1.2 直角三角形 培优练习（含解析）

1.2直角三角形培优练习北师大版2024—2025学年八年级下册
知识点：直角三角形的判定，勾股定理，勾股定理逆定理
一、选择题
1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
3．如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2＝ab+10，那么图中小正方形的面积是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD为△ABC的高，则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2
二、填空题
7．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则AB边上的高等于　 　．
8．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB，有下列四个结论：①∠CBE＝15°；②AE1；③S△DEC；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有 　 　．（填序号）
9．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2.若BE＝kAE（k＞1），则用含k的式子表示的值是 　 　．
10．如图，在正方形网格中，点A、B、P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA＝　 　°．
11．如图，有一块农家菜地的平面图，其中AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，∠ADC＝90°，则这块菜地的面积为　 　cm2．
三、解答题
12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
13．规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　 　；
（2）推算出OA10＝　 　；
（3）求出的值．
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动．设点P的运动时间为t（t＞0）．
（1）AB＝　 　；
（2）求斜边AC上的高线长；
（3）①当P在BC上时，CP的长为 　 　，t的取值范围是 　 　；（用含t的代数式表示）
②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC，AB1，
（1）求S△ABC；
（2）求BC的长．
16．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求证：∠ABC＝90°；
（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为 　 　．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上．
（1）若AC＝3，BC＝4，MD⊥AB（如图①），求MD的长；
（2）过点M作ME⊥MD与边AC交于点E（如图②），试探究：线段AE、ED、DB三者之间的数量关系，并证明你的结论．
18．如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，AE＝a，DE＝b，取c＝10，a﹣b＝2．
（1）求四个直角三角形的面积和；
（2）求（a+b）2的值．
19．已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20cm，D是AC上的一点，且BD＝16cm，CD＝12cm．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求△ABC的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
参考答案
一、选择题
1．【解答】解：A、因为1.52+22＝2.52符合勾股定理的逆定理，故△ABC为直角三角形；
B、因为a：b：c＝5：12：13，所以可设a＝5x，b＝12x，c＝13x，则（5x）2+（12x）2＝（13x）2，故△ABC为直角三角形；
C、因为∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，故△ABC为直角三角形；
D、因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，故3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，3x＝15×3＝45°，4x＝15×4＝60°，5x＝15×5＝75°，故此三角形是锐角三角形．
故选：D．
2．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积AC×BCπ×（）2π×（）2π×（）2
2×4π（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
3．【解答】解：∵大正方形的面积是16，
∴a2+b2＝16，
又a2+b2＝ab+10，
∴ab＝6，
∴（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab
＝16﹣2×6
＝4，
即小正方形的面积是4，
故选：C．
4．【解答】解：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故选：D．
5．【解答】解：直角三角形较短的直角边为6，
所以，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故选：A．
6．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2，
∴32+AE2＝（9﹣AE）2，
解得AE＝4．
∴△ABE的面积为3×4÷2＝6（cm2）．
故选：C．
二、填空题
7．【解答】解：如图，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∴AC BCAB CD，
∴6×8＝10CD，
∴CD4.8．
故答案为4.8．
8．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCE＝∠DCE＝45°．
在△BCE和△DCE中，，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CDE＝15°，故①正确；
②过D作DM⊥AC于M，
∵∠CDE＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝75°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠AED＝60°，
∵AD＝AB，
∴AM＝DM，
∴MEDM1，
∴AE1，故②正确；
③根据勾股定理求出AC＝2，
∵DM，EM＝1，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，
∴CM，
∴CE＝CM﹣EM1，
∴S△DEC（1），故③错误；
④在EF上取一点G，使EG＝EC，连接CG，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F＝15°．
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+ED，故④正确；
故答案为：①②④．
9．【解答】解：方法一：如图，过A作AG∥BP交FE延长线于点G，
∵AG∥BP，
∴∠GAE＝∠PBE，∠AGE＝∠BPE，
∴△AGE∽△PBE，
∴，
设AG＝1，则BP＝k，
∵∠NMP＝45°，
∴∠AMG＝45°，AM＝AG＝1，
∵AN＝BP＝k，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴；
方法二：如图，过B作BG⊥BP交FE延长线于点G，则△GBP是等腰直角三角形，
易证△GBA≌△PBC，
∴∠BGP＝∠AGP＝45°，
根据角平分线比例定理得：，
设AG＝1，则BG＝k，
∴AM＝1，MD＝k＝AN，
∴MN＝k﹣1，
∵S1＝AD2＝AM2+MD2＝k2+1，S2＝MN2＝（k﹣1）2，
∴；
故答案为：．
10．【解答】解：延长AP至C，连接BC，
CP＝CB，
BP，
∵（）2+（）2＝（）2，即CP2+CB2＝BP2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠BPC＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠BPC＝45°．
故答案为：45．
11．【解答】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AD＝4cm，CD＝3cm，
根据勾股定理得：AC5cm，
在△ABC中，AB＝13cm，BC＝12cm，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
则S＝S△ABC﹣S△ACD12×53×4＝24（cm2）．
三、解答题
12．【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
AB BCAD AC
2×21×2
＝2，
∴四边形ABCD的面积为2．
13．【解答】解：（1）结合已知数据，可得：Sn；
故答案为：；
（2）∵；
；
；
……
∴OA10210；
∴OA10．
故答案为：．
（3）
＝2×（）
＝2
＝22．
14．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝17，BC＝15，
∴．
故答案为：8．
（2）如图所示，过点B作 BD⊥AC 于点D，
∴，
即 ，
∴斜边AC上的高线长为 ．
（3）①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线 A﹣C﹣B﹣A 运动，AC＝17，
∴当P在 BC上时，CP＝3t﹣AC＝3t﹣17．
∵，即 ，
∴．
故答案为：3t﹣17，；
②当点P在∠BCA 的角平分线上时，过点P作 PE⊥AC 于E，如图所示，
∵CP平分∠BCA，∠B＝90°，PE⊥AC，
∴PB＝PE．
又∵PC＝PC，
∴Rt△BCP≌Rt△ECP（HL）．
∴EC＝BC＝15，则 AE＝AC﹣CE＝17﹣15＝2．
由（2）易知 AP＝40﹣3t，BP＝3t﹣32，
∴PE＝3t﹣32．
在Rt△AEP中，AP2＝AE2+EP2 即 （40﹣3t）2＝22+（3t﹣32）2，
解得 ．
∴点P在∠BAC 的平分线上时，．
故答案为：．
15．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A＝45°，AC，
∴AD＝DC＝ACsin45°＝1，
∴S△ABC1×（1）；
（2）∵AB1，AD＝CD＝1，
∴BD，
∴BC2．
16．【解答】解：（1）AB，BC，AC，
△ABC的周长＝25＝35，
（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°．
（3）过B作BP⊥AC，
∵△ABC的面积，
即，
解得BP＝2，
故答案为：2
17．【解答】解：（1）连接AD，
∵MD⊥AB，且点M为边AB的中点，
∴MD是线段AB的垂直平分线．
∴AD＝BD．
设 AD＝x，则CD＝BC﹣BD＝4﹣x．
在Rt△ACD中，AD2＝AC2+CD2 x2＝32+（4﹣x）2．
解得：x，即 ．
在Rt△ACB 中，，
在Rt△ADM中，．
∴MD．
（2）如图②延长EM到F，使得 ME＝MF，连接DF、BF．
∵点M为AB的中点，
∴MA＝MB，
在△MAE和△MBF中．
∴，
∴△MAE≌△MBF（SAS）．
∴BF＝AE，∠MBF＝∠A．
∵直线DM垂直EM．
∴DF＝DE．
在Rt△ACB中，∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠FBD＝∠MBF+∠ABC＝∠A+∠ABC＝90°．
在Rt△DFB中，BF2+DB2＝DF2．
∴AE2+DB2＝DE2．
18．【解答】解：（1）∵HE＝a﹣b＝2，
∴S正方形EFGH＝HE2＝4，
∵AD＝c＝10，
∴S正方形ABCD＝AD2＝100，
∴四个直角三角形的面积和＝S正方形ABCD﹣S正方形EFGH＝100﹣4＝96；
（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，
∴4ab＝96，解得2ab＝96，
∵a2+b2＝c2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196．
19．【解答】（1）证明：∵122+162＝202，
∴CD2+BD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AD＝xcm，则AC＝（x+12 ）cm，
∵AB＝AC，∴AB＝（x+12 ）cm，
在Rt△ABD中：AB2＝AD2+BD2，∴（x+12）2＝162+x2，
解得x，∴AC12cm，
∴△ABC的面积SBD AC16cm2．
20．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，
∴BC＝8（cm）；
（2）由题意知BP＝2tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，
解得：t，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t．