1.1 等腰三角形 培优练习（含解析）

1.1等腰三角形培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
一．选择题
1．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．12或15 C．15 D．无法确定
2．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长度是（　　）
A．6 cm B．6.5 cm C．7 cm D．8 cm
3．如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，下列结论正确的是（　　）
A．∠C＝∠D B．∠C＝2∠D
C．∠C+∠D＝90° D．以上结论都不对
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB+BD＝CD，∠B＝56°，则∠BAC的度数为（　　）
A．90° B．96° C．100° D．112°
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（　　）
A．3 B． C．2 D．
7．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．90° B．75° C．70° D．60°
二．填空题
8．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 　 　．
9．如图，已知△ABC的面积为8，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，则△ADC的面积是 　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，∠BAC＝150°，则S△ABC＝　 　．
11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝　 　°．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝　 　．
三．解答题
13．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　 　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
14．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
15．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q．
（1）求证：△BAN≌△ACM；
（2）求∠BQM的大小．
16．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD．
（1）求∠E的度数；
（2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点；
（3）若MC＝1，求BE的长．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
18．学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．
（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．
19．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形；
（3）若BC＝m，CD＝n，求BE的长（用含m，n的式子表示）．
参考答案
一．选择题
1．一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．12或15 C．15 D．无法确定
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：若3为腰长，6为底边长，
由于3+3＝6，则三角形不存在；
若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为6+6+3＝15．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
2．如图，在锐角△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长度是（　　）
A．6 cm B．6.5 cm C．7 cm D．8 cm
【分析】首先延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，过点D作DF∥BC，交BE于F，易得：△EFD∽△EBM，又由AB＝AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形的性质，即可得AN⊥BC，BN＝CN，又由∠EBC＝∠E＝60°，可得△BEM与△EFD为等边三角形，又由直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求得MN与BM的值，继而求得答案．
【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，过点D作DF∥BC，交BE于F，
则△EFD∽△EBM，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠E＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴△EFD为等边三角形，
∵BE＝6cm，DE＝2cm，
∴DM＝4cm，
∵∠DNM＝90°，∠DMN＝60°，
∴∠NDM＝30°，
∴NMDM＝2cm，
∴BN＝BM﹣MN＝6﹣2＝4（cm），
∴BC＝2BN＝8（cm），
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．
3．如图，在△ABC中，D为AB延长线上一点，DE⊥AC于E．若AC＝BC，下列结论正确的是（　　）
A．∠C＝∠D B．∠C＝2∠D
C．∠C+∠D＝90° D．以上结论都不对
【分析】过点C作CH⊥AB于H，利用等腰三角形的性质求出ACB＝2∠ACH，再利用同角的余角相等求出∠ACH＝∠D即可．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，
∵AC＝BC，
∴ACB＝2∠ACH，
∵CH⊥AB，DE⊥AC，
∴∠A+∠ACH＝∠A+∠D＝90°，
∴∠ACH＝∠D，
∴∠ACB＝2∠D，
故选：B．
【点评】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AB+BD＝CD，∠B＝56°，则∠BAC的度数为（　　）
A．90° B．96° C．100° D．112°
【分析】在DC上截取DE＝DB，连接AE，从而可得AD是BE的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质可得AB＝AE，从而可得∠B＝∠AED＝56°，然后利用三角形的外角性质可得∠AED＝∠EAC+∠C＝56°，再根据线段的和差关系可得AB＝CE，从而可得AE＝CE，最后利用等边对等角可得∠EAC＝∠C＝28°，再利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：在DC上截取DE＝DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AED＝56°，
∵∠AED是△ACE的一个外角，
∴∠AED＝∠EAC+∠C＝56°，
∵AB+BD＝CD，
∴AB+BD＝CE+DE，
∴AB＝CE，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝28°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝96°，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝6，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC，若AE＝5，则BD的长等于（　　）
A．3 B． C．2 D．
【分析】过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BFBE＝4，于是CF＝BC﹣BF＝2，再根据等腰三角形三线合一的性质得出DC＝2CF＝4，然后根据BD＝BC﹣DC即可求解．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F．
在Rt△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∵AB＝3，AE＝5，
∴BFBE（AB+AE）（3+5）＝4，
∵BC＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝6﹣4＝2．
∵ED＝EC，EF⊥BC于F，
∴DC＝2CF＝4，
∴BD＝BC﹣DC＝6﹣4＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
7．如图，∠EAF＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（　　）
A．90° B．75° C．70° D．60°
【分析】根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，
∴∠BCA＝∠A＝15°，
∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，
∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
二．填空题
8．等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为 　8cm　．
【分析】设腰长为2x，得出方程（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可．
【解答】解：设腰长为2x，
则（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，
解得：x＝4，x＝1，
∴2x＝8或2，
①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难度不大，关键是求出x的值后根据三角形三边关系进行验证．
9．如图，已知△ABC的面积为8，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，则△ADC的面积是 　4　．
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADCS△ABC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADCS△ABC8＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，∠BAC＝150°，则S△ABC＝　ab　．
【分析】作CD⊥AB于点D，在直角三角形ACD中利用直角三角形的性质定理求得CD的长，然后根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：作CD⊥AB于点D．
∵在直角三角形ACD中，∠CAD＝180°﹣∠BAC＝30°，
∴CDACb，
则S△ABCAB CDa bab．
故答案为：ab．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，正确作出辅助线是关键．
11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AB＝BD＝CD，则∠C＝　36　°．
【分析】设∠C＝α，根据角平分线定义得出∠ABD＝∠C＝α．根据等边对等角以及三角形外角的性质得出∠CBD＝∠C＝α，∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α，∠A＝∠ADB＝2α．然后在△ABD中，利用三内角和为180°列出方程α+2α+2α＝180°，求出α即可．
【解答】解：设∠C＝α，则∠ABD＝∠C＝α．
∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C＝α，
∴∠ADB＝∠CBD+∠C＝2α．
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠ADB＝2α．
在△ABD中，∵∠ABD+∠A+∠ADB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠C＝36°．
故答案为：36．
【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，设∠C＝α，利用α表示∠ABD，∠A，∠ADB是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，DE∥AC交AB于点E，若AB＝8，则DE＝　4　．
【分析】根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD＝∠ADE，然后求出∠ADE＝∠BAD，根据等角对等边可得AE＝DE，然后根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠BDE，根据等角对等边可得DE＝BE，从而得到DEAB．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴AE＝DE，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE+∠BDE＝∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴DEAB，
∵AB＝8，
∴DE8＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．
三．解答题
13．如图1和2，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是 　角平分线上的点到角的两边距离相等　
（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；
（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD＝BC．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，证明△DEA≌△DFC，根据全等三角形的性质证明；
（3）在BC时截取BK＝BD，连接DK，根据（2）的结论得到AD＝DK，根据等腰三角形的判定定理得到KD＝KC，结合图形证明．
【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，
∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；
（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
在△DEA和△DFC中，
∴△DEA≌△DFC（AAS），
∴DA＝DC；
（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，
由（2）的结论得AD＝DK，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∴AD＝DK＝CK，
∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
解：
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．
15．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q．
（1）求证：△BAN≌△ACM；
（2）求∠BQM的大小．
【分析】（1）根据等边三角形的性质求得∠BAC＝∠BCA＝60°，再根据等边三角形的边长相等求得CM＝AN，最后由SAS证明全等即可；
（2）根据全等三角形的性质：对应角相等，求得∠CAM＝∠ABN；然后由∠BQM＝∠ABN+∠BAQ来找∠BAC与其的关系．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠BCA＝60°，
∵BM＝CN，
∴CM＝AN，
又∵∠BAN＝∠ACM，
∴△BAN≌△ACM；
（2）∴∠CAM＝∠ABN，
∴∠BQM＝∠ABN+∠BAQ＝∠CAM+∠BAQ＝∠BAC＝60°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质．利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键．在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便．
16．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD．
（1）求∠E的度数；
（2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点；
（3）若MC＝1，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°，因为∠ACB＝∠E+∠CDE，即可解答；
（2）要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证；
（3）根据含30°的直角三角形的性质得到CE＝CD＝4，然后根据BE＝2EM即可得到结果．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
又∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠E＝∠ACB＝30°；
（2）证明：连接BD，
∵AB＝AC＝BC，D是AC的中点，
∴∠DBC∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DB＝DE，
又∵DM⊥BE，
∴M是BE的中点；
（3）解：∵DM⊥BE，∠ACB＝60°，
∴∠MDC＝30°，
∴DC＝2MC＝2，
∴CE＝CD＝2，
∴BE＝2ME＝2×（1+2）＝6．
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H．
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
【分析】①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠4，同位角相等可得∠2＝∠P，再根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后求出∠4＝∠P，根据等角对等边的性质即可得证；
②根据两直线平行，内错角相等可得∠5＝∠B，再求出∠H＝∠1＝∠3，然后利用“AAS”证明△BEF和△CDH全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CH，再求出AC＝CH，再根据AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，整理即可得解．
【解答】①证明：∵EF∥AD，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠P，
∴AF＝AP，
即△APF是等腰三角形；
②AB＝PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1＝∠3，
∴∠H＝∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵，
∴△BEF≌△CDH（AAS），
∴BF＝CH，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠H，
∴AC＝CH，
∴AC＝BF，
∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，
∴AB＝PC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质，题目较为复杂，熟记性质与判定是解题的关键，作出图形更形象直观．
18．学习几何时，要善于对课本例习题中的典型图形进行变式研究．在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，BD是AC边上的高，点E为直线BC上点，且CE＝AD．
（1）如图1，当点E在边BC上时，求证：△CDE为等边三角形；
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，求证：△BDE为等腰三角形．
【分析】（1）证明△ABC为等边三角形，∠C＝60°，证出CD＝CE，则可得出结论；
（2）证出∠E＝∠DBC，则可得出BD＝ED，由等边三角形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∠C＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴AD＝CD，
∵CE＝AD，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形．
（2）证明：同（1）可知CD＝CE，
∴，
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∴∠E＝∠DBC，
∴BD＝ED，
即△BDE为等腰三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定是解题的关键．
19．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
【分析】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，结合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出GD＝CE，结合BD＝CE可得出BD＝GD，进而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求证：△ADE是等腰三角形；
（3）若BC＝m，CD＝n，求BE的长（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果；
（2）由平行线的性质求得∠EAC＝72°，由三角形内角和定理求得∠ADE＝72，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（3））根据∠C＝∠BDC＝72°，得出BD＝BC＝m，再根据AE∥BC解答即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
（3）解：∵∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC＝m，
∵∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴AD＝BD＝m，
∴AB＝AC＝m+n，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠DBC＝36°
∴∠E＝∠ABD．
∴AE＝AB＝m+n，
∴BE＝2m+n．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．