(共41张PPT)
2.2.2利用内错角或同旁内角判定两直线平行
郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
学习目标
基础性目标 1.我能根据内错角和同旁内角的概念识别内错角和同旁内角.
2.我能根据“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两条直线平行”和“同旁内角互补，两条直线平行”.
拓展性目标 3.我能运用内错角、同旁内角判定两直线平行.
4.我能尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.
挑战性目标 5.我能利用平行线的判定条件解决判定平行的几何问题.
6.我能改编本节课课本上的练习，或创编判定平行的练习，并能写出解答步骤，总结判定平行的规律.
1.平行的判定方法1：_____________________________
2.平行公理（基本事实）：_____________________________
3.平行公理的推论：_____________________________
4.尺规作角：尺规作∠A′O′B′＝∠AOB
同位角相等，两直线平行
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
平行于同一条直线的两条直线平行
预备性知识
问题 小明有一块小画板， 他想知道它的上、 下边缘是否平行， 于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB（如图所示） .
活动1(基础性目标1)
思考 小明身边只有一个量角器， 他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、 下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？
活动1(基础性目标1)
观察∠1与∠4的位置关系：
①在直线l的两侧；
②在直线AB，CD的之间
内错角
图中的内错角还有哪些？
∠3与∠2
活动1(基础性目标1)
内错角
位置特征:①在两条被截直线之间；②在截线的两侧.
形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转).
活动1(基础性目标1)
观察∠1与∠2的位置关系
①在直线l的同旁；
②在直线AB，CD的之间
同旁内角
图中还有哪些同旁内角？
∠3与∠4
活动1(基础性目标1)
同旁内角
位置特征:①在两条被截直线之间；②在截线的同侧.
形如字母“U”(或倒置、反置、旋转).
活动1(基础性目标1)
同位角的位置特征
形如字母“F”(或倒置、反置、旋转).
内错角的位置特征
形如字母“Z”(或倒置、反置、旋转).
同旁内角的位置特征
形如字母“U”(或倒置、反置、旋转).
注意:同位角、内错角、同旁内角强调两角的位置关系，与角的大小无关.
活动1(基础性目标1)
基础性目标1练习 观察右图并填空：
∠1 与 是同位角；
(2) ∠5 与 是同旁内角；
(3) ∠1 与 是内错角.
3
2
5
4
1
b
a
∠4
∠3
∠2
活动1(基础性目标1)
探究 能否利用内错角和同旁内角来判定两直线平行呢？
(1)内错角满足什么关系时，两直线平行 为什么
如图，由 3= 2，可推出a//b吗？如何推出？
解： ∵ 3= 2(已知)，
1= 3(对顶角相等)，
∴ 1= 2，
∴ a//b(同位角相等，两直线平行).
2
b
a
1
3
活动2(基础性目标2)
两条直线平行的判定方法2:
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简述为:内错角相等，两直线平行.
文字语言：内错角相等，两直线平行.
几何语言：∵∠3=∠2(已知)，
∴a∥ b(内错角相等，两直线平行) .
2
b
a
1
3
活动2(基础性目标2)
图形语言：
(2)同旁内角满足什么关系时两直线平行 为什么
如图，如果 1+ 2=180° ，你能判定a//b吗
解：∵ 1+ 2=180°（已知），
1+ 3=180°（邻补角定义），
∴ 2= 3（同角的补角相等），
∴a//b（同位角相等，两直线平行）.
2
b
a
1
3
活动2(基础性目标2)
两条直线平行的判定方法3:
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简述为:同旁内角互补，两直线平行.
文字语言：同旁内角互补，两直线平行.
几何语言：∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴a∥ b（同旁内角互补，两直线平行）.
2
b
a
1
活动2(基础性目标2)
图形语言：
探索直线平行的条件
同旁内角互补，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同位角相等，两直线平行
判定方法2
判定方法3
判定方法1
平行于同一条直线的两条直线平行
平行公理推论
活动2(基础性目标2)
除了定义法，我们学习了哪些判断两直线平行的方法？
B
C
D
A
E
如下图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由．
以下是小颖的思考过程：BC与AE是平行的．
因为∠BCA与∠EAC是内错角，而且又相等．
活动3(拓展性目标3)
B
C
D
A
E
再找一组平行线，并说明你的理由．
AC与DE是平行的．
因为∠BCA与∠CDE是同位角，而且又相等．
活动3(拓展性目标3)
思考 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢
b
a
截线
这条截线的作用是构造出同位角、内错角、同旁内角，从而将两直线的位置关系转化为角之间的数量关系，进而可以通过操作、观察来探索同位角或内错角或同旁内角的数量关系与两直线平行之间的联系.
活动3(拓展性目标3)
拓展性目标3练习 当图中各角分别满足下列条件时，你能判定哪两条直线平行
(1) ∠1=∠4；(2) ∠2=∠4；(3) ∠1+∠3=180°.
解:(1)∵∠1=∠4，
∴a//b(同位角相等，两直线平行).
(2)∵∠2=∠4，
∴l//m(内错角相等，两直线平行).
(3)∵ ∠1+∠3=180°，
∴l//n(同旁内角互补，两直线平行).
活动3(拓展性目标3)
尝试 如图，某公园现有两条直道AB和CD交于点O，为方便游客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再修建一条直道MN， 并且使MN与AB平行.
(1)过点P的直线有多少条
(2)满足什么条件的直线才能与AB平行
解：(1)过点P的直线有无数条.
(2)如图，满足∠DPN = ∠DOB时，直线MN才能与AB平行.
活动4(拓展性目标4)
你能用尺规过直线外一点作这条直线的平行线吗？
活动4(拓展性目标4)
如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN经过点P，且MN//AB.
活动4(拓展性目标4)
作法 示范
作法与示范：
1.在直线 AB上任取一点 O,过点O,P作直线CD.
2.以点 P为顶点,以 PD为一边,在直线 CD 的右侧作∠DPN= ∠ DOB.
PN边所在的直线MN就是要作的直线.
活动4(拓展性目标4)
小组合作活动
如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE．当∠ACD＝________________时，CE∥AB．
活动5(挑战性目标5)
解：分两种情况：
①如图1所示，
当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°；
活动5(挑战性目标5)
解：②如图2所示，
当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
故答案为：60°或120°．
活动5(挑战性目标5)
小组合作活动
请模仿挑战性活动5改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
活动6(挑战性目标6)
课堂小结
对照学习目标检查学习效果
基础性目标 1.我能根据内错角和同旁内角的概念识别内错角和同旁内角.
2.我能根据“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两条直线平行”和“同旁内角互补，两条直线平行”.
拓展性目标 3.我能运用内错角、同旁内角判定两直线平行.
4.我能尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.
挑战性目标 5.我能利用平行线的判定条件解决判定平行的几何问题.
6.我能改编本节课课本上的练习，或创编判定平行的练习，并能写出解答步骤，总结判定平行的规律.
1．(基础性目标1)下列说法不正确的是( )
A．∠1与∠4是同位角 B．∠3与∠5是同旁内角
C．∠3与∠4是内错角 D．∠3与∠6是同位角
D
当堂检测
2.(拓展性目标3)下列各图中，能画出AB∥CD的是( )
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
D
当堂检测
3.(拓展性目标4)如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A作OB的平行线，步骤如下．
①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D；
②以点A为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M；
③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA即为所求．
请你按照小亮的步骤完成作图，并写出小亮作图的依据：___________________________
内错角相等，两直线平行
当堂检测
B
O
P
A
4.(挑战性目标5)如图，直线a、b被直线l所截，AD、BC为其中一组同旁内角的角平分线．若AD⊥BC，则a与b的位置关系是什么？
当堂检测
解：a∥b,如图，
∵AD⊥BC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BAD+∠ABC+∠AOB＝180°，
∴∠BAD+∠ABC=90°，
∵AD、BC分别是∠MAB、∠ABN的角平分线，
∴∠MAB=2∠BAD，∠ABN=2∠ABC，
∴∠MAB+∠ABN=2(∠BAD+∠ABC)＝180°，
∴a∥b.
课后作业 (可根据实际选做)
基础性作业：
1.如图，下列说法不正确的是( )
A．∠3和∠4是同位角 B．∠1和∠3是对顶角
C．∠4+∠2＝180° D．∠1和∠4是内错角
拓展性作业：
2.如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是( )
A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°
C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180°
C
C
课后作业 (可根据实际选做)
3．如图，一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD均为150°，街道AB与CD平行吗？为什么？
解：街道AB与CD平行；
理由如下：
∵∠ABC＝∠BCD＝150°，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
课后作业 (可根据实际选做)
4.如图，∠DAB+∠CDA＝180°，∠ABC＝∠1，直线AB与CD平行吗？直线AD与BC呢？为什么？
解：AB∥CD，AD∥BC，
理由是：
∵∠DAB+∠CDA＝180°，
∴AB∥CD；
∵∠ABC＝∠1，
∴AD∥BC．
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
5.如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．
解：AB∥CD，PG∥QH，
理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，
∴∠1＝∠GPQAPQ，∠2＝∠PQH∠EQD，
∵∠1＝∠2，
∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，
∴AB∥CD，PG∥QH．
课后作业 (可根据实际选做)
挑战性作业：
6.请模仿挑战性作业第5题改编或创编一道包含平行判定的几何练习题目并解答.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine《2.2.2利用内错角或同旁内角判定两直线平行》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 杨玉婷
一、课型
新授课
二、内容分析
(一)课标要求
《义务教育数学课程标准(2022年版)》对利用内错角或同旁内角判定两直线平行的内容要求是：识别内错角、同旁内角；探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行；能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线(在尺规作图中，学生应了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.).
由三线八角得到，不同位置关系的角，通过对位置关系的特征归纳，得到内错角与同旁内角的定义，并通过旋转后的图形编写的习题进行识别；通过探索内错角与同旁内角需要满足什么样的条件才能判定平行，转化为同位角，利用同位角相等，两直线平行的基本事实进行证明；利用尺规作角与平行的判定方法(同位角或内错角相等)结合，了解尺规作平行线的原理，并给出具体实例进行练习.
本节课在直观理解和掌握同位角的图形与几何基本事实的基础上，经历得到和验证内错角相等(或同旁内角互补)，两直线平行的数学结论的过程，感悟具有传递性的数学逻辑，渗透转化的数学方法，形成几何直观和推理能力：经历尺规作图的过程，增强动手能力，理解尺规作平行线的基本原理是尺规作角，将线与角联系起来，发展空间观念和空间想象力；学生经历几何证明的过程，需要理解几何基本事实的意义，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，形成初步的推能力和重事实、讲道理的科学精神，
(二)教材解读
初中阶段，在七年级上册，学生已经学面基本图形，即研究了基本元素——点、线、角的相关知识，在本章中，学生将在基本元素的基础上，学习两直线的位置关系，尤其是特殊的垂直关系与平行关系，为第四章研究三角形提供研究思路与知识基础.在本节课前，学生已学习了两直线的特殊关系——垂直，在此基础上已知角对研究直线关系有着重要的作用，这对接下来用角研究直线的平行关系有借鉴作用；学生在学习平行线的判定后，接下来将要研究平行线的性质，这两者互为逆定理，由线的关系与角的关系完成了互换，强调了位置关系与数量关系的转化.
本节课处于平行的判定的第2课时，研究了三线八角、平行线的判定定理，是上一节课知识内容的补充与延申.
本节课主要对三线八角中的内错角和同旁内角的位置特征、平行线的判定方法2、3进行学习与研究.通过直观理解，观察图形，掌握内错角和同旁内角的图形特征；在利用同位角判定平行的基础上，将内错角和同旁内角转化为研究同位角，得到和验证平行线的判定方法2、3，感受转化解决问题的思想方法.
本节课重点是掌握平行线的判定方法，通过从研究内错角和同旁内角转化为研究同位角的方法，使学生将未知问题转化为已知问题；本节课的难点是逻辑推导的思路与几何语言的结合，通过对4种平行线的主要判定方法的总结，结合练习的原理挖掘，改编或创编题目的活动，将条件与知识点联系起来.
三、学情分析
1.基础知识
学生对两直线的位置关系有了初步的认识，尤其是相交所形成的角的关系、垂直所形成的角的关系都进行了研究与学习，尤其在前一节课对平行的基本事实已进行了学习，所以对利用角的数量关系与直线的位置关系的转化已有经验.但文字语言、图形语言与几何语言的转化，有条理的逻辑推理是学生们遇到的难点，另外，随着知识内容的充盈，所需要的综合运用能力越来越高，这两部分还需要多加练习与思考.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，尤其在本章经过了垂直的学习后，学生能主动总结反思，大胆质疑提出疑问，构建知识间的联系，但是在有效表达，简洁有针对性，尤其是三种语言的转化上还稍有欠缺.因此，设计每个活动后，对知识间的联系进行总结，对三种语言的转化练习尤为重要，最后教师指导再进行完善，以此培养学生反思总结、有效表达、大胆质疑、及时整理的习惯.
3.关键能力
学生经过第一节的知识学习后，对特殊位置关系的图形有着直观的感受，但对抽象归纳其特征，尤其是使用几何语言进行表达有些欠缺，因此学生在对信息获取与加工的能力和对语言的组织与表达这方面有一定基础，但在数学语言表达的专业性、简洁性和规范性上都需要提高；多数学生能根据公理、定理进行简单的应用，对复杂图形或者需要多个知识点综合的题目较难推导证明，提出疑问与其他相关问题较少，因此学生在对逻辑推理论证能力这方面有一定基础，但对其深度和广度还不够，在批判性思维和辩论的能力这方面表现较弱；学生在对垂直知识的练习建构上有了一定的基础，但对知识的迁移与转化能力较弱，因此学生在对思维建模能力(可视化)表现还需要培养.希望，通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 1.我能根据内错角和同旁内角的概念识别内错角和同旁内角. 2.我能根据“同位角相等，两直线平行”证明“内错角相等，两条直线平行”和“同旁内角互补，两条直线平行”.
拓展性目标 3.我能运用内错角、同旁内角判定两直线平行. 4.我能尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线.
挑战性目标 5.我能利用平行线的判定条件解决判定平行的几何问题. 6.我能改编本节课课本上的练习，或创编判定平行的练习，并能写出解答步骤，总结判定平行的规律.
五、实施路径
基础性目标 实现路径 课前：通过填写平行的判定方法、平行公理及推论的知识，联系回顾平行线的判定方法.
课堂：通过三线八角中内错角和同旁内角的位置特征，完成基础性目标活动1，识别内错角和同旁内角；通过将内错角和同旁内角转化为同位角，证明“内错角相等，两条直线平行”和“同旁内角互补，两条直线平行”，完成基础性目标活动2，学生直接展示基础性目标活动结果，如提出疑问，其他学生补充，教师答疑补充.
拓展性目标 实现路径 课前：学生尝试自主完成拓展性目标活动.
课堂：通过内错角相等或同旁内角互补，两直线平行的判定方法，总结判定平行的方法，完成拓展性目标3活动；运用同位角相等或者内错角相等，结合尺规作角，完成拓展性目标4活动，尺规作出平行线个人展示，其他同学补充，完善答案，教师总结点评.
挑战性目标 实现路径 课堂：通过完成判定平行的几何问题，总结判定平行的方法与步骤，学生尝试合作完成挑战性目标活动5，小组合作展示，其他学生补充，教师总结；在总结学习经验的基础下，合作完成挑战性目标活动6，小组合作展示，其他学生补充，教师总结.
课后：补充完善小组合作内容，形成成果，并尝试再编写题目.
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标 拉齐基础 2分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务；组织学生核对预备性知识答案，回顾平行线的运用. 明确本节课的学习任务；核对预备性知识答案，回顾平行线的运用.
主动探究 基础过关 5分钟 指导学生完成基础性目标活动1(识别内错角或同旁内角)，提出内错角或同旁内角的位置特征的疑问，引导学生观察图形，组织学生回答问题，教师及时补充；组织学生展示基础性目标活动2(证明)，寻找内错角和同旁内角转化为同位角的研究路径，及时点拨疑问； 完成基础性目标活动1(识别内错角或同旁内角)，观察图形，思考内错角或同旁内角的位置特征的疑问，回答问题，及时记录；展示基础性目标活动2(证明)，提出疑问，做好总结.
自主探讨 个人展评 10分钟 组织学生自主探究拓展性目标活动3(归纳平行判定方法2、3)，组织学生展示，帮助学生规范描述结论，完成文字语言、图形语言与几何语言的转化；自主探究拓展性目标活动4(尺规作平行线)，组织学生板演或投屏分享，引导结合尺规作角与平行线的判定方法，对其中的原理进行总结. 自主探究拓展性目标任务活动3(归纳平行判定方法2、3)，完善文字语言、图形语言与几何语言，提出质疑，做好记录；自主探究拓展性目标活动4(归纳平行公理及其推论)，结合尺规作角与平行线的判定方法，完善图形，提出质疑，做好记录.
合作探讨 挑战突破 15分钟 指导学生小组合作完成挑战性目标活动5(复杂几何题)，小组内指定学生进行展讲，注意引导思路与几何语言的书写，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬；指导学生小组合作完成挑战性目标活动6(编写题目)，小组内指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬. 小组合作完成挑战性目标任务活动5(复杂几何题)，重点是思路与几何语言的书写，互相补充，并记录疑问；小组合作完成挑战性目标任务活动6(编写题目)，重点是如何表达，理清思路，互相补充，并记录疑问.
答疑解惑拓展能力 5分钟 组织学生展示不懂或存疑的问题，教师补充与总结或留作课后思考；对当堂练习进行点拨. 学生展示不懂的问题，记录答案或思路，课下完善；完成当堂练习.
对照目标 检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标. 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度.
自我小结 挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充. 分享课堂收获，互相补充.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
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