理能力.因此，教学过程中，学生从基本的相交线出发，研究特殊的相交-垂直，在这个过程中感悟“从一般到特殊”的数学研究路径。同时采用以问题串的方式激发和引导学生通过观察、思考、探究等活动归纳出两条相交直线的特殊情况及垂直的概念和性质，同时要求“说理”和“简单的推理”。同时加深对基本概念的图形性质、关系、变化规律的理解，培养学生初步的抽象能力，更加理性的几何直观和空间想象能力。两直线的位置关系包含的核心素养有符号意识、几何直观、空间观念、抽象能力等.在教学中，让学生从观察生活中的图片入手，引出两条直线互相垂直的符号表示，再用例题和对应训练强化对垂直定义的理解。通过折、画等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识。让学生经历思考、实践、猜想、动手验证等过程，不仅加深对“垂直”的理解，而且感受到“做数学”的乐趣，从而享受到成功的喜悦。整个环节以问题串的形式层层设疑，引起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和求知欲望；从而发展学生的数学逻辑。 同时在学生自主探索、经验归纳的基础上，通过学生独立思考、合作交流，让学生通过观察、猜想、探究、交流、展示等手段，引导学生自行归纳出垂直以及垂直的性质和点到直线的距离等概念．从而培养合情推理能力。这里留出充足的时间，让学生先充分思考，理清思路、找到办法，组织语言，为后续学习两直线平行的判定和性质打好基础．有效突出了重点，突破了难点．增强学生的抽象能力.
（二）教材解读
《两条直线的位置关系》是本章《相交线和平行线》的第2节课.是一个重要的几何基础知识。本节课聚焦于直线间的相交的特殊情况-垂直。深入分析了垂直的概念及性质以及点到直线的距离。通过本节课的学习，学生将能够准确识别垂线，能通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂线的画法及有关性质，会用直尺过一点画已知直线的垂线.通过实践操作，归纳出垂线的性质和点到直线的距离的定义。同时能用垂线的性质和点到直线的距离解释生活中的现象并运用相关性质进行简单逻辑推理。这些内容都建立在学生已掌握的相交线与平行线的概念，以及对顶角、余角、补角的定义和性质等基础知识之上，也为本章后续要学习的“探索直线平行的条件”“探索平行线的性质”“三角形”起着承上启下的作用。通过对这些概念的学习，学生能够进一步发展空间观念和推理能力。教学时应注重从生活情境中引入，通过直观感知和动手操作，帮助学生直观理解，培养其几何直觉与逻辑推理能力。是研究三角形、四边形等平面图形以及平面直角坐标系等知识的基础.本节课的知识要点为：通过具体情境中，学生会说出垂直的概念.通过垂直概念的简单推理锻炼学生的基本推理能力。通过通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂线的画法及有关性质，让学生经历观察、猜想、操作、交流、推理等过程。激发学生从数学的角度认识现实世界，发展学生的空间观念及推理能力，为后续学习“空间与图形”做好铺垫。因此，理解垂线的概念和性质是本节课的重点也是难点．因此本节课的教学过程中需采用多样化的教学手段，从生活中的情景中引入，通过直观感知和动手操作。强化学生的直观理解，促进学生几何直观、逻辑推理能力和应用能力的提升。
三、学情分析
1.基础知识
学生在小学阶段直观认识了平面内不重合的两条直线的位置关系，在七年级上学期学习了点、线、面、直线、射线、线段和角等基本几何图形概念。已初步具备研究两条直线的位置关系的几何直观，符号意识和空间观念。这些为本节课的学习提供了知识基础.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、大关胆质疑问、有效表达等方面还稍有欠缺.
3.关键能力
七年级学生对数学的学习热情较高，且初步具备了分析问题和探究问题的能力，这些都为本节课的学习奠定了基础.但由于七年级学生的抽象思维能力和知识迁移能力还处于发展中的水平，尤其是对于几何知识的空间想象和逻辑推理方面存在挑战；比如题目中的关键信息的提取、思维建模能力可视化程度、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 我能认识垂线，说出垂直的含义，会用符号表示两直线垂直.
拓展性目标 1.我能通过结合所学知识，进行简单的推理。 2.我能通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂线的画法及有关性质，会用直尺过一点画已知直线的垂线.
挑战性目标 1.我能通过实践操作，归纳出垂线的性质和点到直线的距离的定义. 2.我能用垂线的性质和点到直线的距离解释生活中的现象.
五、实现路径
基础性目标 实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标 实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标 实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发 逐渐分化 3分钟 通过生活中的具体情境和动手实践操作，感知两条直线相交时特殊情况-垂直 明确单元整体学习脉络
创设情境 基础过关 4分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨 个人展评 5分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨 挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究(共23张PPT)
第二章 相交线与平行线
2.1.2 两条直线的位置关系
郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标
我能认识垂线，说出垂直的含义，会用符号表示两直线垂直.
拓展性目标 1.我能通过结合所学知识，进行简单的推理。
2.我能通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂线的画法及有关性质，会用直尺过一点画已知直线的垂线.
挑战性目标 1.我能通过实践操作，归纳出垂线的性质和点到直线的距离的定义.
2.我能用垂线的性质和点到直线的距离解释生活中的现象.
二 复习回顾
预备性知识
问题1：同一平面内,两条直线有哪些位置关系？你能找到生活中的一些实例吗？
问题2：观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗 它们有什么特殊的位置关系
问题3：日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
（1）两条直线的位置关系：相交和平行
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1)
取两根木条a,b，将它们钉在一起，木条a不动，另一条木条b转动时，
思考两条木条所在的直线什么情况下位置特殊？
2
3
4
2
3
（1）已知∠=60°,那么∠2 = ，∠3= ，∠4= .
(2)改变图中∠的大小，若∠=90°,则∠2= ，∠3= ，∠4= ，
这时两条直线的关系是 .
120°
60°
120°
90°
90°
90°
垂直
概念：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
三 新知讲解
活动1：（基础性目标1）
问题4：如何表示两条直线互相垂直呢？
问题5：尝试将图①中的信息转化为几何语言是什么呢？
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。
如图①，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD。其中，点O是垂足。
如图②，直线l与直线m垂直，记作l⊥m. 其中，点O是垂足。
性质 判定
90°(垂直的定义) ）
）
三 新知讲解
活动3：（拓展性目标1）
问题6：(1)如图所示，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗 为什么
以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗？与同伴进行交流。
A
B
O
C
我是这样思考的:
由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°,
可得∠AOC=∠BOC=90°，
所以 OC⊥AB.
（2）小颖的思考过程是正确的。
由∠AOC=∠BOC（已知），
且∠AOC+∠BOC=180°（平角的定义），
可得∠AOC=∠BOC=90°（等量代换），
OC⊥AB（垂直的定义）
三 新知讲解
活动3：（拓展性目标1）
问题6：(3)如果 OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC吗 为什么 与同伴进行交流。
解：（3）OC⊥AB，
∠AOC=90°，∠BOC=90°（垂直的定义）
∠AOC=∠BOC。
A
B
O
C
三 新知讲解
拓展性练习1
1.如图，C为直线 AB上一点，过点C引两条射线 CE，CD，且∠ACE=41°，∠DCB=49°.那么CE，CD的位置关系是什么 为什么
A
C
B
D
E
解：CE⊥CD，
理由如下：
∵∠ACE=41°，∠DCB=49°(已知),
∴∠ECD=180°-∠ACE-∠DCB
=180°-41°-49°=90°,
∴CE⊥CD(垂直的定义).
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
问题7：你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看，小组讨论方法后进行分享。
沿折痕对折
展开
三 新知讲解
活动4：（拓展性目标2）
问题8：如果只用直尺，你能画出图方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？
方格纸上每一条横线和竖线都是互相垂直的,我们可以利用格线来画出两条互相垂直的直线.
三 新知讲解
活动5：（挑战性目标1）
问题9：(1)如图，点A在直线 l上, 你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？，你能画出多少条 与同伴进行交流你的方法和结论.
l
.
A
过直线上一点画直线的垂线，可以画一条.
三 新知讲解
活动5：（挑战性目标1）
问题10： (2)如图，点A在直线l外, 过点A画直线l的垂线，你能画出多少条 你是怎样做的？与同伴进行交流.
l
.
过直线外一点画直线的垂线，可以画一条.
A
总结：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
三 新知讲解
活动5：（挑战性目标1）
问题11： （3）如图所示，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足.点A，B，C在直线l上,比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么
问题12：你能用一句话表示这个结论吗？
线段PO最短.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
点到直线的距离：
如图所示，过点A作直线l的垂线,垂足为B,线段AB的长度
叫做点A到直线l的距离.
三 新知讲解
活动6：（挑战性目标2）
问题13：你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗 你能说说其中的道理吗
由裁判在距离踏板最近的跳远落地点插上作为标记的小旗，以小旗的位置为尺子的零点，将尺子拉直，并与踏板边沿所在直线垂直，则垂足点上尺子表示的数字即为跳远成绩。
这实质上是“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”这一概念的应用。
四 课堂总结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
基础性目标
我能认识垂线，说出垂直的含义，会用符号表示两直线垂直.
拓展性目标 1.我能通过结合所学知识，进行简单的推理。
2.我能能通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂线的画法及有关性质，会画已知直线的垂线.
挑战性目标 1.我能通过实践操作，归纳出垂线的性质和点到直线的距离的定义.
2.我能用垂线的性质和点到直线的距离解释生活中的现象.
五 当堂检测
1. （基础性练习）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为_________°．
2.（基础性练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE。若∠BOD=20°，求∠EOF的大小。
解：因为∠BOD=20°，所以∠AOC=∠BOD=20°。
因为OF⊥CD，所以∠COF=90°。
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-20°=70°。
因为OF平分∠AOE，所以∠EOF=∠AOF=70°。
36
五 当堂检测
3. (拓展性练习)下列各图中,过直线l外的点P画直线l的垂线,三角尺操作正确的是( )
4.(拓展性练习) P为直线m外一点，A,B,C为直线m上的三点，PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm,则点P到直线m的距离( )
A.等于4 cm B.等于2 cm C.小于2 cm D.不大于2 cm
D
C
五 当堂检测
5. (拓展性练习) 如图所示，直线AB，CD，EF都经过点O，且AB⊥CD，∠COE=35°，求∠EOB，∠BOF的度数.
解:因为AB⊥CD,
所以∠COB=90°,
所以∠EOB=90°-∠COE=90°-35°=55°,
所以∠BOF=180°-∠EOB=180°-55°=125°.
故∠EOB的度数是55°,∠BOF的度数是125°.
五 当堂检测
6.（挑战性练习）如图所示，单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是:过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管,你能用数学道理解释这一问题吗？
垂线段最短
六 作业布置
基础性作业：
1.如图所示,OB⊥OD,OC⊥OA,∠BOC=32°,那么∠AOD等于( )
A.148° B.132° C.128° D.90°
拓展性作业：2.下面是画在方格纸上的两个图形，请分别找出图中互相垂直的线段。
解:(1)OA⊥OC，
OB⊥OD.
(2)BC⊥CD，
CE⊥CD.
A
六 作业布置
挑战性作业
3.如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
在D处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
