《2.2.1利用同位角判定两直线平行及平行公理》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标要求
《义务教育数学课程标准(2022年版)》对利用同位角判定两直线平行及平行公理的内容要求是：识别同位角；掌握平行线基本事实Ⅰ：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；掌握平行线基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；了解平行于同一条直线的两条直线平行.
由三线八角得到，不同位置关系的角，通过对位置关系的特征归纳，得到同位角的定义，并通过旋转后的图形编写的习题进行识别；通过实践操作，画图识别，能够得到过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行这一基本事实；通过旋转木条的工具，操作归纳发现两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行的基本事实；进而依据同位角相等，两直线平行的基本事实，使用三角板和直尺构造截线与平行线，画出过已知直线外一点的直线的平行线；在多次画出平行线的操作下，容易发现平行于同一条直线的两条直线平行，体现平行线的传递性.
本节课通过从研究特殊情况(平面内垂直于同一条直线的两直线平行)到一般情况(同位角相等，两直线平行)的判定方法，使学生从角的角度理解两条直线平行的关系，形成和发展抽象能力；本节课通过文字语言、图形语言与几何语言建立的转化，培养学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的语言表达现实世界；通过直观理解掌握图形与几何基本事实，形成几何直观；经历利用直尺与三角板作图的过程，增强动手能力，理解作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力；学生还将经历几何证明的过程，需要理解几何基本事实的意义，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，形成初步的推能力和重事实、讲道理的科学精神.
(二)教材解读
初中阶段，在七年级上册，学生已经学面基本图形，即研究了基本元素——点、线、角的相关知识，在本章中，学生将在基本元素的基础上，学习两直线的位置关系，尤其是特殊的垂直关系与平行关系，为第四章研究三角形提供研究思路与知识基础.在本节课前，学生已学习了两直线的特殊关系——垂直，在此基础上已知角对研究直线关系有着重要的作用，这对接下来用角研究直线的平行关系有借鉴作用；学生在学习平行线的判定后，接下来将要研究平行线的性质，这两者互为逆定理，由线的关系与角的关系完成了互换，强调了位置关系与数量关系的转化.
本节课处于平行的判定的第1课时，研究了三线八角、平行线的基本事实与推论，是判定平行的重要依据，也为下一课时，平行的判定定理的证明提供研究方向与证明的依据.
本节课主要对三线八角中的同位角的位置特征、平行线的判定方法1、平行线的公理(基本事实)与推论进行学习与研究.通过直观理解，观察图形，掌握图形特征与几何基本事实；在此基础上经历得到和验证平行公理的推论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑.
本节课重点是掌握平行线的判定方法，通过从研究特殊情况到一般情况的判定方法，使学生从角的角度便于理解两条直线平行的关系；本节课的难点是逻辑推导的思路与几何语言的结合，通过对练习的原理挖掘，改编或创编题目的活动，将逻辑推导与知识点联系起来，以不变的知识点创编出核心不变的题目.
三、学情分析
1.基础知识
学生对两直线的位置关系有了初步的认识，尤其是相交所形成的角的关系、垂直所形成的角的关系都进行了研究与学习，所以对利用角的数量关系与直线的位置关系的转化已有经验.但文字语言、图形语言与几何语言的转化是学生们遇到的一大难点，另外，随着知识内容的充盈，所需要的综合运用能力越来越高，这两部分还需要多加练习与思考.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，尤其在本章经过了垂直的学习后，学生能主动总结反思，大胆质疑提出疑问，构建知识间的联系，但是在有效表达，简洁有针对性，尤其是三种语言的转化上还稍有欠缺.因此，设计每个活动后，对知识间的联系进行总结，对三种语言的转化练习尤为重要，最后教师指导再进行完善，以此培养学生反思总结、有效表达、大胆质疑、及时整理的习惯.
3.关键能力
学生经过第一节的知识学习后，对特殊位置关系的图形有着直观的感受，但对抽象归纳其特征，尤其是使用几何语言进行表达有些欠缺，因此学生在对信息获取与加工的能力和对语言的组织与表达这方面有一定基础，但在数学语言表达的专业性、简洁性和规范性上都需要提高；多数学生能根据公理、定理进行简单的应用，对复杂图形或者需要多个知识点综合的题目较难推导证明，提出疑问与其他相关问题较少，因此学生在对逻辑推理论证能力这方面有一定基础，但对其深度和广度还不够，在批判性思维和辩论的能力这方面表现较弱；学生在对垂直知识的练习建构上有了一定的基础，但对知识的迁移与转化能力较弱，因此学生在对思维建模能力(可视化)表现还需要培养.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我能根据垂直的定义判定平面内垂直于同一条直线的两直线平行. 2.我能根据同位角的概念识别同位角. 3.我能运用同位角相等判定两直线平行.
拓展性目标 4.我能根据同位角相等的原理使用三角板画出平行线. 5.我能运用平行公理判定两直线平行. 6.我能运用平行公理的推论判定两直线平行.
挑战性目标 7.我能运用同位角、平行公理及其推论解决判定平行的几何问题. 8.我能改编本节课课本上的练习，或创编判定平行的练习，并能写出解答步骤，总结判定平行的规律.
五、实施路径
基础性目标 实现路径 课前：通过填写垂直的定义与几何语言，联系回顾平行线的定义，并提出本节课的问题：判定平行的其他方法.
课堂：通过垂直木棒与旋转木棒的对比，完成基础性目标1活动，根据垂直的定义，判定两直线平行；通过三线八角中同位角的位置特征，完成基础性目标活动2，识别同位角；通过固定木棒与旋转木棒的对比，完成基础性目标活动3，总结发现同位角相等，两直线平行的结论，学生直接展示基础性目标活动结果，如提出疑问，其他学生补充，教师答疑补充.
拓展性目标 实现路径 课前：学生尝试自主完成拓展性目标活动.
课堂：通过同位角相等，两直线平行的原理使用直尺与三角板实践操作，完成拓展性目标4活动，画出平行线；完成拓展性目标5、6活动，从已知直线与画出的其他直线的位置关系，观察得到平行公理及其推论，个人展示，其他同学补充，完善答案，教师总结点评.
挑战性目标 实现路径 课堂：通过完成判定平行的几何问题，总结判定平行的方法与步骤，学生尝试合作完成挑战性目标活动7，小组合作展示，其他学生补充，教师总结；在总结学习经验的基础下，合作完成挑战性目标活动8，小组合作展示，其他学生补充，教师总结.
课后：补充完善小组合作内容，形成成果，并尝试再编写题目.
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务；组织学生核对预备性知识答案，回顾垂直的运用. 明确本节课的学习任务；核对预备性知识答案，回顾垂直的运用.
主动探究 基础过关 5分钟 组织学生展示基础性目标活动1(垂直木棒与旋转木棒)，及时点拨疑问；指导学生完成基础性目标活动2(识别同位角)，提出同位角的位置特征的疑问，引导学生观察图形，组织学生回答问题，教师及时补充；组织学生展示基础性目标活动3(固定木棒与旋转木棒)，寻找一般情况下平行的判定方法，及时点拨疑问； 展示基础性目标活动1(垂直木棒与旋转木棒)，提出疑问，做好总结；完成基础性目标活动2(识别同位角)，观察图形，思考同位角的位置特征的疑问，回答问题，及时记录展示；基础性目标活动3(固定木棒与旋转木棒)，提出疑问，做好总结.
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生自主探究拓展性目标活动4(三角板画平行线)，组织学生板演或投屏分享，引导思路，对其中的原理进行总结；自主探究拓展性目标活动5、6(归纳平行公理及其推论)，组织学生展示，帮助学生规范描述结论，完成文字语言、图形语言与几何语言的转化. 自主探究拓展性目标任务活动4(三角板画平行线)，完善思路，提出质疑，做好记录；自主探究拓展性目标活动5、6(归纳平行公理及其推论)，完善文字语言、图形语言与几何语言，提出质疑，做好记录.
合作探讨 挑战突破 15分钟 指导学生小组合作完成挑战性目标活动7(复杂几何题)，小组内指定学生进行展讲，注意引导思路与几何语言的书写，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬；指导学生小组合作完成挑战性目标活动8(编写题目)，小组内指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬. 小组合作完成挑战性目标任务活动7(复杂几何题)，重点是思路与几何语言的书写，互相补充，并记录疑问；小组合作完成挑战性目标任务活动8(编写题目)，重点是如何表达，理清思路，互相补充，并记录疑问.
答疑解惑拓展能力 5分钟 组织学生展示不懂或存疑的问题，教师补充与总结或留作课后思考；对当堂练习进行点拨. 学生展示不懂的问题，记录答案或思路，课下完善；完成当堂练习.
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标. 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度.
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充. 分享课堂收获，互相补充.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究(共42张PPT)
2.2.1利用同位角判定两直线平行及平行公理
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能根据垂直的定义判定平面内垂直于同一条直线的两直线平行.
2.我能根据同位角的概念识别同位角.
3.我能运用同位角相等判定两直线平行.
拓展性目标 4.我能根据同位角相等的原理使用三角板画出平行线.
5.我能运用平行公理判定两直线平行.
6.我能运用平行公理的推论判定两直线平行.
挑战性目标 7.我能运用同位角、平行公理及其推论解决判定平行的几何问题.
8.我能改编本节课课本上的练习，或创编判定平行的练习，并能写出解答步骤，总结判定平行的规律.
1.两条直线相交成四个角，如果有_____________，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.如图，记作_________，垂足为点O.
A
B
D
C
O
几何语言：
(1)∵AB⊥CD，
∴_________________________________=90°.
（填出一个即可）
(2)∵∠BOC=90°，
∴___________.
预备性知识
一个角是直角
AB⊥CD
∠BOC或∠AOC或∠AOD或∠BOD
AB⊥CD
2.如何判定图中的直线平行？你是怎么判断的？
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
3.除了定义法，还有其它判断两直线平行的方法吗？
预备性知识
在日常生活中，人们经常用到平行线.
如图，装修工人要在墙上钉木条，如果木条b与竖直木条垂直，那么木条a与竖直木条所成的角为多少度时，才能使木条a与木条b平行
木条a与竖直木条所成的角为90°时，
才能使木条a与木条b平行.
b
a
活动1(基础性目标1)
如果木条b不与竖直木条垂直呢
b
a
活动1(基础性目标1)
探究 如图1，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b，c，转动木条a.如图2，在转动木条a的过程中，观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化 木条a何时与木条b平行
1
2
b
a
c
1
2
b
a
c
1
2
b
a
c
1
2
b
a
c
图1
图2
活动2(基础性目标2)
木条a与木条b的位置关系经历“相交→平行→相交”这一变化过程，
当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
1
2
b
a
c
1
2
b
a
c
1
2
b
a
c
1
2
b
a
c
图1
图2
活动2(基础性目标2)
改变图中∠1的大小，旋转木条a.
∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行
当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
1
2
b
a
c
1
2
b
a
c
活动2(基础性目标2)
思考 两条直线相交，可以构成四个角，若在图中再添加一条直线，构成了几个角？
此图可看作两直线AB，CD被第三条直线l所截，共构成八个角，简称“三线八角”.
通常直线AB，CD叫作被截线，
直线l叫作截线.
活动2(基础性目标2)
观察∠1与∠2，它们有怎样的位置关系？
①在两条被截直线的同一方；
②在截线的同侧.
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角.
活动2(基础性目标2)
找出其他的同位角.
∠3与∠4，
∠5与∠6，
∠7与∠8也分别是同位角.
注意:同位角强调两角的位置关系，与角的大小无关.
活动2(基础性目标2)
同位角的位置特征
位置特征：①在两条被截直线的同一方；②在截线的同侧.
形如字母“F”(或倒置、反置、旋转).
活动2(基础性目标2)
基础性目标2练习 图中的∠1与∠2是同位角吗？
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
活动2(基础性目标2)
(1) (2) (3) (4） （5）
两条直线平行的条件1：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简述为:同位角相等，两直线平行.
当∠1=∠2时，木条a与木条b平行.
1
2
b
a
c
活动3(基础性目标3)
两直线平行，用符号“//”表示.
例如，直线a与直线b平行，记作 a//b.
几何语言：
∵∠1=∠2(已知)
∴// （同位角相等，两直线平行）.
文字语言：同位角相等，两直线平行.
活动3(基础性目标3)
图形语言：
基础性目标3练习 1.找出下面点阵(点阵中相邻的四个点构成正方形)中互相平行的线段.
解:AB//CD，EF//CH.
活动3(基础性目标3)
基础性目标3练习 2.如图，∠1=∠2=55°，直线 AB与CD平行吗
解:AB//CD.
∵∠1=∠2=55°，∠1=∠3(对顶角相等)，
∴∠2=∠3.
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)
活动3(基础性目标3)
你能根据“同位角相等，两直线平行”这一原理，借助三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线吗？
活动4(拓展性目标4)
一落 把三角尺的一边落在已知直线上.
二靠 用直尺紧靠三角尺的另一边.
三推 沿直尺推动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点.
四画 沿三角尺过已知点的边画直线.
●
a
b
A
活动4(拓展性目标4)
思考 在画平行线过程中，三角尺起着什么样的作用？
1
2
l2
l1
A
B
在移动的过程中，三角尺的度数不变，保证同位角相等.
●
B
A
D
C
F
E
P
H
G
活动4(拓展性目标4)
思考 1.经过点C能画出几条直线？
2.与直线AB平行的直线有几条？
3.经过点C能画出几条直线与直线AB平行？
·
A
·
B
·
C
无数条
1条
a
平行公理(基本事实)：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
无数条
强调“存在性”和“唯一性”
活动5(拓展性目标5)
在图中，分别过点C和D画直线AB的平行线EF和GH，那么EF与GH有怎样的位置关系
EF与GH平行
C
D
A
B
F
H
E
G
活动6(拓展性目标6)
平行公理的推论(平行线的传递性)：
平行于同一条直线的两条直线平行
b
c
a
几何语言：
∵b//a，c//a，
∴b//c (平行于同一条直线的两条直线平行).
活动6(拓展性目标6)
文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
图形语言：
拓展性目标5、6练习 .对于同一平面内的三条直线a，b，c，如果a与b平行，c与a相交，那么c与b的位置关系是相交还是平行 请画图说明.
解:c与b的位置关系是相交.
b
c
a
活动6(拓展性目标6)
小组合作活动
将装修工人要在墙上钉木条的情景抽象如图，
直线a⊥c，b⊥c．求证：a∥b．
解：证明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，
∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定义)，
∴∠1＝∠2(等量代换)，
∴a∥b(同位角相等，两直线平行).
活动7(挑战性目标7)
总结：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
小组合作活动
请模仿挑战性活动7改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
活动8(挑战性目标8)
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标 1.我能根据垂直的定义判定平面内垂直于同一条直线的两直线平行.
2.我能根据同位角的概念识别同位角.
3.我能运用同位角相等判定两直线平行.
拓展性目标 4.我能根据同位角相等的原理使用三角板画出平行线.
5.我能运用平行公理判定两直线平行.
6.我能运用平行公理的推论判定两直线平行.
挑战性目标 7.我能运用同位角、平行公理及其推论解决判定平行的几何问题.
8.我能改编本节课课本上的练习，或创编判定平行的练习，并能写出解答步骤，总结判定平行的规律.
1.(基础性目标1)在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果a⊥c，b⊥c，则a_____c．
2．(基础性目标2)如图中∠1与∠2不是同位角的是( )
A. B. C. .D．
当堂检测
∥
B
3.(基础性目标3)如图，∠A＝50°，则当∠1＝____°时，AB∥CD．
4.(拓展性目标4)如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是_________________________________．
当堂检测
130
同位角相等，两直线平行
第3题图 第4题图
5.(基础性目标3)如图，∠A＝70°，O是AB上一点，
直线OD与AB所夹角∠BOD＝86°，要使OD∥AC，
直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转____________度．
6.(拓展性目标5、6)下列说法错误的是( )
A．两点之间的所有连线中，线段最短
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
当堂检测
B
16
7.(挑战性目标7)如图，在△ABC中，D，E分别在AC，BC上，∠C＝20°，∠CDE＝120°，∠B＝40°，请问DE与AB是否平行？并说明理由.
解：DE∥AB.理由如下：
在△CDE中，∠CDE＝120°，∠C＝20°，
∠CDE+∠C+∠DEC=180°，
∴∠DEC=180°-∠CDE-∠C=180°-120°-20°=40°.
又∵∠B＝40°，∴∠DEC=∠B，
∴DE∥AB(同位角相等，两直线平行).
当堂检测
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业：
1．找出图中互相平行的直线．
解：∵∠1＝180°﹣130°＝50°，
∴∠1＝∠ABC，
∴m∥n，
∵∠DEC＝∠ABC＝50°，
∴a∥b．
课后作业 (可根据实际选做)
拓展性作业：
2．如果只有直尺，你能在上面的方格纸上画出平行线吗？
解：
如图所示.
课后作业 (可根据实际选做)
3．你能用一张不规则的纸(比如，如图所示的四边形的纸)折出两条平行的直线吗？与同伴说说你的折法，请在图中画出示意图，写出平行依据.
解：如图所示：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
4.直线l的同侧有A，B，C三点，如果A，B两点确定的直线l1与B，C两点确定的直线l2都与l平行，那么A，B，C三点的位置关系如何？
课后作业 (可根据实际选做)
解：A、B、C三点的位置关系是：在同一直线上，
理论依据是：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
挑战性作业：
5．如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，求证：AB∥EF．
课后作业 (可根据实际选做)
证明：∵CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，
∴∠DCF＝2∠DCG＝130°，
∵∠DCF+∠DCE=180°，
∴∠DCE＝50°，
∵∠B＝50°，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥EF．
6．已知：如图，∠EGB＝∠GHD，，直线EF分别交AB，CD于点G，H，GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
求证：GM∥HN．
课后作业 (可根据实际选做)
证明：∵GM平分∠EGB，HN平分∠GHD，
∴∠EGM∠EGB，∠GHN∠GHD，
∵∠EGB＝∠GHD，
∴∠EGM＝∠GHN，
∴GM∥HN．
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
7.请模仿挑战性作业第6题改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
